Сокращение алгебраических дробей | Алгебра
Сокращение алгебраических (рациональных) дробей основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.
Сокращать можно только множители!
Члены многочленов сокращать нельзя!
Чтобы сократить алгебраическую дробь, многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, нужно предварительно разложить на множители.
Рассмотрим примеры сокращения дробей.
В числителе и знаменателе дроби стоят одночлены. Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем.
Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Для 24 и 36 это — 12. После сокращения от 24 остается 2, от 36 — 3.
Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а при делении степеней показатели вычитаем.
a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось. От 24 осталась 2, поэтому 1, оставшуюся от a², не пишем). От a⁷ после сокращения остается a⁵.
b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.
c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,
Числитель и знаменатель данной алгебраической дроби — многочлены. Сокращать члены многочленов нельзя! (нельзя сократить, к примеру, 8x² и 2x!). Чтобы сократить эту дробь, надо многочлены разложить на множители. В числителе есть общий множитель 4x. Выносим его за скобки:
И в числителе, и в знаменателе есть одинаковый множитель (2x-3). Сокращаем дробь на этот множитель. В числителе получили 4x, в знаменателе — 1. По 1 свойству алгебраических дробей, дробь равна 4x.
Сокращать можно только множители (сократить данную дробь на 25x² нельзя!).
Поэтому многочлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби, нужно разложить на множители.
В числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — разность квадратов. После разложения по формулам сокращенного умножения получаем:
Сокращаем дробь на (5x+1) (для этого в числителе зачеркнем двойку в показатель степени, от (5x+1)² при этом останется (5x+1)):
В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:
В результате разложения в числителе и знаменателе получили одинаковый множитель (9+3a+a²). Сокращаем дробь на него:
Многочлен в числителе состоит из 4 слагаемых. Группируем первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым и выносим из первых скобок общий множитель x². Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов:
В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):
Сокращаем дробь на (x+2):
Сокращать можем только множители! Чтобы сократить данную дробь, нужно стоящие в числителе и знаменателе многочлены разложить на множители.
2
Уменьшающие угловые меры | Purplemath
Радианы и градусы Опорные углы
Purplemath
По причинам, о которых вы узнаете больше в тригонометрии и математических вычислениях, обычно полезно, чтобы ваши углы находились в диапазоне от 0° до 360°. Но не все углы попадают в этот интервал. Однако, поскольку «один раз вокруг» возвращает вас туда, где вы начали, вы можете удалять обороты, пока не дойдете до угла от 0° до 360°.
Например, угол 370° на 10° больше, чем «один раз вокруг». Если вы вычтете этот дополнительный «один раз вокруг», вы в конечном итоге окажетесь лицом в том же направлении, что и раньше, но ваша мера угла будет более управляемой 370 ° — 360 ° = 10 °.
Содержание продолжается ниже
MathHelp.com
Я могу вычесть 360 или взять свой калькулятор и выполнить деление:
1275 ÷ 360 = 3,541666…
«3» означает, что мне подходит 360° на 1275° три раза. 0,541666.
.. это оставшаяся часть. Это будет моя мера уменьшенного угла. Но сколько это градусов? Во-первых, я выясню, сколько градусов учитывается в первых трех циклах:
3 × 360° = 1080°
Сколько осталось после вычета этих трех циклов?
1275° − 1080° = 195°
Тогда мой ответ:
195°
вверху и остаток 195 внизу. Это дает точно такой же результат, как описанный выше метод калькулятора.
Мне нужно выяснить, сколько циклов 2π помещается в
. Схватив свой калькулятор, я быстро делю:
(47/3) ÷ 2 = 7,8333…
Итак, я вижу, что в этой угловой мере содержится семь циклов плюс еще 0,8333…π радиан. Сколько стоит семь циклов?
7 × 2 = 14
Я могу вычесть, чтобы узнать, сколько осталось:
(47/3) − 14
= (47/3) − (42/3) = 5/ 3
Тогда соответствующий уменьшенный угол равен:
Отрицательный угол — это угол, который вращается «назад»: вместо «правильного» поворота они вращаются «неправильным». Но я могу найти соответствующий угол, вернувшись назад «правильным» путем или, что то же самое для такого маленького угла, вычитая (положительный размер) отрицательный угол из «один раз вокруг»:
Соответствующая мера угла находится по формуле:
360 − 17 = 343
Тогда соответствующий угол равен:
343°
Этот метод работает так же, как и предыдущий, но в радианах. Так что я буду работать с 2π радианами, а не с 360°.
Тогда соответствующий угол равен:
радиан.
Работает аналогично предыдущим примерам. Сначала я найду, как часто 360° укладывается в 3742°:
3742 ÷ 360 = 10,39444…
Сколько стоит всего десять циклов?
10 × 360 = 3600
Сколько же тогда остается?
3600 + (-3742) = -142
Гм.
.. выглядит неправильно. Что я сделал не так?
О, да! Этот угол был отрицательным, поэтому мне на самом деле нужен один дополнительный «один раз», чтобы перевести меня в положительные значения угла (так же, как в предыдущих двух примерах, когда я добавлял отрицательные углы к значению одного цикла в правильном направлении). Так что мне нужно использовать цикл 11 вместо только 10:
11 × 360 = 3960
Теперь я добавлю свой отрицательный угол к этим одиннадцати циклам:
−3742 + 3960 = 218
Тогда мой соответствующий угол равен:
218°
0 где калькулятор действительно пригодится, потому что это число просто смехотворно велико. Я начну с деления:
15736 ÷ 360 = 43,711…
Итак, 360 укладывается в 15736 сорок три раза, с небольшим остатком. Это дает мне:
43 × 360 = 15480
Оставшаяся часть:
15736 − 15480 = 256
Тогда соответствующий уменьшенный угол равен:
256°
URL: https://www.
purplemath.com/modules/radians2.0htm
Страница 1Страница 3
60 градусов в радианах — формула
LearnPracticeDownload
Перед тем, как перевести 60 градусов в радианы, давайте вспомним несколько фактов о «градусах» и «радианах». Это единицы измерения угла. т. е. угол измеряется в градусах или радианах.
- 1 радиан равен углу, образуемому дугой окружности, длина которой равна длине радиуса окружности.
- 1 градус — это часть угла в центре окружности, если угол (полный угол) разделить на 360 частей.
Давайте посмотрим, что такое 60 градусов в радианах и как это доказать разными методами. Давайте решим несколько примеров и решим несколько практических задач.
| 1. | Сколько будет 60 градусов в радианах? |
| 2. | Преобразование 60 градусов в радианы |
| 3. | Часто задаваемые вопросы о 60 градусов в радианах |
Сколько будет 60 градусов в радианах?
Угол 60 градусов и радиан равен π/3.
Как это доказать? Обычно мы используем следующие формулы преобразования градусов в радианы:
- Угол в радианах = Угол в градусах × π/180°
- Угол в градусах = Угол в радианах × 180°/ π
Помните, что любой угол в радианах либо имеет число π; или у него нет ни π, ни какого-либо символа (например, °) рядом с ним. Таким образом, чтобы преобразовать угол из градусов в радианы, мы умножаем его на π/180° (а не на 180°/π), поскольку у нас должно быть π в числителе любого угла в радианах.
Преобразование 60 градусов в радианы
Мы можем преобразовать 60 градусов в радианы несколькими способами. Давайте обсудим каждый из этих методов один за другим.
Метод 1
Мы используем формулу преобразования для преобразования градусов в радианы:
Угол в радианах = Угол в градусах × π/180°
Здесь наш угол в градусах равен 60°. Подставим это в приведенную выше формулу:
Угол в радианах = 60° × π/180° = π/3.
Таким образом, 60 градусов в радианах равно π/3.
Метод 2
Мы знаем, что угол в центре круга равен 360 градусов. Это эквивалентно 2π в радианах. то есть
360° = 2π
Разделив обе стороны на 6 (поскольку мы хотим найти значение 60 градусов в радианах),
360°/6 = 2π/6
60° = π/3
Таким образом, значение 60 градусов в радианах равно π/3.
Важные примечания относительно 60 градусов в радианах:
- 60 градусов эквивалентно π/3 в радианах.
- Любой угол можно преобразовать из градусов в радианы и наоборот.
- Чтобы перевести угол из градусов в радианы, просто умножьте его на π/180°.
- Чтобы перевести угол из радианов в градусы, просто умножьте его на 180°/π.
Связанные темы:
- Калькулятор градусов в радианах
- Калькулятор радианов в градусы
- Градус Минуты Секунды Калькулятор
- Тригонометрические отношения в радианах
Примеры с использованием 60 градусов в радианах
Пример 1: Мы знаем, что 60 градусов в радианах равно π/3.
Используйте этот факт для перевода следующих углов в радианы: (а) 30° (б) 120°.Решение:
Дано, что 60° = π/3 … (1)
(a) Разделив обе части (1) на 2,
60°/2 = (π/3 ) / 2
30° = π/6
(b) Умножение обеих частей (1) на 2,
60° × 2 = (π/3) × 2
120° = 2π/3
Ответ: (а) 30° = π/6 (б) 120° = 2π/3.
Пример 2: Найдите значение тангенса 60°, используя следующие факты: sin π/3 = √3/2 и cos π/3 = 1/2.
Решение:
Мы знаем, что 60 градусов в радианах равно π/3.
So tan 60° = tan π/3
= (sin π/3)/(cos π/3) (по формуле тангенса)
= (√3/2)/(1/2)
= √3
Ответ: тангенс 60° = √3.
Пример 3: Каково значение 60° в десятичных дробях? Округлите ответ до 2 знаков после запятой и используйте π = 3,142.
Решение:
Мы знаем, что значение 60 градусов в радианах равно π/3.
т. е.60° = π/3
= 3,142 / 3
≈ 1,05
Ответ: 60° ≈ 1,05
Используйте этот факт для перевода следующих углов в радианы: (а) 30° (б) 120°.
т. е.перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Есть вопросы по основным математическим понятиям?
Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему математика стоит за нашими сертифицированными экспертами.
Часто задаваемые вопросы о преобразовании 60 градусов в радианы
Как преобразовать 60 градусов в радианы?
Значение 60 градусов в радианах равно π/3. Это потому, что 2π = 360 градусов. Когда мы делим обе стороны на 6, мы получаем π/3 = 60 градусов.
Сколько будет 60 градусов в радианах в пересчете на число Пи?
Чтобы преобразовать 60 градусов в радианы, мы просто умножаем их на π/180°. Тогда 60° = 60° × π/180° = π/3 радиан.
Почему 60 градусов равны Пи/3?
60° в градусах, а π/3 в радианах. Чтобы преобразовать 60 градусов в радианы, мы просто используем формулу преобразования 180° = π.