Error
Sorry, the requested file could not be found
More information about this error
Jump to…
Jump to…Согласие на обработку персональных данных Учебно-тематический планАвторы и разработчики курсаИнформация для студентов и преподавателейВводная лекцияIntroductory lectureЛекция о системе обозначений Lecture on the notation systemВидеолекция (часть 1)Lecture (Part 1)Видеолекция 2. Операции над функциями. Свойства функции.Lecture 2. Operations on functions. The properties of the functionТеоретический материал Практическое занятие. Исследование свойств функций по определениюPractical lesson. Investigation of the properties of functions by definitionЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.1(Часть 1). Числовые функцииQuiz 1.1.1 (part 1)Тест 1.1.1(Часть 2). Числовые функцииQuiz 1.1.1 (part 2)Видеолекция 1. Числовая последовательность Lecture 1. Numeric sequenceВидеолекция 2. Предел числовой последовательностиLecture 2.
4. Непрерывность функции в точкеВидеолекция (часть 1)Lecture 1. Differential calculus of functions of a single variableВидеолекция (часть 2)Lecture 2. Differentiation of a function given parametricallyПрактическое занятие 1. Правила дифференцированияПрактическое занятие 2. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функции, заданной параметрическиPractical lesson 1. Logarithmic differentiation. Differentiating a function defined parametricallyPractical lesson 2. Rules of differentiationЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТаблица производныхТест 1.1.5 Производная функцииВидеолекция 1. Геометрический и физический смысл производнойLecture 1. Geometric and physical meaning of the derivativeВидеолекция 2. Дифференциал функцииLecture 2. Differential of a functionПрактическое занятие 1. Геометрический смысл производнойPractical lesson 1. The geometric meaning of the derivativeПрактическое занятие 2. Производные и дифференциалы высших порядковPractical lesson 2. Higher-order derivatives and differentialsЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.
1.8. Асимптоты графика функцииВидеолекция. Дифференциальное и интегральное исчислениеLecture. Differential and Integral CalculationЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТаблица интеграловТест 1.2.1. Неопределенный интегралВидеолекция. Неопределенный интеграл: методы интегрирования.Lecture. Indefinite integral: methods of integration.Практическое занятие. Внесение функции под знак дифференциалаPractical lesson. Adding a function under the sign of the differentialЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.2.2. Методы интегрированияВидеолекция 1. Интегрирование дробно-рациональных функций (часть1)Lecture 1. Integration of fractional-rational functions (part 1)Видеолекция 2. Интегрирование дробно-рациональных функций (часть 2)Lecture 2. Integration of fractionally rational functions (part 2)Практическое занятие 1. Интегрирование иррациональных выражений (часть 1)Practical lesson 1. Integration of irrational expressions (part 1)Практическое занятие 2. Интегрирование тригонометрических функцийPractical lesson 2.
3.1. Функции нескольких переменных (основные понятия)Quiz 1.3.1Видеолекция Дифференцируемость функции двух переменныхLecture. Differentiable functions of two variablesПрактическое занятие 1. Производные и дифференциалы высших порядковПрактическое занятие 2. Понятие дифференциала первого и второго порядкаPractical lesson 2. The concept of the first- and second-order differentialЗадачи для самостоятельной работыРешения задач Тест 1.3.2. Дифференцирование функции нескольких переменныхQuiz 1.3.2Видеолекция 1. Дифференцирование сложной функции, заданной неявноLecture 1. Differentiation of a complex function and a function given implicitlyВидеолекция 2. Производная по направлению. ГрадиентLecture 2. The directional derivative and the gradientПрактическое занятие 1. Производная по направлению, градиентPractical lesson 1. The directional derivative, the gradientПрактическое занятие 2. Исследование свойств функций по определениюPractical lesson 2. Investigating function properties by defenition Практическое занятие 3.
Исследование систем линейных уравненийТеоретический материал (лекция 3)Задачи для самостоятельной работы 3Решения задач 3Тест 2.1.1. Системы линейных уравненийСправочник (часть 1)Справочник (часть 2)Справочник (часть 3)Видеолекция 1. Векторное пространствоLecture 1. Vector spaceВидеолекция 2. линейная зависимость векторов. Базис векторного пространстваLecture 2. Linear dependence of vectors and the concept of the basis of the vector systemПрактическое занятие 1. Арифметическое векторное пространствоPractical lesson 1. Arithmetic vector spaceПрактическое занятие 2. Линейная зависимость векторов. Базис векторного пространстваPractical lesson 2. Linear dependence of vectors and the concept of the basis of the vector systemТеоретический материал (лекция 1)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Теоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Тест 2.1.2. Арифметическое n-мерное векторное пространствоСправочник (часть 1)Справочник (часть 2)Видеолекция 1.
1.4. МатрицыQuiz 2.1.4. MatricesСправочник (часть 1)Справочник (часть 2)Справочник (часть 3)Видеолекция 1. Прямоугольная декартова система координатLecture 1. Rectangular Cartesian coordinate systemТеоретический материалПрактическое занятие. Решение задач в координатахPractical lesson. Solution of problems in coordinatesЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 2.2.1. Декартова система координатСправочникВидеолекция 1. Скалярное произведение векторовLecture 1. Scalar product of vectorsТеоретический материал (Часть 1)Видеолекция 2. Векторное и смешанное произведения векторовLecture 2. Vector and mixed products of vectorsПрактическое занятие 1. Скалярное произведение векторовPractical lesson 1. Scalar product of vectorsПрактическое занятие 2. Применение произведений векторов при решении задачPractical lesson 2. vector and mixed product of vectors to solve themТеоретический материал (Часть 2)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Тест 2.2.2.(часть 1). Скалярное произведение векторов.
Длина вектора. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторовЗадачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Тест 2.2.2. (часть2). Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторовСправочник (Часть 1)Справочник (Часть 2)Видеолекция. Уравнения прямой на плоскости и в пространствеLecture. Equation of a straight line on a plane and in spaceТеоретический материалПрактическое занятие 1. Уравнения прямой на плоскостиPractical lesson 1. Related to the equation of a straight line on a planeЗадачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Практическое занятие 2. Взаимное расположение прямыхPractical lesson 2. The relative position of straight lines.Задачи для самостоятельной работы 2Решение задач 2Тест 2.2.3. Уравнения прямойСправочникВидеолекция. Уравнение плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскостиТеоретический материалПрактическое занятие. Уравнение плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости Practical lesson.
Equation of a plane Задачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Задачи для самостоятельной работы 2Практическое занятие 2. Взаимное расположение плоскостейPractical lesson 2. Relative position of planesРешение задач 2Тест 2.2.4. Уравнения плоскостиСправочникВидеолекция 1. ЭллипсLecture 1. EllipseТеоретический материал Часть 1Практическое занятие 1. ЭллипсPractical lesson 1. EllipseЗадачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Видеолекция 2. Гипербола и параболаLecture 2. Hyperbola and parabolaТеоретический материал (Часть 2)Практическое занятие 2. Гипербола и параболаЗадачи для самостоятельной работы 2Решение задач 2Тест 2.2.5. Кривые второго порядкаСправочник (Часть 1)Справочник (Часть 2)Аттестация по модулю 2Анкета обратной связиИтоговое тестирование по курсу (1-2)Итоговое тестирование по курсу (2)Видеолекция 1. Основные понятия теории вероятностей Lecture 1. Basic concepts of probability theoryВидеолекция 2. Вероятность случайного событияLecture 2. Probability of a random eventПрактическое занятие 1.
