Как высчитать вероятность в задаче: Решутест. Продвинутый тренажёр тестов

Задачи по теории вероятностей. Решение задания В10

1. Задание B5 (№ 285924) из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.

Решение.

Заметим, что поскольку порядок докладов определяется жеребьевкой, вероятность  того, что восьмым окажется доклад ученого из России такая же, как вероятность того, что доклад ученого из России окажется первым. То есть эта вероятность не зависит от номера выступления.

Вероятность события определятся по формуле:

,

где

k —  число событий, которые нас «устраивают», на языке теории вероятностей они называются благоприятными исходами.

n — число всех возможных событий, или число всех возможных исходов.

В нашей задаче на семинар приехали  3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании, то есть всего 10 человек.

Значит, число всех возможных исходов равно 10. Из России приехали 3 ученых, значит, число благоприятных исходов, то есть тех событий, которые нас устраивают, равно 3.

Следовательно, вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России равна 3/10=0,3

Ответ: 0,3

 

2. Задание B5 (№ 285925) Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России? 

Решение. «Зафиксируем» Руслана Орлова. Теперь осталось найти вероятность того, что в паре с ним окажется  бадминтонист из России. Если мы исключили Руслана Орлова из списка спортсменов (мы его «зафиксировали»), то нам осталось выбрать ему пару из 25 спортсменов, из которых 9 участников из России.

То есть число всех возможных исходов равно 25, а число благоприятных исходов равно 9.

Следовательно, p=9/25=0,36

Ответ:  0,36

3. Задание B5 (№ 285922) Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции? 

Решение. Заметим, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции с той же вероятностью, что и доклад любого другого участника конференции. Поэтому вопрос задачи можно переформулировать так: с какой вероятностью любой участник конференции выступит в последний день.

1. Найдем, какое количество докладчиков должно выступить в последний день конференции.

Так как всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями, на два последних дна запланировано

75-17х3=24 доклада.

Значит, на последний день запланировано 12 докладов, то есть количество благоприятных исходов равно 12.

Число всех возможных исходов равно 75, так как  всего запланировано 75 докладов.

Итак, р=12/75=0,16

Ответ: 0,16.

 

4. Задание B5 (№ 283471) В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Решение. Чтобы решить эту задачу, нам нужно вспомнить правило умножения вероятностей. Так как результат каждого бросания монеты не зависит  от результата бросания монеты в другие разы, мы имеем дело с независимыми событиями.

Вероятность того, что произойдут независимые события А и В, равна произведению вероятностей события А и события В.

В нашей задаче орел не выпадет ни разу, если в результате бросания монеты каждый раз  будет выпадать решка. Вероятность выпадения решки в каждом случае равна 1/2. Значит, вероятность того, что решка выпадет в результате всех четырех бросаний равна

ххх=1/16=0,0625

Ответ: 0,0625 

5. Во время вероятностного эксперимента монету бросили 1000 раз, 532 раза выпал орел. На сколько частота выпадения решки в этом эксперименте отличается от вероятности этого события?

Частота события x — отношение N(x) / N числа N(x) наступлений этого
события в N испытаниях к числу испытаний N.

Если орел выпал 532 раза, то решка выпала 1000-532=468

Частота этого события равна

Вероятность выпадения решки равна 0,5

Следовательно, частота выпадения решки в этом эксперименте отличается от вероятности этого события на |0,5-0,468|=0,032

Ответ: 0,032

И, в заключение, предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК с решением задачи:

Вася выбирает трехзначное число. Найти вероятность того, что оно делится на 6. Ответ округлите до сотых.  

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox или
Chrome

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы

Решение типового варианта контрольной работы. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы.

Задача 1. Бросается 4 монеты. Какова вероятность того, что три раза выпадет «решка»?

Решение. Подбрасывание монеты будем считать одним опытом. По условию задачи производится 4 одинаковых испытания. Вероятность успеха (выпадение «решки») в каждом испытании равна . Требуется найти, что среди проведенных испытаний будет успешных. Для решения задачи воспользуемся формулой биномиального закона распределения дискретной случайной величины. . В условиях нашей задачи .

