Как столбиком делить уравнение на уравнение: Кубические уравнения. Метод деления в столбик. Примеры *

alexxlab / / Разное

Калькулятор деления многочлена на многочлен столбиком. Деление и умножение многочленов уголком и столбиком. Пример деления многочленов уголком

Сегодня мы узнаем, как выполняется деление многочленов друг на друга, причем выполнять деление мы будем уголком по аналогии с обычными числами. Это очень полезный прием, который, к сожалению, не изучают в большинстве школ. Поэтому внимательно прослушайте данный видеоурок. Ничего сложного в таком делении нет.

Для начала давайте разделим друг на друга два числа:

Как можно это сделать? В первую очередь, мы отсекаем столько разрядов, чтобы полученное числовое значение было больше чем то, на которое мы делим. Если мы отсечем один разряд, то получим пять. Очевидно, семнадцать в пять не вмещается, поэтому этого недостаточно. Берем два разряда — у нас выйдет 59 — оно уже больше, чем семнадцать, поэтому мы можем выполнить операцию. Итак, сколько раз семнадцать помещается в 59? Давайте возьмем три. Перемножаем и записываем результат под 59. {2}}$. В итоге мы видим, что мы получили очень «красивый» ответ. Записываем его.

Вот и весь алгоритм. Ключевых моментов здесь два:

  1. Всегда сравнивайте первую степень делимого и делителя — повторяем это на каждом шаге;
  2. Если в исходном выражении пропущены какие-либо степени, при делении уголком их обязательно следует добавить, но с нулевыми коэффициентами, иначе ответ будет неправильным.

Больше никаких премудростей и хитростей в таком делении нет.

Материал сегодняшнего урока нигде и никогда не встречается в «чистом» виде. Его редко изучают в школах. Однако умение делить многочлены друг на друга очень поможет вам при решении уравнений высших степеней, а также всевозможных задач «повышенной трудности». Без данного приема вам придется раскладывать многочлены на множители, подбирать коэффициенты — и результат при этом отнюдь не гарантирован. Однако многочлены можно делить и уголком — так же, как и обычные числа! К сожалению, данный прием не изучают в школах.

Многие учителя считают, что деление многочленов уголком — это что-то безумно сложное, из области высшей математики. Спешу вас заверить: это не так. Более того, делить многочлены даже проще, чем обычные числа! Посмотрите урок — и убедитесь в этом сами.:) В общем, обязательно возьмите этот прием на вооружение. Умение делить многочлены друг на друга очень пригодится вам при решении уравнений высших степеней и в других нестандартных задачах.

Я надеюсь, этот ролик поможет тем, кто работает с полиномами, особенно высших степеней. Это относится и к старшеклассникам, и к студентам университетов. А у меня на этом все. До встречи!

Приводится доказательство, что неправильную дробь, составленную из многочленов, можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Подробно разобраны примеры деления многочленов уголком и умножения столбиком.

Содержание

Теорема

Пусть P k (x) , Q n (x) — многочлены от переменной x степеней k и n , соответственно, причем k ≥ n .

Тогда многочлен P k (x) можно представить единственным способом в следующем виде:
(1) P k (x) = S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x) ,
где S k-n (x) — многочлен степени k-n , U n-1 (x) — многочлен степени не выше n-1 , или нуль.

Доказательство

По определению многочлена:
;
;
;
,
где p i , q i — известные коэффициенты, s i , u i — неизвестные коэффициенты.

Введем обозначение:
.
Подставим в (1) :
;
(2) .
Первый член в правой части — это многочлен степени k . Сумма второго и третьего членов — это многочлен степени не выше k — 1 . Приравняем коэффициенты при x k :
p k = s k-n q n .
Отсюда s k-n = p k / q n .

Преобразуем уравнение (2) :
.
Введем обозначение: .
Поскольку s k-n = p k / q n , то коэффициент при x k равен нулю. Поэтому — это многочлен степени не выше k — 1 , . Тогда предыдущее уравнение можно переписать в виде:

(3) .

Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение (1) , только значение k стало на 1 меньше. Повторяя эту процедуру k-n раз, получаем уравнение:
,
из которого определяем коэффициенты многочлена U n-1 (x) .

Итак, мы определили все неизвестные коэффициенты s i , u l . Причем s k-n ≠ 0 . Лемма доказана.

Деление многочленов

Разделив обе части уравнения (1) на Q n (x) , получим:
(4) .
По аналогии с десятичными числами, S k-n (x) называется целой частью дроби или частным, U n-1 (x) — остатком от деления. Дробь многочленов, у которой степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе называется правильной дробью. Дробь многочленов, у которой степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе называется неправильной дробью.

Уравнение (4) показывает, что любую неправильную дробь многочленов можно упростить, представив ее в виде суммы целой части и правильной дроби.

По своей сути, целые десятичные числа являются многочленами, у которых переменная равна числу 10 . Например, возьмем число 265847. Его можно представить в виде:
.
То есть это многочлен пятой степени от 10 . Цифры 2, 6, 5, 8, 4, 7 являются коэффициентами разложения числа по степеням числа 10.

