Как вычитать складывать умножать делить дроби: Умножение обыкновенных дробей — урок. Математика, 6 класс.

Обыкновенные дроби и действия с ними — что это, определение и ответ

Доля – это часть от целого.

Например, пирог разделили на 8 частей, значит каждый кусочек пирога равен одной восьмой доле пирога или просто одной восьмой пирога. Записать такую долю можно в виде дроби\(\ = \frac{1}{8}\).

Если из полученных кусочков забрать три и оставить пять, получится, что забрали три восьмые\(\ –\ \frac{3}{8}\ \)пирога и оставили пять восьмых \(–\ \frac{5}{8}.\)

Число выше черты дроби называется числителем, число ниже черты – знаменателем, а запись вида \(\frac{5}{8}\) – обыкновенной дробью.

Дробь \(\frac{1}{2}\) называется половиной, \(\frac{1}{3}\) – третью, а \(\frac{1}{4}\) – четвертью.

ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБЕЙ:

Если мы представим пирог, который разделили на четыре части и забрали две из них (\(\frac{2}{4}\)), мы увидим, что забрали ровно половину пирога, то есть \(\frac{1}{2}\).

Значит \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). Так получается, потому что дроби можно сокращать (делить) и расширять (умножать). Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно число, то дробь останется такой же.

Например:

\(\frac{1}{2} = \frac{1 \bullet 2}{2 \bullet 2} = \frac{2}{4}\)

\(\frac{28}{77} = \frac{28 : 7}{77 : 7} = \frac{4}{11}\)

\(\frac{5}{12} = \frac{5 \bullet 4}{12 \bullet 4} = \frac{20}{48}\)

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ:

1. Можно складывать и вычитать только те дроби, у которых одинаковый знаменатель. Тогда знаменатель суммы или разности будет такой же, как и у слагаемых, а числители складываются или вычитаются.

\(\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}\)

Например:

\(\frac{2}{7} + \frac{4}{7} = \frac{2 + 4}{7} = \frac{6}{7}\)

\(\frac{8}{9}\ –\ \frac{3}{9} = \frac{8\ –\ 3}{9} = \frac{5}{9}\)

2. Если у дробей разные знаменатели, то нужно привести их к общему знаменателю.

Приведем дробь \(\frac{5}{6}\ \)к знаменателю 42. Чтобы это сделать, нужно знаменатель 6 умножить на \(42 : 6 = 7\), значит и числительно тоже нужно умножить на 7:

\(\frac{5}{7} = \frac{5 \bullet 7}{6 \bullet 7} = \frac{35}{42}\)

Таким образом, мы пришли к новому знаменателю 42 с помощью дополнительного множителя 7.

Общим знаменателем является общее кратное исходных знаменателей. Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. А уже дроби с общим знаменателем можно складывать и вычитать.

АЛГОРИТМ СЛОЖЕНИЯ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ:

1. Найти наименьшее общее кратное знаменателей дробей. Оно и будет новым знаменателем суммы.

2. Разделить найденный наименьший общий знаменатель на знаменатели слагаемых. Это будут дополнительные множители для дробей.

3. Умножить и числитель, и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель. Получим сумму дробей с одинаковым знаменателем.

4. Складывать или вычитать дроби как обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями.

Например:

\(\frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{3 \bullet 3}{4 \bullet 3} + \frac{5 \bullet 2}{6 \bullet 2} = \frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{9 + 10}{12} = \frac{19}{12}\)

УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ДРОБЕЙ:

1. Обратные числа:

Любая дробь – это действие деления. Один пирог разделили на восемь частей – получили одну восьмую пирога. Если мы видим дробь с единицей в знаменателе, то эту дробь можно представить числом:

\(\frac{a}{1} = a : 1 = a\)

Например: \(\frac{4}{1} = 4\), \(\frac{27}{1} = 27\).

Если дробь «перевернуть», то есть поменять местами числитель и знаменатель, тогда получится число обратное исходному. Например, числа \(\frac{4}{11}\) и \(\frac{11}{4}\) или \(19\) и \(\frac{1}{19}\) – обратные друг другу.

