Как вычислять вероятность: Вероятность, Теория вероятности, вычисление экспериментальной вероятности

Вероятность, Теория вероятности, вычисление экспериментальной вероятности

Когда бросается монета, можно сказать, что она упадет орлом вверх, или вероятность этого составляет 1/2. Конечно, это не означает того, что если монета подбрасывается 10 раз, она обязательно упадет вверх орлом 5 раз. Если монета является «честной» и если она подбрасывается много раз, то орел выпадет очень близко в половине случаев. Таким образом, существует два вида вероятностей: экспериментальная и теоретическая.

Экспериментальная и теоретическая вероятность

Если бросить монетку большое количество раз — скажем, 1000 — и посчитать, сколько раз выпадет орел, мы можем определить вероятность того, что выпадет орел. Если орел выпадет 503 раза, мы можем посчитать вероятность его выпадения:
503/1000, или 0,503.

Это экспериментальное определение вероятности. Такое определение вероятности вытекает из наблюдения и изучения данных и является довольно распространенным и очень полезным. Вот, к примеру, некоторые вероятности которые были определены экспериментально:

1. Вероятность того, что у женщины разовьется рак молочной железы составляет 1/11.

2. Если вы целуетесь, с кем-то, кто болен простудой, то вероятность того, что вы тоже заболеете простудой, составляет 0,07.

3. Человек, который только что был освобожден из тюрьмы, имеет 80% вероятности возвращения назад в тюрьму.

Если мы рассматриваем бросание монеты и беря во внимание то, что столь же вероятно, что выпадет орел или решка, мы можем вычислить вероятность выпадение орла: 1 / 2. Это теоретическое определение вероятности. Вот некоторые другие вероятности, которые были определены теоретически, с помощью математики:

1. Если находится 30 человек в комнате, вероятность того, что двое из них имеют одинаковый день рождения (исключая год), составляет 0,706.

2. Во время поездки, Вы встречаете кого-то, и в течение разговора обнаруживаете, что у вас есть общий знакомый. Типичная реакция: «Этого не может быть!».

На самом деле, эта фраза не подходит, потому что вероятность такого события достаточно высока — чуть более 22%.

Таким образом, экспериментальная вероятность определяются путем наблюдения и сбора данных. Теоретические вероятности определяются путем математических рассуждений. Примеры экспериментальных и теоретических вероятностей, как например, рассмотренных выше, и особенно тех, которые мы не ожидаем, приводят нас, к ваэности изучения вероятности. Вы можете спросить: «Что такое истинная вероятность?» На самом деле, таковой нет. Экспериментально можно определить вероятности в определенных пределах. Они могут совпадать или не совпадать с вероятностями, которые мы получаем теоретически. Есть ситуации, в которых гораздо легче определить один из типов вероятности, чем другой. Например, было бы довольно найти вероятность простудиться, используя теоретическую вероятность.

Вычисление экспериментальных вероятностей

Рассмотрим сначала экспериментальное определение вероятности. Основной принцип, который мы используем для вычисления таких вероятностей, является следующим.

Принцип P (экспериментальный)

Если в опыте, в котором проводится n наблюдений, ситуация или событие Е происходит m раз за n наблюдений, то говорят, что экспериментальная вероятность события равна P (E) = m/n.

Пример 1 Социологический опрос. Было проведено экспериментальное исследование, чтобы определить количество левшей, правшей и людей, у которых обе руки развиты одинаково Результаты показаны на графике.

a) Определите вероятность того, что человек — правша.

b) Определите вероятность того, что человек — левша.

c) Определите вероятность того, что человек одинаково свободно владеет обеими руками.

d) В большинстве турниров, проводимых Профессиональной Ассоциацией Боулинга, участвуют 120 игроков. На основании данных этого эксперимента, сколько игроков могут быть левшой?