Поэтому к многочленам можно применить правило деления уголком (иногда его называют делением в столбик), применяемое к делению чисел. Единственное отличие заключается в том, что, при делении многочленов, не нужно переводить числа больше девяти в старшие разряды. Рассмотрим процесс деления многочленов уголком на конкретных примерах.

Пример деления многочленов уголком


.

Здесь в числителе стоит многочлен четвертой степени. В знаменателе — многочлен второй степени. Поскольку 4 ≥ 2 , то дробь неправильная. Выделим целую часть, разделив многочлены уголком (в столбик):



Приведем подробное описание процесса деления. Исходные многочлены записываем в левый и правый столбики. Под многочленом знаменателя, в правом столбике, проводим горизонтальную черту (уголок). Ниже этой черты, под уголком, будет целая часть дроби.

1.1 Находим первый член целой части (под уголком). Для этого разделим старший член числителя на старший член знаменателя: .

1.2 Умножаем 2 x 2 на x 2 — 3 x + 5 :
. Результат записываем в левый столбик:

1.3 Берем разность многочленов в левом столбике:

.



Итак, мы получили промежуточный результат:
.

Дробь в правой части неправильная, поскольку степень многочлена в числителе (3 ) больше или равна степени многочлена в знаменателе (2 ). Повторяем вычисления. Только теперь числитель дроби находится в последней строке левого столбика.

2.1 Разделим старший член числителя на старший член знаменателя: ;

2.2 Умножаем на знаменатель: ;

2.3 И вычитаем из последней строки левого столбика: ;


Промежуточный результат:
.

Снова повторяем вычисления, поскольку в правой части стоит неправильная дробь.
3. 1 ;
3.2 ;
3.3 ;


Итак, мы получили:
.
Степень многочлена в числителе правой дроби меньше степени многочлена знаменателя, 1

;
2 x 2 — 4 x + 1 — это целая часть;
x — 8 — остаток от деления.

Пример 2

Выделить целую часть дроби и найти остаток от деления:
.

Выполняем те же действия, что и в предыдущем примере:

Здесь остаток от деления равен нулю:
.

Умножение многочленов столбиком

Также можно умножать многочлены столбиком, аналогично умножению целых чисел. Рассмотрим конкретные примеры.

Пример умножения многочленов столбиком

Найти произведение многочленов:
.

1

2.1
.

2.2
.

2.3
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x .

3
;
;
;
.

Заметим, что можно было записывать только коэффициенты, а степени переменной x можно было опустить. Тогда умножение столбиком многочленов будет выглядеть так:

Пример 2

Найти произведение многочленов столбиком:
.

При умножении многочленов столбиком важно записывать одинаковые степени переменной x друг под другом. Если некоторые степени x пропущены, то их следует записывать явно, умножив на нуль, либо оставлять пробелы.

В этом примере некоторые степени пропущены. Поэтому запишем их явно, умноженными на нуль:
.
Умножаем многочлены столбиком.

1 Записываем исходные многочлены друг под другом в столбик и проводим черту.

2.1 Умножаем младший член второго многочлена на первый многочлен:

.
Результат записываем в столбик.

2.2 Следующий член второго многочлена равен нулю. Поэтому его произведение на первый многочлен также равно нулю. Нулевую строку можно не записывать.

2.3 Умножаем следующий член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x . {n-1} + \dots + a_{1}.$ Для него индукционное предположение выполнено, поэтому его можно представить как $A»(x) = Q»(x)B(x) + R»(x)$, где степень многочлена $R»(x)$ меньше $m$, тогда представление для $A(x)$ можно переписать как

$A(x) = x(Q»(x)B(x) + R»(x)) + a_{0} = xQ»(x)B(x) + xR»(x) + a_{0}.$

Заметим, что степень многочлена $xR»(x)$ меньше, чем $m+1$, т.е. меньше, чем $k$. Тогда для $xR»(x)$ выполнено индукционное предположение и его можно представить как $xR»(x) = Q»»(x)B(x) + R»»(x)$, где степень многочлена $R»»(x)$ меньше $m$. Перепишем представление для $A(x)$ как

$A(x) = xQ»(x)B(x) + Q»»(x)B(x) + R»»(x) + a_{0} =$

$= (xQ»(x)+xQ»»(x))B(x) + R»»(x) + a_{0}.$

Степень многочлена $R»»(x) + a_{0}$ меньше $m$, поэтому утверждение выполнено.

Утверждение доказано.

При этом многочлен $R(x)$ называется остатком от деления $A(x)$ на $B(x)$, а $Q(x)$ — неполным частным.

Если остаток $R(x)$ — нулевой многочлен, то говорят, что $A(x)$ делится на $B(x)$. 2-4x+8$.

Пусть требуется

(2x 3 – 7x 2 + x + 1) ÷ (2x – 1).