2. Умножение дробей:

Представим умножение дроби на число как сумму дробей:

\(\frac{3}{5} \bullet 3 = \frac{3}{5} + \frac{3}{5} + \frac{3}{5} = \frac{3 + 3 + 3}{5} = \frac{3 \bullet 3}{5} = \frac{9}{5}\)

Видим, что таким образом при умножении дроби на число перемножается число и числитель без изменения знаменателя:

\(\frac{a}{c} \bullet b = \frac{a}{c} \bullet \frac{b}{1} = \frac{a \bullet b}{c \bullet 1}\)

3. Деление дробей:

Чтобы разделить дробь на число, представим это число как дробь с единицей в знаменателе. Тогда мы делим дробь на дробь.

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно вторую дробь перевернуть и перемножить соответственно числители и знаменатели получившихся дробей:

\(\frac{a}{c} : b = \frac{a}{c} : \frac{b}{1} = \frac{a}{c} \bullet \frac{1}{b} = \frac{a}{c \bullet b}\)

Таким же образом делят дроби на дроби:

\(\frac{a}{c} : \frac{b}{d} = \frac{a}{c} \bullet \frac{d}{b} = \frac{a \bullet d}{c \bullet b} = \frac{\text{ad}}{\text{cb}}\)

Ł Старые понятные учебники советских времен по физике, математике. Акупунктура, похудение

ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П.»СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА», 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

17. Арифметические действия над обыкновенными дробями

1. Сложение. Суммой дробей с одним и тем же знаменателем называют дробь, имеющую тот же знаменатель, а числитель равен сумме числителей данных дробей, т.е.

Это определение можно сформулировать также в виде следующего правила.

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.

Пример.

.

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, надо привести их к наименьшему общему знаменателю, а затем сложить полученные числители и под суммой подписать общий знаменатель.

Пример.

Короче записывают так:

Чтобы сложить смешанные числа, нужно отдельно найти сумму целых и сумму дробных частей. Действие записывается так:

2. Вычитание. Вычитание дробей можно определить как действие, обратное сложению дробей. Вычесть из одного дробного числа второе это значит найти третье число, которое в сумме со вторым дает первое. Из этого определения следует правило:

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть числитель вычитаемого из числителя уменьшаемого и оставить прежний знаменатель. Действие записывают так:

Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к наименьшему общему знаменателю, затем из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого и под их разностью подписать общий знаменатель. Действие записывают так:

Если нужно вычесть одно смешанное число из другого смешанного числа, то, если можно, вычитают дробь из дроби, а целое из целого. Действие записывают так:

Если же дробь вычитаемого больше дроби уменьшаемого, то берут одну единицу из целого числа уменьшаемого, раздробляют ее в надлежащие доли и прибавляют к дроби уменьшаемого, после чего поступают, как описано выше. Действие записывают так:

Аналогично поступают, когда надо вычесть из целого числа дробное.

Пример.

.

3. Распространение свойств сложения и вычитания на дробные числа. Все законы и свойства сложения и вычитания натуральных чисел справедливы и для дробных чисел. Их применение во многих случаях значительно упрощает процесс вычисления.

Пример 1.

.

Здесь использованы переместительный и сочетательный законы сложения.

Пример 2.

.

Здесь использовано правило прибавления суммы к числу.

Пример 3.

.

Пример 4.

.

Здесь использованы правила вычитания из числа разности и суммы.

4. Умножение. Умножение дроби на целое число можно понимать так же, как и умножение целого числа на целое, т.е. как сложение одинаковых слагаемых. Например,

.

Но для умножения на дробь такое толкование не подходит. Например, умножая на , нельзя сказать, что здесь » надо взять раза слагаемым».

Здесь необходимо дать новое определение.

Произведением дробей называют такую дробь, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей, т.е. . Это определение не является произвольным измышлением. Оно вытекает из необходимости сохранить за действием умножения ту роль, которую оно играло в теории и практике, пока мы рассматривали только целые числа, а также те свойства, которыми обладает умножение целых чисел. В частности, при таком определении те задачи, которые в случае целых числовых данных решаются умножением, в случае дробных числовых данных также можно решать умножением.

Из приведенного определения вытекает правило умножения дробей: Чтобы умножить дробь на дробь, нужно умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель и первое произведение сделать числителем, а второе — знаменателем: .

При умножении следует делать (если возможно) сокращение.

Пример.

.

Если учесть, что целое число представляет собой дробь со знаменателем 1, то умножение дроби на целое число и целого числа на дробь можно выполнять поэтому же правилу.