Классическая вероятностьPractical lesson 1. Classical probabilityЗадачи для самостоятельной работы (часть 1)Решения задач (часть 1)Практическое занятие 2. Операции над событиями. Practical lesson (part 2). Algebra of events. Properties of probabilitiesЗадачи для самостоятельно работы (часть 2)Решения задач (часть 2)Теоретический материалТест 3.1.1. Классическая вероятностьВидеолекция 1. Условная вероятностьLecture 1. Conditional probabilityПрактическое занятие 1. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула БайесаPractical lesson 1. Conditional probability. The formula of total probability, Bayes ‘ formulaЗадачи для самостоятельной работы. Условная вероятностьРешения задач. Условная вероятностьВидеолекция 2. Повторные независимые опыты и формула БернуллиLecture 2. Repeated Independent Experiments and the Bernoulli FormulПрактическое занятие 2. Схема БернуллиPractical lesson 2. Bernoulli’s formulaЗадачи для самостоятельной работы. Схема БернуллиРешения задач. Схема БернуллиТеоретический материалТест 3.
1.2. Условная вероятностьВидеолекция 1. Дискретные лучайные величиныLecture 1. Discrete random variablesВидеолекция 2. Числовые характеристики дискретных случайных величинПрактическое занятие. Дискретные случайные величиныPractical lesson. Discrete random variablesЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачЛабораторная работа. Законы распределения дискретных случайных величинLaboratory work 1. Distribution Laws of Discrete Random VariablesЛабораторная работаРешения задач (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.2.1. Дискретные случайные величиныВидеолекция 1. Непрерывные случайные величиныВидеолекция 2. Частные случаи распределений случайных величинLecture 2. Special cases of distributions of random variablesПрактическое занятие. Непрерывные случайные величиныPractical lesson. Continuous random variableЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачЛабораторная работа (видео). Законы распределения непрерывных случайных величинLaboratory work (video). Distribution Laws of Continuous Random VariablesЛабораторная работаРешения задач (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.
2.2. Непрерывные случайные величиныТеоретический материалТест 3.3.1. Законы больших чиселВидеолекция 1. Система случайных величин (часть 1)Видеолекция 2. Система случайных величин (часть 2)Lecture 2. Systems of random variables (part 2)Практическое занятие. Система случайных величинЗадачи для самостоятельной работыРешения задачЛабораторная работаРешение задачи (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.4.1. Совместный закон распределенияВидеолекция 1. Характеристическая функция случайной величиныLecture 1. Characteristic function of a random variableВидеолекция 2. Свойства характеристической функции случайной величиныLecture 2. Properties of characteristic functions random variable Практическое занятие 1. Вычисление характеристической функции случайной величиныPractical lesson 1. Calculation of Characteristic Functions Практическое занятие 2. Проверка устойчивости для стандартных распределенийPractical lesson 2. Testing the robustness for standard distributions.Задачи для самостоятельного решения (часть 1)Задачи для самостоятельного решения (часть 2)Решения задач (часть 1)Решения задач (часть 2)Тест 3.
4.2. (данное тестирование по теме 1)Видеолекция. Основные понятия математической статистикиLecture. The basic concepts of mathematical statisticsЛабораторная работа (видео). Основные понятия математической статистикиLaboratory work (video). Basic concepts of mathematical statisticsТеоретический материалЛабораторная работа. Основные понятия математической статистикиРешения задач (лабораторная работа)Тест 3.5.1. Основные понятия математической статистикиQuiz 3.5.1.Видеолекция. Статистические оценки параметров генеральной совокупности. Lecture. Statistical estimates of general population parametersЛабораторная работа 1 (видео). Статистические оценки параметров генеральной совокупностиLaboratory work 1 (video). Statistical estimators of the parameters of the populationЛабораторная работа 1. Статистические оценки параметров генеральной совокупностиРешения задач 1Лабораторная работа 2 (видео). Минимальный или оптимальный объем выборочной совокупностиLaboratory work 2(video). Minimum or optimal sample sizeЛабораторная работа 2.
Минимальный или оптимальный объем выборочной совокупностиРешения задач 2Теоретический материалТест 3.5.2. Статистические оценкиQuiz 3.5.2Видеолекция. Зависимость между величинами. Виды зависимостейLecture. Dependence between quantities. Types of dependenciesТеоретический материал 1Лабораторная работа 1 (видео, часть 1). Парный корреляционный анализLaboratory work 1 (video, part 1). Pair correlation analysisЛабораторная работа 1. Парный корреляционный анализЛабораторная работа 1 (видео, часть 2). Множественный корреляционный анализРешение задач 1Лабораторная работа 2 (видео, часть 2). Парный регрессионный анализLaboratory work 2 (video, part 2). Paired Regression AnalysisЛабораторная работа 2. Парный регрессионный анализРешения задач 2Теоретический материал 2Тест 3.5.3. Зависимость между величинамиQuiz 3.5.3Лекция. Статистические гипотезы Теоретический материалЛабораторная работа (видео). Статистический критерий хи-квадратLaboratory work. The Chi-Square StatisticЛабораторная работа 1. Критерий хи-квадратРешения задач (Критерий хи-квадрат)Лабораторная работа 2.
Критерий ПирсонаЛабораторная работа (расчетная таблица)Решения задач (Критерий Пирсона)Тест 3.6.1. Проверка статистических гипотез: основные понятияQuiz 3.6.1Видеолекция. Проверка статистических гипотезLecture. Testing statistical hypothesesЛабораторная работа 1 (видео). Сравнение средних выборочных совокупностей при известных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 1. Comparison of Sampled Population Means with Known Population VariancesЛабораторная работа 1. Сравнение средних выборочных совокупностей при известных дисперсиях генеральных совокупностейРешения задач (лабораторная работа 1)Лабораторная работа 2 (часть 1). Сравнение средних независимых выборочных совокупностей при неизвестных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 2 (part 1). Comparison of means of independent sample populations with unknown variances of general populationsЛабораторная работа 2 (часть 2). Сравнение средних зависимых выборочных совокупностей при неизвестных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 2 (part 2).
Comparison of mean dependent sample populations with unknown variances of general populationsЛабораторная работа 2. Проверка статистических гипотез о сравнении средних выборочных совокупностей, если не известны дисперсии генеральных совокупностейРешения задач (лабораторная работа 2)Теоретический материалТест 3.6.2. Проверка гипотезQuiz 3.6.2Аттестация по модулю 3Итоговое тестирование по курсу 1-2-3Итоговое тестирование по курсу для математических специальностейИтоговое тестирование по курсу (3)Метод Гаусса. Как найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований?