Здесь дано произведение (2x 3 – 7x 2 + x + 1) и один множитель (2x – 1), – надо найти другой множитель. В данном примере сразу ясно (но вообще этого установить нельзя), что и другой, искомый, множитель, или частное, есть многочлен. Это ясно потому, что данное произведение имеет 4 члена, а данный множитель лишь 2. Однако, сказать заранее, сколько членов у искомого множителя – нельзя: может быть 2 члена, 3 члена и т. д. Вспоминая, что старший член произведения всегда получается от умножения старшего члена одного множителя на старший член другого (см. умножение многочлена на многочлен) и что членов, подобных этому, быть не может, мы уверены, что 2x 3 (старший член данного произведения) получится от умножения 2x (старший член данного множителя) на неизвестный старший член искомого множителя. Чтобы найти последний, придется, следовательно, разделить 2x 3 на 2x – получим x 2 . Это и есть старший член частного.

Вспомним затем, что при умножении многочлена на многочлен приходится каждый член одного многочлена умножать на каждый член другого. Поэтому данное произведение (2x 3 – 7x 2 + x + 1) представляет собою произведение делителя (2x – 1) на все члены частного. Но мы можем теперь найти произведение делителя на первый (старший) член частного, т. е. (2x – 1) ∙ x 2 ; получим 2x 3 – x 2 . Зная произведение делителя на все члены частного (оно = 2x 3 – 7x 2 + x + 1) и зная произведение делителя на 1-ый член частного (оно = 2x 3 – x 2), вычитанием мы можем найти произведение делителя на все остальные, кроме 1-го, члены частного. Получим

(2x 3 – 7x 2 + x + 1) – (2x 3 – x 2) = 2x 3 – 7x 2 + x + 1 – 2x 3 + x 2 = –6x 2 + x + 1.

Старший член (–6x 2) этого оставшегося произведения должен представлять собою произведение старшего члена делителя (2x) на старший член остального (кроме 1-го члена) частного. Отсюда найдем старший член остального частного. Надо –6x 2 ÷ 2x, получим –3x. Это и есть второй член искомого частного. Мы можем опять найти произведение делителя (2x – 1) на второй, только что найденный, член частного, т. е. на –3x.

Получим (2x – 1) ∙ (–3x) = –6x 2 + 3x. Из всего данного произведения мы уже вычли произведение делителя на 1-ый член частного и получили остаток –6x 2 + x + 1, представляющий собою произведение делителя на остальные, кроме 1-го, члены частного. Вычитая из него только что найденное произведение –6x 2 + 3x, получим остаток, представляющий собою произведение делителя на все остальные, кроме 1-го и 2-го, члены частного:

–6x 2 + x + 1 – (–6x 2 + 3x) = –6x 2 + x + 1 + 6x 2 – 3x = –2x + 1.

Разделив старший член этого оставшегося произведения (–2x) на старший член делителя (2x), получим старший член остального частного, или его третий член, (–2x) ÷ 2x = –1, – это и есть 3-й член частного.

Умножив на него делителя, получим

(2x – 1) ∙ (–1) = –2x + 1.

Вычтя это произведение делителя на 3-й член частного из всего оставшегося до сих пор произведения, т. е.

(–2x + 1) – (–2x + 1) = –2x + 1 + 2x – 1 = 0,

мы увидим, что в нашем примере произведение делится на остальные, кроме 1-го, 2-го и 3-го, члены частного = 0, откуда заключаем, что у частного больше членов нет, т. е.

(2x 3 – 7x 2 + x + 1) ÷ (2x – 1) = x 2 – 3x – 1.

Из предыдущего мы видим: 1) удобно располагать члены делимого и делителя по нисходящим степеням, 2) необходимо установить какой-либо порядок для выполнения вычислений. Таким удобным порядком можно считать тот, который употребляется в арифметике при делении многозначных чисел. Следуя ему, все предыдущие вычисления расположим так (сбоку даны еще краткие пояснения):

Те вычитания, какие здесь нужны, выполняются переменою знаков у членов вычитаемого, причем эти переменные знаки пишутся сверху.

Так, написано

Это значит: вычитаемое было 2x 3 – x 2 , а после перемены знаков получили –2x 3 + x 2 .

Благодаря принятому расположению вычислений, благодаря тому, что члены делимого и делителя расположены по нисходящим степеням и благодаря тому, что степени буквы x в обоих многочленах идут, понижаясь всякий раз на 1, оказалось, что подобные члены приходятся написанными друг под другом (напр.: –7x 2 и +x 2), почему легко выполнить их приведение. Можно подметить, что не все члены делимого нужны во всякий момент вычисления. Напр., член +1 не нужен в тот момент, где был найден 2-й член частного, и эту часть вычислений можно упростить.


Еще примеры:

1. (2a 4 – 3ab 3 – b 4 – 3a 2 b 2) ÷ (b 2 + a 2 + ab).