Примеры.

5. Умножение смешанных чисел. Чтобы перемножить смешанные числа, нужно предварительно обратить их в неправильные дроби и потом перемножать по правилу умножения дробей.

Пример.

.

Если же перемножают смешанное число на целое, то проще множить отдельно целую часть и дробную часть.

Пример.

6. Распространение свойств умножения на дробные числа. Свойства умножения натуральных чисел справедливы и для дробей. Их использование упрощает устные и письменные вычисления.

Пример 1.

.

Пример 2.

.

Пример 3.

.

Пример 4.

.

7. Деление дробей. Для деления дробей сохраняется то же определение, что и для деления целых чисел: это — действие посредством которого по данному произведению двух сомножителей и одному из этих сомножителей отыскивается второй сомножитель. Разделить одно число на второе — значит найти такое третье число, которое при умножении на второе дает первое. Выполняют деление дробей по следующему правилу.

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой на числитель второй и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем: .

Пример.

.

По этому же правилу можно выполнять деление дроби на целое число и целого на дробь, если представить целое число в виде дроби со знаменателем 1.

Примеры.

Однако в последнем примере проще числитель разделить на целое число:

8. Деление смешанных чисел. Чтобы выполнить деление смешанных чисел, их предварительно обращают в неправильные дроби и затем делят по правилу деления дробей.

Пример.

.

Однако при делении смешанного числа на целое бывает удобней делить отдельно целую часть и отдельно дробную часть смешанного числа.

Пример. .

9. Замена деления умножением. Если в какой-нибудь дроби поменять местами числитель и знаменатель, получится новая дробь, обратная данной. Например, для дроби обратная дробь будет .

Очевидно, что произведение двух взаимно обратных дробей равно 1.

.

Учитывая это, можно деление выполнять по следующему правилу.

Чтобы разделить одно число на другое, нужно делимое умножить на число, обратное делителю.

Пример 1.

.

Пример 2.

Пример 3.

.

10. Примеры на все действия с обыкновенными дробями. Решение примеров на все действия с дробями выполняют с помощью записи по отдельным действиям или записи цепочкой.

Пример. Вычислить:

Решение по частям.

Ответ. 1.

Пример вычисления цепочкой:

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

Блок 4: Добавление, вычитание, умножение и разделение фракций

5 -й класс математика

Блок 3

Предыдущий блок

Тест и пробуйте

Следующая единица

Что представляет собой фракция?

Вы, наверное, уже знаете, что такое дробь, но мы собираемся изучить другой способ просмотра дроби!

• Дробь – это деление числителя на знаменатель (a/b = a ÷ b)

• 3/5 можно интерпретировать как «3, разделенное на 5, и как 3, разделенное на 5», поскольку 3 части делятся в общей сложности между 5 людьми или объектами.

Вот пример: члены команды делят 3 коробки печенья. Сколько коробок достанется каждому ученику?

• При решении этой задачи мы понимаем, что 3 ящика делятся на 10 групп, поэтому мы видим решение следующего уравнения 10 x n = 3 (10 групп некоторого количества равны 3 ящикам), которое может также можно записать как n = 3 ÷ 10. Используя модели или диаграммы, мы делим каждый ящик на 10 групп, в результате чего каждый член команды получает 3/10 ящика.

Добавляя фракции

, чтобы добавить фракции, есть три простых шага:

• Шаг 1: Убедитесь, что нижние номера (деноминаторы) — это то же самое

• . верхние числа (числители), поместите этот ответ над знаменателем

• Шаг 3: Упростите дробь (при необходимости)

Мы рассмотрим каждый шаг в детали !

Во-первых, как найти наименьший общий знаменатель (что это вообще такое?)?

Нахождение общего знаменателя

Но каким должен быть новый знаменатель?

Один простой ответ состоит в том, чтобы умножить текущие знаменатели вместе:

3 x 6 = 18

Таким образом, вместо 3 или 6 срезов мы получим оба из них имеют 18 срезов .

Пицца теперь выглядит так:

Наименьший общий знаменатель

Верно… однако важно отметить, что при умножении знаменателей всегда будет общий знаменатель, но может не давать наименьший знаменатель .

Теперь попробуем использовать наименьший общий знаменатель , также известный как LCD !