Однажды некто Жордано (не путать с Джордано Бруно) сел решать очередную систему уравнений. Он любил этим заниматься и в свободное время совершенствовал свои навыки. Но вот настал момент, когда ему наскучили все методы решения и метод Гаусса в том числе. Предположим, дана система с тремя уравнениями, тремя неизвестными и записана её расширенная матрица . На некоторое время развевает тоску другой способ приведения матрицы к ступенчатому виду: , причём он совершенно равноценен и может быть не удобен только по причине субъективного восприятия. Но всё рано или поздно приедается…. И подумал тогда математик – а зачем вообще мучиться с обратным ходом гауссовского алгоритма? Не проще ли сразу получить ответ с помощью дополнительных элементарных преобразований? Для освоения данного урока «чайникам» придётся пойти путём Жордано и прокачать элементарные преобразования хотя бы среднего уровня, прорешав, минимум, 15-20 соответствующих заданий. Поэтому если вы смутно понимаете, о чём идёт разговор и/или у вас возникнет недопонимание чего-либо по ходу занятия, то рекомендую ознакомиться с темой в следующем порядке: Метод Гаусса для чайников; Несовместные системы и системы с общим решением; Ранг матрицы; Однородные системы. Ну, и совсем замечательно, если отработаны элементарные преобразования определителя. Как все поняли, метод Жордано-Гаусса представляет собой модификацию метода Гаусса и с реализацией основной, уже озвученной выше идеи, мы встретимся на ближайших экранах. Кроме того, в число немногочисленных примеров данной статьи вошло важнейшее приложение – нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Не мудрствуя лукаво: Пример 1 Решить систему методом Жордано-Гаусса Решение: это первое задание урока Метод Гаусса для чайников, где мы 5 раз трансформировали расширенную матрицу системы и привели её к ступенчатому виду: Теперь вместо обратного хода в игру вступают дополнительные элементарные преобразования. Сначала нам необходимо получить нули на этих местах: , Идеальный с точки зрения простоты случай: (6) Ко второй строке прибавили третью строку. (7) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2. Не могу удержаться от иллюстрации итоговой системы: Ответ: Предостерегаю читателей от шапкозакидательского настроения – это был простейший демонстрационный пример. Для метода Жордано-Гаусса характерны свои специфические приёмы и не самые удобные вычисления, поэтому, пожалуйста, настройтесь на серьёзную работу: Пример 2 Решить систему линейных уравнений методом Жордано-Гаусса. Решение: первая часть задания хорошо знакома: (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –1. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на –5. (2) Вторую строку разделили на 2, третью строку разделили на 11, четвёртую строку разделили на 3. (3) Вторая и третья строки пропорциональны, 3-ю строку удалили. К четвёртой строке прибавили вторую строку, умноженную на –7 (4) Третью строку разделили на 2. Очевидно, что система имеет бесконечно много решений, и наша задача – привести её расширенную матрицу к виду . Как действовать дальше? Прежде всего, следует отметить, что мы лишились вкусного элементарного преобразования – перестановки строк. Точнее говоря, переставлять-то их можно, но в этом нет смысла. И далее целесообразно придерживаться следующего шаблона: Находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –1 и 3), т.е. – наименьшее число, которое бы делилось без остатка и на 1, и на –1 и на 3. В данном случае, это, конечно же, «тройка». Теперь в третьем столбце нам нужно получить одинаковые по модулючисла, и этими соображениями обусловлено 5-ое преобразование матрицы: (5) Первую строку умножаем на –3, вторую строку умножаем на 3. Вообще говоря, первую строку можно было умножить тоже на 3, но это было бы менее удобно для следующего действия. К хорошему привыкаешь быстро:
(7) Во втором столбце два ненулевых значения (24 и 6) и нам снова нужно получитьодинаковые по модулю числа. В данном случае всё сложилось довольно удачно – наименьшее кратное 24, и эффективнее всего умножить вторую строку на –4. (8) К первой строке прибавили вторую. (9) Заключительный штрих: первую строку разделили на –3, вторую строку разделили на –24 и третью строку разделили на 3. Это действие выполняется В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ! Никаких преждевременных дробей! В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система: Элементарно выражаем базисные переменные через свободную: и записываем: Ответ: общее решение: В подобных примерах применение рассмотренного алгоритма чаще всего оправдано, поскольку обратный ход метода Гаусса обычно требует трудоёмких и неприятных вычислений с дробями. И, разумеется, крайне желательна проверка, которая выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке Несовместные системы и системы с общим решением. Для самостоятельного решения: Пример 3 Найти базисное решение с помощью элементарных преобразований Такая формулировка задачи предполагает использование метода Жордано-Гаусса, и в образце решения матрица приводится к стандартному виду с базисными переменными . Однако всегда держите на заметке, что в качестве базисных можно выбрать и другие переменные. Так, например, если в первом столбце громоздкие числа, то вполне допустимо привести матрицу к виду (базисные переменные ), или к виду (базисные переменные ), или даже к виду с базисными переменными . Существуют и другие варианты. Но всё-таки это крайние случаи – не стОит лишний раз шокировать преподавателей своими знаниями, техникой решения и уж тем более не надо выдавать экзотических жордановсих результатов вроде . Впрочем, бывает трудно удержаться от нетипового базиса, когда в исходной матрице, скажем, в 4-ом столбце есть два готовых нуля. Примечание: термин «базис» имеет алгебраический смысл и понятиегеометрического базиса здесь не при чём! Если в расширенной матрице данных размеров вдруг обнаруживается пара линейно зависимых строк, то её следует попытаться привести к привычному виду с базисными переменными . Продолжаем совершенствовать свои навыки на следующей прикладной задаче: Обычно условие формулируют сокращённо, но, по существу, здесь также работает алгоритм Жордано-Гаусса. Более простой метод нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы мы давным-давно рассмотрели на соответствующем уроке, и суровой поздней осенью тёртые студенты осваивают мастерский способ решения. Краткое содержание предстоящих действий таково: сначала следует записать квадратную матрицу в тандеме с единичной матрицей: . Затем с помощью элементарных преобразований необходимо получить единичную матрицу слева, при этом (не вдаваясь в теоретические подробности) справа нарисуется обратная матрица. Схематически решение выглядит следующим образом: (Понятно, что обратная матрица должна существовать) Не хочу показаться категоричным или придирчивым, но в подавляющем большинстве источников информации, которые я видел, данная задача рассмотрена крайне плохо – нужно обладать семью пядями во лбу и потратить массу времени/нервов на тяжёлое неуклюжее решение. Демо-пример: найдём обратную матрицу для матрицы с помощью элементарных преобразований. Для этого запишем её в одной упряжке с единичной матрицей: . А теперь об одном принципиальном моменте. По цитате известного юмориста, для русского