Расположим по нисходящим степеням буквы a и делимое и делитель:


(Заметим, что здесь, благодаря отсутствию в делимом члена с a 3 , в первом вычитании оказалось, что подписаны друг под другом не подобные члены –a 2 b 2 и –2a 3 b. Конечно, они не могут быть приведены в один член и написаны под чертою оба по старшинству).


В обоих примерах надо внимательнее относиться к подобным членам: 1) друг под другом часто оказываются написанными не подобные члены и 2) иногда (как, напр., в последнем примере, члены –4a n и –a n при первом вычитании) подобные члены выходят написанными не друг под другом.

Возможно выполнять деление многочленов в ином порядке, а именно: всякий раз разыскивать младший член или всего или остающегося частного. {k-1}(\cdot \mid s_h)\ больше) \bigm] \конец{разделить} \end{уравнение} \конец{документ}

А вот файл aistats2021.sty для воспроизведения ошибки.

 % Файл: aistats2021.sty
% Изменено Робертом Джакинто и Крикамолом Муандет 2021: изменено
% место проведения, год и номер тома. Отрегулируйте интервал в поле авторских прав.
%
% Изменено Марчелло Рестелли, 2020: изменено \evensidemargin и
% \oddsidemargin, чтобы центрировать текст относительно страницы.
% Удалены имена авторов и принадлежность к ним при отправке статьи.
% Добавлена ​​команда для отображения подтверждений только в финальной версии.
%
% Изменено Роберто Каландрой, 2019 г.: введена параметрическая структура в
% изменить место проведения, год и номер тома. Это облегчит жизнь
% будущим организаторам :)
%
% Изменено Ацуши Мияучи, Мирай Танака и Акико Такеда, 2018 г.: изменено место проведения,
% год, номер тома и заголовок для ссылок, а также удалены мелкие ошибки.
%
% Изменено Фернандо Перес-Крус, 2017 г. : изменено место проведения, год и номер тома.
%
% Изменено Скоттом Альфельдом, 2016 г.: изменено место проведения, год и номер тома.
%
% Изменено Zoltan Szabo, 2015: изменить место, год, номер тома.
%
% Изменено Антти Хонкела, 2013 г.: изменение места проведения, год
%
% Изменено Миро Дудик, 2011, 2012: изменить место проведения, год и номер тома
%
% Изменено Джеффом Гордоном, 2010 г.: изменение на 2011 г.
%
% Модифицированный Маурисио Альварес, 2009 г.. Заголовки для рукописи, когда
% на рассмотрении и дополнительные изменения, чтобы заголовки
% автоматически получается из полей title и author из tex
% файл. Также изменения с 2009 года на 2010 год, где он появился.
%
% Изменено Mauricio Alvarez, 2009. Уведомление об авторских правах и команды для заголовков
%
%
% Изначально этот файл содержит параметры форматирования LaTeX для Morgan.
% Две колонки Кауфмана, формат протоколов 8 1/2 на 11 дюймов.
\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Содержание будет меняться из года в год
\ProvidesPackage{aistats2021}[23 08/2020 – отправка AISTATS2021/файл стиля для камеры]
\newcommand{\@conferenceordinal}{24\textsuperscript{th}}
\newcommand{\@conferenceyear}{2021}
\newcommand{\@conferencelocation}{Сан-Диего, Калифорния, США}
\newcommand{\@conferencevolume}{130} % Будет назначено JMLR
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\RequirePackage{аммат}
% Создать подтверждения -- только если активирована опция "final"
\providecommand{\подтверждения}[1]{}
\newcommand{\ackaccepted}[1]{%
\subsubsection*{Благодарности} #1
}
\DeclareOption{принято}{\renewcommand{\statePaper}{\acceptedPaper}%
                         \renewcommand{\Notice@String}{\AISTATS@appearing}%
                         \renewcommand{\подтверждения}{\ackaccepted}}
\newcommand{\statePaper}{0}
\newcommand{\acceptedPaper}{1}
\newcommand{\Notice@String}{Предварительная работа.  На рассмотрении AISTATS \@conferenceyear. Не распространять.}
\newcommand{\AISTATS@appearing}{Материалы \@conferenceordinal\, Международной конференции по искусственным
  Разведка и статистика (AISTATS) \@conferenceyear, \@conferencelocation\@. PMLR: Том \@conferencevolume. Авторские права
  \@conferenceyear\/ автора(ов).}
\ProcessOptions\расслабиться
\evensidemargin -0,125 дюйма
\oddsidemargin -0,125 дюйма
\setlength\topmargin{-25pt} \setlength\textheight{90,25 дюйма}
\setlength\textwidth{6,75 дюйма} \setlength\columnsep{0,25 дюйма}
\newlength\titlebox\setlength\titlebox{2,375 дюйма}
\setlength\headheight{10pt} \setlength\headsep{15pt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%
%%%% Для включения легенды об авторских правах в конце
%%%% первый столбец первой страницы. Адаптировано из ICML09.sty
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%
\def\ftype@copyrightbox{8}
\def\@copyrightspace{