Мы хотим, чтобы обе дроби имели 6 срезов:

Хорошей моделью для сложения дробей являются часы! Эти часы показывают 1/3 + 1/6. Стрелка часов, двигающаяся от 12 часов до 4 часов, показывает 1/3 часть времени, а стрелка часов, двигающаяся от 4 часов до 6 часов, показывает 1/6 часть времени. (Если вы этого не понимаете, представьте, что часы состоят из 12 частей, то есть каждая часть составляет 1/12 часов.)

Практика делает совершенным! Потренируйтесь складывать две дроби с разными знаменателями! Подсказка: вы можете использовать равные дроби, чтобы получить две дроби с одинаковыми знаменателями!

Фракции вычтения

Существует 3 простых шага для вычитания фракций

• Шаг 1. Убедитесь, что нижние числа (знамениторов) — это то же самое

• Шаг 2. Поднокаты. (числители). Положите ответ над тем же знаменателем.

• Шаг 3. Упростите дробь (при необходимости).

Пример:

• 1/2 — 1/6

Шаг 1 . Нижние цифры разные. Видите, как кусочки разного размера? Нам нужно сделать их одинаковыми, прежде чем мы сможем продолжить, потому что мы не можем вычесть их следующим образом:

Чтобы сделать нижние числа одинаковыми, умножьте верхние и нижние части первой дроби ( ¹ / ₂ ) на 3 вот так:

А теперь наш вопрос выглядит так:

Нижние числа (знаменатели) совпадают, поэтому мы можем перейти к шагу 2.

Шаг 2 . Вычтите верхние числа и поставьте ответ над тем же знаменателем:

Шаг 3 . Упростите дробь: 2/6 = 1/3

Все еще запутались? Посмотрите это видео, чтобы узнать, как складывать дроби с разными знаменателями!

Немного застряли? Посмотрите это видео, чтобы лучше понять, как вычитать дроби с разными знаменателями!

Практика вычитания дробей с разными знаменателями ! Подсказка: Вы можете использовать эквивалентные дроби, чтобы получить две дроби с одинаковыми знаменателями.

Практика вычитания со смешанными числами ! Помните, что вы можете преобразовать смешанные числа в дроби перед вычитанием.

Словесные задачи с дробями

Дроби часто встречаются в текстовых задачах, поэтому важно научиться их решать! Давайте учиться на примерах и примерах ответов, приведенных ниже:

Пример 1: Ваш учитель дал вам 1/7 пакета конфет. Она также дала твоему другу 1/3 пакета конфет. Если бы вы и ваш друг объединили свои конфеты, какую часть пакета вы бы получили? Оцените свой ответ, а затем посчитайте. Насколько обоснованной была ваша оценка?

Вот два ответа учащихся, оба правильные! Ваш ответ мог быть похож на один из этих. Другой пример приведен ниже. На этот раз мы используем гистограмму !

Пример 2: У Сони было 2 и 1/3 шоколадных батончиков. Она пообещала брату, что отдаст ему 1/2 шоколадки. Сколько у нее останется после того, как она отдаст брату обещанную сумму?

В следующих примерах мы будем использовать зональные модели ! Использование различных моделей может помочь нам визуализировать проблему и лучше понять ее.

Примеры 3 и 4:

Хорошая работа, чтобы изучить все по существу! Это наш последний пример, и, надеюсь, вы лучше понимаете, как решать словесных задач с дробями 🙂

Пример 5: Элли выпила 3/5 литра молока, а Хавьер выпил 1/10 литра молока. на четверть меньше, чем Элли. Сколько молока они выпили все вместе?

Ты попробуй! Иосия готовил два разных вида печенья. В одном рецепте требовалось 3/4 стакана сахара, а в другом — 2/3 стакана сахара. Сколько сахара ему понадобилось, чтобы приготовить оба рецепта? Попробуйте сделать ментальную оценку, если сможете!

Мысленная оценка: Возможно, вы сказали, что Иосии нужно больше 1 чашки сахара, но меньше 2 чашек. В вашем объяснении обе дроби могут сравниваться с 1/2 и утверждаться, что обе дроби больше 1/2, поэтому сумма должна быть больше 1. Кроме того, обе дроби немного меньше 1, поэтому сумма не может быть больше 2.

