Калькулятор комплексных чисел онлайн: Онлайн калькулятор. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел

См. также: Модуль/величина комплексного числа — Аргумент комплексного числа 9* $) и равен $\overline{z} = a-ib $, где $a = \Re(z)$ — действительная часть, а $b = \Im(z)$ — мнимая часть.

Другими словами, сопряженным комплексу является число с той же действительной частью, но с противоположной мнимой частью.

На комплексной плоскости точки $z$ и $\overline{z}$ симметричны (симметрия относительно оси x).

Как вычислить сопряженное комплексное число?

Из алгебраической формы комплексного числа $ z = a+ib $ вычисляется сопряженное $ \overline{z} = a-ib $.

Пример: Определить сопряжение $ z = 1+i $ для вычисления $ \overline{z} = 1-i $

Другими словами, чтобы найти сопряжение комплексного числа, взять это же комплексное число число, но с противоположной (со знаком минус) его мнимой частью (содержащей $ i $).

Что такое комплексно-сопряженная пара?

Набор из 2-х элементов: комплексного числа $z$ и его сопряженного $\overline{z}$, образует пару сопряженных.

Каковы свойства конъюгатов?

Используя комплексные числа $ z, z_1, z_2 $, сопряжение имеет следующие свойства:

$$ \overline{z_1+z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} $$

$$ \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \times \overline{z_2} $$

$$ \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\ overline{z_1}}{\overline{z_2}} \iff z_2 \neq 0 $$

Число без мнимой части равно своему сопряженному:

$$ \Im (z) = 0 \iff \overline{ г} = г $$

Это действительное число (без мнимой части $ i $) и строго положительное (сложение двух квадратов обязательно положительное)

Чему равно i?

Сопряженным числом $i$ является число $-i$

Как вычислить сопряжение действительного числа (без i)?

Сопряженным $ \overline{a} $ действительного числа $ a $ является само число $ a $: $ a=a+0i=a-0i=\overline{a} $

Пример: $ \overline{1 + 0 \times i} = 1 $

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код «Complex Number Conjugate». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (указано Creative Commons/бесплатно), алгоритма «Сопряжение комплексных чисел», апплета или фрагмента (преобразователь, решатель, шифрование/дешифрование, кодирование/декодирование, шифрование/дешифрование, транслятор) или «Комплексное число Функции сопряжения» (вычисление, преобразование, решение, расшифровка/шифрование, расшифровка/шифрование, декодирование/кодирование, перевод), написанные на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C#, Javascript, Matlab и т. д.) и загрузка всех данных, сценарий или доступ к API для «Complex Number Conjugate» не являются общедоступными, то же самое для автономного использования на ПК, мобильных устройствах, планшетах, iPhone или в приложениях для Android!
Напоминание: dCode можно использовать бесплатно.

Цитировать dCode

Копирование и вставка страницы «Комплексное числовое сопряжение» или любых его результатов разрешено, если вы цитируете dCode!
Цитировать как источник (библиографию):
Complex Number Conjugate на dCode. fr [онлайн-сайт], получено 27 сентября 2022 г., https://www.dcode.fr/complex-number-conjugate

Сводка

• Калькулятор комплексных сопряжений
• Что такое сопряжение комплексного числа? (Определение)
• Как вычислить сопряженное комплексное число?
• Что такое комплексно-сопряженная пара?
• Каковы свойства конъюгатов?
• Что такое произведение комплексного числа и его сопряженного?
• Что является сопряженным i?
• Как вычислить сопряжение вещественного числа (без i)?

Аналогичные страницы

• Аргумент комплексного числа
• Комплексное число Модуль/величина
• Касательная кривой
• Изображение функции
• Предварительное представление о функции
• Неизвестные в треугольнике
• коэффициент склона
• DCODE List

70009

• DCODE

70009

• Pay -Pal Ключевые слова

  сопряжение, комплекс, число, плоскость, симметрия, симметрия, вычислитель

  Ссылки

  
  

  ▲

  Калькулятор комплексных чисел — преобразование в полярные и мнимые числа

  Онлайн-калькулятор комплексных чисел позволяет выполнять основные математические операции для упрощения заданных сложных выражений. Этот бесплатный калькулятор мнимых чисел быстро упростит любое сложное выражение с помощью пошаговых вычислений. Итак, продолжайте читать, чтобы понять, как упростить комплексные числа, такие как полярная форма, инверсия, сопряжение и модуль.

  Что такое комплексное число?

  В математике комплексное число определяется как комбинация действительных и мнимых чисел. Он выражается как x + yi. Здесь «i» — мнимое число, а «x» и «y» — действительные числа. Где «I» также известен как йота, и его значение равно \(\sqrt{-1}\). Калькулятор комплексных чисел может складывать, вычитать, умножать или делить мнимые числа. Короче говоря, мы можем использовать выражение как z = x + iy, где «x» — действительная часть, а «iy» — мнимая часть.

  Основные операции с комплексными числами:

  При выполнении простых операций с комплексными числами полезно думать о них как о векторах. Затем очень просто вычитать и складывать комплексные числа с помощью калькулятора комплексных решений.

  Если первое число равно A = x + yi, а второе число равно B = m + ni, то сумма двух комплексных чисел равна:

  $$ A + B = x + yi + m + ni = (x + m) + (y + n) * I $$

  Где Re (A + B) = x + m — часть суммы действительных чисел, а Im(A + B) = y + n — часть суммы мнимого числа.

  Если числа: A – B = x + yi – m + ni = (x – m) + (y – n) * I, то Re (A – B) = x – m и Im (A – B ) = у – п. Калькулятор комплексных чисел, сложите (или вычтите) каждую пару заданных компонентов отдельно!

  Однако онлайн-калькулятор научной записи позволяет складывать, вычитать, умножать и делить числа в экспоненциальной записи.

  Умножение и деление комплексных чисел:

  Давайте посмотрим, как умножаются комплексные числа с помощью простого калькулятора комплексных чисел. Согласно обозначениям в предыдущем разделе:

  • $$ A * B = (x + yi) * (m + ni) = x * m + x * n * i + y * m * i + y * n * i * i = (x * my * n) + (x * n + y * m) * i $$
  • На этот раз действительную часть можно записать как Re(A * B) = x * m – y * n, а мнимую часть как Im(A * B) = x * n + y * m.
  • Помните, что калькуляторы комплексных чисел используют отрицательный знак в действительной части, потому что в какой-то момент мы сталкиваемся с произведением двух чисел i * i, которое по определению равно -1.
  • С помощью комплексного калькулятора умножение комплексных чисел не составляет труда. Давайте посмотрим на вычисление теоремы: A / B = (x + yi)/(m + ni) =, расширим числитель и знаменатель, объединив комплексные числа числителя и знаменателя. 9{nx} * exp (-φ_1 * d) = Мы можем использовать известное экспоненциальное свойство: xn = exp (n * ln (x)), где ln — натуральный логарифм.
  • | z_1| Exp * exp(-φ_1 * d) * exp (i(φ_1 * m + n * ln |z_1|)).
  • Таким образом, абсолютное значение равно: AB = | z_1| exp * exp (-φ_1 * d), а независимая переменная: arg(AB) = φ m + n * ln | z_1|
  • Логарифм комплексного числа (также известный как комплексный логарифм) можно вычислить следующим образом: ln (F) = ln (|z_1| * exp (iφ_1)) = ln (|z_1|)+iφ_1.