% Создайте плавающий объект, расположенный внизу столбца.  Примечание
%, что из-за мистической природы поплавков это должно называться
% до того, как первый столбец будет заполнен текстом (например, из заголовка
% или абстрактные блоки). В противном случае текст заставит поплавок
% следующий столбец. -- ТДРЛ.
\@float{copyrightbox}[b]
\начать{центр}
\setlength{\unitlength}{1pc}
\begin{картинка}(20,2.5)
% Создайте линию, отделяющую основной текст от блока примечаний.
% 4,818 шт. == 0,8 дюйма.
\ положить (0,3,5) {\ строка (1,0) {4,818}}
% Вставьте саму текстовую строку. Обратите внимание, что строка должна быть
%, заключенный в parbox -- вызов \put нуждается в объекте box для
% позиция. Без парбокса текст разбрызгивается по всему
% внизу страницы полуслучайным образом. 19Расстояние 0,75 пк кажется
% ширина столбца, хотя я не могу найти подходящее расстояние
% переменная для замены здесь. -- ТДРЛ.
\put(0,0){\parbox[b]{19,75pc}{\small \Notice@String}}
\конец{картинка}
\конец{центр}
\end@поплавок}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%
\setlength\футскип{0pt}
\thispagestyle{пусто} \pagestyle{пусто}
\flushbottom\twocolumn\sloppy
\def\addcontentsline#1#2#3{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%
%%%%%% Определение maketitle (включая название и автора)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%
\RequirePackage{fancyhdr}
Поле % для проверки размера бегущей головки
\newbox\titrun
\ньюбокс\аутран
% общий стиль страницы
\pagestyle{причудливый}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
% определение для установки заголовка бегущего заголовка и автора бегущего заголовка
\def\runningtitle#1{\gdef\@runningtitle{#1}}
\def\runningauthor#1{\gdef\@runningauthor{#1}}
\long\def\aistatstitle#1{
   %\renewcommand{\headrulewidth}{0,5pt}
   \gdef\@runningheadingerrortitle{0}
   % Если статья находится на рассмотрении, распечатайте это как заголовки
   \ifnum\statePaper=0
    {
     \gdef\@runningtitle{Рукопись находится на рассмотрении AISTATS \@conferenceyear}
    }
   \фи
   % Если статья принята, напечатайте название или бегущее название в качестве заголовка. 
   \ifnum\statePaper=1
   {
   \ifx\undefined\@runningtitle
    {
    \gdef\@runningtitle{#1}
    }
   \фи
   }
   \fi
   \ifnum\@runningheadingerrortitle=0
         {
         \global\setbox\titrun=\vbox{\small\bfseries\@runningtitle}%
         \ifdim\wd\titrun>\textwidth%
            {\gdef\@runningheadingerrortitle{2}
             \gdef\@messagetitle{Слишком длинный заголовок}
            }%
         \else\ifdim\ht\titrun>10pt
              {\gdef\@runningheadingerrortitle{3}
              \gdef\@messagetitle{Название бегущего заголовка разрывает строку}
              }%
              \fi
          \фи
         }
    \fi
   \ifnum\@runningheadingerrortitle>0
     {
        \fancyhead[CE]{\small\bfseries\@messagetitle}
        \ifnum\@runningheadingerrortitle>1
           \введите из{}%
           \введите из{}%
           \введите из{*********************************************** **********}%
           \typeout{Название бегущего заголовка превышает ограничения по размеру для бегущего заголовка. }%
           \typeout{Пожалуйста, предоставьте более короткую форму бегущей строки}
           \typeout{с \string\runningtitle{...}\space сразу после \string\begin{document}}%
           \введите из{*********************************************** **********}%
           \введите из{}%
           \введите из{}%
        \fi
     }
  \еще
     {
          \fancyhead[CE]{\small\bfseries\@runningtitle}
     }
  \фи
  \hsize\textwidth
  \linewidth\hsize \toptitlebar {\centering
  {\ Большой \ bfseries # 1 \ пар}}
 \bottomtitlebar \vskip 0,2 дюйма плюс 1 фил минус 0,1 дюйма
}
\long\def\aistatsauthor#1{
   \gdef\@runningheadingerrorauthor{0}
   % Если документ находится на рассмотрении, напечатайте это сообщение в качестве заголовка.
   \ifnum\statePaper=0
    {
     \gdef\@runningauthor{Рукопись находится на рассмотрении AISTATS \@conferenceyear}
    }
   \fi
   % Если статья принята, напечатайте имена авторов или имя автора в качестве заголовка.
   \ifnum\statePaper=1
   {
   \ifx\undefined\@runningauthor%
    {
   \gdef\@runningauthor{\def\and{\unskip{,}\enspace}\def\And{\unskip{,}\enspace}\def\AND{\unskip{,}\enspace}
   #1}
    }
   \fi
    }
   \fi
  \ifnum\@runningheadingerrorauthor=0
      {
      \global\setbox\autrun=\vbox{\small\bfseries\@runningauthor}
      \ifdim\wd\autrun>\textwidth%
            {\gdef\@runningheadingerrorauthor{2}
