Как решить уравнение графически: Графическое решение уравнений — урок. Алгебра, 7 класс.

Графическое решение уравнений и неравенств

 В предыдущей главе мы решали уравнения и неравенства аналитически, и сейчас вдохнём в эти задачи геометрический смысл. И это вас вдохновит! – это будет просто, это будет круто и это будет красиво! А, главное, чрезвычайно полезно. Сначала частный случай. Чтобы решить уравнение вида , нужно построить график функции  и посмотреть, где он пересекает ось абсцисс. Там и находятся корни. Если точек пересечения нет, то уравнение не имеет действительных решений. Так, при решении квадратного уравнения  через дискриминант мы получили корни , но здесь можно просто построить параболу, и всё понятно без комментариев. Решением неравенства  являются те промежутки, на которых график  выше оси , и, наоборот,  – там, где график  ниже оси. Таким образом, вместо того, чтобы вымучивать неравенство  методом интервалов, просто смотрим на график и ответ готов: . Соответственно, решением неравенства  является интервал . В случае нестрогих неравенств  к решениям нужно добавить пограничные точки:  и  соответственно. А если вам не хочется возиться с нахождением опорных точек, «тыкая в них наугад» (ведь параболы бывают большие, размашистые), то есть общий случай: Чтобы решить уравнение , нужно построить графики  и найти их точки пересечения. «Иксовые» координаты этих точек и будут решениями. Если графики не пересекаются, то действительных решений нет. Таким образом, вместо решения уравнения  с вычерчиванием параболы, представим его в виде   и изобразим элементарные графики: Подчёркиваю ещё раз, что решением являются «иксовые» координаты точек пересечения. Решением неравенства  являются те промежутки, на которых график  выше графика , и, наоборот:  – там, где график  ниже графика . Так, решением неравенства  являются промежутки  – поскольку на них парабола расположена выше прямой. И, наоборот, решением неравенства   является промежуток , так как здесь парабола расположена ниже прямой. Аналогично для нестрогих неравенств. Кстати, всем ли понятно, как из общих правил  получаются частные правила для  и ?  Элементарно. Это тот случай, когда , а эта функция задаёт ось . Когда удобно использовать графический метод? Прежде всего, в простых случаях. Так, при решении неравенства  проще мысленно представить гиперболу, нежели использовать метод интервалов. Где гипербола выше оси ? На интервале . Неравенству  соответствует левая ветвь, которая лежит под осью, на интервале . И ещё этот метод хорош для лучшего понимания математики. Графический способ спасёт в экстремальных ситуациях, например, когда вы позабыли, как решать квадратное уравнение, а помощи ждать неоткуда. Используйте приём, описанный выше – вместо уравнения  рассмотрИте  с двумя простыми графиками, не построить которые – эт нужно постараться 🙂 Иногда графика эффективна в уравнениях «разнородными» функциями. Так, для решения уравнения  не существует стандартных аналитических методов, но это не беда. Мысленно представляем график  и график синуса  (о котором позже), после чего сразу понятно, что уравнение имеет единственный корень . Кстати, в некоторых задачах нужно просто определить количество корней и / или их приблизительное расположение, и на этот вопрос зачастую легко ответит чертёж! Разумеется, графики должны быть простыми – это важнейшее условие применения графического метода. Ибо строить  для решения   – затея как-то не очень 🙂 Уж лучше метод интервалов. И после этого невероятно полезного параграфа возвращается к нашим функциям: 3.6. Показательная функция 3.4. СтепеннАя функция | Оглавление | 

Графическое решение уравнений

Задание. Решить уравнение ax² + bx + c = e^sin(hx+k) в диапазоне -2 ≤ x ≤ 2 при a=2, b=3

, c=1, h=0.5, k=1.

Для этого необходимо сначала построить таблицу и графики функций:

f₁ = ax² + bx + c

f₂ = e^sin(hx+k)

В ячейки D4:D12 таблицы с начальными условиями запишем последовательно текстовые подсказки для исходных данных: Xn, Xk, N, dX, a, b, c, h, k.