Решение

a)Число людей, являющиеся правшами, составляет 82, количество левшей составляет 17, а число тех, кто одинаково свободно владеет двумя руками — 1. Общее количество наблюдений — 100. Таким образом, вероятность того, что человек правша, есть Р
P = 82/100, или 0,82, или 82%.

b) Вероятность того, что человек левша, есть Р, где
P = 17/100, или 0,17, или 17%.

c) Вероятность того, что человек одинаково свободно владеет двумя руками составляет P, где
P = 1/100, или 0,01, или 1%.

d) 120 игроков в боулинг, и из (b) мы можем ожидать, что 17% — левши. Отсюда
17% от 120 = 0,17.120 = 20,4,
то есть мы можем ожидать, что около 20 игроков являются левшами.

Пример 2 Контроль качества. Для производителя очень важно держать качество своей продукции на высоком уровне. На самом деле, компании нанимают инспекторов контроля качества для обеспечения этого процесса. Целью является выпуск минимально возможного количества дефектных изделий. Но так как компания производит тысячи изделий каждый день, она не может позволить себе проверять каждое изделие, чтобы определить, бракованное оно или нет. Чтобы выяснить, какой процент продукции являются дефектным, компания проверяет гораздо меньше изделий.

Министерство сельского хозяйства США требует, чтобы 80% семян, которые продают производители, прорастали. Для определения качества семян, которые производит сельхозкомпания, высаживается 500 семян из тех, которые были произведены. После этого подсчитали, что 417 семян проросло.

a) Какова вероятность того, что семя прорастет?

b) Отвечают ли семена государственным стандартам?

Решение

a) Мы знаем, что из 500 семян, которые были высажены, 417 проросли. Вероятность прорастания семян Р, и
P = 417/500 = 0,834, или 83.4%.

b) Так как процент проросших семян превысил 80% по требованию, семена отвечают государственным стандартам.

Пример 3 Телевизионные рейтинги. Согласно статистических данных, в Соединенных Штатах 105 500 000 домохозяйств с телевизорами. Каждую неделю, информация о просмотре передач собирается и обрабатывается. В течение одной недели 7815000 домохозяйств были настроены на популярный комедийный сериал «Все любят Реймонда» на CBS и 8302000 домохозяйств были настроены на популярный сериал «Закон и порядок» на NBC (Источник: Nielsen Media Research). Какова вероятность того, что телевизор одного дома настроен на «Everybody Loves Raymond» в течение данной недели? на «Закон и порядок»?

Решениеn Вероятность того, что телевизор в одном домохозяйстве настроен на «Все любят Реймонда» равна Р, и

P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Возможность, что телевизор домохозяйства был настроен на «Закон и порядок» составляет P, и
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Эти проценты называются рейтингами.

Теоретическая вероятность

Предположим, что мы проводим эксперимент, такие, как бросание монетки ли дротиков, вытаскивание карты из колоды, или проверка изделий на качество на сборочной линии. Каждый возможный результат такого эксперимента называется исход. Множество всех возможных исходов называется пространством исходов. Событие это множество исходов, то есть подмножество пространства исходов.

Пример 4 Бросание дротиков. Предположим, что в эксперименте «метание дротиков» дротик попадает в мишень. Найдите каждое из нижеследующих:

a) Исходы

b) Пространство исходов

Решение
a) Исходы это: попадание в черное (Ч), попадание в красное (К) и попадание в белое (Б).

b) Пространство исходов есть {попадание в черное, попадание в красное, попадание в белое}, которое может быть записано просто как {Ч, К, Б}.

Пример 5 Бросание игральных костей. Игральная кость это куб с шестью гранями, на каждой их которых нарисовано от одной до шести точек.

Предположим, что мы бросаем игральную кость. Найдите
a) Исходы
b) Пространство исходов

Решение
a) Исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Пространство исходов {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Мы обозначаем вероятность того, что событие Е случается в качестве Р (Е). Например, «монета упадет решкой» можно обозначать H. Тогда Р (Н) представляет собой вероятность того, монета упадет решкой. Когда все исходы эксперимента имеют одинаковую вероятность появления, говорят, что они равновероятны.

Чтобы увидеть различия между событиями, которые равновероятны, и неравновероятными событиями, рассмотрим мишень, изображенную ниже.

