Как в геометрической прогрессии найти q: Как найти q в геометрической прогрессии если b1=0,5 и b4=500 ?

2 
Дальше надо решать как квадратное уравнение. 
Через общие формулы решения. 

Содержание

B1=2 b4=-16 n=6 найти q? геометрическая прогрессия

Решение: Найдем первый член прогрессии: A1 = Ak/qk-1
A1 = (-16) / (2)4-1 = -2
Найдем n-ый член прогрессии: An = A1·q n — 1
A6 = (-2)·(2)6-1 = -64
Сумма первых n членов прогрессии: Sn = A1·(qn- 1)/(q — 1)
S6 = -2·(26- 1)/(2 — 1) = -126
Первые 10 членов прогрессии: 
A1 = -2
A2 = A1·q = -4
A3 = A1·q2 = -8
A4 = A1·q3 = -16
A5 = A1·q4 = -32
A6 = A1·q5 = -64
A7 = A1·q6 = -128
A8 = A1·q7 = -256
A9 = A1·q8 = -512
A10 = A1·q9 = -1024

B4+B5=3/2

B5=4B3
q>0
Найти B4
геометрическая прогрессия
Решение: Формулы геометрической прогрессии
* bn=b1qn−1 — формула n-го члена геометрической прогрессии.
* bn=bkqn−k — формула n-го члена геометрической прогрессии через k-й член прогрессии.
* b2n=bn−1bn+1 — характеристическое свойство геометрической прогрессии для трех последовательных чисел.
* bnbm=bkbl — характеристическое свойство геометрической прогрессии для четырех чисел, если n + m = k + l
Формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии
* Sn=q−1bnq−b1
* Sn=q−1b1(qn−1)
Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии
* S=b11−qq1

1 2 > >>

формула, как найти q, сумма первых n чисел

Содержание:

• Что такое геометрическая прогрессия
• Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия — что из себя представляет
• Сумма первых n членов геометрической прогрессии
• Как найти q в геометрической прогрессии
• Примеры решения задач

Содержание

• Что такое геометрическая прогрессия
• Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия — что из себя представляет
• Сумма первых n членов геометрической прогрессии
• Как найти q в геометрической прогрессии
• Примеры решения задач

Что такое геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия являет собой последовательность чисел. Когда каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число \(Xn\), то говорят, что представлена числовая последовательность. Она имеет вид: \(X_1, X_2\)
,…,\(X_n\), или \({[X_n]}\). Для задания последовательности необходимо знать закон, по которому каждому натуральному числу n соответственно поставлено общее число последовательности \(f(n)=X_n.\)

Геометрическая прогрессия — последовательность с заданным первым членом \(b_1\), в которой каждый следующий, начиная со второго, получается умножением предыдущего на одно и то же число \(q\).

Числа \( b_1\) и q не могут равняться нулю, поскольку в таком случае все члены прогрессии, начиная со второго, будут равны нулю.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Геометрическую прогрессию определяют как произведение между ее знаменателем и n-м членом:

\(b_n=b_{n-1}\cdot q,\)

Где \(b_n\) — \(n-й\) член прогрессии, \(q\) — знаменатель прогрессии. 2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}.\)

Если \(b_1 > 0\) и \(q > 1\) или \(b_1 < 0\) и \(0 < q < 1\), то для геометрической последовательности характерно возрастание.

Если \(b_1 > 0\) и 0 < \(q < 1\) или \(b_1 < 0\) и \(q > 1\), то для нее характерно убывание.

Примеры геометрических прогрессий в жизни:

1. Размножение бактерий крайне велико и осуществляется по геометрической прогрессии: каждая клетка делится на две, новые — делятся еще на две и т.д. Знание принципов размножения бактерий находит свое применение в биотехнологии, пищевой промышленности, медицине и т.д.
2. Зная формулу суммы геометрической прогрессии, можно находить площади и объемы геометрических фигур. Еще Архимед заметил связь между прогрессиями и вывел формулу для нахождения площади сегмента параболы через сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
3. Возрастание скорости химических реакций происходит в геометрической прогрессии при увеличении температуры по арифметической прогрессии. 2}\Rightarrow1+q=3\Rightarrow q=2.\)

   Ответ: \(q=2. \)

   Насколько полезной была для вас статья?