  Однако используйте онлайн-калькулятор составных функций, который вычисляет состав функций на основе введенных значений функций f(x) и g(x) в определенных точках.

  Как работает калькулятор комплексных чисел?

  Калькулятор мнимых чисел упрощает данное выражение с помощью следующих шагов:

  Ввод:

  • Сначала введите выражение с действительными и мнимыми числами.
  • Нажмите кнопку расчета.

  Выход:

  • Калькулятор комплексных чисел обеспечивает обратную, сопряженную, модульную и полярную формы заданных выражений.
  • Калькулятор отображает пошаговое решение умножения и других основных математических выражений.

  Часто задаваемые вопросы:

  Все ли числа сложные?

  Каждое действительное число является комплексным числом, но не обязательно каждое комплексное число является действительным числом. Множество всех комплексных чисел представлено как Z ∈ C. Множество всех мнимых чисел выражается как Z ∈ C – R.

  Где в реальной жизни используются комплексные числа?

  Комплексные числа также используются для расчета напряжения, тока или сопротивления в цепи переменного тока (AC означает переменный ток).

  Как работает комплексное число?

  Комплексное число представляет собой сумму мнимого числа и действительного числа, выраженную как a + bi. Итак, точка пересечения действительной части находится на горизонтальной оси, а найденной мнимой части — на вертикальной оси.

  Вывод:

  Используйте этот онлайн-калькулятор комплексных чисел для выполнения основных операций, таких как умножение и деление с комплексными числами. Вы можете написать как мнимую, так и действительную часть двух чисел. Если число чисто мнимое или чисто действительное, то другую часть приравняйте к 0. После этого вы получите полярную форму данного сложного выражения.

  Ссылка: 

  Из источника Википедии: Обозначение, Визуализация, Декартова комплексная плоскость, Полярная комплексная плоскость, Модуль и аргумент, Сложные графы.

  Из источника Brilliant: Комплексная плоскость, Воображаемая единица i, Арифметика комплексных чисел, Умножение комплексных чисел, Комплексно-сопряженные числа.

  Из источника университетских наставников: комплексные числа, комплексная плоскость, чисто мнимая, мнимая единица, декартова плоскость.

   

  калькулятор, операции, свойства и многое другое

  Вам нужен калькулятор для преобразования полярной формы в биномиальную или из биномиальной в полярную? Здесь у вас есть инструмент, посвященный комплексным числам, а также гораздо больше информации, чтобы вы знали свойства, операции и многое другое.

  Чтобы изменить число с полярного на биномиальное или наоборот , просто выберите изменение, которое вы хотите сделать, в нашем калькуляторе, напишите значения, которые соответствуют в каждом случае, и нажмите кнопку расчета, чтобы получить эквивалентность автоматически.

  Разделы статей

  • Что такое комплексное число?
  • Преобразование полярной формы в биномиальную
  • Преобразование биномиальной формы в полярную
  • Операции
  • Модуль комплексного числа
  • Сопряжение комплексного числа
  • Комплексные числа в Excel

  Что такое комплексное число?

  Комплексное число является расширением действительных чисел и состоит из действительной и мнимой частей. Комплексы могут быть представлены в биномиальной или полярной форме:

  • Биномиальная форма записываются в виде z = a + bi, где a — действительная часть, а b — мнимая часть.
  • Полярная форма представлена ​​как z= r _α , где r — модуль, а α — аргумент.

  А для чего нужны комплексные числа? Ответ длинный, но в качестве резюме мы можем сказать, что мы используем их для решения операций, которые не имеют реального решения (как квадратный корень из отрицательного числа).

  Вот как мнимая единица, представленная буквой i y que equivale a la raíz cuadrada de — 1, es decir:

  i = √-1

  Переход от полярной формы к биномиальной

  Для для преобразования комплексного числа из полярной формы в биномиальную Если мы не используем следующую математическую формулу, мы должны применить следующую математическую формулу:

  z = r _α = r (cos α + i sen α)

  Например, если мы хотим, чтобы превратилось в бином, комплекс 3 _240º Если мы не используем формулу, мы применим следующую формулу:

  z = 3 _240º  = 3 (cos 240º + i sen 240º) = 3 (-0,5 — 0,866i) = -1,5 — 2,598i

  Если вы найдете это полезным, здесь мы оставляем вам соответствующие калькуляторы для получения синуса: и косинуса.

  Преобразование из биномиальной в полярную

  Если мы хотим сделать обратное преобразование, т. е. передать комплексное число в декартову координату , то мы должны выполнить следующий процесс:

  1. Первое, что нужно сделать вычислить модуль комплексного числа (z = a + bi), для которого мы применяем эту формулу:

  |г| = √(a ² + b ² )

  2. Теперь мы должны получить аргумент полярных координат , который получается по этой формуле:

  α = arctg (b/a)

  Мы оставляем вас с нашим калькулятором аркотангенса для немедленного решения вышеуказанной операции.

  Мы предложим упражнение для решения , в котором мы собираемся поляризовать комплекс 1 + 2i.

  |г| = √(1 ² + 2 ² ) = √(1 + 4) = √5

  α = arctg (b/a) = arctg (2/1) = 63,43º.

  Наконец, мы имеем, что наше комплексное число 1 + 2i в декартовых координатах выражается как √5 _63,43º в полярных координатах

  Операции

  Здесь мы покажем вам, какие из них являются основными. операции, которые можно выполнить с комплексными числами .

  Обратите внимание, что некоторые из этих операций только могут быть выполнены в биномиальной или полярной форме , поэтому вам нужно будет переключаться с одного формата на другой в зависимости от того, как выражается комплексное число, которое у вас есть.

  Сложение и вычитание комплексных чисел

  Сложение или вычитание комплексных чисел в биномиальной форме очень просто. Нам нужно только сложить действительные части и мнимые части, как вы можете видеть в следующем выражении:

  (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i
  ( a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i

  Например:

  (3 + 2i) + (1 + 5i) = (3 + 1) + (2 + 5)i = 4 + 7i
  (4 + 3i) — (2 + 1i) = (4 — 2) + (3 — 1)i = 2 + 2i

  Свойства суммы

  • Коммутативное свойство: z1 + z2 = z2 + z1
  • Ассоциативное свойство (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
  • 0 — нейтральный элемент
  Умножение комплексных чисел

  Умножение комплексных чисел может выполняться как в полярной форме, так и в биномиальной форме . Давайте посмотрим, как это делается в каждом случае:

  Произведение комплексных чисел в биномиальной форме:

  (a+bi)-(c+di) = (a-c — b-d)+(a-d+b-c)i

  Упражнение решено:

  (1 + 3i)·(2+1i) = 1·2 — 3i ² + 1i + 6i = 2 — 3 + i + 6i = -1 + 7i

  Помните, что i ² равно -1

  Произведение комплексных чисел в полярной форме:

  m _α ·m’ _β =(m·m’) _α+β

  Пример решения:

  2 _30º  — 5 _35º = (2 — 5) _30º+35º. = 10 _65º

  Свойства умножения:

  • Коммутативное свойство: z1 — z2 = z2 — z1
  • Ассоциативное свойство: (z1 — z2) — z3 = z1 — (z2 — z3)
  • Распределительное свойство: z1 — (z2 + z3) = z1 — z2 + z1 — z3
  • 1 — нейтральный элемент (1 + 0i)
  Отдел комплексных чисел