Для мишени A, события попадания в черное, красное и белое равновероятны, так как черные, красные и белые сектора — одинаковые. Однако, для мишени B зоны с этими цветами не одинаковы, то есть попадание в них не равновероятно.

Принцип P (Теоретический)

Если событие E может случиться m путями из n возможных равновероятных исходов из пространства исходов S, тогда теоретическая вероятность события, P(E) составляет
P(E) = m/n.

Пример 6 Какая вероятность выкинуть 3, бросив игральный кубик?

Решение На игральном кубике 6 равновероятных исходов и существует только одна возможность выбрасивания цифры 3. Тогда вероятность P составит P(3) = 1/6.

Пример 7 Какая вероятность выбрасывания четной цифры на игральном кубике?

Решение

Событие — это выбрасывание четной цифры. Это может случиться 3 способами (если выпадет 2, 4 или 6). Число равновероятных исходов равно 6. Тогда вероятность P(четное) = 3/6, или 1/2.

Мы будем использовать ряд примеров, связанных со стандартной колодой из 52 карт. Такая колода состоит из карт, показанных на рисунке ниже.

Пример 8 Какая вероятность вытянуть туза из хорошо перемешанной колоды карт?

Решение Существует 52 исхода (количество карт в колоде), они равновероятны (если колода хорошо перемешана), и есть 4 способа вытянуть туза, поэтому согласно принципу P, вероятность
P(вытягивания туза) = 4/52, или 1/13.

Пример 9 Предположим, что мы выбираем не глядя, один шарик из мешка с 3-мя красными шариками и 4-мя зелеными шариками. Какова вероятность выбора красного шарика?

Решение Существует 7 равновероятных исходов достать любой шарик, и так как число способов вытянуть красный шарик равно 3, получим

P(выбора красного шарика) = 3/7.

Следующие утверждения — это результаты из принципа P.

Свойства вероятности

a) Если событие E не может случиться, тогда P(E) = 0.
b) Если событие E случиться непременно тогда P(E) = 1.
c) Вероятность того, что событие Е произойдет это число от 0 до 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Например, в бросании монеты, событие, когда монета упадет на ребро имеет нулевую вероятность. Вероятность того, что монета либо на орел или решку имеет вероятность 1.

Пример 10 Предположим, что вытягиваются 2 карты из колоды с 52-мя картами. Какова вероятность того, что обе из них пики?

Решение Число путей n вытягивания 2 карт из хорошо перемешанной колоды с 52 картами есть ₅₂C₂. Так как 13 из 52 карт являются пиками, число способов m вытягивания 2-х пик есть ₁₃C₂. Тогда,
P(вытягивания 2-х пик)= m/n = ₁₃C₂/₅₂C₂ = 78/1326 = 1/17.

Пример 11 Предположим, что 3 человека выбираются случайно из группы, состоящей из 6-ти мужчин и 4-х женщин. Какова вероятность того, что будут выбраны 1 мужчина и 2 женщины?

Решение Число способов выбора троих человек из группы 10 человек ₁₀C₃. Один мужчина может быть выбран ₆C₁ способами, и 2 женщины могут быть выбраны ₄C₂ способами. Согласно фундаментальному принципу подсчета, число способов выбора 1-го мужчины и 2-х женщин ₆C₁.₄C₂. Тогда, вероятность что будет выбраны 1-го мужчины и 2-х женщин есть
P = ₆C₁.₄C₂/₁₀C₃ = 3/10.

Пример 12 Бросание игральных кубиков. Какая вероятность выбрасывания в сумме 8 на двух игральных кубиках?

Решение На каждом игральном кубике есть 6 возможных исходов. Исходы удваиваются, то есть существует 6.6 или 36 возможных способа, в котором могут выпасть цифры на двух кубиках. (Лучше, если кубики разные, скажем один красный а второй голубой — это поможет визуализировать результат. )

Пары цифр, в сумме составляющие 8, показаны на рисунке внизу. Есть 5 возможных способов получения суммы, равной 8, отсюда вероятность равна 5/36.

Правила вероятности

Условная вероятность

Формула полной вероятности

Формула Байеса

Оценка вероятности в схеме испытаний Бернулли

Мы можем применять правила вероятности для того, чтобы складывать и умножать вероятности.