На этом рисунке показано, что при умножении дроби на целое число мы можем преобразовать целое число в дробь, положив ее на 1 (например, как 3 становится 3/1). Это связано с тем, что деление числа на 1 по-прежнему равно исходному числу, поэтому мы не меняем само число. В этом случае мы не меняем значение 3, ставя его вместо 1.

Давайте посмотрим, как умножать дроби с помощью моделей дробей!

Все еще не знаете, как умножать дроби? Следите за этим видео!

Умножение дробей

Важно помнить, что умножение дроби на целое число равно повторному сложению единичной дроби Например, 2 x (1/4) = 1/4 + 1/4.

Давайте научимся решать умножение дробей на разработанном примере и образцах ответов учащихся!

Пример 1: Три четверти класса составляют мальчики. Две трети мальчиков носят теннисные туфли. Какую часть класса составляют мальчики, которые носят теннисные туфли?

Этот вопрос спрашивает, что такое 2/3 от 3/4, что такое 2/3 x 3/4? В этом случае у нас есть 2/3 группы размером 3/4. (Способ представить это с точки зрения языка целых чисел — использовать пример, такой как 4 x 5, что означает, что у вас есть 4 группы размера 5. )

Ниже приведен пример решения задачи с использованием гистограмма !

Вот еще несколько способов решить этот вопрос! Как видите, существует множество способов умножения дробей, и вы можете увидеть, какой из них лучше всего подходит для вас.

Еще одна важная концепция умножения дробей заключается в использовании его для нахождения площади прямоугольника путем разбиения его на квадраты. Не волнуйтесь, если вы не знаете, что это значит, мы узнаем все об этом!

Пример: Строителю дома нужно покрыть пол небольшой кладовки ковром. Складское помещение имеет длину 4 метра и ширину полметра. Сколько ковра вам нужно, чтобы покрыть пол в кладовой? Используйте сетку, чтобы показать свою работу и объяснить свой ответ.

В сетке ниже мы заштриховали верхнюю половину 4 блоков. Когда мы сложили их вместе, мы прибавили ½ четыре раза, что равно 2. Мы могли бы также подумать об этом с умножением ½ x 4 равно 4/2, что равно 2.

Готовы повеселиться? Сыграйте в эту игру, чтобы попрактиковаться в умножении дробей!

Умножение масштабируется!

Чтобы лучше понять умножение дробей, мы можем сравнить размер произведения с размером одного фактора на основе размера другого фактора, без фактического решения умножения.

Давайте рассмотрим пример ниже!

Теперь , давайте подумаем о паре вопросов :

1. Почему при умножении на дробь больше 1 число увеличивается?

2. Почему при умножении на дробь меньше единицы число уменьшается?

Чтобы ответить на эти вопросы, мы рассмотрим приведенный ниже пример задачи!

Пример: Миссис Беннет сажает две клумбы. Первая клумба имеет длину 5 метров и ширину 6/5 метров. Вторая клумба имеет длину 5 метров и ширину 5/6 метров. Как соотносятся площади этих двух клумб? Значение площади больше или меньше 5 квадратных метров? Нарисуйте картинки, подтверждающие ваш ответ.

Мы можем ответить на этот вопрос, так как знаем, что 2 и 2/3 x 8 должны быть больше 8, потому что 2 группы по 8 равны 16, а 2 и 2/3 составляют почти 3 группы по 8. Таким образом, ответ должен быть близок к , но меньше 24 (поскольку 3 х 8 = 24, а 2 и 2/3 меньше 3). 3/4 = (5 x 3)/(5 x 4), потому что умножение 3/4 на 5/5 равносильно умножению на 1 (5 в числителе и 5 в знаменателе сокращаются).

При умножении числа на десятичную дробь меньше единицы произведение будет меньше умножаемого числа. Это потому, что мы находим дробное количество количества. Например, 0,1 x 0,8 = 0,08, потому что вопрос заключается в том, чтобы найти одну десятую от восьми десятых. Десятая часть десятой (или десятая, умноженная на десятую) составляет сотую, таким образом, одна десятая из восьми десятых составляет восемь сотых.

Ты попробуй! Во сколько раз 4 х 10 больше, чем 2 х 10?

Он в 2 раза больше! Мы знаем это даже без вычислений, поскольку 4 в два раза больше 2, а оба выражения имеют 10.

Сыграйте в эту игру, чтобы лучше понять умножение как масштабирование ! Потренируйтесь находить части целого, например, 3/4 от 20 равно 3/4 x 20 = 5!

Готовы принять вызов? Сыграйте в эту игру, чтобы попрактиковаться в умножении двух смешанных чисел!

Деление дробей

Когда мы решаем задачи на деление дробей, важно создать контекст истории для задачи. Это просто означает, что если вам дали задачу на деление дробей, вы можете создать сценарий для чисел. Например, если вам дано 1/2 разделить на 4, контекст истории может быть таким: у нас осталась половина торта, и мы хотим поделиться с 3 друзьями, включая себя (то есть 4 человека).

Есть три части дробного деления, которые мы рассмотрим на примерах!

1. Мы можем разделить дробь на целое число:

2. Мы можем разделить целое число на дробь.

• Пример: Создать контекст истории для 5 ÷ 1 /6. Найдите свой ответ, а затем нарисуйте картинку, чтобы доказать свой ответ, и используйте умножение, чтобы рассуждать о том, имеет ли ваш ответ смысл. Сколько 1/6 в числе 5?

• Давайте посмотрим, как решить этот вопрос!

3. Третье, чему мы должны научиться при делении дроби, — это использование дроби деления в реальных задачах! Давайте посмотрим на пример!

Каждая коробка представляет собой 1 фунт арахиса. Поскольку в одном целом пять пятых, в 4 фунтах должно быть 20 пятых! Следовательно, он может дать 20 друзьям 1/5 фунта арахиса.

Все еще запутались? Посмотрите эти видеоролики, чтобы узнать больше о пошаговом подходе к делению дробей!

Деление единичной дроби похоже на деление целого на более мелкие части. Потренируйтесь делить дроби на целое число !

Интерпретировать смысл деления единичной дроби на целое число с помощью наглядных моделей ! Используйте письменный метод для выполнения деления !

Предыдущий блок

Проверь и попробуй

Следующий блок

5.

3: Сложение, вычитание, умножение и деление дробей

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

51875

• Эми Лагускер
• Колледж Каньонов

Partner Activity 1

Какое выражение вы бы предпочли добавить?

\(\dfrac{51}{684}+\dfrac{43}{684}+\dfrac{738}{684}\) ИЛИ \(\dfrac{1}{8}+\dfrac{4}{ 5}+\dfrac{1}{9}\)

Объясните 3-класснику, почему:

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теперь мы рассмотрим, почему дроби ведут себя так, как они ведут себя при сложении, вычитании, умножении и делении:

Пример \(\PageIndex{1}\): добавление дробей с помощью рисунка, числовой линии, затем с помощью обычного Знаменатели

Добавить \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\). Почему 6 ящиков?

Рисунок 4.3.1

Пример \(\PageIndex{2}\): вычитание дробей с рисунком, числовой прямой, затем с общим знаменателем

Вычитание \(\dfrac{1}{2} — \dfrac{1}{ 3}\). Почему 6 ящиков?

Рисунок 4.3.2

Пример \(\PageIndex{3}\): умножение дробей с помощью рисунка, числовой прямой, затем с общим знаменателем

Сложение \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1} {3}\). Почему 6 ящиков?

Рисунок 4.3.3

Пример \(\PageIndex{4}\): делите дроби с помощью рисунка, числовой прямой, затем общим знаменателем

Разделите \(\dfrac{1}{2} \div \dfrac{1} {3}\). «Думайте порциями, когда дело доходит до деления! Почему 6 ящиков?

Рисунок 4.3.3

Пример \(\PageIndex{5}\)

Почему при делении дробей работает принцип «умножить и перевернуть вторую дробь»?

Решение

Мы знаем, что:

\[\dfrac{a}{b} \times \dfrac{b}{a}=\dfrac{a b}{a b}=1 \nonumber \]

\[\begin{align}
\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{7}&= \left(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{7}{2}\ справа) \div\left(\dfrac{2}{7} \times \dfrac{7}{2}\right) \\
&=\left(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{7 }{2}\справа) \div 1 \\
&=\dfrac{3}{4} \times \dfrac{7}{2}\\
&=\dfrac{21}{8}
\end{aligned} \nonumber \]

Действия партнера 2

Какая операция верна?

Участок шоссе имеет длину \(3 \dfrac{1}{2}\) миль.