  Деление — еще одна операция, которую позволяет нам работать как в биномиальной, так и в полярной форме. . Давайте посмотрим, как действовать в каждом из них:

  Деление комплексных чисел в биномиальной форме

  Если у нас есть два комплексных числа, выраженных в биномиальной форме, способ их деления выглядит следующим образом :

  Если вы интересно узнать, как получается это выражение, вот демонстрация , в которой числитель и знаменатель умножаются на сопряженное знаменателю, так что мы получаем действительное число в той части дроби:

  Деление комплексных чисел в полярной форме

  Для разделить комплексные числа в полярной форме просто разделить модуль и вычесть аргументы, как показано в следующей формуле:

  Степени комплексных чисел 9021 случае, когда мы должны вычислить степень комплексного числа В этом разделе мы объясним, как вычислить ее в каждом случае:

  Степень комплексного числа в биномиальной форме

  Это формула , которую нужно разработать n раз для вычисления степени комплексного числа в биномиальной форме:

  В зависимости от сложности вам может быть проще преобразовать комплексное число в полярную форму и вычислить power , как описано в следующем разделе.

  Степени комплексного числа в полярной форме

  На мой взгляд, вычисление степеней в полярной форме намного проще сделать , чем в биномиальной форме, поскольку нам нужно только применить следующую формулу:

  (m _α ) ⁿ = m ⁿ _nα

  Как видите, достаточно возвести модуль в степень n и умножить аргумент на значение n.

  Модуль комплексного числа

  Если вам нужна дополнительная информация о том, как модуль комплексного числаНажмите на ссылку, которую мы только что оставили вам.

  Сопряжение комплексного числа

  Сопряжение комплексного числа в биномиальной форме имеет ту же действительную часть и меняет знак мнимой части, так что если наш комплекс Z = a + bi, его сопряжение будет:

   

  являются свойствами, которыми обладает комплексное число:

  • Сопряженное действительное число есть само. Например, сопряженное 3+0i равно 3-0i, короче, оно равно 3 в обоих случаях.
  • Сопряжение мнимого числа является его противоположностью. Например: сопряженное число 5i равно -5i
  .
  • Сопряжение сопряжения является исходным мнимым числом.
  • Сумма комплексного числа плюс его сопряженное число равно удвоенной его действительной части:
  • Вычитание комплекса минус его сопряженное равно удвоенной его мнимой части:
  • Произведение комплекса его сопряженным равно квадрату действительной части плюс квадрат мнимой части:
  • Для суммы и произведения нескольких сопряженных равен:

  Комплексные числа в Excel

  Excel имеет множество функций для работы с комплексными числами . Ниже приведена таблица, которая будет служить сводкой, чтобы увидеть, что они из себя представляют и что они делают.

  Если вы не знаете, как его использовать или для чего он нужен, не стесняйтесь оставлять нам комментарии, и мы поможем вам во всем, что касается комплексных чисел.

  Функция	Описание
  КОМПЛЕКС	Преобразование действительных и мнимых коэффициентов в комплексное число.
  IM.ABS	Вычисляет модуль комплекса.
  ИМ.АНГУЛО	Вычислить угол аргумента (в радианах)
  МНИМАЯ	Дает нам коэффициент мнимой части
  ВМ.СОПРЯЖЕННЫЙ	Вычисляет сопряжение комплекса
  IM.COS	Это дает нам косинус комплексного числа.
  IM.DIV	Мы будем использовать его для деления двух комплексных чисел
  IM.EXP	Позволяет вычислить экспоненциальную форму комплекса
  IM.LN	Возвращает неперовский логарифм комплексного числа.
  IM.LOG10	Логарифм по основанию 10 комплекса
  IM.LOG2	Эта функция вычисляет логарифм по основанию 2.
  IM.POT	Помогает рассчитать мощность комплекса
  IM.PRODUCT	Позволяет умножать до 29 комплексных чисел
  IM.ROOT2	Мы будем использовать его, чтобы получить квадратный корень из комплекса
  IM.REAL	Дает нам действительную часть комплексного числа
  IM.SENO	С помощью этой функции мы вычисляем синус комплексного числа
  IM.SUM	Результатом будет сумма двух комплексных чисел
  IM.SUSTR	Эта функция используется для вычитания двух комплексных чисел

  Nacho

  Ingeniero de Telecomunicaciones dedicado al mundo de Internet. En Esta веб-те Ayudo hacer cálculos у преобразования sencillas дие кон-эль-Пасо-де-лос-Años се-нос-ха olvidado Cómo себе Hace. Si tienes dudas, déjame un commentario y te ayudaré. Si quieres mejorar tu proyecto online o necesitas asesoramiento, напишите мне сообщение.

  Калькулятор комплексных чисел

  Теория

  Сложение двух комплексных чисел, представленных в алгебраической (прямоугольной) форме.
  Сложение действительных и комплексных чисел, представленных в алгебраической (прямоугольной) форме.
  Вычитание двух комплексных чисел, представленных в алгебраической (прямоугольной) форме.
  Вычитание комплексного числа из действительного числа.
  Вычитание вещественного числа из комплексного числа.
  Умножение двух комплексных чисел, представленных в алгебраической (прямоугольной) форме..
  Умножение действительного и комплексного числа, представленного в алгебраической (прямоугольной) форме.
  Деление двух комплексных чисел, представленных в алгебраической (прямоугольной) форме.
  Деление комплексного числа, представленного в алгебраической (прямоугольной) форме, действительным числом.
  Деление действительного числа на комплексное число, представленное в алгебраической (прямоугольной) форме.
  Сложение комплексных чисел, представленных в полярной форме.
  Вычитание комплексных чисел, представленных в полярной форме.
  Умножение комплексных чисел, представленных в полярной форме.
  Деление комплексных чисел, представленных в полярной форме.
  Сложение комплексных чисел, представленных в экспоненциальной форме.
  Вычитание комплексных чисел, представленных в экспоненциальной форме.
  Умножение комплексных чисел, представленных в экспоненциальной форме.
  Деление комплексных чисел, представленных в экспоненциальной форме.
  Модуль комплексного числа.
  Аргумент (фаза) комплексного числа.
  Представление комплексного числа в алгебраической (прямоугольной) форме в полярной форме.
  Представление комплексного числа в алгебраической (прямоугольной) форме в экспоненциальной форме.
  Представление комплексного числа в полярной форме в алгебраической (прямоугольной) форме.
  Представление комплексного числа в полярной форме в экспоненциальной форме.
  Представление комплексного числа в экспоненциальной форме в полярной форме.
  Представление комплексного числа, записанного в экспоненциальной форме, в алгебраической (прямоугольной) форме.
  Сопряжение комплексного числа, представленного в алгебраической (прямоугольной) форме.
  Сопряжение комплексного числа, выраженное в полярной форме.
  Сопряжение комплексного числа, выраженное в экспоненциальной форме.
  Обратная величина комплексного числа, представленного в алгебраической (прямоугольной) форме.
  Обратная величина комплексного числа, представленного в полярной форме.
  Обратная величина комплексного числа, представленного в экспоненциальной форме.
  Аддитивная инверсия комплексного числа.
  Извлечение корня N комплексного числа, представленного в алгебраической (прямоугольной) форме.
  Извлечение корня N из комплексного числа, представленного в полярной форме.
  Извлечение корня N из комплексного числа, представленного в экспоненциальной форме.