Например, у взрослого пациента все зубы сохранены, некоторые зубы отсутствуют или он беззубый; вероятности равны 0,67, 0,24 и 0,09 соответственно.

• Правило сложения. Если два события, и , взаимоисключающие, несовместимые, то вероятность события или равна сумме их вероятностей:

  Вероятность того, что у пациента есть несколько зубов, равна 0,67 + 0,24 = 0,91.

• Правило умножения. Если два события, и , независимы (т. е. возникновение одного события не влияет на возможность появления другого), то вероятность того, что оба события произойдут, равна произведению вероятности каждого:

  Например, если 2 не имеющих отношения друг к другу больных ожидают приема в кабинете хирургической стоматологии то вероятность того, что у обоих больных есть все зубы, равна 0,67 • 0.67 =  0,45.

Условная вероятность

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло. 

Пусть  — фиксированное вероятностное пространство. Пусть  — два случайных события, причём . Тогда условной вероятностью события при условии события называется

Формула полной вероятности

Пусть событие может наступать только при условии появления одного из событий , образующих полную систему событий. Тогда вероятность события равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность события :

Эта формула носит название формулы полной вероятности.

Формула Байеса

Если вероятности событий до опыта были , то с учетом появления в результате опыта события условная вероятность вычисляется по формуле Байеса:

Оценка вероятности в схеме испытаний Бернулли

Мы приводим пример классического статистического рассуждения, которое полезно иметь в виду при анализе реальных данных. 

Бытует мнение, что при рождении ребенка вероятность мальчика такая же, как и девочки. 

Примем это за гипотезу. 

Для её проверки имеется огромный статистический материал. 

Воспользуемся данными по Швейцарии с 1871 по 1900 гг., когда там родилось человек и среди них мальчиков и девочек. 

Согласуется ли гипотеза о равновероятности рождения мальчика и девочки с этими числами? 

Условно назвав «успехом» рождение мальчика, поставим этот вопрос по-другому, обратившись к схеме Бернулли с вероятностью «успеха» . 

Согласуется ли гипотеза с тем, что в серии из испытаний частота «успеха» оказалось равной 

Очевидно, если вместо гипотезы выдвинуть, скажем, предположение о том, что , то это предположение будет сразу же отвергнуто как маловероятное (или даже невозможное).  

Уместно спросить: почему? Ответ здесь можно дать, основываясь на том, что частота как случайная величина (обозначим её ) подчиняется известному закону распределения. 

Эта величина имеет биномиальное распределение. При больших n имеет место нормальное приближение (в силу центральной предельной теоремы). 

Воспользовавшись нормальным приближением и задавшись малым  (будем называть  уровнем значимости), можно утверждать, например, что

с вероятностью, где   определяется из условия с помощью нормальной функции распределения

( называется квантилем уровня). Скажем,  отвечает , а  уже соответствует 

Это легко проверить с помощью калькулятора вероятностных распределений STATISTICA. Вернемся к нашим числовым данным и гипотезе , согласно которым мы имеем значение

Оно далеко выходит за границу 

Какое же значение, основываясь на этих данных, следует приписать неизвестной вероятности ?

Мы знаем, что по закону больших чисел есть предел частоты (при ), и при имеющемся у нас можно в качестве оценки взять уже приводившееся ранее значение . Эту оценку можно уточнить следующим образом. Поскольку всегда имеет место неравенство , получаем

с вероятностью, не меньшей (точнее, допущение о том, что истинное значение лежит вне этих границ, означает наступление события, дополнительного к (2) и имеющего вероятность не больше ).

В этом смысле можно утверждать, например, что  с вероятностью не меньшей 0.9973 (это получается при  с уровнем значимости ).

Данное рассуждение приведено в книге Ю.А. Розанова «Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика: Учебник для вузов», М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы.

Связанные определения:
Вероятность события
Независимые повторные испытания Бернулли
Независимые события

В начало

Содержание портала

Расчет вероятности: формулы, бином, дробь

Вероятность означает возможность. Чтобы найти вероятность того, что произойдет одно событие, нам нужно сначала узнать общее количество возможных исходов.

Вероятность — это математическая мера того, насколько вероятно событие. Это аспект математики, который имеет дело с возникновением случайного события.

Математически вероятность находится в диапазоне от 0 до 1, где 0 означает невозможность того, что событие произойдет, а 1 означает, что событие обязательно произойдет. Между обоими значениями у нас есть разные степени вероятности того, что событие произойдет. 0,5 означает, что шансы на событие равны.

Например, при подбрасывании монеты есть только две возможности исхода. В результате либо орел, либо решка. Однако, когда вы подбрасываете две монеты, возможны три исхода. У вас либо две головы, либо две решки, либо одна голова и одна решка. Теперь мы рассмотрим, какая формула используется для выполнения этих расчетов и поможет нам решить более сложные задачи.

Формула вероятности

Формула вероятности определяется как вероятность наступления события, равная отношению числа благоприятных/желательных исходов к общему числу исходов. Математически это записывается как:

\[Вероятность \пространство \пространство \пространство события = \frac {Количество \пространство \пространство благоприятных \пространств исходов}{Всего \пространство число \пространство \пространство исходов}\]

Расчеты вероятностей

Вероятность можно записать с помощью следующих обозначений:

Обе ситуации должны в сумме давать 1. Если вероятность события А находится между тем, что А произойдет, и тем, что А не произойдет, то вероятность того, что событие А не произойдет \( = 1 — P (A’ )\). Например, если \(P(A) = 0,75, \space, то \space P(A’) = 0,25\).

Предположим, был эксперимент, в котором кости бросали 500 раз, и вы получили 74 пятерки. Экспериментальная вероятность выбросить пятерку равна \(\frac{74}{500} = 0,148\).

Если предположить, что кубик правильный, то теоретическая вероятность выпадения 5 равна \(\frac{1}{6} = 0,166\).

Это потому, что 6 — это общее количество возможных результатов, которые могут быть при броске костей. И 1 указывает на желаемый результат (выпадение пятерки).

Таким образом, в среднем, если кубик правильный, вы увидите \(\frac{1}{6} \space of \space 500 = 83\) пятерок.

Эта математика означает, что если бросить кости 500 раз, при условии, что кости правильные, то выпадет примерно 83 пятерки.

При одновременном подбрасывании двух монет какова вероятность того, что одна монета выпадет орлом, а другая решкой?

Ответ:

Образец пространства для подбрасывания двух монет выглядит следующим образом;

S = {HH,HT,TH,TT}

Где H= орел и T= решка

\(вероятность \space \space a \space event = \frac {Number \space of \space благоприятно \space results}{Всего \space number \space of \space results}\)

\(\begin{align}P(Head \space on \space one \space and \space Tail \space and \space on \space other) &= P(HT) + P(TH) \\ &= \ frac {1}{4} + \frac {1}{4} \\ &= \frac {2}{4} \end{align}\)

Разделить на 2

\(P(Head \space на \space one \space и \space Tail \space на \space the \space other) = \frac {1}{2}\)

Это означает, что существует 50% вероятность того, что у одного будет орел и решка на другом после одновременного подбрасывания монет.

Какова вероятность того, что случайная карта, вытащенная из колоды карт, является лицевой?

ответ:

Поскольку в стандартной колоде 52 карты, общее количество исходов будет 52.

n(S) = 52

Теперь пусть E будет событием вытягивания лицевой карты.

Количество благоприятных событий = n (E)

\(n(E) = 3 \cdot 4 = 12\)

\(Вероятность = \frac{Число \space of \space Благоприятных \space Исходов}{Всего \space Number \space of \space Outcomes}\)

\(\begin{align} P(E) &= \frac{n(E)}{n(S)} \\ &= \frac {12} {52} \\ &=\frac{3}{13} \\ &=0,23 \end{align}\)

Это также может быть выражено в процентах как вероятность 23%.

У нас есть коробка, в которой 4 синих шара, 5 красных шаров и 11 белых шаров. Если из сосуда наугад вынуть три шара, какова вероятность того, что первый шар будет красным, второй – синим, а третий – белым?

