Как сравнивать десятичные числа: Сравнение десятичных дробей. Онлайн калькулятор

Сравнение десятичных дробей 5 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Тема 12: Десятичные дроби. Профильный уровень

• Видео
• Тренажер
• Теория

Заметили ошибку?

Определение десятичной дроби

 

Десятичная дробь – это особое представление нецелого числа со знаменателем, который делится на 10.

 

Если в знаменателе стоит 10, 100, 1000 и так далее, то удобнее переписать число с использованием запятой. Тогда до нее будет расположена целая часть, а после – дробная. Причем запись второй половины числа будет зависеть от знаменателя. Количество цифр, которые находятся в дробной части, должно быть равно разряду знаменателя.

Например, .

 

Пример № 1

 

 

Сравните дроби:

 

Решение

1. 1,57 и 1,52

Сравнение десятичных дробей следует начинать с самого большого разряда. Видим, что и в первой, и во второй дроби одинаковое количество целых – по 1. Проводим сравнение дальше и видим, что совпадают десятые – по 5. Тогда сравниваем сотые и видим, что семь сотых больше двух сотых, следовательно, вся первая дробь больше второй.

Воспользуемся графическим методом и нарисуем целую часть, десятую и сотую, а потом постараемся изобразить данные дроби, используя такие отрезки.

 – одна целая

 – одна десятая

 – одна сотая

Тогда 1,57 имеет вид (рис. 1).

Рис. 1. 1,57

А 1,52 выглядит так (рис. 2).

Рис. 2. 1,52

Сравнивая рисунки, видим, что .

2. 1,25 и 0,25 (рис. 3, 4).

Рис. 3. 1,25

Рис. 4. 0,25

3. 10,23 и 5,23

При сравнении третьей пары десятичных дробей видно, что целая часть первой дроби больше целой части второй дроби, значит, и вся первая дробь больше второй.

4. 0,3 и 0,03

Данная пара дробей интересна тем, что у них нет целых. Тогда сравнивать необходимо десятые. Получается, что в первой дроби три десятых, а у второй десятых нет. Следовательно, первая дробь больше второй:

5. 23,457 и 24,432

Начинаем сравнение с десятков: и там и там по два. Далее смотрим единицы: в первой дроби три единицы, а во второй четыре. Далее нет необходимости сравнивать. Понятно, что вторая дробь больше первой.

Начинаем сравнение всегда слева направо, т. е. с самого большого разряда.

6. 0,543 и 0,534

Сравниваем единицы и видим, что их нет. Продолжаем сравнение десятых и видим, что они совпадают. Далее смотрим на сотые и находим отличие: в первой дроби четыре сотых, а во второй три, значит, первая дробь больше второй.

7. 0,34 и 0,034

Аналогично сравниваем две дроби и приходим к выводу:

 

Правило сравнения десятичных дробей

 

 

Чтобы сравнить две десятичные дроби, сначала сравниваем их целые части. Если целые части равны – ищем первый несовпадающий разряд. Больше та дробь, у которой соответствующий разряд больше. 

 

 

Список литературы

1. Математика. 5 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.] – 24-е изд., испр. – М.: Мнемозина, 2008. – 280 с.
2. Зубарева И. И., Мордкович А. Г. Математика, 5 класс. – М.: Мнемозина.
3. Истомина Н. Б., Математика, 5 класс. – М.: Ассоциация ХХI век.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «Школьный помощник» (Источник)
2. Интернет-портал «math-prosto.ru» (Источник)
3. Интернет-портал «cleverstudents.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Математика. 5 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.] – 24-е изд., испр. – М.: Мнемозина, 2008., ст. 185 § 31, № 1175, 1178.
2. Что такое десятичная дробь?
3. Как сравнивают десятичные дроби?           
4. * Выполни сравнение таких дробей:

а) 12,5 и 12,7

б) 50,1 и 51,2

в) 0,789 и 0,0789

г) 1 и 1,7

 

Заметили ошибку?

Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.

Видеоурок: Сравнение десятичных дробей по предмету Математика за 5 класс.

алгоритм, правило сравнения, примеры решения задач

Что такое десятичная дробь

Определение 

Под десятичной дробью понимают способ представления действительных чисел:

±dm…d1d0,d-1d-2…

Здесь ±  является знаком дроби + или –;

, — десятичная запятая, отделяет целую часть от дробной;

dk обозначают десятичные цифры.

Заметим, что последовательность цифр до знака запятой является конечной. После запятой может быть указано любое количество цифр. Исходя из этого параметра, дроби классифицируют таким образом:

• конечные;
• бесконечные.