   Рейтинг: 1.00 (Голосов: 5)

   Поиск по содержимому

   Экспоненциальный рост и упадок | Колледж Алгебра

   Результаты обучения

   • Графические функции экспоненциального роста и затухания.
   • Решите задачи, связанные с радиоактивным распадом, радиоуглеродным анализом и периодом полураспада.

   Экспоненциальный рост и затухание

   В реальных приложениях нам необходимо моделировать поведение функции. В математическом моделировании мы выбираем знакомую общую функцию со свойствами, которые предполагают, что она будет моделировать явление реального мира, которое мы хотим проанализировать. В случае быстрого роста мы можем выбрать экспоненциальную функцию роста: 9{kt}[/latex]

   , где [latex]{A}_{0}[/latex] равно значению в нулевое время, e  – постоянная Эйлера, а k  – положительная константа, определяющая скорость (процент) роста.

   Мы можем использовать функцию экспоненциального роста в приложениях, включающих время удвоения , время, необходимое для удвоения величины. Такие явления, как популяции диких животных, финансовые инвестиции, биологические образцы и природные ресурсы, могут демонстрировать рост в зависимости от времени удвоения. Однако в некоторых приложениях, как мы увидим при обсуждении логистического уравнения, логистическая модель иногда лучше соответствует данным, чем экспоненциальная модель. 9{-kt}[/latex], где [latex]{A}_{0}[/latex] — начальное значение, а e — постоянная Эйлера. Теперь k  является отрицательной константой, определяющей скорость распада. Мы можем использовать модель экспоненциального распада, когда вычисляем период полураспада , или время, которое требуется веществу для экспоненциального распада до половины его исходного количества. Мы используем период полураспада в приложениях, связанных с радиоактивными изотопами.

   При выборе функции в качестве математической модели мы часто используем точки данных, собранные путем тщательного наблюдения и измерения, для построения точек на графике и надеемся, что сможем распознать форму графика. Графики экспоненциального роста и спада имеют характерную форму, как мы можем видеть на графиках ниже. Важно помнить, что, хотя кажется, что части каждого из двух графиков лежат на 9{-2x}[/латекс].

   Экспоненциальный рост и затухание часто связаны с очень большими или очень маленькими числами. Чтобы описать эти числа, мы часто используем порядки величины. Порядок величины — это степень десяти, когда число выражается в экспоненциальном представлении с одной цифрой слева от десятичной дроби. Например, расстояние до ближайшей звезды

   Проксима Центавра , измеренное в километрах, составляет 40 113 497 200 000 километров. В экспоненциальном представлении это [латекс] 4,011349.{kt}[/latex] имеет следующие характеристики:
   • функция «один к одному»
   • горизонтальная асимптота: y = 0
   • домен: [латекс]\левый(-\infty , \infty \правый)[/латекс]
   • диапазон: [латекс]\влево(0,\infty\вправо)[/латекс]
   • x перехват: нет
   • y-перехват: [латекс]\влево(0,{А}_{0}\вправо)[/латекс]
   • увеличивается, если k > 0
   • уменьшается, если k < 0

   Экспоненциальная функция моделирует экспоненциальный рост, когда k > 0, и экспоненциальный спад, когда k < 0,

   Пример: График экспоненциального роста

   Популяция бактерий удваивается каждый час. Если культура началась с 10 бактерий, постройте график популяции как функцию времени.

   Показать решение

   Расчет времени удвоения

   Для растущих количеств мы можем захотеть узнать, сколько времени потребуется, чтобы количество удвоилось. Как мы упоминали выше, время, необходимое для удвоения величины, называется временем удвоения .

   Учитывая основные 9{kt}\hfill & \text{Разделите обе части на {A}_{0}.\hfill \\ \mathrm{ln}2=kt\hfill & \text{Возьмите натуральный логарифм обеих частей}.\ hfill \\ t=\frac{\mathrm{ln}2}{k}\hfill & \text{Разделить на коэффициент при }t.\hfill \end{array}[/latex]

   Таким образом, время удвоения равно

   [latex]t=\frac{\mathrm{ln}2}{k}[/latex]

   Пример: нахождение функции, описывающей экспоненциальный рост

   Согласно закону Мура, время удвоения количества транзисторов что можно поставить на компьютерный чип, составляет примерно два года. Укажите функцию, описывающую это поведение.

   Показать решение

   Попробуйте

   Последние данные показывают, что по состоянию на 2013 год темпы роста, предсказанные законом Мура, больше не выполняются. Рост замедлился до времени удвоения примерно за три года. Найдите новую функцию, учитывающую это более длительное время удвоения.

   Показать решение

   Half-Life

   Теперь обратимся к экспоненциальному распаду . Одним из общих терминов, связанных с экспоненциальным распадом, как указано выше, является период полураспада 9 .{kt}\hfill & \text{Разделите обе части на {A}_{0}.\hfill \\ \mathrm{ln}\left(\frac{1}{2}\right)=kt\hfill & \text{Возьмем натуральный логарифм обеих сторон}.\hfill \\ -\mathrm{ln}\left(2\right)=kt\hfill & \text{Применим свойства логарифмов}.\hfill \\ -\frac {\mathrm{ln}\left(2\right)}{k}=t\hfill & \text{Разделить на}k.\hfill\end{array}[/latex]

   Поскольку t , время , положительное, k должно, как и ожидалось, быть отрицательным. Это дает нам формулу периода полураспада

   [latex]t=-\frac{\mathrm{ln}\left(2\right)}{k}[/latex]

   В предыдущих разделах мы изучили свойства и правила как для экспоненциальной, так и для логарифмической функции. Мы видели, что любую экспоненциальную функцию можно записать в виде логарифмической функции и наоборот. Мы использовали показатели степени для решения логарифмических уравнений и логарифмы для решения показательных уравнений. Теперь мы готовы объединить наши навыки для решения уравнений, моделирующих реальные ситуации, независимо от того, находится ли неизвестное в показателе степени или в аргументе логарифма.

   Одно из таких применений находится в науке при расчете времени, необходимого для распада половины нестабильного материала в образце радиоактивного вещества, называемого его периодом полураспада . В приведенной ниже таблице указан период полураспада некоторых наиболее распространенных радиоактивных веществ.

   The first column is labeled,»>

   Вещество	Использовать	Период полураспада
   галлий-67	ядерная медицина	80 часов
   кобальт-60	производство	5,3 года
   технеций-99м	ядерная медицина	6 часов
   америций-241	строительство	432 года
   углерод-14	археологические датировки	5715 лет
   уран-235	атомная энергия	703 800 000 лет

   Мы можем видеть, насколько сильно различаются периоды полураспада этих веществ. Зная период полураспада вещества, мы можем рассчитать количество, оставшееся после определенного времени. Мы можем использовать формулу радиоактивного распада: 9{\frac{t}{T}}\hfill \end{array}[/latex]

   , где

   • [latex]{A}_{0}[/latex] — это первоначально присутствующее количество
   • [латекс]Т[/латекс] – период полураспада вещества
   . {кт}[/латекс].
   • Замените A на [latex]\frac{1}{2}{A}_{0}[/latex] и замените t на заданный период полураспада.
   • Решите, чтобы найти k . Выразите k как точное значение (не округляйте).

Примечание: Также можно найти скорость затухания, используя [латекс]k=-\frac{\mathrm{ln}\left(2\right)}{t}[/latex].

Пример: Использование формулы радиоактивного распада для определения количества вещества

Сколько времени потребуется для распада 10% 1000-граммовой пробы урана-235?

Показать решение

Попробуйте

Сколько времени пройдет, прежде чем двадцать процентов нашего 1000-граммового образца урана-235 распадутся?

Показать решение

Пример: Нахождение функции, описывающей радиоактивный распад

Период полураспада углерода-14 составляет 5730 лет. Выразите количество оставшегося углерода-14 как функцию времени, t .