Ответ:

Сначала найдем вероятность каждого выбранного цвета.

Так как всего 20 шаров, возможный исход для выбора равен 20.

Вероятность того, что первый шар будет красным, равна \(\frac{5}{20}\).

Теперь мы выбрали шар, который оставляет нам возможные результаты 19.

Таким образом, вероятность того, что второй выбор будет синим, равна \(\frac{4}{19}\).

Опять же, поскольку мы уже делаем еще один выбор, общее количество возможных исходов уменьшается на 1, и остается 18.

Вероятность того, что третий шар белый, равна \(\frac{11}{18}\).

Таким образом, полная вероятность того, что первый шар красный, второй синий и третий белый, равна \(\frac{5}{20} \cdot \frac {4}{19} \cdot \frac {11}{18} = \frac {44}{1368}\)

P = 0,032

Это также может быть выражено в процентах как вероятность 3,2%.

Расчеты вероятностей – основные выводы

• Вероятность – это математическая мера вероятности наступления события.
• Математически вероятность находится в диапазоне от 0 до 1, где 0 означает, что событие не может произойти, а 1 означает, что событие обязательно произойдет.
• Формула вероятности: \(Вероятность \пространство \пространство события \пространства = \frac {Количество \пространство \пространство благоприятных \пространств исходов}{Всего \пространство число \пространство \пространства результатов}\).
• P (A) — обозначение вероятности наступления события A.
• P (A ‘) — обозначение вероятности того, что событие A не произойдет.
• Вероятность того, что событие произойдет и не произойдет, должна составлять в сумме 1.

Вероятность: что это такое и как ее рассчитать

это, для чего он используется и как он рассчитывается, а также некоторые примеры, которые мы могли бы найти в нашей повседневной жизни.

Что такое вероятность?

Одной из самых особых характеристик людей, которая отличает нас от других видов, является наша способность «предсказывать», предвидеть события, которые должны произойти. Иногда мы терпим неудачу, но во многих других случаях мы этого не делаем. Эта способность позволила нам достичь того, что мы имеем сегодня, предугадывая как опасности, так и возможности. Подумайте об этом, наши предки, которые были в состоянии предсказать нападение хищника, были теми, кто выжил. Теперь, десятки тысяч лет спустя, мы сделали еще один шаг вперед и удивляемся, что такое вероятность?

Вероятность — это математический расчет, который оценивает возможности, которые существуют для того, чтобы событие произошло при вмешательстве случая.

Давайте рассмотрим несколько примеров, потому что вероятность, как и многие понятия в математике, является абстрактной конструкцией, которую лучше понять на примерах.

Если вы вращаете колесо, на какие числа вы можете приземлиться?

Прялка может остановиться на любом числе от одного до пяти. Не осознавая этого, мы построили эксперимент (вращающееся колесо) и образец пространства (цифры от 1 до 5). Выборочное пространство — это множество, имеющее возможные результаты, то есть числа от одного до пяти.

Из нашего опыта с настольными играми мы уже знаем больше о предыдущем эксперименте. возможно то, что вращающееся колесо может остановиться на одном из этих чисел, и невозможно , например, чтобы оно остановилось на восьмерке. Мы довольно много знаем о вероятности и даже не осознаем этого!

Давайте посмотрим на другой эксперимент в другом контексте:

Глядя на эту парковку, если машина выедет со стоянки, какого цвета она может быть?

Возможности очень ясны, либо красная машина, либо желтая машина может покинуть парковку. Уехать зеленой машине или синему мопеду невозможно. Несмотря на то, что существует вероятность того, что желтая машина уедет, более вероятно , что уедет красная машина, потому что красных машин больше, чем желтых.

Как рассчитать вероятность

Чтобы рассчитать вероятность, мы вернемся к предыдущему примеру, и это не что иное, как подсчет количества автомобилей каждого цвета. Поскольку 6 из 7 автомобилей на стоянке красные, мы можем записать это в виде дроби: вероятность того, что красный автомобиль покинет парковку, будет дробью с числителем 6 (количество красных автомобилей) и знаменателем 7 (общее количество автомобилей).