Зададим количество точек по оси X (количество строк таблицы) равным, например, N=15.

Заполним ячейки E4:E6 начальными значениями Xn, Xk, N, соответственно.

Из формулы для определения количества значений функций (строк таблицы) из предыдущего раздела:

Получим формулу для вычисления шага (приращения) по оси X:

Поэтому в ячейку E7 записываем формулу =(E5-E4)/(E6-1). Значение этой ячейки мы будем использовать для приращения аргумента функций X в основной таблице. В ячейки E8:E12 заносим значения коэффициентов a, b, c, h, k. Добавим еще две ячейки с ограничениями F4, F5:

Теперь заполняем шапку основной таблицы:

В данной задаче (как и в задаче табулирования функции) текущее значение X должно выражаться через относительный адрес (ссылка на предыдущую ячейку в столбце), а шаг изменения dX — через абсолютный адрес $E$7.

Это позволит использовать автозаполнение.

Записываем в ячейку A15 формулу =E4 (или =$E$4 — здесь это неважно, поскольку мы не собираемся копировать эту ячейку) — это начальное значение аргумента функций X равное Xn.

Заносим в ячейку A16 формулу =A15+$E$7 — эта формула вычисляет текущее значение аргумента X = X + dX.

Теперь выполняем автозаполнение (распространяем формулу из ячейки A16 на ячейки A17:A29). Для этого выделяем ячейку A16, перемещаем указатель мыши на маркер автозаполнения и “растягиваем” формулу до ячейки A29.

В результате этого будет заполнен первый столбец основной таблицы, содержащий значения аргумента функций

X:

Записываем формулы для функций f₁(x) и f₂(x) в ячейки B15 и C15, используя в качестве аргумента x относительную ссылку на ячейку A15. 2+$E$9*A15+$E$10.

В ячейку C15 вводим формулу =EXP(SIN($E$11*A15+$E$12)).

В ячейку D15 заносим формулу разности функций =B15-C15 (адреса используем относительные, поскольку они должны меняться в каждой строке).

Теперь с помощью автозаполнения заполняем сразу три столбца (выделяем три смежные ячейки B15:D15, перемещаем указатель мыши на маркер автозаполнения (правый нижний угол самой правой ячейки

D15) и “растягиваем” сразу три формулы до 29-ой строки):

Затем нарисуем диаграмму. Выделяем всю таблицу с шапкой А14:D29, затем щелкаем по большой кнопке Точечная в группе Диаграмма на вкладке Вставка и выбираем Точечная с гладкими кривыми и маркерами:

В результате получится диаграмма следующего вида:

Корни уравнения находятся на пересечении графиков функций f₁(x) и f₂(x), то есть там, где третий (разностный) график f₁(x) и f₂(x) пересекает ось x (в четвертом столбце таблицы меняется знак). В этой задаче при заданных исходных данных получаем приближенное решение уравнения X1 ≈ -1,6 (значение

x находится в промежутке между второй и третьей строчками таблицы) и X2 ≈ +0,4 (значение x находится в промежутке между девятой и десятой строчками таблицы).

Это и есть графическое решение уравнения. По полученным графикам функций мы можем судить о количестве корней и их приближенному значению. Точное решение уравнения возможно с помощью инструмента Поиск решения.

« Назад

Вперед »

2.2 — Графическое решение уравнений

2.2 — Графическое решение уравнений

Перехваты

x-пересечение

Точка пересечения с осью X — это точка, в которой график уравнения пересекает ось X. Пересечение по оси x можно найти, подставив y=0 в уравнение и найдя x. Х-пересечение также называется решением, корнем или нулем уравнения.

Y-точка пересечения

Точка пересечения с осью y — это точка пересечения графика уравнения с осью y. Пересечение y можно найти, подставив x=0 в уравнение и найдя y.

Нет требования, чтобы уравнение имело точку пересечения x или y. Это также возможно, что может быть более одного перехвата.

Перехват, корень, ноль, решение?