человека есть несколько градаций запрета: «запрещено», «строго запрещено» и «категорически запрещено». Так вот, в рассматриваемой задаче КАТЕГОРИЧЕСКИ ЗАПРЕЩЕНО переставлять строки. Если в ходе решения систем мы могли выполнять данное преобразование, то здесь его полное отсутствие заметно огранивает наши возможности. Однако не всё так плохо: (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –3. (2) К первой строке прибавили вторую строку. (3) Вторую строку разделили на –2. Таким образом: . Желающие могут свериться с ответом первого примера урока Как найти обратную матрицу? Но то была очередная заманивающая задачка – в действительности решение гораздо более длительно и кропотливо. Пример 4 Найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований Решение: присоединяем единичную матрицу и думаем над первым действием. Чтобы получить слева вверху «единицу» хочется поменять местами первую и третью строки, однако беда в том, что ПЕРЕСТАВЛЯТЬ НИЧЕГО НЕЛЬЗЯ. Поэтому используем уже знакомый по предыдущему параграфу мотив: находим наименьшее общее кратное чисел первого столбца (3, 2 и 1): 6. В этой связи: (1) Первую строку умножаем на –2, вторую строку умножаем на 3, третью строку – на 6: (2) Ко 2-ой и 3-ей строкам прибавили первую строку. (3) Первую строку разделили «обратно» на –2. Третью строку разделили на 2. (4) Что скажешь, тут немного повезло: к третьей строке прибавили вторую строку. (5) У второй строки сменили знак, третью строку разделили на –3. Первая половина пути пройдена. Далее смотрим на числа третьего столбца (2, 13, 4) и находим их наименьшее общее кратное(НОК): 52. Существует строгий алгоритм нахождения НОК, но здесь обычно хватает подбора. Ничего страшного, если взять бОльшее число, которое делится и на 2, и на 13, и на 4, например, 104. Отличие будет в более громоздких вычислениях. Кстати, про вычисления. Для решения данной задачи совсем не зазорно вооружиться микрокалькулятором – числа фигурируют немалые, и будет очень обидно допустить вычислительную ошибку. Итак, на нижнем этаже получаем –52, а на двух верхних 52. Для этого: (6) Первую строку умножаем на 26, вторую строку умножаем на 4, третью строку – на –13: (7) К первой и второй строкам прибавили третью строку. (8) Первую строку разделили на 13. Третью строку разделили «обратно» на –13. (9) Наименьшее общее кратное ненулевых чисел второго столбца (8 и 44) равно 88. Первую строку умножили на 11, вторую строку умножили на –2. (10) К первой строке прибавили вторую строку. (11) Первую строку разделили на 3, вторую строку разделили «обратно» на –2. (12) Теперь на главной диагонали левой матрицы целесообразно получитьнаименьшее общее кратное чисел диагонали (22, 44 и 4-х). Это число 44. Первую строку умножили на 2, третью строку умножили на 11. (13) Каждую строку матрицы делим на 44. Данное действие выполняется в последнюю очередь! Таким образом, обратная матрица: Внесение и вынесение -ой, в принципе, лишние действия, но того требует протокол оформления задачи. Ответ: Проверка выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке об обратной матрице. Продвинутые люди могут сократить и несколько видоизменить решение, но должен предупредить, отклонение от курса чревато повышенным риском допустить ошибку. По моему мнению, предложенная схема если и не самая, то одна из самых надёжных. Аналогичное задание для самостоятельного решения: Пример 5 Найти обратную матрицу методом Жордано-Гаусса. Примерный образец оформления внизу страницы. Иногда бывает удобно более короткое «модернистское» решение, которое заключается в следующем: на первом шаге всё как обычно: . На втором шаге накатанным приёмом (через НОК чисел 2-го столбца) организуются сразу два нуля во втором столбце: . Перед данным действием особенно трудно устоять, если во 2-ом столбце нарисовались одинаковые по модулю числа, например, «единицы». И, наконец, на третьем шаге точно так же получаем нужные нули в третьем столбце: . Живой пример авангарда можно посмотреть во втором задании урока о решении системы в различных базисах. Что касается размерности, то в 98-99% случаев приходится разруливать матрицу «три на три». Пару раз в пятилетку попадается лайт-версия задачи с матрицей «два на два». Алгоритм, как вы догадываетесь, аналогичный. В самом тяжелом случае через НОК чисел 1-го столбца получаем ноль слева внизу, а затем с помощью НОК чисел 2-го столбца организуем ноль вверху данного столбца. И заключительный совет – после таких примеров очень полезна гимнастика для глаз и какая-нибудь хорошая музыка для релаксации =) Желаю успехов! Решения и ответы: Пример 3: Решение: запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований получим базисное решение: Пример 5: Решение: обратную матрицу найдём с помощью элементарных преобразований: |
В наиболее распространенном случае получаются стандартные ступеньки , и так каждый день…. Одно и то же – как беспросветный ноябрьский дождь.
К первой строке прибавили третью строку.
К первой строке прибавили третью строку.
Образец такого решения есть в Примере №7 статьи ободнородных системах линейных уравнений, причём там выбран другой базис.
За годы практики мне удалось отшлифовать, не скажу, что самую лучшую, но рациональную и достаточно лёгкую методику, которая доступна всем, кто владеет арифметическими действиями!
Отработаем на реальных примерах алгоритм, который я считаю наиболее выгодным. Как правило, вам будет предложена матрица «три на три»:
Матрица «четыре на четыре» мне встречалась всего один раз – много-много лет назад в собственной вузовской контрольной. К слову, для неё использование метода Жордано-Гаусса куда менее трудозатратно, нежели обычное решение через алгебраические дополнения.
Первую строку умножили на 5, вторую строку умножили на –3, третью строку умножили на 15.
редукция Гаусса-Жордана
Редукция Гаусса-Жордана является расширением алгоритма исключения Гаусса. Он создает матрицу, называемую , сокращенной формой эшелона строк , следующим образом: после выполнения исключения Гаусса продолжайте, заменяя все ненулевые элементы выше ведущих на ноль.
Результирующая матрица выглядит примерно так:
Приведенная выше матрица дает представление о том, чего мы хотим. Обратите внимание, что линия лестницы, проведенная через матрицу, имеет все элементы под ней, равные нулю. Записи, отмеченные символом \(*\), могут принимать любое значение.
Определение 2.6.2. Эшелонная форма уменьшенного ряда.
Матрица представляет собой сокращенную ступенчатую форму строки , если
Каждая ведущая запись является ведущей.
Каждая запись ниже и выше начинается с \(0\text{.}\)
По мере продвижения вниз по матрице ведущие перемещаются вправо.
Любые все нулевые строки находятся внизу.
Для полноты картины мы подробно опишем алгоритм редукции Гаусса-Жордана. Как и при исключении Гаусса, столбцы матрицы обрабатываются слева направо.
Начните с первого столбца. Если все записи равны нулю, перейдите к следующему столбцу справа.
Если, наоборот, в столбце есть ненулевые записи, при необходимости поменять местами строки, чтобы получить ненулевую запись сверху.
Умножьте верхнюю строку на константу, чтобы изменить ненулевую запись на (начальную) единицу.
Если выше или ниже этой (ведущей) записи есть ненулевые записи, используйте элементарную операцию со строками для каждой из них, чтобы изменить ее на ноль.