  Сложение двух комплексных чисел, представленных в алгебраической (прямоугольной) форме

  Чтобы сложить два комплексных числа, представленных в алгебраической (прямоугольной) форме, необходимо сложить их действительную и мнимую части:

  (a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i

  Приведем примеры:

  Пример 1. Сложим два комплексных числа 2 + 3i и 1,6 + 7i

  (2 + 3i) + (1,6 + 7i) = (2 + 1,6) + (3 + 7)i = 3,6 + 10i

  Пример 2. Сложим два комплексных числа 3 + 4i и 8 − 6i

  (3 + 4i) + (8 − 6i) = (3 + 8) + (4 − 6i) = 11 − 2i

  
  

  Сложение действительных и комплексных чисел, представленных в алгебраической (прямоугольной) форме

  Чтобы сложить комплексное число a + bi и действительное число c, вам нужно добавить действительное число к действительной части комплексного числа:

  (a + bi) + c = (a + c) + bi

  Приведем примеры:

  Пример 1. Складываем комплексное число 2 + 3i и действительное число 10

  (2 + 3i) + 10 = (2 + 10) + 3i = 12 + 3i

  Пример 2. Сложите комплексное число −6 + 3i и действительное число -23

  (−6 + 3i) + ( −23) = (−6 + (−23)) + 3i = −29 + 3i

  
  

  Вычитание двух комплексных чисел, представленных в алгебраической (прямоугольной) форме

  Для вычитания двух комплексных чисел, представленных в алгебраической (прямоугольной) форме нужно вычесть их действительную и мнимую части:

  (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

  Приведем примеры:

  Пример 1. Вычтем два комплексных числа 3 + 9i и 5 + 6i

  (3 + 9i) − (5 + 6i) = (3 − 5) + (9 − 6)i = − 2 + 3i

  Пример 2. Вычесть два комплексных числа 6 + 23i и 57 + 68i

  (6 + 23i) − (57 + 68i) = (6 − 57) + (23 − 68)i = −51 − 45i

  
  

  Вычитание комплексного числа из действительного числа

  Чтобы вычесть комплексное число c + di из действительного числа a, используйте следующую формулу:

  a − (c + di) = (a − c) − di

  Приведем примеры:

  Пример 1. Вычесть из действительного числа 6 комплексное число 1 + 7i

  6 − (1 + 7i) = (6 − 1) + 7i = 5 − 7i

  Пример 2. Вычесть из действительного числа -15 комплексное число 1 + (−7)i

  −15 − (1 + (−7)i) = (−15 − 1) − (−7)i = −16 + 7i

  
  

  Вычитание действительного числа из комплексного числа

  Чтобы вычесть действительное число c из комплексного числа a + bi, вам нужно вычесть действительное число из действительной части комплексного числа:

  (a + bi) − c = (a − c) + bi

  Приведем примеры:

  Пример 1. Вычтем из комплексного числа 5 + 12i действительное число 8

  (5 + 12i) − 8 = (5 − 8) + 12i = −3 + 12i

  Пример 2. Вычесть из комплексного числа −1 + (−5)i действительное число −3

  (−1 + (−5)i) − (− 3) = (−1 − (−3)) + (−5)i = 2 − 5i

  
  

  Умножение двух комплексных чисел, представленных в алгебраической (прямоугольной) форме.

  Чтобы умножить два комплексных числа, представленных в алгебраической (прямоугольной) форме, необходимо использовать следующую формулу:

  (a + bi) × (c + di) = ac + adi + bci + bdi ² = (ac + bdi ² ) + (bc + ad)i = (ac − bd) + (bc + ad)i

  Приведем примеры:

  Пример 1. Перемножим два комплексных числа 2 + 5i и 3 + 7i

  Решение 1
  (2 + 5i) × (3 + 7i) = ((2 × 3) − (5 × 7)) + ((5 × 3) + (2 × 7))i = (6 − 35) + (15 + 14)i = −29 + 29i
  Решение 2
  (2 + 5i) × (3 + 7i) = (2 × 3) + (2 × 7i) + (5i × 3) + (5i × 7i) = 6 + (14i) + (15i) + (35i ² ) = 6 + (29i) + (35 × (−1)) = −29 + 29i

  Пример 2. Перемножим два комплексных числа 0,4 + (−2)i и 3,023 + 0,25i

  Решение 1
  (0,4 + (-2)i) × (3,023 + 0,25i) = ((0,4 × 3,023) — (-2 × 0,25)) + (((-2) × 3,023) + (0,4 × 0,25))i = (1,2092 — (-0,5)) + (-6,046 + 0,1)i = 1,7092-5,946i
  Решение 2
  (0,4 + (-2)i) × (3,023 + 0,25i) = (0,4 × 3,023) + (0,4 × 0,25i) + ((–2)i × 3,023) + ((–2)i × 0,25i) = 1,2092 + (0,1i) + (-6,046i) + (-0,5i ² ) = 1,2092 + (−5,946i) + ((−0,5 × (−1))) = 1,7092 − 5,946i

  
  

  Умножение действительного и комплексного числа, представленного в алгебраической (прямоугольной) форме

  По порядку чтобы умножить действительное число a на комплексное число c + di, необходимо умножить действительную и мнимую части числа c + di на это число:

  a × (c + di) = ac + adi

  . приведите примеры:

  Пример 1. Умножьте комплексное число 3+4i и действительное число 1

  1 × (3 + 4i) = (1 × 3) + (1 × 4)i = 3 + 4i

  Пример 2. Умножьте комплексное число −5 + 4i и действительное число −74

  −74 × (−5 + 4i) = (−74 × (−5)) + (−74 × 4)i = 370 − 296i

  
  

  Деление двух комплексных чисел, представленных в алгебраической (прямоугольной) форме

  Чтобы разделить два комплексных числа, представленных в алгебраической (прямоугольной) форме, необходимо использовать следующую формулу:

  	a + bi	=
  	C + DI

  	(A + BI) × (C — DI)	=
  	(C + DI).
  	ac + bd	+
  	c 2 + d 2

  	bc − ad
  	c 2 + d 2

  Приведем примеры:

  Пример 1. Разделите комплекс № 4 + 3i на комплекс № 5 + 8I

  ).).

  	(4 + 3 I )	=
  	(5 +		141415555915 .) 55555 15915 55

  	(4 + 3 i ) × (5 − 8 i )	=
  	(5 + 8 i ) × (5 − 8 i )

  	(4 × 5) + (3 × 8)	+
  	(5 2 + 8 2 )

  	(3 × 5)
  		. 2 )

  	(20 + 24)	+
  	(25 + 64)

  	15 − 32
  	25 + 64

  	44	+
  	89

  = 0. 49438202247191−0.1 235955056 i

  Example 2. Divide the complex number 6 + (− 2) I по комплексному числу −4 + ​​7i

  	(6 + (−2) I )	=
  	(–4 + I		)
  (–4 + I	)
  (–4 + I		)1335
  	(6 + (−2) i ) × (−4 − 7 i )		=
  	(−4 + (−2) i i 917 )

  777 (41643 +7 (41643 +7.