Ответ: 0.25.

Задача 2. В квадрат со стороной 2 вписан квадрат, вершины которого лежат на серединах сторон большего квадрата. Найти вероятность того, что наудачу брошенная в больший квадрат точка попадет в маленький квадрат.

Решение. Воспользуемся понятием геометрической вероятности. Будем искать вероятность попадания в меньший квадрат как отношение площади меньшего квадрата к площади большего квадрата. .

Ответ: .

Задача 3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента

Решение. Разобьем цепь на три последовательно соединенных блока. И вычислим надежность каждого блока отдельно. Первый блок пропускает электрический ток в трех случаях: если исправен первый элемент и неисправен второй; если исправен второй элемент и неисправен первый; и если оба элемента исправны. Таким образом, надежность этого блока может быть представлена суммой: . Однако проще надежность этого элемента вычислить через вероятность противоположного события. Вычислим вероятность того, что блок не пропускает ток и надежность найдем по формуле вероятности противоположного события. Блок не исправен только в случае когда и первый и второй элементы неисправны: , следовательно, надежность блока может быть вычислена как разность: . Аналогично вычисляется надежность второго блока: . Теперь, зная надежности трех последовательно соединенных блоков, вычислим надежность цепи в целом. Схема пропускает ток только если все три блока исправны, то есть надежность схемы: .

Ответ: .

Задача 4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины Y. Определить значение x и вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Y.

Y	5	6	7	10
P	0,1	0,1	X	0,3

Решение. Найдем значение x из условия .

Зная X, становится возможным вычисление математического ожидания.

Ответ:

Задача 5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания M нормального закона с надежностью 0.95; зная выборочную среднюю .

Решение. Построить доверительный интервал с доверительной вероятностью для математического ожидания M Произвольной случайной величины можно следующим образом:

При надежности =0,95 найдем табличное значение и запишем выражение, подставив значения из условия задачи:

,

.

Ответ: .

Задача 6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг. Найти матрицу перехода данной цепи за три шага.

Решение. Матрицей перехода системы называют матрицу, которая содержит все переходные вероятности этой системы:

В каждой строке матрицы помещены вероятности событий (перехода из состояния I в состояние J), которые образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице:

Обозначим через вероятность того, что в результате N шагов (испытаний) система перейдет из состояния I в состояние J. Например — вероятность перехода из второго состояния в пятое за десять шагов. Отметим, что при N=1 получаем переходные вероятности .

Перед нами поставлена задача: зная переходные вероятности , найти вероятности перехода системы из состояния

I в состояние J за N шагов. Для этого введем промежуточное (между I и J) состояние R. Другими словами, будем считать, что из первоначального состояния I за M шагов система перейдет в промежуточное состояние R с вероятностью , после чего, за оставшиеся N—M шагов из промежуточного состояния R она перейдет в конечное состояние J с вероятностью . По формуле полной вероятности получаем:

.

Эту формулу называют равенством Маркова. С помощью этой формулы можно найти все вероятности , а, следовательно, и саму матрицу . Так как матричное исчисление ведет к цели быстрее, запишем вытекающее из полученной формулы матричное соотношение в общем виде.

Вычислим матрицу перехода цепи Маркова за три шага, используя полученную формулу:

Ответ: .

Задача 7.

DX = 3. Используя свойства дисперсии, найдите D(4X-2).

Решение.

.

Ответ: 48.

Задача 8. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя компьютерами поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если заняты все три компьютера, то вновь поступающий заказ не принимается и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 часа. Интенсивность потока заявок 0.25 (з/час). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.

Решение. В теории массового обслуживания широкое распространение имеет специальный класс случайных процессов – так называемый Процесс гибели и размножения. Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы . Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т.