Теперь рассмотрим часть матрицы ниже верхней строки и правее рассматриваемого столбца: если таких строк или столбцов нет, останавливаемся и алгоритм завершается. В противном случае выполните ту же процедуру на новой матрице.
Пример 2.6.3. Приведение матрицы к сокращенному эшелонированному виду строк.
\(\ начало {выравнивание} \amp \begin{bmatrix} 1\амп 2\амп 3\ 4\амп 5\амп 6\ 7\амп 8\амп 9\ 10 А 12 А 15 \end{bmatrix} \amp \amp \начать{массив}{л} R_2\получает R_2-4R_1\\ R_3\получает R_3-7R_1\\ R_4\получает R_4-10R_1 \конец{массив}\\[6pt] \amp \begin{bmatrix} 1\амп 2\амп 3\ 0 \ампер -3 \ампер -6 \\ 0 \ампер -6 \ампер -12 \\ 0 \амп -8 \ампер -15 \end{bmatrix} \amp \amp \начать{массив}{л} R_2\gets -\tfrac13 R_2 \конец{массив}\\[6pt] \amp \begin{bmatrix} 1\амп 2\амп 3\ 0 \ампер 1 \ампер 2 \\ 0 \ампер -6 \ампер -12 \\ 0 \амп -8 \ампер -15 \end{bmatrix} \amp \amp \начать{массив}{л} R_1\получает R_1-2R_2\\ R_3\получает R_3+6R_2\\ R_4\получает R_4+8R_2 \конец{массив}\\[6pt] \amp \begin{bmatrix} 1 \ампер 0 \ампер -1 \\ 0 \ампер 1 \ампер 2 \\ 0 \ампер 0 \ампер 0 \\ 0 \амп 0 \ампер 1 \end{bmatrix} \amp \amp \начать{массив}{л} R_3\стрелка влево и вправо R_4 \\ \конец{массив}\\[6pt] \amp \begin{bmatrix} 1 \ампер 0 \ампер -1 \\ 0 \ампер 1 \ампер 2 \\ 0 \ампер 0 \ампер 1 \\ 0 \амп 0 \ампер 0 \end{bmatrix} \amp \amp \начать{массив}{л} R_1 \получает R_1+R_3 \\ R_2\получает R_2-2R_3 \конец{массив}\\[6pt] \amp \begin{bmatrix} 1 \ампер 0 \ампер 0 \\ 0 \амп 1 \ампер 0 \\ 0 \ампер 0 \ампер 1 \\ 0 \амп 0 \ампер 0 \end{bmatrix} \end{выравнивание} \)
Пример 2.
6.4. Помещение другой матрицы в сокращенную ступенчатую форму строк.\(\ начало {выравнивание} \amp \begin{bmatrix} 1 \усилитель 2 \усилитель 6 \усилитель 1 \усилитель 4 \усилитель 6\ 2 \усилитель 4 \усилитель 9 \усилитель 2 \усилитель 8 \усилитель 9\ 1 \amp 2 \amp 9 \amp 2 \amp 10 \amp 9 \end{bmatrix}\усилитель \усилитель \начать{массив}{с} R_2 \получает R_2-2R_1\ R_3 \получает R_3-R_1 \конец{массив}\\[6pt] \amp \begin{bmatrix} 1 \усилитель 2 \усилитель 6 \усилитель 1 \усилитель 4 \усилитель 6\ 0 \amp 0 \amp -3 \amp 0 \amp 0 \amp -3 \\ 0 \ амп 0 \ амп 3 \ амп 1 \ амп 6 \ амп 3 \end{bmatrix}\усилитель \усилитель \начать{массив}{с} R_2 \получает -\tfrac13R_2 \конец{массив}\\[6pt] \amp \begin{bmatrix} 1 \усилитель 2 \усилитель 6 \усилитель 1 \усилитель 4 \усилитель 6\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \\ 0 \ амп 0 \ амп 3 \ амп 1 \ амп 6 \ амп 3 \end{bmatrix}\усилитель \усилитель \начать{массив}{с} R_1 \получает R_1 -6R_2\\ R_3 \получает R_3 -3R_2 \конец{массив}\\[6pt] \amp \begin{bmatrix} 1 \amp 2 \amp 0 \amp 1 \amp 4 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp 6 \amp 0 \end{bmatrix}\усилитель \усилитель \начать{массив}{с} R_1 \получает R_1 — R_3 \конец{массив}\\[6pt] \amp \begin{bmatrix} 1 \amp 2 \amp 0 \amp 0 \amp -2 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp 6 \amp 0 \end{bmatrix} \конец{выравнивание}\)
Обратите внимание на шаблон нулевых, 1 и ненулевых записей после редукции Гаусса-Жордана (с ведущими красными):
\begin{уравнение*} \left[\begin{массив}{ccccccc} {{\color{red}1}} \amp 0 \amp 0 \amp * \amp 0 \amp \cdots \amp *\\ 0 \amp {\color{red}1} \amp 0 \amp * \amp 0 \amp \cdots \amp *\\ 0 \amp 0 \amp {\color{red}1}\amp * \amp 0 \amp \cdots \amp *\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp {\color{red}1} \amp\cdots \amp *\\ \конец{массив}\справа] \end{уравнение*}
Теперь, когда мы можем представить матрицу в виде сокращенного эшелона строк, давайте посмотрим, что это означает для нахождения всех решений связанной системы линейных уравнений.
Помните, что первые столбцы \(n\) соответствуют коэффициентам переменных \(x_1,x_2,\dots,x_n\text{,}\), а последний столбец соответствует константам в правой части уравнений. Каждый столбец либо содержит ведущий, либо нет. Если да, то соответствующая переменная называется ограниченной или базовый . Если нет, переменная называется свободной. Каждой свободной переменной назначается параметр, который может принимать любое число при поиске решения. Значения переменных с ограничениями затем определяются формой сокращенного эшелона строк.
В качестве примера предположим, что у нас есть система линейных уравнений, расширенная матрица которой имеет следующую сокращенную ступенчатую форму строк:
\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} {\ color {red} 1} \amp 2 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 1\\ 0 \amp 0 \amp {\color{red}1}\amp 2 \amp 0 \amp 2\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp {\color{red}1} \amp 3 \end{bmatrix} \end{уравнение*}
Обратите внимание, что это означает, что наша система имеет три уравнения и пять неизвестных.
Ведущие находятся в столбцах один, три и пять, поэтому \(x_1\text{,}\) \(x_3\) и \(x_5\) являются переменными с ограничениями. Это оставляет \(x_2\) и \(x_4\) свободными переменными. Мы назначаем параметры свободным переменным: \(x_2=s\) и \(x_4=t\text{.}\). Затем строки матрицы определяют ограниченные переменные:
\(x_5=3\) из нижнего ряда
\(x_3 = 2-2t\) из среднего ряда
\(x_1=1-2s-t\) из верхней строки
Компактный способ записи: \((x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) = (1-2s-t,s,2-2t,t,3).\)
Обратите внимание на роль нулей над и под каждой ведущей единицей: оценка переменной с ограничениями включает только свободные переменные.