Вероятность выезда красной машины равна \(\frac{6}{7}\). Вероятность выезда желтой машины равна \(\frac{1}{7}\). Вероятность того, что синяя машина уедет, будет равна 0, потому что на стоянке нет синих машин.

Обобщая эту идею, мы приходим к тому, как рассчитывается вероятность: с дробью, которую часто называют правилом Лапласа . Поместим число благоприятных случаев в числитель, а число возможных случаев в знаменатель.

Теперь мы можем рассчитать вероятности очень простых событий, например, мы можем предсказать, какие шары выпадут из этого лотерейного барабана:

В лотерейном барабане 8 шаров:

• Вероятность того, что выпадет одна, равна \(\frac{1}{8}\)
• Но четыре одинаковых шара имеют номер 5, поэтому вероятность того, что выпадет 5, равна \(\frac{4}{8}\). Если вас попросят сделать ставку на какой-либо результат, наиболее вероятным будет 5.
.

Математики видят преимущества, которые можно получить из этих предсказаний, и действительно развили эту область. Мы в Smartick сделали то же самое с последовательностью упражнений, отсортированных по уровню, которые адаптируются к темпу обучения каждого ребенка.

Пример: подбрасывание монеты

Если вы подбрасываете монету, вероятность того, что она упадет решкой, равна \(\frac{1}{2}\), то же самое относится и к ее выпадению решкой.

Пример: бросание игральных костей

Если вы бросаете кубик, вероятность того, что выпадет три, будет равна \(\frac{1}{6}\).

Вы также можете рассчитать вероятность того, что выпадет четное число. Поскольку есть три стороны с четными числами (2, 4 и 6) и всего шесть сторон, это будет \(\frac{3}{6}\)=\(\frac{1}{2}\ )

 

Почему мы используем вероятность?

Вероятность используется во многих областях, таких как математика, статистика, физика, экономика и социальные науки. Первые вероятностные исследования были разработаны для решения проблем, связанных с азартными играми, и именно здесь их использование наиболее заметно, поскольку они могут помочь вам получить больше шансов выиграть или сэкономить деньги (выбирая не играть в игры, в которых вы, скорее всего, проиграете). ).

Пример: шансы и четы

Посмотрите на следующий пример, используя детскую игру Четы и шансы.

Шансы и четы — это игра, в которой нужно выбирать между двумя людьми. Два человека выбирают между четным и нечетным и одновременно показывают количество пальцев, которые они держат за спиной. Затем они складывают количество пальцев, и если сумма получается нечетной, выигрывает тот, кто выбрал нечетное, и наоборот.

Сюрприз в том, что если вы никогда не играли в Odds and Evens, то, в отличие от подбрасывания монеты в воздух, это нечестная игра . Маловероятно, что выпадет тот или иной вариант. Вероятность показывает, что результат будет скорее четным, чем нечетным.

Вы можете увидеть это в этой таблице, где номера отмечены оранжевым цветом . Если вы посмотрите, есть 25 возможных результатов и 13 из них даже .

Разница невелика, но если вы играете «четно», вероятность выигрыша увеличивается на 4 %, поскольку \(\frac{13}{25}=0,52\), а \(\frac{12} {25}=0,48\).

Пример: Лотерея

Если вы считаете, что 4% очень мало, то вам не следует играть в лотерею , потому что шансы на то, что вы угадаете правильный номер и выиграете джекпот, \(\frac{1}{ 100 000}=0,00001\), ничтожные 0,001%. Это число примерно равно тому, как набрать такую ​​же каплю воды из пятилитровой бочки.

Но не все события зависят от вероятности, многие являются условиями других факторов.

Допустим, вы хотите увеличьте свои шансы из сдать тест по математике . Чтобы сделать это, лучше не рисковать, и отличный способ получить более высокую оценку за тест по математике – выполнять ежедневные математические занятия со Smartick! Другими способами подготовиться являются учеба, участие в занятиях, поддержание здоровья и хороший сон.