Пример 1

Конечная десятичная дробь:

123,45

Пример 2

Бесконечная десятичная дробь:

Число π  составляет 3,1415926535897…

Пример 3

Рассмотрим дробь:

±dm…d1d0,d-1d-2…

Значением данной дроби является число из множества действительных чисел:

±dm·10m+…+d1·101+d0·100+d-1·10-1+d-2·10-2+…

Значение соответствует сумме конечного или бесконечного количества слагаемых.

С помощью записи действительных чисел в виде десятичных дробей удается обобщить множества целых чисел в рамках десятичной системы исчисления. Если целое число записать в виде десятичной дроби, то цифры после запятой будут отсутствовать:

±dm…d1d0

Запись аналогична представлению данного числа в десятичной системе исчисления.

При решении разных математических заданий на уроке или самостоятельных работ нередко требуется выполнить перевод десятичных дробей в вид обыкновенных дробей, а также обратную операцию. Подобные навыки помогут повысить уровень знаний, а также позволят быстро упрощать задачи. Для закрепления материала можно рассмотреть несколько простых примеров.

Пример 4

0,136=1361000

0,2436=243610000

0,0456=45610000

0,21=21100

210=0,2

3100=0,03

41000=0,004

4562100=4562100=45,62

Алгоритм перевода обыкновенной дроби в десятичную дробь:

1. Определить наличие целой части у дроби, записать ее и поставить запятую.
2. Количество знаков после запятой равно числу нулей, записанных в знаменателе. К примеру, для дроби 41000 будет записано три нуля в знаменателе.
3. Записать числитель с выравниванием по правой стороне. Пустые ячейки заполнить нулями.

Виды десятичных дробей:

• конечная, количество цифр после запятой является конечным, как в дробях 810, 13100,491000);
• бесконечная, когда невозможно определить конечное количество цифр после запятой, как в дроби 0,05882352941…;
• периодическая, в которой с определенного участка последовательности цифр после запятой могут повторяться периодично группы цифр, к примеру, 17=0,142857⏟период142857⏟период142…=0,142857.

Задача 1

Попробуем решить задачу небольшой сложности и записать в виде конечной десятичной дроби обыкновенные дроби:

1·25·2=210=0,2

1251000=0,125

35=610=0,6

116=62510000=0,0625

Свойства десятичных дробей

Десятичные дроби обладают следующими свойствами, которые полезно знать для решения задач:

1. Десятичная дробь остается неизменной при добавлении нулей с правой стороны, к примеру, 3100=0,03=0,030=0,030000.
2. Десятичная дробь остается неизменной при удалении нулей, записанных в конце дроби. Нули, которые расположены не в конце десятичной дроби, удалять запрещено. Например, 0,014330000=0,01433,0,014330000≠0,1433.
3. Возрастание десятичной дроби в 10, 100, 1000 и более раз можно наблюдать при переносе десятичной запятой на одну, две, три и более позиций в правую сторону. К примеру, 0,0125·100=1,25. Здесь при переносе запятой на пару знаков в правую сторону дробь умножается на 100 и возрастает соответственно в 100 раз.
4. Уменьшение десятичной дроби в 10, 100, 1000 и более раз можно наблюдать при переносе десятичной запятой на одну, две, три и более позиций в левую сторону. Например, 124,56:100=1,2456. Здесь перенос запятой на пару знаков в левую сторону равносилен делению дроби на 100. В результате дробь уменьшилась в 100 раз.

Правило сравнения десятичных дробей

Десятичные дроби являются обычными числами. В связи с этим, можно производить разные действия с десятичными дробями, к примеру, сложение, вычитание, деление, умножение, а также сравнение.

Сравнивать десятичные дроби можно несколькими способами. Рассмотрим первый метод. Алгоритм действий следующий:

1. Уравнение длины обеих десятичных дробей путем записи дополнительных нулей в конце той дроби, у которой знаков после запятой меньше. Согласно рассмотренным ранее свойствам, десятичная дробь при этом не изменится.
2. Сравнение целых частей с целями, десятых частей с десятыми, сотых частей с сотыми и так далее.
3. В том случае, когда одна из частей дроби будет больше по сравнению с аналогичной частью другой дроби, можно сделать вывод о том, что первая дробь больше, чем вторая.

Важно помнить, что десятичная дробь в любом случае больше по сравнению с целым натуральным числом, равным целой части данной дроби.

Пример 5

Рассмотрим примеры:

4,3 > 4;

5,46 > 5;

7,017 > 7.

Второй способ сравнения десятичных дробей заключается в вычитании одной дроби из другой. Если в результате этого действия получится положительное число, то дробь, которая является уменьшаемым больше, чем дробь, которая является вычитаемым.

Справедливо и обратное утверждение. Когда разность десятичных дробей отрицательная, значит первая дробь, которая является уменьшаемым, меньше, чем вторая дробь, которая является вычитаемым.

Десятичные дроби также можно сравнивать с обыкновенными дробями. Для этого обыкновенную дробь требуется сначала привести к виду десятичной. Далее можно сравнивать дроби любым из вышеперечисленных способов.

Допустим и такой вариант: десятичную дробь переводят в обыкновенную дробь, и сравнивают полученные дроби, согласно правилу сравнения обыкновенных дробей.

Пояснение на примерах

Задача 2

Даны две десятичные дроби, которые требуется сравнить:

6,4 и 6,45.

Решение

Попробуем сравнить данные дроби первым способом. Заметим, что число 6,45 имеет две цифры после запятой. У дроби 6,4 всего одна цифра следует после запятой. Поэтому допишем к ней один ноль в конце, получим 6,40.

Далее выполним действия, согласно алгоритму. Целые части дробей идентичны, то есть:

6 = 6

Сравним дробные части. Десятые доли равны:

4 = 4

Сотые соотносятся между собой таким образом:

4 < 5

Так как сотые второй дроби больше по сравнению с сотыми первой дроби, то вторая дробь больше, чем первая:

6,40 < 6,45

Ответ: 6,4 < 6,45.

Задача 3

Сравним две десятичные дроби:

5,146 и 5,14.

Решение

Здесь попробуем выполнить сравнение дробей вторым способом. Вычтем из первой дроби вторую:

5,146 — 5,14 = 0,006

Получили число, которое больше нуля:

0,006 > 0

Таким образом:

5,146 > 5,14

Ответ: 5,146 > 5,14

Сравнение десятичных и дробных чисел

Сравнение десятичных дробей очень просто, но также очень важно. На самом деле, это первое, что мы должны научиться делать, чтобы правильно использовать действительные числа (или десятичные числа). Итак, как мы сравниваем десятичные дроби? Если числа слева от десятичной точки двух действительных чисел одинаковы (например: 12,432$ и 12,586$), как решить, какое действительное число больше другого?

 

«В наиболее часто используемой позиционной системе с основанием 10$ значение позиции в числе всегда меньше, чем значение позиций слева от него. Кроме того, значение позиции в числе всегда больше, чем значение позиций справа от него».

Эти утверждения верны независимо от того, какие цифры стоят в этих позициях или с какой стороны от десятичной точки эти позиции.

Таким образом, когда вы сравниваете десятичные дроби двух чисел, имеет смысл сравнивать только десятичные дроби в одной и той же позиции. В нашем предыдущем примере (12,432$ и 12,586$) мы сравнили бы 4$ с 5$ (оба представляют количество десятых), 3$ с 8$ (оба представляют количество сотых) и так далее.

Начинаем с крайнего левого десятичного знака (того, что рядом с запятой – десятого), и продолжаем, пока не найдем разницу. В нашем примере разница заключается в первой цифре после запятой. Поскольку $4$ меньше $5$, мы можем с уверенностью сказать, что $12,586$ больше, чем $12,432$, и на этом остановим сравнение. Теперь давайте попробуем еще немного потренироваться.

 

Для примера давайте сравним эти два числа:

$343,45667$ и $343,45567$

Пройдемся по цифрам одну за другой и увидим, что первые пять цифр совпадают. Но шестая цифра числа $343,45667$ больше шестой цифры числа $343,45567$, а это означает, что $A$ больше, чем $B$. Теперь давайте сделаем еще пару, чтобы действительно понять это. Пример 2:

Когда мы сравниваем положительные и отрицательные действительные числа, действуют те же правила, что и при сравнении положительных и отрицательных целых чисел. Следовательно, положительное действительное число всегда больше отрицательного.

Пример 3:

Сначала вы можете подумать, что эти два числа одинаковы, но внимательно следите за положением десятичной точки.

Пример 4:

Мы сравниваем два или более отрицательных действительных числа так же, как мы сравниваем положительные числа. Только не забудьте обратить результат из-за минусов.

Десятичные числа в числовой строке

Действительные числа можно разделить на положительных и отрицательных действительных числа тоже.

Положительные действительные числа находятся справа от исходной точки, а отрицательные — слева. Между любыми двумя целыми числами или, как их еще называют, целыми числами лежит «бесконечно большое количество десятичных чисел».

Самый безопасный способ точного размещения десятичного числа в числовой строке — преобразовать его в дробь, а затем поместить в числовую строку. Давайте сделаем несколько примеров вместе, чтобы действительно понять, как это делается.