Подводя итог, можно сказать следующее:
Если приведенная ступенчатая форма строки имеет строку вида \([0,0,\dots,0,1]\text{,}\), то система линейных уравнений не имеет решения.
Если в приведенной эшелонированной форме строк нет свободных переменных, то она выглядит так:
\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1 \amp 0 \amp 0 \amp \cdots \amp 0 \amp 0 \amp c_1\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp \cdots \amp 0 \amp 0 \amp c_2\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp \cdots \amp 0 \amp 0 \amp c_3\\ \усилитель \усилитель \усилитель \вдоц \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp \cdots \amp 1 \amp 0 \amp c_{n-1}\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp \cdots \amp 0 \amp 1 \amp c_n \end{bmatrix} \end{уравнение*}
и существует единственное решение, а именно \(x_1=c_1, x_2=c_2,\dots x_n=c_n\text{.
}\)Если редуцированная ступенчатая форма строки имеет свободные переменные, то существует бесконечное число решений. Действительно, параметр, присвоенный любой свободной переменной, может принимать бесконечное количество значений.
}\)Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:
\begin{уравнение*} \начать{массив}{rl} х_1-х_2+2х_3-х_4 \amp = -1 \\ 2x_1+x_2-2x_3-2x_4 \амп = -2 \\ -x_1+2x_2-4x_3+x_4 \амп = 1 \\ 3x_1-3x_4 \амп = -3 \конец{массив} \end{уравнение*}
Затем расширенная матрица преобразуется в уменьшенную ступенчатую форму строк:
\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1 \амп -1 \ампер 2 \ампер -1 \ампер -1\\ 2 \амп 1 \амп -2 \амп -2 \амп -2\\ -1 \амп 2 \ампер -4 \ампер 1 \ампер 1\\ 3 \amp 0 \amp 0 \amp -3 \amp -3 \end{bmatrix} \end{уравнение*}
\begin{уравнение*} \начать{массив}{rl} R_2 \усилитель\получает R_2-2R_1\\ R_3 \amp\получает R_3+R_1\\ R_4 \amp\gets R_4-3R_1 \конец{массив} \end{уравнение*}
\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1 \амп -1 \ампер 2 \ампер -1 \ампер -1\\ 0 \amp 3 \amp -6 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp -2 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 3 \amp -6 \amp 0 \amp 0 \end{bmatrix} \end{уравнение*}
\begin{уравнение*} \начать{массив}{rl} R_2 \amp\gets\tfrac13 R_2\\ \конец{массив} \end{уравнение*}
\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1 \амп -1 \ампер 2 \ампер -1 \ампер -1\\ 0 \amp 1 \amp -2 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp -2 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 3 \amp -6 \amp 0 \amp 0 \end{bmatrix} \end{уравнение*}
\begin{уравнение*} \начать{массив}{rl} R_1 \amp\получает R_1 + R_2\\ R_3 \амп\получает R_3- R_2\\ R_4 \amp\gets R_4- 3R_2 \конец{массив} \end{уравнение*}
\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} {\ color {red} 1} \amp 0 \amp 0 \amp -1 \amp -1\\ 0 \amp {\color{красный} 1} \amp -2 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \end{bmatrix} \end{уравнение*}
Поскольку \(x_3\) и \(x_4\) являются свободными переменными, мы назначаем им параметры: \(x_3=s\) и \(x_4=t\text{.
}\) Теперь мы можем вычислить ограниченные переменные: \(x_1=-1+t\) (из первой строки) и \(x_2=2s\) (из второй строки). Короче говоря, \((x_1,x_2,x_3,x_4)=(-1+t,2s,s,t)\) для любого выбора \(s\) или \(t\text{.}\)
Теперь для проверки подставим эти решения обратно в исходные уравнения. \(\begin{массив}{rlll} x_1-x_2+2x_3-x_4 \amp =\amp (-1+t) — (2s) + 2(s) — (t) \amp= -1\\ 2x_1+x_2-2x_3-2x_4 \amp=\amp 2(-1+t) + 2s -2s-2t \amp= -2\\ -x_1+2x_2-4x_3+x_4 \amp =\amp -(-1+t) +2(2s) -4s+t \amp= 1 \\ 3x_1-3x_4 \amp =\amp 3(-1+t) -3t \amp= -3 \конец{массив}\)
Пример 2.6.5. Матрица, уменьшающая строку.
Следующий пример представляет собой сокращение строки матрицы. Обратите внимание, как он движется слева направо в столбцах, и каждый столбец с ведущей единицей имеет нули сверху и снизу, когда алгоритм завершает работу.
Рисунок 2.6.6. Строка матрицы сама сокращается 90 152 Подраздел 2.6.1 Ранг матрицыОпределение 2.6.7.
ранг матрицы — это количество старших единиц в редуцированной ступенчатой форме строк.
Начиная с матрицы
\begin{уравнение*} А= \begin{bmatrix} 1\амп 2\амп 3\амп 4\амп 5 \\ 6\амп 7\амп 8\амп 9\амп 10\\ 11\амп 12\амп 13\амп 14\амп 15 \\ \end{bmatrix} \end{уравнение*}
имеет уменьшенную эшелонированную форму ряда
.\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\амп 0\амп -1\амп -2\амп -3 \\ 0\амп 1\амп 2\амп 3\амп 4 \\ 0\amp 0\amp 0\amp 0\amp 0 \\ \end{bmatrix} \end{уравнение*}
ранг \(A\) равен \(2\text{.}\)
Упражнения 2.6.2 Упражнения
Приведите следующие матрицы к сокращенной ступенчатой форме строк.
1.
\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 2\amp4\amp6\amp8\\ 3\amp6\amp9\amp10 \end{bmatrix} \end{уравнение*}
Решение
\начало{уравнение*} \begin{bmatrix} 2\amp4\amp6\amp8\\ 3\amp6\amp9\amp10 \end{bmatrix}\\ \rowmul1{\frac12}\\ \begin{bmatrix} 1\amp2\amp3\amp4\\ 3\amp6\amp9\amp10 \end{bmatrix}\\ \rowsub231\\ \begin{bmatrix} 1\amp2\amp3\amp4\\ 0\amp0\amp0\amp-2 \end{bmatrix}\\ \rowmul 2{-\frac12}\\ \begin{bmatrix} 1\amp2\amp3\amp4\\ 0\amp0\amp0\amp1 \end{bmatrix}\\ \rowsub142\\ \begin{bmatrix} 1\amp2\amp3\amp0\\ 0\amp0\amp0\amp1 \end{bmatrix} \end{уравнение*}
2.