Показать решение

Попробуйте

Период полураспада плутония-244 составляет 80 000 000 лет. Найдите функцию, которая дает количество оставшегося плутония-244 в зависимости от времени, измеряемого в годах.

Показать решение

Радиоуглеродное датирование

Формула радиоактивного распада важна для радиоуглеродного датирования , которое используется для расчета приблизительной даты смерти растения или животного. Радиоуглеродное датирование было открыто в 1949 году Уиллардом Либби, получившим за это открытие Нобелевскую премию. Он сравнивает разницу между соотношением двух изотопов углерода в органическом артефакте или окаменелости с соотношением этих двух изотопов в воздухе. Считается, что он точен с точностью до 1% для растений или животных, которые погибли в течение последних 60 000 лет.

Углерод-14 — радиоактивный изотоп углерода с периодом полураспада 5730 лет. Он встречается в небольших количествах в углекислом газе в воздухе, которым мы дышим. Большая часть углерода на Земле — это углерод-12, который имеет атомный вес 12 и не является радиоактивным. Ученые определили соотношение углерода-14 и углерода-12 в воздухе за последние 60 000 лет, используя кольца деревьев и другие органические образцы известных дат, хотя это соотношение немного изменилось за столетия.

Пока растение или животное живы, соотношение двух изотопов углерода в его теле близко к соотношению в атмосфере. Когда он умирает, углерод-14 в его теле распадается и не заменяется. Сравнивая соотношение углерода-14 и углерода-12 в разлагающемся образце с известным соотношением в атмосфере, можно приблизительно определить дату смерти растения или животного. 9{\left(\frac{\mathrm{ln}\left(0,5\right)}{5730}\right)t}\hfill & \text{Замените}r\text{в формуле непрерывного роста}.\hfill \end{array}[/latex]

Чтобы найти возраст объекта, решим это уравнение для t :

[латекс]t=\frac{\mathrm{ln}\left(\frac{A} {{A}_{0}}\right)}{-0. 000121}[/latex]

По необходимости мы пренебрегаем здесь многими деталями, которые ученый принимает во внимание при датировании по углероду-14, и мы только смотрим по основной формуле. Отношение углерода-14 к углероду-12 в атмосфере составляет примерно 0,0000000001%. Пусть 9{-0,000121t}[/латекс]. Мы решаем это уравнение для t , чтобы получить

[латекс] t = \ гидроразрыва {\ mathrm {ln} \ влево (г \ вправо)} {-0,000121} [/латекс]

Как: Учитывая процент углерода-14 в объекте, определите его возраст

1. Выразите данное процентное содержание углерода-14 в виде десятичного эквивалента r .
2. Подставьте вместо r в уравнение [латекс]t=\frac{\mathrm{ln}\left(r\right)}{-0,000121}[/latex] и найдите возраст t .

Пример: определение возраста кости

Найден фрагмент кости, который содержит 20% исходного углерода-14. С точностью до года сколько лет кости?

Показать решение

Попробуйте

Период полураспада цезия-137 составляет около 30 лет. Если мы начнем с 200 мг цезия-137, пройдет ли больше или меньше 230 лет, пока не останется всего 1 миллиграмм?

Показать решение

Поддержите!

У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

Экспоненциальный рост и спад

Экспоненциальный рост может быть удивительным!

Идея: всегда что-то растет по отношению к его текущему значению , например, всегда удваивается.

Пример: если популяция кроликов удваивается каждый месяц, у нас будет 2, затем 4, затем 8, 16, 32, 64, 128, 256 и т. д.!

Удивительное дерево

 

Допустим, у нас есть особое дерево.

It grows exponentially , following this formula:

Height (in mm) = e ^x

e is Euler’s number, about 2.718

 

• At 1 year old it is: e ¹ = высота 2,7 мм. .. очень маленькая!
• В 5 лет: e ⁵ = высота 148 мм … высота чашки
• В 10 лет: e ¹⁰ = высота 22 м … высота дома
• В 15 лет: e ¹⁵ = 3,3 км в высоту… в 10 раз больше высоты Эйфелевой башни
• В 20 лет: е ²⁰ = высота 485 км… в космос!

 

Ни одно дерево никогда не могло вырасти таким высоким.
Так что, когда люди говорят, что «он растет в геометрической прогрессии»… просто подумайте, что это значит.

Рост и упадок

Но иногда вещи могут расти (или наоборот: распадаться) экспоненциально, хотя бы на время .

Итак, у нас есть общая полезная формула:

y(t) = a × e ^kt

Где y(t) = значение в момент времени «t»
a = значение в начале
k = скорость роста (при >0 ) или распад (когда <0)
t = время

 

Пример: 2 месяца назад у вас было 3 мыши, а теперь 18.

Если предположить, что рост продолжится Что такое значение «k»? Сколько мышей будет через 2 месяца? Сколько мышей через 1 год?

 

Начните с формулы:

y(t) = a × e ^kt

Мы знаем a=3 мышей, 5y(t=2 месяцев, 2 и прямо сейчас =18 мыши:

18 = 3 × e ^2k

Теперь немного алгебры для решения k :

Разделите обе части на 3:6 = e ^2k

3 Возьмем натуральный логарифм обеих частей 9 :ln(6) = ln(e ^2k )

ln(e ^x )=x , поэтому: ln(6) = 2k

Поменять местами стороны: 2k = ln(6)

Разделить на 2: 90(6) k = ln /2

Примечания:

• Шаг, на котором мы использовали ln(e ^x )=x , объясняется в Экспоненты и логарифмы .
• мы могли бы вычислить k ≈ 0,896 , но лучше оставить его равным k = ln(6)/2 , пока мы не проведем окончательные вычисления.

 

Теперь мы можем подставить k = ln(6)/2 в нашу формулу: населения еще через 2 мес (при t=4 мес):

y( 4 ) = 3 e ^{(ln(6)/2)× 4} = 108

А через 1 год от сейчас ( t=14 месяцев):

y( 14 ) = 3 e ^{(ln(6)/2)× 14} = 839,808

Много мышей! Надеюсь, вы будете правильно их кормить.

Экспоненциальный спад

Некоторые вещи «распадают» (уменьшаются) экспоненциально.

Пример: Атмосферное давление (давление воздуха вокруг вас) уменьшается по мере того, как вы поднимаетесь выше.

Уменьшается примерно на 12% на каждые 1000 м: экспоненциальное затухание .

Давление на уровне моря около 1013 гПа (в зависимости от погоды).

 

• Запишите формулу (со значением «k»),
• Найти давление на крыше Эмпайр Стейт Билдинг (381 м),
• и на вершине Эвереста (8848 м)

 

Начнем с формулы:

y(t) = a × e ^кт

Мы знаем

• a (давление на уровне моря) = 905 х 609 1 Па
• t в метрах (расстояние, а не время, но формула работает)
• y(1000) — снижение на 12 % при 1013 гПа = 891,44 гПа

SO:

891,44 = 1013 E ^{K × 1000}

Сейчас немного алгебры для решения для K :

Разделите обе стороны на 1013: 0,88 = E ^1000K

777777777777777777777776. :ln(0,88) = ln(e ^1000k )

ln(e ^x )=x , поэтому: ln(0,88) = 1000k

Поменять местами: 1000k

Поменять местами: 1900k 3 на 9018 1000: к = ln(0,88)/1000

 

Теперь, когда мы знаем «k», мы можем написать :

y(t) = 1013 e ^{(ln(0,88)/1000)×t}

 

, and at 8848 m :

 

y( 381 ) = 1013 e ^{(ln(0.88)/1000)× 381} = 965 hPa

y( 8848 ) = 1013 e ^{(ln(0,88)/1000)× 8848} = 327 гПа

 

(На самом деле давление на Эвересте составляет около 337 гПа… хорошие расчеты!)

Период полураспада

Период полураспада — это время, за которое значение уменьшится вдвое при экспоненциальном затухании.

Обычно используется при радиоактивном распаде, но имеет множество других применений!

Пример: период полураспада кофеина в организме составляет около 6 часов.

No related posts.