             \gdef\@messageauthor{Слишком длинный заголовок автора}
            }%
         \else\ifdim\ht\autrun>10pt
              {\gdef\@runningheadingerrorauthor{3}
              \gdef\@messageauthor{Автор текущего заголовка разрывает строку}
              }%
              \фи
          \фи
      }
  \fi
  \ifnum\@runningheadingerrorauthor>0
     {
       \fancyhead[CO]{\small\bfseries\@messageauthor}
       \ifnum\@runningheadingerrorauthor>1
           \введите из{}%
           \введите из{}%
           \введите из{*********************************************** **********}%
           \typeout{Автор бегущего заголовка превышает ограничения по размеру бегущего заголовка. }%
           \typeout{Пожалуйста, предоставьте более короткую форму бегущей строки}
           \typeout{с \string\runningauthor{...}\space сразу после \string\begin{document}}%
           \введите из{*********************************************** **********}%
           \введите из{}%
           \введите из{}%
      \fi
     }
  \еще
     {
     \fancyhead[CO]{\small\bfseries\@runningauthor}
     }
  \fi
    \ifnum\statePaper=0
    {
        {\ def \ and {\ unskip \ enspace {\ rm and} \ enspace}%
        \def\And{\end{таблица}\hss \egroup \hskip 1in плюс 2fil
                \hbox в 0pt\bgroup\hss \begin{tabular}[t]{c}\bfseries}%
        \def\AND{\end{табличный}\hss\egroup \hfil\hfil\egroup
                \vskip 0,25 дюйма плюс 1 фил минус 0,125 дюйма
                \hbox в \linewidth\bгруппу \hfil\hfil
                    \hbox в 0pt\bgroup\hss \begin{табличный}[t]{c}\bfseries}
        \def\ANDD{\end{табличный}\hss\egroup \hfil\hfil\egroup
                \vskip 0,25 дюйма плюс 1 фил минус 0,125 дюйма
                \hbox в \linewidth\bгруппу \hfil\hfil
                    \hbox в 0pt\bgroup\hss \begin{табличный}[t]{c}\bfseries}
            \hbox в \linewidth\bгруппу \hfil\hfil
            \hbox to 0pt\bgroup\hss \begin{tabular}[t]{c}\bfseries Анонимный автор
                                \end{табличный}
            \hss\egroup
            \hfil\hfil\egroup}
    }
    \еще
    {
        {\ def \ and {\ unskip \ enspace {\ rm and} \ enspace}%
        \def\And{\end{таблица}\hss \egroup \hskip 1in плюс 2fil
                \hbox в 0pt\bgroup\hss \begin{tabular}[t]{c}\bfseries}%
        \def\AND{\end{табличный}\hss\egroup \hfil\hfil\egroup
                \vskip 0,25 дюйма плюс 1 фил минус 0,125 дюйма
                \hbox в \linewidth\bгруппу \hfil\hfil
                    \hbox в 0pt\bgroup\hss \begin{табличный}[t]{c}\bfseries}
        \def\ANDD{\end{табличный}\hss\egroup \hfil\hfil\egroup
                \vskip 0,25 дюйма плюс 1 фил минус 0,125 дюйма
                \hbox в \linewidth\bгруппу \hfil\hfil
                    \hbox в 0pt\bgroup\hss \begin{табличный}[t]{c}\bfseries}
            \hbox в \linewidth\bгруппу \hfil\hfil
            \hbox в 0pt\bgroup\hss \begin{tabular}[t]{c}\bfseries #1
                                \end{табличный}
            \hss\egroup
            \hfil\hfil\egroup}
    }
   \fi
}
\long\def\aistatsaddress#1{
     \ifnum\statePaper=0
    {
        {\ def \ and {\ unskip \ enspace {\ rm and} \ enspace}%
        \def\And{\end{таблица}\hss \egroup \hskip 1in плюс 2fil
                \hbox to 0pt\bgroup\hss \begin{tabular}[t]{c} }%
        \def\AND{\end{табличный}\hss\egroup \hfil\hfil\egroup
                \vskip 0,25 дюйма плюс 1 фил минус 0,125 дюйма
                \hbox в \linewidth\bгруппу \hfil\hfil
                    \hbox to 0pt \bgroup \hss \begin{tabular}[t]{c}}
        \def\ANDD{\end{табличный}\hss\egroup \hfil\hfil\egroup
                \vskip 0,25 дюйма плюс 1 фил минус 0,125 дюйма
                \hbox в \linewidth \bгруппу \hfil\hfil
                    \hbox to 0pt \bgroup \hss\begin{tabular}[t]{c}\bfseries}
            \hbox в \linewidth\bгруппу \hfil\hfil
            \hbox в 0pt\bgroup\hss \begin{tabular}[t]{c}
            Анонимное учреждение
            \end{табличный}
            \hss\egroup
            \hfil\hfil\egroup}
        \vskip 0,3 дюйма плюс 2fil минус 0,1 дюйма
    }
    \еще
    {
        {\ def \ and {\ unskip \ enspace {\ rm and} \ enspace}%
        \def\And{\end{таблица}\hss \egroup \hskip 1in плюс 2fil
                \hbox to 0pt\bgroup\hss \begin{tabular}[t]{c} }%
        \def\AND{\end{табличный}\hss\egroup \hfil\hfil\egroup
                \vskip 0,25 дюйма плюс 1 фил минус 0,125 дюйма
                \hbox в \linewidth\bгруппу \hfil\hfil
                    \hbox to 0pt \bgroup \hss \begin{tabular}[t]{c}}