  	(6 × (–4)) + (2 × 7)	+
  	(–4
  (–4 47
  (–4
  (–4
  (41643 +

  	(−2 × (−4)) − (6 × 7)
  	(−4 2 + 7 2 )

  	(−24 + (−14))	+
  	(16 + 49)

  	8 − 42
  	16 + 49

  	−38	+
  	65

  = −0. 584615384615385−0.523076 6923 i

  
  

  Деление комплексного числа, представленного в алгебраической (прямоугольной) форме, на действительное число

  Чтобы разделить комплексное число a + bi на действительное число c, необходимо разделить действительную часть комплексное число на действительное число и разделить мнимую часть комплексного числа на действительное число:

  	a + bi	=
  	c

  33

  Here’s an example:

  Divide the complex number 3 + 6i by the real number 7

  	(3 + 6 i )	=
  	7

  = 0,428571428571429 + 0,857142857142857 I

  
  

  Division по реальному номеру на A -AGELENGEMENTER. используйте формулу ниже:

  	a	=
  	c + di

  	a × (c − di)	=
  	(c + di) × (c − di )

  	ac	−
  	c 2 + d 2

  	ad
  	c 2 + d 2

  Here’s an example:

  Divide the real number 5 by the complex number 2 + 9i

  	5	=
  	(2 + 9 i )

  	5 × (2 − 9 i )	=
  	(2 + 9 i ) × (2 − 9 i )

  	5 ×	−
  	(2 2 + 9 2 )

  	5 ×
  	(2 2 + 9 2 )

  	10	−
  	(4 + 81)

  	45
  	4 + 81

  	10	−
  	85

  = 0. 117647058823529−0.529411764705882 i

  
  

  Addition of Complex Numbers Represented in Polar Form

  To add two complex numbers in полярную форму, используйте следующую формулу:

  z1 + z2 = (|z1| × (cos α + i sin α)) + (|z2| × (cos β + i sin β)) = ((|z1| × cos α) + (|z2| × cos β)) + i((|z1| × sin α) + (|z2| × sin β)), где

  |z1| − модуль комплексного числа z1
  α − аргумент комплексного числа z1
  |z2| − модуль комплексного числа z2
  β − аргумент комплексного числа z2

  Пример:

  Сложим два комплексных числа √13 (cos 48° + i sin 48°) и √25 (cos 69° + i sin 69°)

  √13 (cos 48° + i sin 48°) + √25 (cos 69° + i sin 69°) = ((√13 × cos(48°)) + (√25 × cos( 69°))) + i((√13 × sin(48°)) + (√25 × sin(69°)) = (2,41258471120918 + 1,77477265) + (2,67944677335447 + 4.667

  2486) I = 4,20442445893568 + 7,347348047i

  
  

  Вычитание комплексных чисел, представленных в полярной форме

  по искуплению. α + i sin α)) − (|z2| × (cos β + i sin β)) = ((|z1| × cos α) − (|z2| × cos β)) + i((|z1| × sin α) − (|z2| × sin β)), где

  |z1| − модуль комплексного числа z1
  α − аргумент комплексного числа z1
  |z2| − модуль комплексного числа z2
  β − аргумент комплексного числа z2

  Вот пример:

  Вычесть из двух комплексных чисел 1/2 (cos π/2 + i sin π/2) число 1/3 (cos π/3 + i sin π/3)

  1/2 (cos π/2 + i sin π/2) − 1/3 (cos π/3 + i sin π/3) = ((1/2 × cos((π/2 ))) − (1/3 × cos((π/3)))) + i((1/2 × sin((π/2))) – (1/3 × sin((π/3)) )) = (0 − 0,166666666666666) + (0,5 − 0,288675134594813)i = −0,166666666666666 + 0,211324865405187i

  
  

  Умножение комплексных чисел, представленных в полярной форме

  Чтобы умножить два комплексных числа в полярной форме, используйте следующую формулу:

  z1 × z2 = (|z1| × |z2|) × (cos(α + β) + i × sin(α + β)), где

  |z1| − модуль комплексного числа z1
  α − аргумент комплексного числа z1
  |z2| − модуль комплексного числа z2
  β − аргумент комплексного числа z2

  Вот пример:

  Умножьте два комплексных числа 2 (cos π/2 + i sin π/2) и 2 (cos π/3 + i sin π/3)

  2 (cos π/2 + i sin π/2) × 2 (cos π/3 + i sin π/3) = (2 × 2) × (cos(π/2 + (π /3)) + я × sin(π/2 + (π/3))) =

  16

  × (cos(5π/6) + i × sin(5π/6)) =

  16

  × (cos(150°) + i × sin(150°))

  Деление комплексных чисел, представленных в полярной форме

  Чтобы разделить два комплексных числа, представленных в полярной форме, используйте следующую формулу:

  z1 ÷ z2 = (|z1| ÷ |z2|) × (cos(α − β) + i × sin(α − β)), где

  |z1| − модуль комплексного числа z1
  α − аргумент комплексного числа z1
  |z2| − модуль комплексного числа z2
  β − аргумент комплексного числа z2

  Вот пример:

  Разделить два комплексных числа 3 (cos 45° + i sin 45°) и 2 (cos 37° + i sin 37°)

  3 (cos 45 ° + i sin 45°) ÷ 2 (cos 37° + i sin 37°) = (3 ÷ 2) × (cos(45° − 37°) + i × sin(45° − 37°)) =

  2,25

  × (cos(8°) + i × sin(8°))=

  2,25

  × (cos(2π/45) + i × sin(2π/45))

  Сложение комплексных чисел, представленных в экспоненциальной форме

  Чтобы сложить два комплексных числа в экспоненциальной форме, используйте следующую формулу:

  |z1| e ^iα + |z2| e ^iβ = (|z1| × (cos α + i sin α)) + (|z2| × (cos β + i sin β)) = ((|z1| × cos α) + (|z2| × cos β)) + i((|z1| × sin α) + (|z2| × sin β)), где

  |z1| − модуль комплексного числа z1
  α − аргумент комплексного числа z1
  |z2| − модуль комплексного числа z2
  β − аргумент комплексного числа z2

  Вот пример:

  Сложим два комплексных числа 3 × e ^(π/2)i и 2 × e ^(3π/2)i

  3 × e ^(π/2)i + 2 × e ^{(3π /2)i} = ((3 × cos((π/2))) + (2 × cos((3π/2)))) + i((3 × sin((π/2))) + ( 2 × sin((3π/2)))) = (0 + 0) + (3 + (−2))i = 0 + 1i

  
  

  Вычитание комплексных чисел, представленных в экспоненциальной форме

  Вычитание двух комплексных чисел в экспоненциальной форме используйте следующую формулу:

  |z1| e ^iα − |z2| е ^iβ = (|z1| × (cos α + i sin α)) − (|z2| × (cos β + i sin β)) = ((|z1| × cos α) − (|z2| × cos β)) + i((|z1| × sin α) − (|z2| × sin β)), где

  |z1| − модуль комплексного числа z1
  α − аргумент комплексного числа z1
  |z2| − модуль комплексного числа z2
  β − аргумент комплексного числа z2

  Вот пример:

  Вычесть из числа 3 × e ^(π/2)i число 2 × e ^{(3π/2) i}

  3 × e ^(π/2)i — 2 × e ^(3π/2)i = ((3 × cos((π/2))) – (2 × cos((3π/2)))) + i((3 × sin(( π/2))) − (2 × sin((3π/2)))) = (0 − 0) + (3 − (−2))i = 0 + 5i