е. из состояния возможны переходы только либо в состояние , либо в состояние . В предположении, что все потоки событий, переводящие систему из одного состояние в следующее простейшие с соответствующими интенсивностями или , для отыскания предельных вероятностей, можно использовать систему уравнений Колмогорова для стационарных процессов. Правило для составления уравнений Колмогорова звучит следующим образом: слева в уравнениях стоит предельная вероятность данного состояния , умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа – сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в I-ое состояние на вероятности тех состояний, из которых эти потоки выходят. Поток заявок характеризуется интенсивностью (заявок/час), поток обслуживания – интенсивностью (заявок/час). Согласно условию задачи (заявок/час), (заявок/час). В нашей задаче система массового обслуживания может находиться в одном из четырех состояний: — когда все три компьютера свободны; — когда загружен работой только один компьютер; — когда заняты два компьютера; — когда все компьютеры заняты.

В предельном, стационарном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид:

.

К этой системе добавляется нормировочное уравнение .

.

Решая эту систему уравнений, получим:

.

То есть в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% — имеется одна заявка, 13,4% — две заявки и 3,3% времени – три заявки (заняты все вычислительные мощности).

Вероятность отказа в обслуживании (когда заняты все три компьютера), таким образом .

Относительная пропускная способность центра , то есть в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.

Абсолютная пропускная способность , то есть в один час в среднем обслуживается 0,242 заявки.

Среднее число занятых компьютеров есть математическое ожидание числа занятых каналов , то есть каждый компьютер будет занят обслуживанием заявок в среднем лишь на %.

При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих компьютеров и выбрать компромиссное решение.

< Предыдущая		Следующая >

Как решать вопросы на вероятность

••• Thinkstock/Comstock/Getty Images

Обновлено 25 апреля 2017 г.

Автор Мишель Фризен информация дана для решения. Процесс решения проблемы редко бывает простым и требует практики. Вероятности используются в математике и статистике и встречаются в повседневной жизни, от прогнозов погоды до спортивных событий. С небольшой практикой и несколькими советами процесс расчета вероятностей может стать более управляемым.

Найдите ключевое слово. Один из важных советов при решении задачи с вероятностными словами — найти ключевое слово, которое помогает определить, какое правило вероятности использовать. Ключевые слова «и», «или» и «не». Например, рассмотрим следующую текстовую задачу: «Какова вероятность того, что Джейн выберет и шоколадное, и ванильное мороженое, если она выберет шоколадное мороженое в 60 % случаев, ванильное — в 70 % и ни то, ни другое — в 10 % случаев». время.» В этой задаче есть ключевое слово «и».

Найдите правильное правило вероятности. Для задач с ключевым словом «и» следует использовать правило вероятности — правило умножения. Для задач с ключевым словом «или» правилом вероятности является правило сложения. Для задач с ключевым словом «нет» следует использовать правило вероятности — правило дополнения.

Определить, какое событие ищется. Может быть более одного события. Событие — это возникновение проблемы, для которой вы решаете вероятность. В примере задачи запрашивается событие, при котором Джейн выберет и шоколад, и ваниль. Так что, по сути, вам нужна вероятность того, что она выберет эти два вкуса.

При необходимости определите, являются ли события взаимоисключающими или независимыми. При использовании правила умножения есть два варианта на выбор. Вы используете правило P(A и B) = P(A) x P(B), когда события A и B независимы. Вы используете правило P(A и B) = P(A) x P(B|A), когда события зависимы. P(B|A) — условная вероятность, указывающая вероятность того, что событие A произойдет при условии, что событие B уже произошло. Точно так же и для правил сложения есть два на выбор. Вы используете правило P(A или B) = P(A) + P(B), если события являются взаимоисключающими. Вы используете правило P(A или B) = P(A) + P(B) — P(A и B), когда события не исключают друг друга. Для правила дополнения вы всегда используете правило P(A) = 1 — P(~A). P(~A) — вероятность того, что событие A не произойдет.

Найдите отдельные части уравнения. Каждое уравнение вероятности имеет разные части, которые необходимо заполнить, чтобы решить задачу. Например, вы определили ключевое слово «и», а используемое правило — правило умножения. Поскольку события не зависят друг от друга, вы будете использовать правило P(A и B) = P(A) x P(B). Этот шаг устанавливает P(A) = вероятность возникновения события A и P(B) = вероятность возникновения события B. Задача говорит, что P(A = шоколад) = 60% и P(B = ваниль) = 70%.

Подставьте значения в уравнение. Вы можете заменить слово «шоколад», когда вы видите событие A, и слово «ваниль», когда вы видите событие B. Используя соответствующее уравнение для примера и заменяя значения, уравнение теперь P (шоколад и ваниль) = 60% х 70%.

Решите уравнение. Используя предыдущий пример, P(шоколад и ваниль) = 60 процентов x 70 процентов. Разбивая проценты на десятичные дроби, вы получите 0,60 x 0,70, что можно найти путем деления обоих процентов на 100. Это умножение дает значение 0,42. Преобразование ответа обратно в проценты путем умножения на 100 даст 42 процента.

Предупреждения

• Два события считаются взаимоисключающими, если они оба не могут произойти одновременно. Если они могут произойти одновременно, то это не так. Два события называются независимыми, если одно из них не зависит от исхода другого события. Эти определения используются для выполнения предыдущих шагов; для решения этих проблем требуется практическое знание этого.

Похожие статьи

Предупреждения

• Два события считаются взаимоисключающими, если они не могут произойти одновременно. Если они могут произойти одновременно, то это не так. Два события называются независимыми, если одно из них не зависит от исхода другого события. Эти определения используются для выполнения предыдущих шагов; для решения этих проблем требуется практическое знание этого.

Об авторе

Мишель Фризен начала писать в 2003 году. Она также является инженером-программистом и дополнительным инструктором по статистике и компьютерным информационным системам. Фризен имеет степень магистра наук в области инженерного менеджмента и сертификат в области финансового инжиниринга, а также степень бакалавра наук в области прикладной математики и информатики Университета науки и технологий штата Миссури.

Авторы фотографий

Thinkstock/Comstock/Getty Images

Вычисление вероятности события – математика для нашего мира

Результаты обучения

• Описать пример пространства и простые и составные события в нем, используя стандартную нотацию
• Рассчитать вероятность события, используя стандартную запись
• Рассчитать вероятность двух независимых событий, используя стандартную запись
• Распознать, когда два события являются взаимоисключающими
• Вычислить условную вероятность, используя стандартную запись

Вероятность — это вероятность определенного исхода или события. Статистики и актуарии используют вероятность для прогнозирования событий. Например, актуарий, работающий в компании по страхованию автомобилей, заинтересуется вероятностью того, что 17-летний мужчина попадет в автомобильную аварию. Они будут использовать данные о прошлых событиях, чтобы делать прогнозы о будущих событиях, используя характеристики вероятностей, а затем использовать эту информацию для расчета страхового тарифа.

В этом разделе мы рассмотрим определение события и узнаем, как рассчитать вероятность его возникновения. Мы также будем практиковаться в использовании стандартных математических обозначений для расчета и описания различных видов вероятностей.

Основные понятия

Если вы бросаете кубик, выбираете карту из колоды игральных карт или случайным образом выбираете человека и наблюдаете за цветом его волос, мы проводим эксперимент или процедуру. В вероятности мы рассматриваем вероятность различных исходов.

Начнем с терминологии.

События и исходы

• Результат эксперимента называется исходом .
• событие — это любой конкретный исход или группа исходов.
• Простое событие — это событие, которое не может быть далее разбито на части
• Пример пространства — это набор всех возможных простых событий.

пример

Если мы бросаем стандартный шестигранный кубик, описываем пространство выборки и некоторые простые события.

Решение: 

Пространство выборки представляет собой набор всех возможных простых событий: {1,2,3,4,5,6}

Некоторые примеры простых событий:

• Выбрасываем 1
• Мы катим 5

Некоторые составные события:

• Мы бросаем число больше 4
• Катаем четное число

Основная вероятность

Учитывая, что все исходы равновероятны, мы можем вычислить вероятность события E по этой формуле:

примера

Если мы бросаем 6-гранный кубик, вычисляем

1. P(бросок 1)
2. P (выпадение числа больше 4)

Решения: 

Напомним, что пространство выборки равно {1,2,3,4,5,6}

1. Существует один результат, соответствующий «выпадению 1», поэтому вероятность равна
2. Есть два исхода больше 4, поэтому вероятность равна
.

Вероятности — это, по сути, дроби, и их можно преобразовать в меньшие термины, такие как дроби.

В этом видео подробно описан этот пример и предыдущий.

Допустим, у вас есть пакет с 20 вишнями, 14 сладкими и 6 кислыми. Если вы выберете вишню наугад, какова вероятность того, что она будет сладкой?

Решение: 

Есть 20 возможных вишен, которые можно сорвать, поэтому число возможных исходов равно 20. Из этих 20 возможных исходов 14 благоприятны (сладкие), поэтому вероятность того, что вишенка будет сладкий есть .
Однако в этом примере есть одно потенциальное осложнение. Следует предположить, что вероятность сорвать любую из вишен такая же, как и вероятность сорвать любую другую. Это было бы не так, если бы (представим) черешня была бы меньше кислой. (Вишни легче попадались бы под руку, если бы вы взяли пробу из мешка.) Поэтому давайте помнить, что, когда мы оцениваем вероятности с точки зрения отношения благоприятных ко всем возможным случаям, мы в значительной степени полагаемся на предположение о том, что равновероятность всех исходов.

Попробуйте

В какой-то случайный момент вы смотрите на часы и отмечаете показания минут.

а. Какова вероятность того, что минутное чтение равно 15?

б. Какова вероятность того, что показания минут 15 или меньше?

Карты

Стандартная колода из 52 игральных карт состоит из четырех мастей (червы, пики, бубны и трефы). Пики и трефы черные, а червы и бубны красные. В каждой масти 13 карт, каждая из 9 разных0081 ранг : туз (который во многих играх действует как младшая и старшая карты), карты с номерами от 2 до 10, валет, дама и король.

пример

Вычислите вероятность случайного извлечения одной карты из колоды и получения туза.

Решение: 

В колоде 52 карты и 4 туза, поэтому

Мы также можем рассматривать вероятности как проценты: вероятность того, что случайно выбранная карта окажется тузом, составляет 7,69%.

Обратите внимание, что наименьшая возможная вероятность равна 0, если нет исходов, соответствующих событию. Наибольшая возможная вероятность равна 1, если событию соответствуют все возможные исходы.

В этом видео демонстрируется как этот пример, так и предыдущий пример вишни на странице.

Определенные и невозможные события

• Вероятность невозможного события равна 0.
• Определенное событие имеет вероятность 1.
• Вероятность любого события должна быть равна

Попробуйте

Щелкните здесь, чтобы попробовать решить эту проблему.

В ходе этого раздела если вы вычисляете вероятность и получаете отрицательный ответ или больше 1, вы допустили ошибку и должны проверить свою работу .

Типы событий

Дополнительные события

Теперь давайте рассмотрим вероятность того, что произойдет событие , а не . Как и в предыдущем разделе, рассмотрим ситуацию с броском шестигранной кости и сначала вычислим вероятность выпадения шестерки: ответ равен 9.0102 P (шесть) =1/6. Теперь рассмотрим вероятность того, что мы выполним , а не , выкинем шестерку: есть 5 исходов, которые не являются шестерками, поэтому ответ будет P (не шестерка) = . Обратите внимание, что

Это не случайно. Рассмотрим общую ситуацию с n возможных исходов и событием E , которое соответствует m этих исходов. Тогда оставшиеся n – m исходов соответствуют E несостоявшихся, таким образом,

Дополнение к событию

Дополнение к событию — это событие « E не происходит»

• Обозначение используется для вероятности дополнения к событию E .
• Мы можем вычислить вероятность дополнения, используя
• Обратите внимание, что

пример

Если вы вытащите случайную карту из колоды игральных карт, какова вероятность, что это не черва?

Решение: 

В колоде 13 червей, поэтому .

Вероятность того, что , а не вытянет сердце, равна:

Эта ситуация объясняется в следующем видео.

Попробуйте

Щелкните здесь, чтобы попробовать решить эту проблему.

Вероятность двух независимых событий

пример

Предположим, мы подбросили монету и бросили кубик и хотели узнать вероятность того, что выпадет решка на монете и 6 на кубике.

Решение: 

Мы могли бы перечислить все возможные исходы: {h2,h3,h3,h5,H5,H6,T1,T2,T3,T4,T5,T6}.

Обратите внимание, что есть общие результаты. Из них только 1 является желаемым результатом, поэтому вероятность равна .

Предыдущий пример содержал два независимых события . Получение определенного результата от броска кубика не влияло на результат от подбрасывания монеты.

Независимые события

События A и B равны независимые события , если вероятность наступления события B одинакова независимо от того, произошло событие A или нет.

пример

Являются ли эти события независимыми?

1. Правильная монета подбрасывается два раза. Два события: (1) первый бросок — решка и (2) второй бросок — решка.
2. Два события (1) «Завтра в Хьюстоне будет дождь» и (2) «Завтра в Галвестоне будет дождь» (город недалеко от Хьюстона).
3. Вы берете карту из колоды, затем берете вторую карту, не заменяя первую.

Решения: 

1. Вероятность того, что орел выпадет при втором броске, равна 1/2 независимо от того, выпал орел при первом броске или нет, поэтому эти события независимы.
2. Эти события не являются независимыми, поскольку более вероятно, что дождь в Галвестоне пойдет в те дни, когда в Хьюстоне идет дождь, чем в те дни, когда его нет.
3. Вероятность того, что вторая карта будет красной, зависит от того, красная первая карта или нет, поэтому эти события не являются независимыми.

Когда два события независимы, вероятность того, что они произойдут, равна произведению вероятностей отдельных событий.

P ( A and B ) for independent events

If events A and B are independent, then the probability of both A and B occurring is

where P ( A и B ) — вероятность событий A и B оба происходят, P ( A ) — вероятность наступления события A и P ( B ) — вероятность наступления события B 3

Если вы вернетесь к предыдущему примеру с монетой и кубиком, вы увидите, как количество исходов первого события, умноженное на количество исходов второго события, умножается на общее количество возможных исходов комбинированного события.

пример

В вашем ящике есть 10 пар носков, 6 из которых белые, и 7 футболок, 3 из которых белые. Если вы случайно протянете руку и вытащите пару носков и футболку, какова вероятность того, что они оба белые?

Решение: 

Вероятность выбора пары белых носков равна .

Вероятность того, что вы выберете белую футболку, равна .

Вероятность того, что оба будут белыми, равна

 

Примеры совместных вероятностей обсуждаются в этом видео.

Попробуйте

Щелкните здесь, чтобы попробовать решить эту проблему.

В предыдущих примерах рассматривалась вероятность того, что произойдут оба события. Теперь мы рассмотрим вероятность возникновения события или .

пример

Предположим, мы подбросили монету и бросили кубик и хотели узнать вероятность того, что выпадет решка на монете или а 6 на штампе.

Решение: 

Здесь по-прежнему 12 возможных исходов: {h2,h3,h3,h5,H5,H6,T1,T2,T3,T4,T5,T6}

Просто посчитав, мы можем видеть, что 7 из исходов имеют решку на монете или a 6 на кубике или оба – мы используем здесь или включительно (эти 7 исходов h2, h3, h3, h5, H5, H6 , T6), поэтому вероятность равна . Как мы могли найти это из индивидуальных вероятностей?

Как и следовало ожидать, из этих исходов выпадет орёл, а из этих исходов выпадет 6 на кубике. Если мы добавим их, , что не является правильной вероятностью. Глядя на исходы, мы можем понять, почему: исход H6 был бы засчитан дважды, так как он содержит и решку, и 6; вероятность того, что и голова , и голова выкинут 6, равна .

Если мы вычтем этот двойной счет, мы получим правильную вероятность: .

P ( A или B )

Вероятность появления A или B (или обоих) равна

пример

Предположим, мы берем одну карту из стандартной колоды. Какова вероятность того, что мы получим даму или короля?

Решение: 

В колоде 4 дамы и 4 короля, следовательно, 8 исходов соответствуют королеве или королю из 52 возможных исходов. Таким образом, вероятность вытащить королеву или короля составляет:

Обратите внимание, что в данном случае нет карт, которые одновременно являются и дамой, и королем, поэтому . Используя наше правило вероятности, мы могли бы сказать:

 

Подробнее об этом примере и предыдущем смотрите в следующем видео.

https://youtu.be/klbPZeh2np4

В последнем примере события были взаимоисключающими , поэтому P ( A или B ) = P ( A ) + P ( B )0105).

Попробуйте

Щелкните здесь, чтобы попробовать решить эту проблему.

пример

Предположим, мы берем одну карту из стандартной колоды. Какова вероятность того, что мы получим красную карточку или короля?

Решение: 

Половина карт красные, поэтому

Четыре короля, поэтому

Два красных короля, поэтому

Затем мы можем вычислить

2

Попробуйте

В вашем ящике есть 10 пар носков, 6 из которых белые, и 7 футболок, 3 из которых белые. Если вы протянете руку и случайно возьмете пару носков и футболку, какова вероятность того, что хотя бы один из них белый?

Пример

В таблице ниже показано количество участников опроса, получивших и не получивших штраф за превышение скорости за последний год, а также цвет их автомобилей. Найти вероятность того, что случайно выбранный человек:

1. Имеет красную машину и получил штраф за превышение скорости
2. Имеет красную машину или получил штраф за превышение скорости.

	Штраф за превышение скорости	Нет штрафа за превышение скорости	Всего
Красный автомобиль	15	135	150
Не красная машина	45	470	515
Итого	60	605	665

Решение: 

Мы видим, что у 15 человек из 665 опрошенных были и красные машины, и штрафы за превышение скорости, поэтому вероятность равна .

Обратите внимание, что наличие красной машины и получение штрафа за превышение скорости не являются независимыми событиями, поэтому вероятность того, что они произойдут, не является просто произведением вероятностей каждого из них.

Мы могли бы ответить на этот вопрос, просто сложив числа: 15 человек с красными автомобилями и штрафами за превышение скорости + 135 с красными автомобилями, но без билетов + 45 с билетами, но без красных автомобилей = 195 человек. Так что вероятность есть.

Мы также могли бы найти эту вероятность по формуле:

P(имела красную машину) + P(получил штраф за превышение скорости) – P(имела красную машину и получил штраф за превышение скорости)

= .

 

Этот пример таблицы подробно описан в следующем пояснительном видео.

Попробуйте

Щелкните здесь, чтобы попробовать решить эту проблему.

Щелкните здесь, чтобы решить эту проблему.

Условная вероятность

В предыдущем разделе мы вычислили вероятности событий, которые не зависят друг от друга. Мы увидели, что получение определенного результата при бросании игральной кости не влияет на результат при подбрасывании монеты, даже несмотря на то, что мы вычисляли вероятность, основанную на одновременном выполнении этих действий.

В этом разделе мы рассмотрим события, которые  зависят друг от друга, называемые условными вероятностями .

Условная вероятность

Вероятность того, что событие B произойдет при условии, что событие A произошло, представлена ​​как

P ( B | A ) Б дано А »

Например, если вы берете карту из колоды, то место выборки для следующей вытянутой карты изменилось, потому что теперь вы работаете с колодой из 51 карты. В следующем примере мы покажем вам, чем вычисления для подобных событий отличаются от вычислений, которые мы сделали в предыдущем разделе.

пример

Какова вероятность того, что две карты, взятые наугад из колоды игральных карт, окажутся тузами?

Решение: 

Может показаться, что можно использовать формулу вероятности двух независимых событий и просто умножить . Однако это было бы неверно, поскольку эти два события не являются независимыми. Если первая вытянутая карта — туз, то вероятность того, что вторая карта тоже туз, будет ниже, потому что в колоде останется только три туза.

Поскольку первая выбранная карта является тузом, вероятность того, что вторая выбранная карта также является тузом, называется условной вероятностью вытягивания туза. В этом случае «условием» является то, что первая карта — туз. Символически мы записываем это как:

P (туз при втором розыгрыше | туз при первом розыгрыше).

Вертикальная черта «|» читается как «дано», поэтому приведенное выше выражение является сокращением от «вероятности того, что туз выпадет при втором розыгрыше, при условии, что туз был вытянут при первом розыгрыше». Какова эта вероятность? После того, как туз вытянут при первом розыгрыше, остается 3 туза из 51 общей карты. Это означает, что условная вероятность вытянуть туза после того, как один туз уже вытянут, равна .