        \def\ANDD{\end{табличный}\hss\egroup \hfil\hfil\egroup
                \vskip 0,25 дюйма плюс 1 фил минус 0,125 дюйма
                \hbox в \linewidth \bгруппу \hfil\hfil
                    \hbox to 0pt \bgroup \hss\begin{tabular}[t]{c}\bfseries}
            \hbox в \linewidth\bгруппу \hfil\hfil
            \hbox в 0pt\bgroup\hss \begin{tabular}[t]{c} #1
                                \end{табличный}
        \hss\egroup
        \hfil\hfil\egroup}
    \vskip 0,3 дюйма плюс 2fil минус 0,1 дюйма
    }
   \фи
}
\renewcommand{\headrulewidth}{0. 5pt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%
%%% Определение абстрактной среды
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%
\renewenvironment{абстрактный}
{\@copyrightspace\centerline{\large\bfseries
Abstract}\vspace{0.5ex}\begin{quote}}{\par\end{quote}\vskip 1ex}
% разделов с меньшим пространством
\def\section{\@startsection {section}{1}{\z@}{-2.0ex плюс
    -0.5ex минус -.2ex}{1.5ex плюс 0.3ex минус .2ex}{\large\bfseries\raggedright}}
\def\subsection{\@startsection{subsection}{2}{\z@}{-1.8ex плюс
    -0,5ex минус -.2ex}{0,8ex плюс .2ex}{\normalsize\bfseries\raggedright}}
\def\subsubsection{\@startsection{subsubsection}{3}{\z@}{-1,5ex плюс
   -0,5ex минус -.2ex}{0,5ex плюс .2ex}{\normalsize\bfseries\raggedright}}
\def\paragraph{\@startsection{paragraph}{4}{\z@}{1,5ex плюс
   0,5ex минус 0,2ex}{-1em}{\normalsize\bfseries}}
\def\subparagraph{\@startsection{subparagraph}{5}{\z@}{1,5ex плюс
   0,5ex минус 0,2ex}{-1em}{\normalsize\bfseries}}
\def\subsubsection{\vskip 5pt{\noindent\normalsize\rm\raggedright}}
% сноски
\footnotesep 6. 65pt %
\пропустить\подножки 9пт плюс 4 пт минус 2 пт
\def\footnoterule{\kern-3pt \ширина hrule 5pc \kern 2.6pt }
\setcounter{сноска}{0}
% Списки и абзацы
\parindent 0pt
\topsep 4pt плюс 1pt минус 2pt
\партопсэп 1 балл плюс 0,5 балла минус 0,5 балла
\itemsep 2pt плюс 1pt минус 0.5pt
\parsep 2pt плюс 1pt минус 0,5pt
\парскип .5шт
\leftmargin 2em \leftmargini\leftmargin \leftmarginii 2em
\leftmarginiii 1.5em \leftmarginiv 1.0em \leftmarginv .5em
\leftmarginvi .5em
\labelwidth\leftmargini\advance\labelwidth-\labelsep \labelsep 5pt
\def\@listi{\leftmargin\leftmargini}
\def\@listii{\leftmargin\leftmarginii
   \labelwidth\leftmarginii\advance\labelwidth-\labelsep
   \topsep 2pt плюс 1pt минус 0,5pt
   \parsep 1 пт плюс 0,5 пт минус 0,5 пт
   \itemsep \parsep}
\def\@listiii{\leftmargin\leftmarginiii
    \labelwidth\leftmarginiii\advance\labelwidth-\labelsep
    \topsep 1pt плюс 0,5pt минус 0,5pt
    \parsep \z@ \partopsep 0.5pt плюс 0pt минус 0.5pt
    \itemsep \topsep}
\def\@listiv{\leftmargin\leftmarginiv
     \labelwidth\leftmarginiv\advance\labelwidth-\labelsep}
\def\@listv{\leftmargin\leftmarginv
     \labelwidth\leftmarginv\advance\labelwidth-\labelsep}
\def\@listvi{\leftmargin\leftmarginvi
     \labelwidth\leftmarginvi\advance\labelwidth-\labelsep}
\вышеdisplayskip 7pt плюс2pt минус5pt%
\belowdisplayskip \bovedisplayskip
\вышеdisplayshortskip 0pt plus3pt%
\belowdisplayshortskip 4pt plus3pt минус 3pt%
% Меньше интерлиньяжа в большинстве шрифтов (из-за узких колонок)
% Выбор был между 1 и 1,5 очками интерлиньяжа. 
\def\@normalsize{\@setsize\normalsize{11pt}\xpt\@xpt}
\def\small{\@setsize\small{10pt}\ixpt\@ixpt}
\def\footnotesize{\@setsize\footnotesize{10pt}\ixpt\@ixpt}
\def\scriptsize{\@setsize\scriptsize{8pt}\viipt\@viipt}
\def\tiny{\@setsize\tiny{7pt}\vipt\@vipt}
\def\large{\@setsize\large{14pt}\xipt\@xipt}
\def\Большой{\@setsize\Большой{16pt}\xivpt\@xivpt}
\def\БОЛЬШОЙ{\@setsize\БОЛЬШОЙ{20pt}\xviipt\@xviipt}
\def\огромный{\@setsize\огромный{23pt}\xxpt\@xxpt}
\def\Huge{\@setsize\Huge{28pt}\xxvpt\@xxvpt}
\def\toptitlebar{
\hrule height4pt
\vпропустить 0,25 дюйма}
\def\bottomtitlebar{
\vпропустить 0,25 дюйма
\hrule height1pt
\vпропустить 0,25 дюйма}
\renewenvironment{библиография}[1]
     {\ subsubsection * {\ refname}%
      \@mkboth{\MakeUppercase\refname}{\MakeUppercase\refname}%
      \list{\@biblabel{\@arabic\c@enumiv}}%
           {\settowidth\labelwidth{\@biblabel{#1}}%
            \leftmargin\labelwidth
            \продвинутый\leftmargin\labelsep
            \@openbib@code
            \usecounter{enumiv}%
            \let\p@enumiv\@пусто
            \renewcommand\theenumiv{\@arabic\c@enumiv}}%
      \небрежный
      \clubpenalty4000
      \@clubpenalty \clubpenalty
      \widowpenalty4000%
      \sfcode`\. \@m}
     {\ деф \ @ noitemerr
       {\@latex@warning{Пустая среда "библиографии"}}%
      \endlist}