Пример:

Поместим число $0,25$ в числовую строку.

Как мы уже узнали, это число можно преобразовать в дробь:

Это означает, что эта точка находится в стороне от исходной точки и вправо. Мы разделим наш отрезок от $0$ до $1$ на четыре части, и первая точка отмечает позицию нашего числа.

 

Сравнение дробей

Для сравнения дробей можно использовать описанную выше процедуру. Вы также можете преобразовать дроби в десятичные числа, если вам так удобнее. Тем не менее, есть несколько вещей о дробях, о которых стоит упомянуть. Когда значение числителя увеличивается, значение дроби также увеличивается. Когда значение знаменателя увеличивается, значение дроби уменьшается. Если дробь отрицательна, процедура обратная.

Пример:

Сравните: $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$.

$\frac{2}{3}$      ? $\frac{3}{4}$

$\frac{a}{b} ? \frac{c}{d}$

$ad$    ? $cd$

В нашем примере $a=2, b=3, c=3, d=4$

$8<9$

Это означает:

$\frac{2}{3}$ < $ \frac{3}{4}$

Пример:

Сравните: $\frac{2}{5}$ и $\frac{4}{7}$.

$\frac{2}{5}$    ? $\фрак{4}{7}$.

$14 <20$

$\frac{2}{5} < \frac{4}{7}$

 

Онлайн-игры для пятиклассников на сравнение десятичных чисел

В 5-м классе дети практикуются в сравнении задачи для решения сложных математических задач в будущем легко. Сравнение десятичных знаков является особенно сложной задачей, так как требует отдельного рассмотрения разрядного значения десятичных единиц.

Интересный способ запомнить понятия сравнения десятичных чисел

Сравнение десятичных дробей включает знание того, какое десятичное число больше другого. Дети должны потренироваться сравнивать каждую единицу, чтобы найти правильный ответ.

Вот как можно выполнить это учебное задание:

Шаг 1: Запишите два десятичных числа в правильном разряде.

3,567

4,568

Шаг 2: Сначала сравните целое число.

3 < 4

Шаг 3: Теперь сравните десятичные дроби.

5 = 5

6 = 6

7 < 8

Шаг 4: Оцените сравнение на основе следующих факторов.

• Какое целое число больше?
• Если оба числа равны, то какое число имеет больший десятичный разряд?
• Если оба числа равны, то какое число имеет большее число сотых после запятой?
• Если оба числа равны, то у какого числа десятичный разряд тысяч больше?

Число 4,568 > 3,567.

Медленное увеличение сложности сравнения поможет детям обрести уверенность и прочный фундамент в этих математических действиях.

Три мотивирующие онлайн-игры для детей 5-го класса

• Сравнение десятичных дробей: В игре используется прямое сравнение одинаковых десятичных дробей. Ребенку нужно проверить два числа на основе разрядности и отметить правильный ответ. Интерактивные элементы в игре помогают детям освоиться с концепцией.
• Сравнить непохожие десятичные числа с помощью таблицы разрядов: Сравнение непохожих десятичных знаков может быть сложной задачей, поскольку оба числа имеют разные десятичные значения. Поэтому в игру включена привлекательная таблица значений мест, которая поможет детям найти правильный ответ.
• Сравните Отличия от десятичных дробей: Эта игра включает в себя хорошо структурированные математические задачи, которые улучшают понятия при определении большего десятичного числа. Они отличаются от десятичных дробей, которые сравниваются напрямую. Дети должны использовать свои математические способности и способность запоминать, чтобы найти ответ.

С какими трудностями сталкиваются учащиеся при сравнении десятичных дробей?

Дети могут столкнуться с трудностями при сравнении десятичных дробей, потому что это включает в себя сравнение, в отличие от десятичных дробей. Следовательно, ребенок должен использовать свои знания для сравнения, запоминания и определения ценности вместе.

Можно ли бороться с этими проблемами?

Чтобы упростить задание, можно использовать предметы из реальной жизни. Мы можем использовать две мерные колбы с водой, а затем позволить вашим детям найти наилучший возможный ответ. Онлайн-игры SplashLearn также предлагают увлекательную среду обучения, позволяющую обрести уверенность в решении десятичных задач.

SplashLearn создает увлекательные, мотивирующие и интерактивные игры, которые помогают детям разных возрастных групп понять математические понятия. Если ваш ребенок сталкивается с проблемами при сравнении десятичных дробей, изучите онлайн-игры SplashLearn и начните практиковаться в увлекательной игровой форме.