  
  

  Умножение комплексных чисел, представленных в экспоненциальном Форма

  Чтобы умножить два комплексных числа в экспоненциальной форме, используйте следующую формулу:

  |z1| e ^iα × |z2| e ^iβ = (|z1| × |z2|) × (cos(α + β) + i × sin(α + β)), где

  |z1| − модуль комплексного числа z1
  α − аргумент комплексного числа z1
  |z2| − модуль комплексного числа z2
  β − аргумент комплексного числа z2

  Пример:

  Умножить два комплексных числа 3 × e ^(π/2)i и 2 × e ^(3π/2)i

  (3 × e ^(π/2)i ) × (2 × e ^(3π/2)i ) = (3 × 2) × (cos(π/2 + (3π/2)) + i × sin(π/2 + (3π/2))) =

  36

  × (cos(360°) + i × sin(360°)) = 6 + 0i

  Деление комплексных чисел, представленных в экспоненциальной форме

  Чтобы разделить два комплексных числа, представленных в экспоненциальной форме, используйте следующую формулу:

  |z1| e ^iα ÷ |z2| e ^iβ = (|z1| ÷ |z2|) × (cos(α − β) + i × sin(α − β)), где

  |z1| − модуль комплексного числа z1
  α − аргумент комплексного числа z1
  |z2| − модуль комплексного числа z2
  β − аргумент комплексного числа z2

  Вот пример:

  Разделить два комплексных числа 3 × e ^(π/2)i и 2 × e ^(3π/2)i

  (3 × e ^(π/2)i ) ÷ (2 × e ^(3π/2)i ) = (3 ÷ 2) × ( cos(π/2 − (3π/2)) + i × sin(π/2 − (3π/2))) =

  2,25

  × (cos(−180°) + i × sin(−180°) )) =

  2,25

  × (cos(−π) + i × sin(−π)) = −1,5 + 0i

  Модуль комплексного числа

  Модуль комплексного числа равен расстоянию от точки комплексной плоскости до начала координат и обозначается |z|.
  Модуль комплексного числа z вычисляется по формуле:

  |z| =

  a ² + b ²

  Вот пример:

  Вычислить модуль комплексного числа 1 + 3i

  |1 + 3i| =

  1 ² + 3 ²

  =

  1 + 9

  =

  10

  = 3,160128768

  Аргумент (фаза) комплексного числа

  Аргументом ненулевого комплексного числа является угол φ между радиус-вектором соответствующей точки и положительной вещественной полуосью. Аргумент числа z обозначается Arg(z).
  Аргумент комплексного числа z вычисляется по формуле:

  Arg(z) = arctg(b/a), a > 0

  Arg(z) = arctg(b/a) + π, a < 0

  Arg(z) = π/2, b > 0 и a = 0

  Arg(z) = −π/2, b < 0 и a = 0

  Главное значение аргумента должно быть таким, что — π < arctg(b/a) ⩽ π. Калькулятор вычисляет именно основное значение аргумента.

  Вот пример:

  Вычислить аргумент комплексного числа −4 + ​​7i

  Arg(−4 + 7i) = arctg(7/(−4)) + π = 2,08994244104142 радиан
  Arg(−4 + 7i) = 119,744881296942° градусов

  Представление комплексного числа в алгебраической (прямоугольной) форме в полярной Форма

  Для преобразования комплексного числа, представленного в алгебраической (прямоугольной) форме, в полярную форму, необходимо вычислить модуль и аргумент данного комплексного числа.

  z = a + bi = |z| × (cos φ + i sin φ), где

  |z| − модуль комплексного числа z
  φ − аргумент комплексного числа z

  Модуль комплексного числа равен расстоянию от точки комплексной плоскости до начала координат и обозначается |z|.
  Модуль комплексного числа z вычисляется по формуле:

  |z| =

  a ² + b ²

  Вот пример:

  Преобразование числа 2 + 3i в полярную форму

  |2 + 3i| =

  2 ² + 3 ²

  =

  4 +

  =

  13

  = 3,60555127546399

  . точка и положительная действительная полуось. Аргумент числа z обозначается Arg(z).
  Аргумент комплексного числа z вычисляется по формуле:

  Arg(z) = arctg(b/a), a > 0

  Arg(z) = arctg(b/a) + π, a < 0

  Arg(z) = π/2, b > 0 и a = 0

  Arg(z) = −π/2, b < 0 и a = 0

  Главное значение аргумента должно быть таким, что −π < arctg(b/a) ⩽ π. Калькулятор вычисляет именно основное значение аргумента.

  Arg(2 + 3i) = arctg(3/2) = 0,982793723247329 радиан
  Arg(2 + 3i) = arctg(3/2) = 56,309

  40202° градусов

  Теперь мы можем записать комплексное число z в полярной форме:

  z = 2 + 3i =

  13

  × (cos(arctg(3/2)) + sin(arctg(3/2))i) = 3,60555127546399 × (cos(56,309

  40202°) + sin(56,309

  40202°)i)

  Представление комплексного числа, представленного в алгебраической (прямоугольной) форме, в экспоненциальной форме

  Для преобразования комплексного числа, представленного в алгебраической (прямоугольной) форме, в показательную форму, необходимо вычислить модуль и аргумент данного комплекса количество.

  z = a + bi = |z| × (cos φ + i sin φ), где

  |з| − модуль комплексного числа z
  φ − аргумент комплексного числа z

  Модуль комплексного числа равен расстоянию от точки комплексной плоскости до начала координат и обозначается |z|.
  Модуль комплексного числа z вычисляется по формуле:

  |z| =

  a ² + b ²

  Вот пример:

  Представим число 2 + 2i в экспоненциальной форме

  |2 + 2i| =

  2 ² + 2 ²

  =

  4 + 4

  =

  8

  = 2,82842712474619

  и положительная действительная полуось. Аргумент числа z обозначается Arg(z).
  Аргумент комплексного числа z вычисляется по формуле:

  Arg(z) = arctg(b/a), a > 0

  Arg(z) = arctg(b/a) + π, a < 0

  Arg(z) = π/2, b > 0 и a = 0

  Arg(z) = −π/2, b < 0 и a = 0

  Главное значение аргумента должно быть таким, чтобы — π < arctg(b/a) ⩽ π. Калькулятор вычисляет именно основное значение аргумента.

  Arg(2 + 2i) = arctg(2/2) = 0,785398163397448 радиан
  Arg(2 + 2i) = arctg(2/2) = 45° градусов

  Теперь мы можем записать комплексное число z в экспоненциальной форме:

  z = 2 + 2i =

  8

  × e ^{0,785398163397448i} =

  8

  × E ^{45 ° I} =

  8

  × E ^{(π/4) I}

  Представление комплексного числа, представленного в поле Algebraic (Ryte Pryting 66666666666666.6666666666666666666 гг. Чтобы преобразовать комплексное число в полярной форме в алгебраическую (прямоугольную) форму z = a + bi, необходимо представить действительную часть a как cos φ, умноженную на модуль |z|, а мнимую часть b как sin φ умножить на модуль |z| комплексное число з.

  |з| (cos φ + i sin φ) = (|z| × (cos φ)) + (|z| × (sin φ)i) = a + bi, где

  a = |z| × cos φ
  b = |z| × sin φ

  Вот пример:

  Преобразование 2 × (cos(60°) + sin(60°)i) в алгебраическую (прямоугольную) форму

  2 × (cos(60°) + sin(60°)i) = 2 × (0,5 + 0,86602540378444i) = (2 × 0,5) + (2 × 0,86602540378444i) = 1 + 1,73205080756888i

  Представление комплексного числа в полярной форме в экспоненциальной форме

  Чтобы преобразовать комплексное число из полярной формы в экспоненциальную, используйте следующую формулу:

  |z| × (cos φ + i sin φ) = |z| e ^φi , где

  |z| − модуль комплексного числа z
  φ − аргумент комплексного числа z

  Вот пример:

  Представим число 2 × (cos(60°) + sin(60°)i) в экспоненциальной форме

  2 × (cos(60°) + sin(60°)i) = 2 × e ^60°i = 2 × e ^(π/3)i

  Представление комплексного числа в экспоненциальной форме в полярных координатах Форма

  Чтобы преобразовать комплексное число из экспоненциальной формы в полярную, используйте следующую формулу:

  |z| e ^φi = |z| × (cos φ + i sin φ), где

  |z| − модуль комплексного числа z
  φ − аргумент комплексного числа z

  Вот пример:

  Преобразовать 2 × e ^(π/3)i в полярную форму

  2 × e ^(π/3)i = 2 × (cos((π/3)) + sin((π/3))i)

  Представление комплексного числа в экспоненциальной форме в алгебраической (прямоугольной) форме

  Чтобы преобразовать комплексное число в экспоненциальной форме в алгебраическую (прямоугольную) форму, число должно быть сначала преобразовано в полярную форму.

  |з| e ^φi = |z| × (cos φ + i sin φ), где
  |z| − модуль комплексного числа z
  φ − аргумент комплексного числа z

  Чтобы преобразовать комплексное число из полярной формы в алгебраическую (прямоугольную) форму z = a + bi, необходимо представить действительную часть a как cos φ, умноженное на модуль |z|, и мнимая часть b как sin φ, умноженная на модуль |z| комплексное число з.

  |з| (cos φ + i sin φ) = (|z| × (cos φ)) + (|z| × (sin φ)i) = a + bi, где
  a = |z| × cos φ
  b = |z| × sin φ

  Вот пример:

  Преобразуйте число 2 × e ^(π/3)i в алгебраическую (прямоугольную) форму

  2 × e ^(π/3)i = 2 × (cos((π/3)) + sin((π/3))i) = 2 × (0,5 + 0,86602540378444i) = (2 × 0,5) + (2 × 0,86602540378444i) = 1 + 1,73205080756888i

  Сопряжение комплексного числа, представленного в алгебраической (прямоугольной) форме

  Два комплексно-сопряженных числа имеют одинаковые действительные части и противоположные мнимые части.
  Сопряженное число z обозначается как z .
  Для z = a + bi сопряженным является z = a − bi.

  Вот пример:

  Вычислите сопряженное число для числа 2 + 3i

  2 + 3i = 2 − 3i

  Сопряжение комплексного числа, выраженное в полярной форме

  Два комплексно-сопряженных числа имеют одинаковые действительные части и противоположные мнимые части.
  Сопряженное число z обозначается как z .
  Для z = |z| (cos φ + i sin φ) сопряженное число равно z = |z| (cos φ − i sin φ).

  Вот пример:

  Вычислить сопряженное число для числа 2(cos((π/3)) + sin((π/3))i)

  2(cos((π/3)) + sin((π/3))i) = 2(cos((π/3)) − sin((π/3))i)

  Сопряжение комплексного числа, выраженное в экспоненциальной форме

  Два комплексно-сопряженных числа имеют одинаковые действительные части и противоположные мнимые части.
  Сопряженное число z обозначается как z .
  Для z = |z| e ^iφ сопряженное z = |z| е ^{− iφ} .

  Вот пример:

  Вычислите сопряженное число для числа 3)i

  Обратная величина комплексного числа, представленного в алгебраической (прямоугольной) форме

  Для каждого ненулевого комплексного числа существует обратная величина. Чтобы найти обратную величину числа а+би, нужно разделить единицу на это число. Поскольку единица выступает в роли делимого, формула деления упрощается и принимает вид:

  	1	=
  	a + bi

  	1 × (a − bi)	=
  	(a + bi) × (a − bi )

  	a	−
  	a 2 + b 2

  	b
  	a 2 + b 2

  Here’s an example:

  Calculate the reciprocal of the number 2 + 3i

  	1	=
  	(2 + 3 i )

  	2	−
  	(2 2 + 3 2 )

  	3
  	(2 2 + 3 2 )

  	2	−
  	(4 + 9)

  	3
  	4 + 9

  	2	−
  	13

  = 0. 153846153846154−0.23076 69231 i

  
  

  Обратная величина комплексного числа, выраженная в полярной форме

  Чтобы вычислить обратную величину числа в полярной форме, используйте следующую формулу:

  1/z = 1/|z| × (cos φ − i sin φ), где

  |z| − модуль комплексного числа z
  φ − аргумент комплексного числа z

  Вот пример:

  Вычислить обратную величину числа 2(cos((π/2)) + sin((π/2))i)

  1/z = 1/2 × (cos (π/2) − i sin π/2) =

  0,25

  × (cos(π/2) − i × sin(π/2))

  Обратная величина комплексного числа, представленного в экспоненциальной форме

  Чтобы вычислить обратную величину числа в экспоненциальной форме, используйте следующую формулу:

  1/z = (1/|z|)e ^−iφ , где

  |з| − модуль комплексного числа z
  φ − аргумент комплексного числа z

  Вот пример:

  Вычислить обратную величину числа 2 × e ^i(π/2)

  1/z = 1/2 × e ^{−i (π/2)} =

  0,25

  × e ^{−i (π/2)}

  Аддитивное обращение комплексного числа

  Аддитивная инверсия комплексного числа Комплексное число — это число, которое при добавлении к исходному числу дает ноль. Аддитивное обратное комплексному числу — это число, в котором действительная и мнимая части умножаются на −1. Чтобы умножить число −1 на комплексное число a + bi. надо умножить действительную и комплексную части числа а+би на это число:

  −1 × (a + bi) = (−1 × a) + (−1 × bi)

  Вот пример:

  Вычислить обратную аддитивную величину для числа z = 2 + 3i

  −z = (−1 × 2) + (−1 × 3) i = −2−3 i

  Извлечение корня N из комплексного числа, представленного в алгебраической (прямоугольной) форме

  Извлечение корня 3-й степени числа 3 + 2i

  Чтобы извлечь корень n-й степени из ненулевого комплексного числа. во-первых, данное число должно быть преобразовано в полярную форму.

  Для того чтобы комплексное число, записанное в алгебраической (прямоугольной) форме, представить в полярной форме, необходимо найти модуль и аргумент данного комплексного числа.

  z = a + bi = |z| × (cos φ + i sin φ), где
  |z| − модуль комплексного числа z
  φ − аргумент комплексного числа z

  Модуль комплексного числа равен расстоянию от точки комплексной плоскости до начала координат и обозначается |z|.
  Модуль комплексного числа z вычисляется по формуле:

  |з| =

  a ² + b ²

  |3 + 2i| =

  3 ² + 2 ²

  =

  9 + 4

  =

  13

  = 3,60555127546399

  . точка и положительная действительная полуось. Аргумент числа z обозначается Arg(z).
  Аргумент комплексного числа z вычисляется по формуле:

  Arg(z) = arctg(b/a), a > 0

  Arg(z) = arctg(b/a) + π, a < 0

  Arg(z) = π/2, b > 0 и a = 0

  Arg(z) = −π/2, b < 0 и a = 0

  Главное значение аргумента должно быть таким, чтобы −π < arctg(b/a) ⩽ π. Калькулятор вычисляет именно основное значение аргумента.

  Arg(3 + 2i) = arctg(2/3) = 0,588002603547568 радиан
  Arg(3 + 2i) = arctg(2/3) = 33,6

  5259798° градусов

  Теперь мы можем записать комплексное число z в полярной форме:

  z = 3 + 2i =

  13

  × (cos(arctg(2/3)) + sin(arctg(2/3))i) = 3,60555127546399 × (cos(33,6

  5259798°) + sin(33,625

  °) )i)

  Применим формулу де Муавра для извлечения корня n-й степени:

  ⁿ √z = ⁿ √|z| × (cos (φ + 2πk)/n + i sin (φ + 2πk)/n)), где
  |z| − модуль комплексного числа z
  φ − аргумент комплексного числа z
  n – степень корня (количество корней)
  k – принимает значения 0, 1, 2, … n−1

  Z ₁ = ³

  3,60555127546399

  × (COS ((33,6

  5259798 ° + (2 × 180 × 0))/3) SIN (33,698 ° + (2 × 180 × 0)/3) + I SIN (33,6
  57579. 1579.1979) (33,698 °. /3)) = 1.53340623701639 × (cos((33.6
  5259798° + 0)/3) + i sin ((33.6
  5259798° + 0)/3)) = (1.53340623701639 × (cos 11.2300225086599°)) + (1.53340623701639 × (sin 11.2300225086599 °))i = 1,50404648119798 + 0,298628314325244i

  z ₂ = ³

  3,60555127546399

  ×00675259798° + (2 × 180 × 1))/3) + i sin ((33,6
  5259798° + (2 × 180 × 1))/3)) = 1,53340623701639 × (cos((33,6
  5259798° + 360)/3) + i sin ((33.6
  5259798° + 360)/3)) = (1.53340623701639 × (cos 131.23002250866°)) + (1.53340623701639 × (sin 131.23002250866°))i = −1.01064294709398 + 1.15322830402742i

  z ₃ = ³

  3,60555127546399

  × (cos((33,6

  5259798° + (2 × 180 × 2))/3) + i sin ((33,6
  5259798° + (2 × 180 × 2))/3)) = 1,53310639× (cos((33,6
  5259798° + 720)/3) + i sin ((33,6
  5259798° + 720)/3)) = (1,53340623701639 × (cos 251,23002250866°)) + (1,5334062°23701639 × 0,493403534104007 — 1,45185661835266i

  z ₁ = 1. 50404648119798 + 0.298628314325244i
  z ₂ = −1.01064294709398 + 1.15322830402742i
  z ₃ = −0.493403534104007 − 1.45185661835266i

  z ₁ = 1.53340623701639 × (cos(11.2300225086599°) + i грех(11.2300225086599 °))
  Z ₂ = 1,53340623701639 × (COS (131,23002250866 °) + I SIN (131,2300220866 °))
  Z ₃ = 1,53340623701666663.1163701666663.1163701666666666666666666666666666663.1163701666637016666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666663701637тели)).
  

  Извлечение корня N из комплексного числа, представленного в полярной форме

  Вычисление корня 3-й степени из числа 3(cos((π/5)) + sin((π/5))i)

  Применим формулу де Муавра для вычисления корня n-й степени:

  ⁿ √z = ⁿ √|z| × (cos (φ + 2πk)/n + i sin (φ + 2πk)/n)), где
  |z| − модуль комплексного числа z
  φ − аргумент комплексного числа z
  n – степень корня (количество корней)
  k – принимает значения 0, 1, 2, … n−1

  z ₁ = ³

  3

  × (cos((36° + (2 × 180 × 0))/3) + i sin ((36° + (2 × 180 × 0))/3)) = 1,44224957030741 × (cos( (36° + 0)/3) + i sin ((36° + 0)/3)) = (1,44224957030741 × (cos 12°)) + (1,44224957030741 × (SIN 12 °)) I = 1,41073295685556 + 0,299860546743801I

  Z ₂ = ³

  3

  × (Cos (Cos (36 ° + (2 ° + (2 ° + (2 ° + (2 ° + (2 ° + (2 ° + (2 ° + (2 ° + (2 ° + (2 ° + (2 ° + (2 ° + (2 ° + (2 ° + (2) (2) (2). sin ((36° + (2 × 180 × 1))/3)) = 1,44224957030741 × (cos((36° + 360)/3) + i sin ((36° + 360)/3)) = (1,44224957030741 × (cos 132°)) + (1.44224957030741 × (sin 132°))i = −0.965053329500603 + 1.07180030522094i

  z ₃ = ³

  3

  × (cos((36° + (2 × 180 × 2))/3) + i sin ((36° + (2 × 180 × 2))/3)) = 1,44224957030741 × (cos((36° + 720)/3) + i sin ((36° + 720)/3)) = (1,44224957030741 × (cos 252°)) + (1,44224957030741 × (sin 252°))i = −0,445679627354959 − 1,37166085196474i

  z ₁ = 1.41073295685556 + 0.299860546743801i
  z ₂ = −0.965053329500603 + 1.07180030522094i
  z ₃ = −0.445679627354959 − 1.37166085196474i

  z ₁ = 1.44224957030741 × (cos(12°) + i sin(12°))
  z ₂ = 1,44224957030741 × (cos(132°) + i sin(132°))
  z ₃ = 1,44224957030741 × (cos(252°) + i sin(252°))
  

  Извлечение корня n-й степени из комплексного числа, представленного в экспоненциальной форме

  Извлечение корня 3-й степени из числа 2 × e ^45°i

  Чтобы извлечь корень n-й степени из ненулевого комплексного числа. вы должны сначала представить это число в полярной форме,

  Чтобы представить комплексное число в экспоненциальной форме в полярной форме, используйте следующую формулу:

  |з| e ^φi = |z| × (cos φ + i sin φ), где
  |z| − модуль комплексного числа z
  φ − аргумент комплексного числа z

  2 × e ^45°i = 2 × (cos(45°) + sin(45°)i)

  Применим формулу де Муавра для извлечения n-й корень:

  ⁿ √z = ⁿ √|z| × (cos (φ + 2πk)/n + i sin (φ + 2πk)/n)), где
  |z| − модуль комплексного числа z
  φ − аргумент комплексного числа z
  n – степень корня (количество корней)
  k – принимает значения 0, 1, 2, … n−1

  z ₁ = ³

  2

  × (cos((45° + (2 × 180 × 0))/3) + i sin ((45° + (2 × 180 × 0))/3)) = 1,259

  989487 × (cos((45° + 0)/3) + i sin ((45° + 0)/3)) = ( 1.

  No related posts.

  Добавить комментарий Отменить ответ

  Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

  Комментарий *

  Имя *

  Email *

  Сайт