Следующие операторы эквивалентны:

• Точка (a,0) является точкой пересечения x графика y=f(x)
• x=a является нулем или корнем функции f
• x=a является решением уравнения f(x)=0
• (x-a) является множителем f(x)

Поиск корней с помощью графического калькулятора

Чтобы найти корни функции с помощью графического калькулятора, может потребоваться поставить уравнение в стандартную форму f(x)=0. Для этого вам может понадобиться переместить все в одну сторону уравнения. Неважно, в какую сторону вы переместите термины, решения будет одинаковым в любом случае. Затем нарисуйте уравнение y=f(x) на калькуляторе.

Книга научит вас использовать функции масштабирования и трассировки вашего калькулятора, чтобы найти нули числа. функция. Есть гораздо более простой и точный способ.

1. Используйте клавишу [Calc] (2 ^nd Trace) и выберите опцию zero (TI83) или root (TI82).
2. Когда запрашивается левая или нижняя граница, используйте клавишу со стрелкой влево, чтобы установить курсор на слева от нуля и нажмите клавишу [Enter].
3. Когда он запрашивает правую или верхнюю границу, используйте клавишу со стрелкой вправо, чтобы установить курсор на справа от нуля и нажмите клавишу [Enter].
4. Когда будет запрошено предположение , используйте клавишу со стрелкой влево, чтобы вернуться к точке, ближайшей к х-пересечению, и нажмите клавишу [Enter].
5. Возвращенная координата x представляет собой точку пересечения x, корень, ноль или решение, которое вы ищете.

Метод масштабирования и трассировки будет работать, но гораздо быстрее и точнее использовать параметры в разделе [Расч. ].

Поиск пересечений с помощью графического калькулятора

Чтобы найти пересечение двух уравнений с помощью графического калькулятора, введите две функции введите в калькулятор как y ₁ и y ₂ и нарисуйте их оба. Поиграйте со смотровым окном, пока найди точку пересечения, а потом…

1. Используйте клавишу [Calc] и выберите опцию пересечь .
2. Будет запрошена первая кривая. Если активны только два графика, вы можете просто нажать [Enter] как по умолчанию это первая кривая. Если у вас более двух активных графиков, используйте кнопки вверх или вниз. клавиши со стрелками для выбора нужной функции, а затем нажмите клавишу ввода. Неважно, где на кривая нажимаешь ввод.
3. Он запросит вторую кривую. Если активны только два графика, вы можете просто нажать [Войти]. Используйте клавиши со стрелками вверх или вниз, если вам нужно выбрать другую функцию.
4. Затем он запрашивает предположение . Используйте клавиши со стрелками влево или вправо, чтобы перейти к позиции, близкой к точки пересечения и нажмите [Enter].
5. Возвращаются координаты x и y точки пересечения.

Можно найти решение уравнения в нестандартной форме, если y ₁ сюжет левая часть уравнения, график y ₂ является правой частью уравнения, и с использованием пересекаются с вариантом . Однако гораздо удобнее и экономнее по времени переписать уравнение в стандартной форме и вместо этого используйте опцию zero или root .

Как решать уравнения графически — Помощь с IGCSE GCSE Maths

ДОМ Номер Алгебра и графики Алгебраические манипуляции и представление Введение алгебраического языка Упрощение Расширение Индикации Индикации Индикации . Экспоненциальные функции Уравнения и неравенства Линейные уравнения Построение уравнений Одновременные уравнения. Графики «расстояние-время» Графики «скорость-время» Ускорение и замедление Площадь под графиком «скорость-время» Графики функций Parabolas Graphical Solution of Quadratic Functions Reciprocal Functions Linear Functions Exponential Functions Gradient of a Curve Graphical Solution of Equations Graphing Inequalities Functions Evaluating Functions Inverse of Functions Composite Functions Geometry Mensuration Координатная геометрия Тригонометрия Векторы/матрицы/преобразования Вероятность Статистика

Как решать уравнения графически В этом разделе я объясню вам, как решать уравнения графически. Это типичные вопросы экзаменов IGCSE GCSE по математике, поэтому будьте внимательны во время повторения математики. Я объясню вам шаг за шагом, как вы можете решать уравнения графически, чтобы вы лучше сдавали экзамены по математике. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт