Какой трапеция называется равнобедренной прямоугольной: Какая трапеция называется прямоугольной? Равнобедренной?

Содержание

Трапеция. — Царство математики

Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие — боковыми сторонами.

Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны.

Трапеция называется прямоугольной, если у нее два угла прямые.

Основные свойства трапеции:

Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°.
Средняя линия трапеция параллельна её основаниям и равна их полусумме.
В любой трапеции следующие точки лежат на одной прямой: точка пересечения продолжений боковых сторон, середины оснований и точка пересечения диагоналей.
Треугольники, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.
Треугольники, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.
Если сумма углов, при любом основании трапеции, равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
Биссектриса любого угла трапеции отсекает от нее равнобедренный треугольник.
Биссектрисы углов, при боковой стороне трапеции, перпендикулярны.
Если в трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Отрезок, заключенный между боковых сторон трапеции, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения ее диагоналей — среднее гармоническое оснований трапеции.

Свойства равнобедренной трапеции:

Диагонали равны.
Углы при основании равны.
Сумма противоположных углов равна 180°.
Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
Высота, опущенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит большее основание трапеции на два отрезка, больший из которых равен полусумме оснований, а меньший — полуразности оснований.

Описанная трапеция:

Если вокруг трапеции можно описать окружность, то трапеция равнобедренная.
Радиус вписанной окружности равен среднему геометрическому длин отрезков, на которые радиус вписанной окружности делит боковую сторону, точкой касания.
Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции.

Вписанная трапеция:

Трапецию можно вписать в окружность,если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.

Площадь трапеции:

Формула площади трапеции через основания и высоту: S=0,5·(a+b)·h.
Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними: S=0,5·d₁·d₂·sinφ.

Персональный сайт учителя Низамутдиновой З.И.

Меню сайта

Статистика

Онлайн всего: 1

Гостей: 1

Пользователей: 0

Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами.
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны. Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции

Теорема 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Пусть ABCD – данная трапеция.EF – средняя линия трапеции. Проведем через вершину B и точку F прямую. Пусть эта прямая пересекает прямую AD в некоторой точке G.
Δ CFB = Δ FDG по второму признаку равенства треугольников (CF = FD, по построению, <BCF = <EВА, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и DG и секущей CD, <CFB = <DFG, как вертикальные). Значит BC = DG и BF = FG.
Поэтому, средняя линия трапеции EF является средней линией треугольника ABG. По свойству средней линии треугольника EF || AD, а

Теорема доказана.

Определение 1.

Трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара параллельных сторон.
Определение 2. Основаниями трапеции называют её параллельные стороны.
Определение 3. Боковыми сторонами трапеции называют её непараллельные стороны.
Параллельные стороны не могут быть равными, т.к. в противном случае мы имели бы параллелограмм. Поэтому одну из них мы назовем большим, вторую — малым основанием трапеции. Высотой трапеции можно назвать любой отрезок перпендикуляра, проведенного из вершин на соответственно противоположную сторону (для каждой вершины есть две противоположные стороны), заключенный между взятыми вершиной и противоположной стороной. Но можно выделить «особый вид» высот.
Определение 4. Высотой основания трапеции называют отрезок прямой, перпендикулярной основаниям, заключенный между основаниями.

Теорема 2. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство. Пусть дана трапеция АВСD и средняя линия КМ. Через точки В и М проведем прямую. Продолжим сторону AD через точку D до пересечения с ВМ. Треугольники ВСм и МРD равны по стороне и двум углам (СМ=МD, РВСМ=РМDР — накрестлежащие, РВМС=РDМР — вертикальные), поэтому ВМ=МР или точка М — середина ВР. КМ является средней линией в треугольнике АВР. По свойству средней линии треугольника КМ параллельна АР и в частности АD и равна половине АР:

Теорема 3. Диагонали делят трапецию на четыре части, две из которых, прилежащие к боковым сторонам, равновелики.
Напомним, что фигуры называются равновеликими, если у них одинаковая площадь. Треугольники АВD и АСD равновелики: у них равные высоты (обозначенные желтым) и общее основание. Эти треугольники имеют общую часть АОD. Их площадь можно разложить так:

Теорема 4. В трапеции середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой.

Виды трапеций:
Определение 5.

(рис 1) Остроугольной трапецией называется трапеция, у которой углы, прилегающие к большему основанию острые.
Определение 6. (рис 2) Тупоугольной трапецией называется трапеция, у которой один из углов, прилегающих к большему основанию тупой.
Определение 7. (рис 4) Прямоугольной называется трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям.
Определение 8. (рис 3) Равнобедренной (равнобокой, равнобочной) называется трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойства равнобокой трапеции:
Теорема 5. Углы, прилежащие к каждому из оснований равнобокой трапеции, равны.
Доказательство. Докажем, например, равенство углов А и D при большем основании AD равнобокой трапеции АВСD. Для этой цели проведем через точку С прямую параллельную боковой стороне АВ. Она пересечет большое основание в точке М. Четырехугольник АВСМ является параллелограммом, т.к. по построению имеет две пары параллельных сторон. Следовательно, отрезок СМ секущей прямой, заключенный внутри трапеции равен её боковой стороне: СМ=АВ.

Отсюда ясно, что СМ=СD, треугольник СМD — равнобедренный, РСМD=РСDM, и, значит, РА=РD. Углы, прилежащие к меньшему основанию, также равны, т.к. являются для найденных внутренними односторонним и имеют в сумме два прямых.

Теорема 6. Диагонали равнобокой трапеции равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники АВD и ACD. Она равны по двум сторонам и углу между ними (АВ=СD, AD — общая, углы А и D равны по теореме 10). Поэтому АС=BD.
Теорема 7. Если продолжить стороны равнобочной трапеции до их пересечения, то вместе с большим основанием трапеции они образуют равнобедренный треугольник.
Доказательство. По теореме углы А и D равны. Поэтому треугольник АDК является равнобедренным по признаку: если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Теорема 8. Диагонали равнобедренной трапеции точкой пересечения делятся на соответственно равные отрезки. Рассмотрим треугольники АВD и ACD. Она равны по двум сторонам и углу между ними (АВ=СD, AD — общая, углы А и D равны по теореме 10). Поэтому РОАD=РОDA, отсюда равны и углы ОВС и ОСВ как соответственно накрестлежащие для углов ODA и ОАD. Вспомним теорему: если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный, поэтому треугольники ОВС и ОAD являются равнобедренными, значит, ОС=ОВ и ОА=OD, ч.т.д.
Равнобокая трапеция фигура симметричная.
Определение 10. Осью симметрии равнобокой трапеции называют прямую, проходящую через середины её оснований.
Теорема 9. Ось симметрии равнобокой трапеции перпендикулярна её основаниям.

Вспомним свойство равнобедренного треугольника: медиана равнобедренного треугольника, опущенная на основание, одновременно является и высотой треугольника. Вследствие перпендикулярности основаниям частей прямой КМ, ось симметрии перпендикулярна основаниям.

Признаки, выделяющие равнобокую трапецию среди всех трапеций:
Теорема 10. Если углы, прилежащие к одному из оснований трапеции, равны, то трапеция равнобокая.
Теорема 11. Если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобокая.

AD. Вспомним теорему: если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй. Значит, прямая ОК также перпендикулярна AD. Таким образом, через точку О проходит две прямых перпендикулярных прямой AD, чего быть не может, поэтому эти прямые совпадают и составляют общий перпендикуляр КМ, который равен сумме двух радиусов и является диаметром вписанной окружности, поэтому r=KM/2 или r=h/2.
Теорема 16. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты оснований.

Доказательство: Пусть ABCD — данная трапеция, а AB и CD — её основания. Пусть также AH — высота, опущенная из точки A на прямую CD. Тогда S _ABCD= S_ACD + S_ABC. Но S_ACD = ½AH·CD, а S_ABC = ½AH·AB. Следовательно, S_ABCD = ½AH·(AB + CD). Что и требовалось доказать.

Вторая формула перешла от четырехугольника.

Вход на сайт

Календарь

Друзья сайта

Официальный блог

Сообщество uCoz

FAQ по системе

Инструкции для uCoz

Калькулятор равнобедренных трапеций

Автор Анна Щепанек, доктор философии

Отзыв от Davide Borchia

Последнее обновление: 30 сентября 2022 г.

Содержание:

Что такое равнобедренная трапеция?
Какими свойствами обладают равнобедренные трапеции?
Как пользоваться калькулятором равнобедренных трапеций?
Полезные ресурсы по трапециям
Часто задаваемые вопросы

Добро пожаловать в калькулятор равнобедренных трапеций Omni! Здесь вы можете узнать, что такое равнобедренная трапеция, и изучить различные свойства таких трапеций. В частности, мы объясним, как вычислить высоту и диагональ равнобедренной трапеции.

Начнем с определения равнобедренной трапеции.

Что такое равнобедренная трапеция?

Равнобедренная трапеция — это трапеция с катетами, которые имеют одинаковую длину (сравните с равнобедренными треугольниками).

На всякий случай напомним еще, что трапеция — это геометрическая фигура с четырьмя сторонами, у которой хотя бы одна пара сторон параллельна друг другу. Если таких пар две, то получится параллелограмм. Две параллельные стороны называются основания , а две другие стороны называются ножками .

Вот и все, что касается определения равнобедренных трапеций! Давайте исследуем некоторые интересные свойства этих интригующих геометрических объектов.

Какими свойствами обладают равнобедренные трапеции?

Вот краткий обзор основных свойств равнобедренной трапеции:

Диагонали равнобедренной трапеции имеют одинаковую длину.
Но эти диагонали не обязательно делят друг друга пополам.
Углы основания одинаковые.
Равнобедренная трапеция, которая также является прямоугольной трапецией, является прямоугольником.
Равнобедренная трапеция имеет ось симметрии — линия симметрии проходит через середины оснований.
Но у равнобедренной трапеции нет вращательной симметрии (если только она не прямоугольник).
Сумма противоположных углов равна прямому углу (180 градусов).

Как лучше всего исследовать все эти различные свойства? Экспериментируем с нашим калькулятором равнобедренных трапеций! В следующем разделе мы объясним, как использовать его наиболее эффективно.

Как пользоваться калькулятором равнобедренных трапеций?

Нет ничего проще, чем использовать калькулятор равнобедренных трапеций Omni! Вам просто нужно ввести доступные данные (в любом порядке), а наш инструмент найдет все остальные значения.

Имейте в виду, что расчет работает в предположении, что более длинный базис обозначается a , а более короткий — b (конечно, они могут быть равными)!

Полезные ресурсы по трапециям

В Omni есть много других калькуляторов, которые решат ваши задачи с трапециями:

Калькулятор трапеций
Калькулятор площади трапеции
Калькулятор периметра трапеции
Калькулятор стороны трапеции
Калькулятор угла трапеции
Калькулятор высоты трапеции
Средняя часть трапеции
Калькулятор площади равнобедренной трапеции
Калькулятор правой трапеции
Калькулятор площади правой трапеции
Калькулятор площади неправильной трапеции

FAQ

Является ли равнобедренная трапеция параллелограммом?

Равнобедренная трапеция не обязательно должна быть параллелограммом. Нам необходимо дополнительно знать, что два основания рассматриваемой равнобедренной трапеции имеют одинаковую длину.

Сколько осей симметрии у этой равнобедренной трапеции?

Равнобедренная трапеция имеет ровно одну линию симметрии. Его можно найти, проведя линию через середины двух оснований нашей равнобедренной трапеции.

Анна Щепанек, доктор философии

Более длинное основание (a)

Более короткое основание (b)

Ножка (c)

Высота (h)

Острый угол (α)

Тупой угол (β) 9003 (

)

9000 Периметр

Посмотреть 23 похожих калькулятора 2d-геометрии 📏

ПлощадьПлощадь прямоугольникаПлощадь полумесяца… Еще 20

Трапеция

Трапеция — это четырехугольник с одной парой параллельных сторон. На рисунке ниже показано несколько различных типов трапеций.

Примечание. Некоторые определяют трапецию как четырехугольник с хотя бы одной парой параллельных сторон, подразумевая, что он может содержать две пары параллельных сторон, что делает его параллелограммом. Ради этой статьи мы определим трапецию как четырехугольник только с одной парой параллельных сторон.

Стороны трапеции

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями. Непараллельные стороны называются катетами. Высота (или высота) — это отрезок линии, используемый для измерения кратчайшего расстояния между двумя основаниями.

Углы трапеции

В трапеции пара углов, имеющих общее основание, называется углами при основании. Для трапеций, показанных на диаграмме ниже, ∠A и ∠D являются углами при основании, а ∠B и ∠C являются углами при основании. Пара углов рядом с катетом является дополнительной: ∠A + ∠B = 180° и ∠C + ∠D = 180°.

Средняя часть трапеции

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины ее катетов. Средний отрезок параллелен основаниям и имеет длину, равную половине суммы двух оснований.

На рисунке выше средний сегмент EF делит стороны AB и CD пополам и

Площадь трапеции

Площадь трапеции A равна половине произведения суммы ее оснований и высоты.

, где h — высота, а b ₁ и b ₂ — длина основания.

Классификация трапеций

Трапеции могут быть классифицированы как разносторонние или равнобедренные в зависимости от длины их ног. Если стороны и углы основания трапеции равны, то это равнобедренная трапеция. В противном случае это разносторонняя трапеция.

Разносторонняя трапеция	Равнобедренная трапеция

Ножки или углы основания не равны	Конгруэнтные ножки и базовые уголки

Трапеции также могут быть классифицированы как прямые трапеции или тупые трапеции на основе их углов. Если один из катетов перпендикулярен основаниям, то трапеция прямоугольная. В противном случае трапеция должна содержать два тупых угла и называется тупой трапецией.

Правая трапеция

Тупая трапеция

Одна ножка перпендикулярна основаниям.