Таким образом, вероятность того, что обе карты являются тузами, равна .

Conditional Probability Formula

If Events A and B are not independent, then

P ( A and B ) = P ( A ) · P ( B | А )

пример

Если вы вытащите из колоды 2 карты, какова вероятность того, что обе они пиковые?

Решение:

Вероятность того, что первой картой будет пика, равна .

Вероятность того, что вторая карта является пиковой, при условии, что первая была пиковой, равна , так как в колоде на одну пику меньше и на одну карту меньше.

Вероятность того, что обе карты пиковые, равна

.

Попробуйте

Щелкните здесь, чтобы попробовать решить эту проблему.

Пример

В таблице ниже показано количество участников опроса, получивших и не получивших штраф за превышение скорости за последний год, а также цвет их автомобилей. Найти вероятность того, что случайно выбранный человек:

1. имеет штраф за превышение скорости учитывая у них красная машина
2. имеет красную машину учитывая у них штраф за превышение скорости

Штраф за превышение скорости	Нет штрафа за превышение скорости	Всего
Красный автомобиль	15	135	150
Не красная машина	45	470	515
Итого	60	605	665

Решения: 

1. Поскольку мы знаем, что у человека красная машина, мы рассматриваем только 150 человек в первой строке таблицы. Из них 15 имеют штраф за превышение скорости, поэтому P(билет | красная машина) =
.
2. Поскольку мы знаем, что у человека есть штраф за превышение скорости, мы учитываем только 60 человек в первом столбце таблицы. Из них 15 имеют красную машину, поэтому P(красная машина | билет) = .

Обратите внимание, что в последнем примере P(B | A) равно , а не равно P(A | B).

 

Эти виды условных вероятностей используются страховыми компаниями для определения ваших страховых тарифов. Они рассматривают условную вероятность того, что вы попадете в аварию, учитывая ваш возраст, ваш автомобиль, цвет вашего автомобиля, вашу историю вождения и т. д., и оценивают ваш полис на основе этой вероятности.

Узнайте больше об условной вероятности в следующем видео.

 

Пример

Если вы вытащите две карты из колоды, какова вероятность того, что вы получите бубновый туз и черную карту?

Решение: 

Вы можете выполнить это условие, имея случай A или случай B, следующим образом:

случай A) вы можете сначала получить бубновый туз, а затем черную карту или

случай B) Вы можете сначала получить черную карту, а затем бубновый туз.

Рассчитаем вероятность случая А. Вероятность того, что первой картой будет бубновый туз, равна . Вероятность того, что вторая карта будет черной, учитывая, что первая карта — бубновый туз, определяется тем, что 26 из оставшихся 51 карты — черные. Следовательно, вероятность .

Теперь к случаю B: вероятность того, что первая карта черная, равна . Вероятность того, что второй картой будет бубновый туз, при условии, что первая карта черная, равна . Таким образом, вероятность случая B равна , такая же, как и вероятность случая 1.

Напомним, что вероятность A или B равна P (A) + P (B) – P (A и B) . В этой задаче P (A и B) = 0, так как первая карта не может быть бубновым тузом и быть черной картой. Следовательно, вероятность случая A или случая B равна . Вероятность того, что вы получите бубновый туз и черную карту при взятии двух карт из колоды, равна .

 

Эти два сценария игральных карт более подробно обсуждаются в следующем видео.

Нажмите здесь, чтобы просмотреть это видео.

Попробуйте

Щелкните здесь, чтобы попробовать решить эту проблему.

Пример

Женщинам был проведен домашний тест на беременность, затем беременность была подтверждена анализом крови. В следующей таблице приведены результаты домашнего теста на беременность.

Найти

1. P (не беременна | положительный результат теста)
2. P (положительный результат теста | не беременна)

	Положительный тест	Отрицательный тест	Всего
Беременная	70	4	74
Не беременна	5	14	19
Итого	75	18	93

Решения: 

1. Поскольку мы знаем, что результат теста был положительным, мы ограничиваемся 75 женщинами в первой колонке, из которых 5 не беременны.

   No related posts.