Уравнение разделения на странице с двумя столбцами — TeX

спросил

Изменено 1 год, 10 месяцев назад

Просмотрено 55 раз

Добрый день всем. Мне было интересно, знает ли кто-нибудь, как я могу разделить уравнение, которое я показываю на изображении, чтобы оно соответствовало формату с двумя столбцами.

Я пробовал многострочный и разделенный, но со скобкой в ​​​​середине я не могу заставить его работать, и хотя есть несколько связанных ответов, я не могу понять, что они делают.

Большое спасибо.

 \documentclass[twocolumn]{статья}
\newcommand{\vect}[1]{\boldsymbol{#1}}
\usepackage{mathtools}
\начать{документ}
 aksjdf añslkdfj asñldkf jasdlñfkj asdñlfkasj dfñlaskdjf asñldkfj asñdflkjasd ñflaksj dfñlaskdfj asñldkf jasñdlfkajs dñlfkasjd fñlaskdjf añlsdkfj asñldkfj asñldfka sdflkasjd fñlaskdj falsñdfkj asñldfkj asñldfk asñdlfk asjdñflka sdfñaskjdfñalskdjf añsldkf asñldkf
 
\begin{уравнение}
\label{eq:calc_aceleracion}
    \vect{\ddot{q}_\mathrm{var}} = \vect{\Phi_{var}^{-1}}\left(\vect{q}\right) \cdot \left(- \vect{ \Phi_z}\left(\vect{q}\right)\cdot \ddot{\vect{z}} - \\
    \vect{\dot{\Phi}_{var}}\left(\vect{q},\vect{\dot{q}}\right) \cdot \vect{\dot{q}_{var}} - \vect{\dot{\Phi}_z} \left(\vect{q},\vect{\dot{q}} \right)\cdot \vect{\dot{z}} \right)
\end{уравнение}
\конец{документ}

  • Уравнения

, так как вы уже загружаете MathTools . {-1}}\left(\vect{q}\right) \cdot \left(- \vect{ \Phi_z}\left(\vect{q}\right)\cdot \ddot{\vect{z}} — \vphantom{\dot{\Phi}} \right.\\ \left.\vect{\dot{\Phi}_{var}}\left(\vect{q},\vect{\dot{q}}\right) \cdot \vect{\dot{q}_{ var}} — \vect{\dot{\Phi}_z} \left(\vect{q},\vect{\dot{q}} \right)\cdot \vect{\dot{z}} \right) \end{многострочный} \слепой текст[4] \конец{документ}

Я добавил дополнительные \правильно. и \левый. , чтобы все пары в каждой строке совпадали. Я также добавил \vphantom{\dot{\Phi}} в качестве самого высокого члена во второй половине уравнения, так что открытие ( такое же большое, как и закрытие ) .

1

В конце концов вы можете разделить ваше уравнение с советом использовать \bigl( и \bigr) , потому что при разделении вашего уравнения у вас будут ошибки с \left( и \right) .

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *