Как умножить скаляр на вектор: 7. Умножение вектора на скаляр

7. Умножение вектора на скаляр

Определение. Произведением вектора на скаляр называется вектор, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а направление совпадает с направлением вектора , если число положительно, и противоположно направлению вектора , если число отрицательно.

Произведение вектора на скаляр обозначается или . По определению:

1. ;

2. , если , , если ;

3. если , то ;

4. если , то .

Согласно определению, произведение вектора на скаляр есть вектор, коллинеарный вектору .

Теорема (о проекции на ось произведения вектора на скаляр). Проекция на ось произведения вектора на скаляр равна произведению этого скаляра на проекцию рассматриваемого вектора на ту же ось, т.е.

,

где — любая ось.

Доказательство. По теореме о проекции вектора на ось

,

где — орт оси . Если в правой части этого равенства воспользоваться определением понятия модуля произведения вектора на скаляр, то получим

(*)

При этом возможны следующие случаи:

1. .

В этом случае по определению модуля числа . Кроме того, при , и поэтому . Следовательно, в силу равенства (*) имеем

.

Если теперь в правой части последнего равенства воспользоваться свойством сочетательности умножения чисел и применить теорему о проекции вектора на ось, то получим

.

В этом случае по определению модуля числа . Кроме того, при , т.е. и потому .

Исходя из равенства (*), приходим к выводу, что в рассматриваемом случае

,

и потому, как и при , имеем

.

В справедливости утверждения при предлагаем убедиться самостоятельно.

Основные свойства операции умножения вектора на скаляр

1. Умножение вектора на скаляр обладает свойством сочетательности, т.е.

.

Доказательство. Для того, чтобы доказать, что векторы и равны, достаточно доказать, что равны их проекции на любую ось. Пусть — произвольная ось. Найдем проекции векторов и на ось . Применяя теорему о проекции на ось произведения вектора на скаляр, имеем соответственно

и

В силу свойства сочетательности умножения чисел правые части двух последних равенств совпадают, и потому

,

где — любая ось. Следовательно, по критерию равенства векторов,

.

2. Умножение вектора на скаляр обладает свойством распределительности по отношению к сумме скаляров, т. е.

.

Доказательство. Для того, чтобы доказать, что векторы и равны, достаточно доказать, что равны их проекции на любую ось. Пусть -произвольная ось. Согласно теореме о проекции на ось произведения вектора на скаляр, имеем

,

или, учитывая свойство распределительности действий над числами,

.

Если же теперь в каждом слагаемом в правой части применить теорему о проекции на ось произведения вектора на скаляр, а затем воспользоваться теоремой о проекции суммы двух векторов на ось, то придем к выводу, что

,

где — любая ось. Следовательно, на основании критерия равенства векторов,

.

3. Умножение вектора на скаляр обладает свойством распределительности по отношению к сумме векторов, т.е.

Доказательство. Для того, чтобы доказать, что векторы и равны, достаточно доказать, что равны их проекции на любую ось. Пусть — произвольная ось. По теореме о проекции на ось произведения вектора на скаляр

.

Если в правой части применить теорему о проекции суммы векторов на ось, то получим

,

или, в силу свойства распределительности действий над числами,

.

Если же в каждом слагаемом правой части ещё раз воспользоваться теоремой о проекции на ось произведения вектора на скаляр, а затем теоремой о проекции суммы векторов на ось, то придем к выводу, что

,

где — любая ось. Следовательно, по критерию равенства векторов,

,

что и требовалось доказать.

Теорема о противоположных векторах

Произведение вектора на есть вектор, противоположный вектору .

Доказательство. Действительно, ,

т. е. и, кроме того,

Утверждение доказано.

Вектор обозначают . Введем теперь понятие разности двух векторов.

Определение. Разностью векторов и называется вектор, равный сумме вектора и вектора, противоположного вектору .

Разность векторов и обозначается .По определению

.

Имеет место равенство , где — любая ось.

Если воспользоваться этой формулой, то нетрудно привести ещё одно доказательство, наряду с рассмотренным ранее, критерия равенства двух векторов. Рекомендуем проделать это самостоятельно.

PhysBook:Электронный учебник физики — PhysBook

Содержание

• 1 Учебники
• 2 Механика
  • 2.1 Кинематика
  • 2.
    2 Динамика
  • 2.3 Законы сохранения
  • 2.4 Статика
  • 2.5 Механические колебания и волны
• 3 Термодинамика и МКТ
  • 3.1 МКТ
  • 3.2 Термодинамика
• 4 Электродинамика
  • 4.1 Электростатика
  • 4. 2 Электрический ток
  • 4.3 Магнетизм
  • 4.4 Электромагнитные колебания и волны
• 5 Оптика. СТО
  • 5.1 Геометрическая оптика
  • 5.2 Волновая оптика
  • 5.3 Фотометрия
  • 5.4 Квантовая оптика
  • 5.5 Излучение и спектры
  • 5. 6 СТО
• 6 Атомная и ядерная
  • 6.1 Атомная физика. Квантовая теория
  • 6.2 Ядерная физика
• 7 Общие темы
• 8 Новые страницы

Здесь размещена информация по школьной физике:

1. материалы из учебников, лекций, рефератов, журналов;
2. разработки уроков, тем;
3. flash-анимации, фотографии, рисунки различных физических процессов;
4. ссылки на другие сайты

и многое другое.

Каждый зарегистрированный пользователь сайта имеет возможность выкладывать свои материалы (см. справку), обсуждать уже созданные.

Учебники

Формулы по физике – 7 класс – 8 класс – 9 класс – 10 класс – 11 класс –

Механика

Кинематика

Основные понятия кинематики – Прямолинейное движение – Криволинейное движение – Движение в пространстве

Динамика

Законы Ньютона – Силы в механике – Движение под действием нескольких сил

Законы сохранения

Закон сохранения импульса – Закон сохранения энергии

Статика

Статика твердых тел – Динамика твердых тел – Гидростатика – Гидродинамика

Механические колебания и волны

Механические колебания – Механические волны

---

Термодинамика и МКТ

МКТ

Основы МКТ – Газовые законы – МКТ идеального газа

Термодинамика

Первый закон термодинамики – Второй закон термодинамики – Жидкость-газ – Поверхностное натяжение – Твердые тела – Тепловое расширение

---

Электродинамика

Электростатика

Электрическое поле и его параметры – Электроемкость

Электрический ток

Постоянный электрический ток – Электрический ток в металлах – Электрический ток в жидкостях – Электрический ток в газах – Электрический ток в вакууме – Электрический ток в полупроводниках

Магнетизм

Магнитное поле – Электромагнитная индукция

Электромагнитные колебания и волны

Электромагнитные колебания – Производство и передача электроэнергии – Электромагнитные волны

---

Оптика.

СТО

Геометрическая оптика

Прямолинейное распространение света. Отражение света – Преломление света – Линзы

Волновая оптика

Свет как электромагнитная волна – Интерференция света – Дифракция света

Фотометрия

Фотометрия

Квантовая оптика

Квантовая оптика

Излучение и спектры

Излучение и спектры

СТО

СТО

---

Атомная и ядерная

Атомная физика. Квантовая теория

Строение атома – Квантовая теория – Излучение атома

Ядерная физика

Атомное ядро – Радиоактивность – Ядерные реакции – Элементарные частицы

---

Общие темы

Измерения – Методы решения – Развитие науки- Статья- Как писать введение в реферате- Подготовка к ЕГЭ — Репетитор по физике

Новые страницы

Запрос не дал результатов.

4.5: Геометрический смысл скалярного умножения

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

14521

• Кен Каттлер
• Университет Бригама Янга via Lyryx 9{2}}\nonumber \] Таким образом, верно следующее. \[\| к \vec{u} \| =\левый\верт к \правый\верт \| \vec{u} \|\nonumber \] Другими словами, умножение на скаляр увеличивает или уменьшает длину вектора в \(\left\vert k \right\vert\). Если \(\left\vert k \right\vert > 1\), длина результирующего вектора будет увеличена. Если \(\left\vert k \right\vert <1\), длина результирующего вектора будет уменьшаться. Помните, что по определению абсолютного значения \(\left\vert k \right\vert >0\).