\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 0 \ампер 1 \ампер -1\\ 1 \ампер 0 \ампер -1\\ 1 амп -1 амп 0 \end{bmatrix} \end{уравнение*}
Решение
\начало{уравнение*} \begin{bmatrix} 0 \ампер 1 \ампер -1\\ 1 \ампер 0 \ампер -1\\ 1 амп -1 амп 0 \end{bmatrix}\\ \Ровинт 12\\ \begin{bmatrix} 1 \ампер 0 \ампер -1\\ 0 \ампер 1 \ампер -1\\ 1 амп -1 амп 0 \end{bmatrix}\\ \rowsub 3{}1\\ \begin{bmatrix} 1 \ампер 0 \ампер -1\\ 0 \ампер 1 \ампер -1\\ 0 \амп -1 \ампер 1 \end{bmatrix}\\ \rowadd3{}2\\ \begin{bmatrix} 1 \ампер 0 \ампер -1\\ 0 \ампер 1 \ампер -1\\ 0 \амп 0 \ампер 0 \end{bmatrix}\\ \end{уравнение*}
3.
\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\усилитель 2\усилитель3\\ 4\amp5\amp6\\ 7\amp8\amp9 \end{bmatrix} \end{уравнение*}
Решение
\начало{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\усилитель 2\усилитель3\\ 4\amp5\amp6\\ 7\amp8\amp9 \end{bmatrix}\\ \rowsub241\\ \rowsub371\\ \begin{bmatrix} 1\усилитель 2\усилитель3\\ 0\амп-3\амп-6\\ 0\амп-6\амп-12 \end{bmatrix}\\ \rowmul2{-\frac13}\\ \begin{bmatrix} 1\усилитель 2\усилитель3\\ 0\amp1\amp2\\ 0\амп-6\амп-12 \end{bmatrix}\\ \rowsub 122\\ \begin{bmatrix} 1\ампер 0\амп-1\\ 0\amp1\amp2\\ 0\амп-6\амп-12 \end{bmatrix}\\ \rowadd 362\\ \begin{bmatrix} 1\ампер 0\амп-1\\ 0\amp1\amp2\\ 0\amp0\amp0 \end{bmatrix} \end{уравнение*}
4.
\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\amp2\\ 1\amp3 \\1\amp4 \end{bmatrix} \end{уравнение*}
Решение
\начало{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\amp2\\ 1\amp3 \\1\amp4 \end{bmatrix}\\ \rowsub 2 {} 1\\ \rowsub 3 {} 1\\ \begin{bmatrix} 1\amp2\\ 0\amp1 \\0\amp2 \end{bmatrix}\\ \rowsub 1 2 2\\ \rowsub 3 2 2\\ \begin{bmatrix} 1\amp0\\ 0\amp1 \\0\amp0 \end{bmatrix}\\ \end{уравнение*}
5.
\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 0\амп 1\амп 2\амп 3\амп 4 \\ 4\усилитель 3\усилитель 2\усилитель 1\усилитель 0 \end{bmatrix} \end{уравнение*}
Решение
\начало{уравнение*} \begin{bmatrix} 0\амп 1\амп 2\амп 3\амп 4 \\ 4\усилитель 3\усилитель 2\усилитель 1\усилитель 0 \end{bmatrix}\\ \rowint12\\ \begin{bmatrix} 4\амп 3\амп 2\амп 1\амп 0 \\ 0\амп 1\амп 2\амп 3\амп 4 \end{bmatrix}\\ \rowmul1{\frac14}\\ \begin{bmatrix} 1\amp\frac34\amp\frac12\amp\frac14\amp 0 \\ 0\амп 1\амп 2\амп 3\амп 4 \end{bmatrix}\\ \ rowsub 1 {\ frac34} 2 \\ \begin{bmatrix} 1\амп 0\амп -1\амп -2\амп -3 \\ 0\амп 1\амп 2\амп 3\амп 4 \end{bmatrix} \end{уравнение*}
Рассмотрим систему четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными:
\begin{gather*} а_{1,1}х_1+а_{1,2}х_2+а_{1,3}х_3+а_{1,4}х_4=b_1\\ а_{2,1}х_1+а_{2,2}х_2+а_{2,3}х_3+а_{2,4}х_4=b_2\\ а_{3,1}х_1+а_{2,2}х_2+а_{3,3}х_3+а_{3,4}х_4=b_3\\ а_{4,1}х_1+а_{4,2}х_2+а_{4,3}х_3+а_{4,4}х_4=b_4 \end{gather*}
В каждом случае предположим, что данная матрица представляет собой сокращенную ступенчатую форму расширенной матрицы.
Найдите все решения. к исходной системе линейных уравнений.
6.
\(\begin{bmatrix} 1\ампер 0 \амп 0 \амп 0 \амп 1 \\ 0\amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp -1 \\ 0\ампер 0 \амп 1 \амп 0 \амп 2 \\ 0\ампер 0 \амп 0 \амп 1 \амп 3 \\ \end{bmatrix}\)
Решение
\(x_1=1\text{,}\) \(x_2=-1\text{,}\) \(x_3=2\) и \(x_4=3\) является единственным решением.
7.
\(\begin{bmatrix} 1\ампер 0 \амп 0 \амп 0 \амп 1 \\ 0\amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp -1 \\ 0\ампер 0 \амп 1 \амп 3 \амп 2 \\ 0\amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \\ \end{bmatrix}\)
Решение
Последняя строка удовлетворяет условию отсутствия решения.
8.
\(\begin{bmatrix} 1\ампер 0 \амп 0 \амп 1 \амп 1 \\ 0\amp 1 \amp 0 \amp -1 \amp -1 \\ 0\ампер 0 \амп 1 \амп 3 \амп 2 \\ 0\amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ \end{bmatrix}\)
Решение
\(x_4=t\), так как это свободная переменная.
Из строки 1 имеем \(x_1=1-t\)
Из строки 2 имеем \(x_2=-1+t\)
Из строки 3 имеем \(x_3=2-3t \)
Другими словами, \((x_1,x_2,x_3,x_4)=(1-t,-1+t,2-3t,t)\text{.}\)
9.
\(\begin{bmatrix} 1\ампер -2 \ампер 0 \ампер 3 \ампер -1 \\ 0\ампер 0 \амп 1 \амп 1 \амп 2 \\ 0\amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ 0\amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ \end{bmatrix}\)
Решение
\(x_2=t\) и \(x_4=u\), поскольку они являются свободными переменными.
Из строки 1 имеем \(x_1=-1+2t-3u\)
Из строки 2 имеем \(x_3=2-u\)
Другими словами, \((x_1,x_2, x_3,x_4)=(-1+2t-3u,t,2-u,u)\text{.}\)
Найти все решений следующих систем линейных уравнений
10.
\начать{собирать*} х+2у-г=2\\ х+у-г=0\\ 2х-у+г=3 \конец{собрать*}
Решение
Поместим расширенную матрицу в сокращенную эшелонированную форму строк: \(\begin{bmatrix} 1 \amp 2 \amp -1 \amp 2\\ 1 \amp 1 \amp -1 \amp 0\\ 2 \ампер -1 \ампер 1 \ампер 3\\ \end{bmatrix} \\ \начать{массив}{л} R_2\получает R_2 — R_1\\ R_3\получает R_3-2R_1 \конец{массив} \\ \begin{bmatrix} 1 \amp 2 \amp -1 \amp 2\\ 0 \amp -1 \amp 0 \amp -2\\ 0 \amp -5 \amp 3 \amp -1\\ \end{bmatrix} \\ \начать{массив}{л} R_2\получает -R_2\\ \конец{массив} \\ \begin{bmatrix} 1 \amp 2 \amp -1 \amp 2\\ 0 \усилитель 1 \усилитель 0 \усилитель 2\\ 0 \amp -5 \amp 3 \amp -1\\ \end{bmatrix} \\ R_3\получает R_3-5R_2 \\ \begin{bmatrix} 1 \amp 2 \amp -1 \amp 2\\ 0 \усилитель 1 \усилитель 0 \усилитель 2\\ 0 амп 0 амп 3 амп 9\\ \end{bmatrix} \\ R_3\gets\frac13 R_3 \\ \begin{bmatrix} 1 \amp 2 \amp -1 \amp 2\\ 0 \усилитель 1 \усилитель 0 \усилитель 2\\ 0 \усилитель 0 \усилитель 1 \усилитель 3\\ \end{bматрица} \\ R_1\получает R_1-2R_2 \\ \begin{bmatrix} 1 \amp 0 \amp -1 \amp-2\\ 0 \усилитель 1 \усилитель 0 \усилитель 2\\ 0 \усилитель 0 \усилитель 1 \усилитель 3\\ \end{bматрица} \\ R_1 \получает R_1+R_3 \\ \begin{bmatrix} 1 \amp 0 \amp 0 \amp1\\ 0 \усилитель 1 \усилитель 0 \усилитель 2\\ 0 \усилитель 0 \усилитель 1 \усилитель 3\\ \end{bmatrix} \\\) Первая, вторая и третья строки дают нам соответственно
\begin{equation*} \begin{матрица} х=1\\у=2\\г=3 \end{матрица} \end{уравнение*}
11.
\начать{собирать*} х+2у+г=0\\ х+у+2г=5\\ -х+у+г=0 \конец{собрать*}
Решение
\(\begin{bmatrix}
1 \усилитель 2 \усилитель 1 \усилитель 0\\
1 \усилитель 1 \усилитель 2 \усилитель 5\\
-1 \амп 1 \ампер 1 \ампер 0
\end{bmatrix}\\
\rowsub 211\\
\rowadd 3{}1\\
\begin{bmatrix}
1 \усилитель 2 \усилитель 1 \усилитель 0\\
0 \amp -1 \amp 1 \amp 5\\
0 \ ампер 3 \ ампер 2 \ ампер 0
\end{bmatrix}\\
\rowmul 2{-}\\
\begin{bmatrix}
1 \усилитель 2 \усилитель 1 \усилитель 0\\
0 \amp 1 \amp -1 \amp -5\\
0 \ ампер 3 \ ампер 2 \ ампер 0
\end{bmatrix}\\
\rowsub122\\
\rowsub332\\
\begin{bmatrix}
1 \амп 0 \амп 3 \ампер 10\\
0 \amp 1 \amp -1 \amp -5\\
0 амп 0 амп 5 амп 15
\end{bmatrix}\\
\rowmul3{\frac15}\\
\begin{bmatrix}
1 \амп 0 \амп 3 \ампер 10\\
0 \amp 1 \amp -1 \amp -5\\
0 амп 0 амп 1 амп 3
\end{bmatrix}\\
\rowsub 133\\
\rowadd 3{}2\\
\begin{bmatrix}
1 \усилитель 0 \усилитель 0 \усилитель 1\\
0 \amp 1 \amp 0 \amp -2\\
0 амп 0 амп 1 амп 3
\end{bmatrix}\\\), поэтому единственным решением является \((x,y,z)=(1,-2,3)\text{.
}\)
12.
\начать{собирать*} х+у-z-w=2\\ х-у-г+ш=4\\ 2x+y-z+w=1 \конец{собрать*}
Решение
\(\begin{bmatrix}
1 \amp 1 \amp -1 \amp -1 \amp 2\\
1 \amp -1 \amp -1 \amp 1 \amp 4\\
2 \amp 1 \amp -1 \amp 1 \amp 1
\end{bматрица} \\
\rowsub 2{}1\\
\rowsub 321\\
\begin{bmatrix}
1 \amp 1 \amp -1 \amp -1 \amp 2\\
0 \amp -2 \amp 0 \amp 2 \amp 2\\
0 \амп -1 \ампер 1 \ампер 3 \ампер -3
\end{bматрица} \\
\rowmul2{-\frac12}\\
\begin{bmatrix}
1 \amp 1 \amp -1 \amp -1 \amp 2\\
0 \amp 1 \amp 0 \amp -1 \amp -1\\
0 \амп -1 \ампер 1 \ампер 3 \ампер -3
\end{bматрица} \\
\rowsub1{}2\\
\rowadd3{}2\\
\begin{bmatrix}
1 \amp 0 \amp -1 \amp 0 \amp 3\\
0 \amp 1 \amp 0 \amp -1 \amp -1\\
0 амп 0 амп 1 амп 2 амп -4
\end{bматрица} \\
\rowadd1{}3\\
\begin{bmatrix}
1 \amp 0 \amp 0 \amp 2 \amp -1\\
0 \amp 1 \amp 0 \amp -1 \amp -1\\
0 амп 0 амп 1 амп 2 амп -4
\end{bmatrix} \) и поэтому \(w\) является свободной переменной, которую можно установить равной \(t\text{.
}\) Это дает \((x,y,z,w)=(- 1-2t, -1+t, -4-2t,t)\text{.}\)
13.
\начать{собирать*} х-у=0\\ у-г=0\\ х-г=0 \конец{собрать*}
Ясно, что если \(x=y\) и \(y=z\text{,}\), то у нас есть решение этой системы. Покажите, что каждое решение имеет этот вид.
Решение
Поместим расширенную матрицу в сокращенную эшелонированную форму строк: \(\begin{bmatrix}
1 \amp -1 \amp 0 \amp 0\\
0 \amp 1 \amp -1 \amp 0\\
1 \amp 0 \amp -1 \amp 0\\
\end{bmatrix}\\
\rowsub3{}1\\
\begin{bmatrix}
1 \amp -1 \amp 0 \amp 0\\
0 \amp 1 \amp -1 \amp 0\\
0 \amp 1\amp -1 \amp 0\\
\end{bmatrix}\\
\rowadd1{}2\\
\begin{bmatrix}
1 \amp 0\amp -1 \amp 0\\
0 \amp 1 \amp -1 \amp 0\\
0 \amp 1\amp -1 \amp 0\\
\end{bmatrix}\\
\rowsub3{}2\\
\begin{bmatrix}
1 \amp 0 \amp -1 \amp 0\\
0 \amp 1 \amp -1 \amp 0\\
0 \усилитель 0\усилитель 0 \усилитель 0\\
\end{bmatrix}\) Тогда мы имеем, что \(z\) — свободная переменная, которой можно присвоить значение \(t\text{.}\) Тогда все решения имеют вид \((x,y,z )=(t,t,t)\text{,}\), из чего следует, что \(x=y\) и \(y=z\text{.