  А как насчет направления? Нарисуйте изображение \(\vec{u}\) и \(k\vec{u}\), где \(k\) отрицательно. Обратите внимание, что это приводит к тому, что результирующий вектор указывает в противоположном направлении, в то время как если \(k>0\), он сохраняет направление, на которое указывает вектор. Поэтому направление может либо измениться, если \(k < 0\), либо остаться прежним, если \(k > 0\).

  Рассмотрим следующий пример.

  Пример \(\PageIndex{1}\): графическое скалярное умножение

  Рассмотрим векторы \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\), нарисованные ниже.

  Рисунок \(\PageIndex{1}\)

  Рисование \(-\vec{u}\), \(2\vec{v}\) и \(-\frac{1}{2}\vec{ v}\).

  Решение

  Чтобы найти \(-\vec{u}\), мы сохраняем длину \(\vec{u}\) и просто меняем направление. Для \(2\vec{v}\) мы удваиваем длину \(\vec{v}\), сохраняя при этом направление. Наконец, \(-\frac{1}{2}\vec{v}\) можно найти, взяв половину длины \(\vec{v}\) и изменив направление. Эти векторы показаны на следующей диаграмме.

  Рисунок \(\PageIndex{2}\) 9п\) есть сумма векторов, умноженных на скаляры.

  В следующем примере мы исследуем геометрический смысл этого понятия.

  Пример \(\PageIndex{2}\): построение графика линейной комбинации векторов

  Рассмотрим следующее изображение векторов \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\)

  Рисунок \( \PageIndex{3}\)

  Нарисуйте изображение \(\vec{u}+2\vec{v},\vec{u}-\frac{1}{2}\vec{v}.\)

  Решение

  Два вектора показаны ниже.

  Рисунок \(\PageIndex{4}\)

  ---

  Эта страница под названием 4.5: Геометрическое значение скалярного умножения распространяется под лицензией CC BY 4. 0 и была создана, изменена и/или курирована Кеном Каттлером (Lyryx) с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами LibreTexts. Платформа; подробная история редактирования доступна по запросу.

  1. Наверх
  • Была ли эта статья полезной?

  1. Тип изделия

     Раздел или Страница

     Автор

     Кен Каттлер

     Лицензия

     СС BY

     Версия лицензии

     4,0

     Показать страницу TOC

     нет

  2. Теги

     1. источник@https://lyryx. com/first-course-linear-алгебра

  Как умножить вектор на скаляр — Помощь с IGCSE GCSE Maths

  Решение примеров задач на умножение векторов Теперь вы знаете, как умножить вектор на скаляр, пора ответить на несколько примеров вопросов. Так что начните смотреть математические видеоролики ниже, остановите их и ответьте на вопросы сами, прежде чем смотреть мои решения и ответы. Это лучший способ подготовиться к следующему экзамену по математике. Удачи! Решение вопроса из прошлой статьи о векторах и одновременных уравнениях Один из вас попросил меня помочь на форуме этого веб-сайта, чтобы решить и объяснить этот вопрос прошлого экзамена по математике, связанный с векторами. Изучите следующее видео во время собственного повторения математики и попросите меня помочь на форуме, если вы не понимаете векторы. Пример вопросов по математике, умножение векторов на скаляр После того, как вы изучили предыдущие задания по математике, пришло время попытаться самостоятельно ответить на некоторые вопросы по математике. Я создал для вас этот БЕСПЛАТНЫЙ рабочий лист, который проверяет, действительно ли вы понимаете векторы и как умножать их на скаляр. На второй странице рабочего листа по математике вы найдете ответы. Вы также можете скачать и распечатать этот БЕСПЛАТНЫЙ рабочий лист по математике внизу этой страницы, чтобы вы могли закончить его для повторения по математике в удобное для вас время. Пожалуйста, поделитесь моими ресурсами с друзьями или направьте их на мой сайт. maths_activity_multiplying_vector_by_scalar. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт