Классическая вероятность: Классическое определение вероятности — урок. Алгебра, 9 класс.

Классическая вероятность события

Не откладывайте! ЗАГОВОРИТЕ на Английском!

ЗАМУЧИЛИ БОЛИ В СПИНЕ?

Александр | 2012-10-25

Классическая вероятность события. Здравствуйте, Дорогие друзья! В состав экзамена по математике с 2012 включены задания по теории вероятностей. Более половины из них это задачи самого простого уровня — на классическую вероятность. Решаются такие задания в одно действие, требуется простая логика, и понадобятся для этого лишь самые основные понятия.

В 2013 году добавили задания посложнее, для решения необходимо знать и понимать теоремы сложения и умножения вероятностей, но и они по своей сути просты. И те и другие задачи представлены на сайте, регулярно добавляются новые.

Простая теория простым языком.

В жизни в разговорах людей вы, наверное, не раз слышали, что событие может случится с вероятностью один к одному (или 50 на 50 – говоря так люди имеют ввиду проценты), или один к десяти. Также вы слышали выражения — «даю стопроцентную гарантию», «это невозможно». Все эти высказывания имеют самое непосредственное отношение к теории вероятностей. Вы, конечно же, интуитивно знакомы с этим понятием.

Ознакомимся с основными понятиями и терминами (без них никак нельзя).

Действие направленное на получение того или иного результата называется испытанием. Любой результат испытания называется исходом.

Исход вообщем-то и представляет собой появление определенного события. В частности, при подбрасывании кирпича возможно два исхода — он может остаться целым или расколоться.

Событие — это одно из базовых понятий теории вероятностей. Они бывают достоверными, невозможными и случайными.

Достоверным называют событие, которое в результате испытания (осуществления определенных действий, или определённого комплекса действий) обязательно произойдёт.

Например:

• мы бросаем игральную кость, она обязательно упадет (не может зависнуть в воздухе) и в результате выпадет какая-нибудь грань. *При данном действии это событие не может не произойти;
• если мы устанавливаем новую лампочку, то она может в течение года либо перегореть, либо остаться исправной в течении года. Обязательно произойдёт одно из двух эти событий.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.

Пример невозможного события: при бросании игральной кости с шестью гранями выпадет семёрка. *Понятно что такого события произойти не может. Седьмой грани просто нет.

Событие называется случайным, если оно может, как произойти, так и не произойти. Его нельзя точно предсказать заранее. Случайное событие – есть следствие случайных факторов, воздействие которых предугадать невозможно.

Например, отказ работы сложного электроприбора состоящего из множества элементов. Это не возможно предсказать заранее.

События обозначают большими латинскими буквами A,B,C,D,E,F, либо теми же буквами с подстрочными индексами. Мы при решении типовых задач будем избегать лишних обозначений и прочих теоретических выкладок, они отнимают время. На самом экзамене фактор времени важен и вам нужно быстро решить задачу. Теперь приведём простые примеры.:

Монета

Бросаем монетку. Орел или решка? Орел и решка — два возможных исхода испытания. *В данном случае монета не может ни зависнуть, ни встать на ребро.

Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна ½ (или 0,5). Так же вероятность выпадения решки равна ½.

Игральная кость

У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов шесть (кубик упадёт на одну из шести граней).  

Выпадение одного очка это один исход из шести возможных. Выпадение двух очков, это один исход из шести возможных. Если поставить вопрос: какова вероятность выпадения двух очков? Такой исход (выпадение двойки) называется благоприятным исходом. Вероятность равна 1/6.

Вероятность выпадения тройки так же равна 1/6 (один благоприятный исход из шести возможных). Вероятность четверки аналогично. А вот вероятность появления семёрки равна нулю — ведь грани с семью точками на кубике нет.

Карты

Возьмём колоду из 36 карт. Вероятность того, что вы вытащите из колоды карт одну загаданную равна будет равна один к тридцати шести или 1/36. Тридцать шесть это число возможных исходов, которые могут произойти (число всех карт), один это число благоприятных исходов (загаданная карта).

Вероятность того, что вы вытащите из колоды карт туза, равна 4 к 36 или 4/36. Четыре это число благоприятных исходов (в колоде четыре туза), тридцать шесть — число возможных исходов.

Вероятность того, что вы вытащите из колоды карт красную карту (черви или буби) равна 1 к 2 или ½. Число благоприятных исходов 18 (красных карт ровно половина), возможных исходов также 36, 18/36=½. 

Другая важная характеристика событий – это их равновозможность. Два или большее количество событий называют равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другие. Например:

• выпадение орла или решки при броске монеты;
• при бросании двух монет возможны 4 варианта исходов: орёл-орёл, орёл-решка, решка-орёл, решка-решка. *Ввиду того что вероятность выпадения орла или решки равна 0,5, то данные события равновозможны;
• выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков при броске игрального кубика;
• извлечение любой загаданной карты из колоды;
• извлечение карты трефовой масти из колоды (или любой другой). *Их в колоде равное количество (9 каждой масти). Понятно, что возможности вытащить карту определённой масти  равны.

*При этом предполагается, что монета и кубик однородны и имеют геометрически правильную форму, а колода хорошо перемешана и «идеальна» с точки зрения неразличимости рубашек карт.

Исходя из простых примеров разобранных выше вы уже, можно сказать, прочувствовали само понятие классической вероятности события. Таким образом, к вашему вниманию определение:

Понимания этого определения вполне достаточно, чтобы решить более половины всех типов задач. Важно безошибочно определить число всех возможных и благоприятных исходов. Формально это можно выразить так:

где m  — количество исходов благоприятствующих событию А

   n — число всех равновозможных исходов

*Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.

ПРИМЕР: В урне 34 шара одинакового размера, из них 8 — красные, остальные — зеленые. Вы запускаете в урну руку и наугад вынимаете один. Какова вероятности взять красный шар?

Всего в урне 34 шара, это число всевозможных элементарных исходов. Благоприятных исходов 8. По определению искомая вероятность  Р= 8/34.

*Вероятность вытащить зеленый  шар  равна 26/34.

Вероятность достать либо красный либо зеленый шар равна 8/34 + 26/34 = 1. Это означает, что событие — достанете либо красный, либо зелёный шар произойдёт в любом случае. Единица это полная вероятность — говоря простым языком это сумма вероятностей всех возможных событий, которые могут произойти.

Если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров, то появление красного или зеленого шаров – равновозможно, Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного.

В следующей статье мы рассмотрим ещё задачи, где используется сумма и произведение вероятностей событий, не пропустите!

Понятие полной вероятности, совместности (несовместности) событий, зависимые и независимые события мы разберём в одной из следующих статей.

Задачи ЕГЭ на классическую вероятность рассмотрены здесь.

Рекомендуемая литература:

1) Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.

Прекрасное учебное пособие, доходчиво, предельно понятно.

2) Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике

Решебник Владимира Ефимовича с подробно разобранными примерами и задачами.

Найдите или скачайте эти книги для изучения.

С уважением, Александр.

— Леша, у тебя замечательное сочинение! — говорит учитель.
— Но почему ты его не закончил?
— Потому что папу срочно вызвали на работу.
Учительница: — Вовочка, кто такой Чапаев?
— Это пpедводитель негpов!
— Каких ещё негpов?
— Hу, вы же сами сказали, что он воевал пpотив белых.
— Чапаев — пpедводитель кpасных!
— Что, там и индейцы были замешаны?

P.S: Буду вам благодарен, если расскажете о сайте  в социальных сетях.

Категория: Вероятность | ЕГЭ-№3

НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!

ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!

Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!

Замучили боль и скованность в мышцах спины?

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.

Классическая вероятностная схема

В этой схеме для определения вероятности нет необходимости проводить опыты. Сама же вероятность основывается на равной возможности любого из конечного числа исходов, что характерно для первых попыток исчисления шансов в азартных играх. Исход бросания монеты в одном опыте случаен, однако при многократном повторении опыта можно наблюдать определенную закономерность.

Рассмотрим классическую вероятностную схему как событийную, то есть, предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа N элементов: Ω = {ω1, ω2, … , ωn}. Более того, предположим, что из каких-либо соображений мы можем считать элементарные исходы равновозможными. Тогда вероятность любого из них принимается равной 1/N. Эти соображения чаще всего не имеют отношения к математической модели и основаны на какой-либо симметрии в нижеследующих экспериментах.

Бросание монеты. Рассмотрим такой простой опыт, как бросание монеты. Он имеет два взаимно исключающих друг друга исхода: выпал «герб», выпала «цифра».
17
Бросание игральной кости. Подбрасывается правильный кубик (игральная кость). При этом случайным образом выпадает та или иная грань, то или иное число очков: а = 1, 2, …, 6.

Игра в рулетку. Рассмотрим тяжелый диск, разделенный на n правильных секторов. Диск находится в горизонтальном положении и легко может вращаться вокруг своей оси. Вдоль окружности по краю диска имеется однородное углубление (желоб), в котором находится маленький, свободно перемещающийся шарик. На каждом отдельном шаге (опыте) диску сообщается сильное вращение, при котором шарик катится по желобу. После остановки диска останавливается и шарик, попадая в один из секторов диска (обозначенных на диске номерами от 1 до n).

По поводу каждого из описанных выше опытов (бросание монеты или игральной кости, «бросание» шарика при игре в рулетку) можно сказать следующее:

1. исход опыта является случайным;
2. имеется конечное число различных, взаимно исключающих друг друга исходов;
3. все эти исходы равновероятны. В случае, когда рассматриваемые опыты имеют равновозможные исходы, вероятность события A может быть вычислена по следующей формуле:

      1.12

где N – общее число равновозможных и взаимно исключающих друг друга исходов; — число тех из них, которые приводят к событию А.

ПРИМЕР 1. Рассмотрим игру в преферанс, когда старшие 32 карты карточной колоды случайным образом распределяются между тремя игроками, получающими по 10 карт, и «прикупом», куда кладут 2 карты. Какова вероятность того, что в прикупе окажутся 2 туза?

Решение. Число всех комбинаций из 32 карт по 2 равно числу сочетаний и вычисляется по формуле:

В карточной колоде имеется ровно четыре туза и число различных комбинаций, дающих два туза, равно числу сочетаний из 4 по 2:

И окончательно получаем,

Ответ: вероятность примерно равна 0,012 или 1,2%.

ПРИМЕР 2. Предположим, что один из играющих имеет 5 старших карт одной масти (черви), исключая «даму». При объявлении ранга игры «играющему» приходится учитывать возможность образования у одного из «вистующих» – противников комбинации из трех оставшихся «червей». Какова вероятность этого события?

Решение. У двух «вистующих» 20 карт. Количество различных комбинаций получения карт одним из игроков равна

Если комбинацию «третья дама» зафиксировать у одного игрока, то число совместимых с этим случаем распределений равно числу сочетаний из 17 оставшихся карт по 7:

Отсюда следует

Вероятность появления третьей дамы у любого из «вистующих», очевидно в 2 раза больше.

ПРИМЕР 3. В поступившей партии из 30 швейных машинок 10 машинок имеют внутренние дефекты. Какова вероятность того, что из партии в пять наудачу взятых машинок три окажутся исправными? 

Решение.

Введем следующие обозначения:

N = 30 — общее число машинок;

n = 20 — число исправных машинок;

m = 5 — отобранных в партию (подмножество) машинок;

k = 3 — число исправных машинок в отобранной партии.

Общее число комбинаций по m машинок равно числу сочетаний из N элементов по m, т.е. . Однако в каждой отобранной комбинации должно содержаться по три исправные машинки. Число таких комбинаций равно числу сочетаний из n элементов по k , т.е. . С каждой такой комбинацией в отобранной партии оставшиеся дефектные элементы тоже образуют множество комбинаций, число которых равно числу сочетаний из элементов по , т.е. . Тогда общее число благоприятствующих исходов равно произведению (комбинаторика – правило произведения) . Согласно формуле (1.12), представленной вначале урока окончательно получаем:

       1.13

Теперь подставим численные значения и вычислим, наконец, нашу вероятность.

Ответ: вероятность наступления данного события примерно 0,36 или 36%

Замечание. Выражение (1.13) носит название формулы гипергеометрического распределения.

 

На этом подходит к концу тема данного урока.

Всем спасибо!

Аксиоматическое определение теории вероятности Рассмотренные ранее классическое и статистическое определения вероятности события позволяют создавать основные соотношения, используемые в теории вероятностей и математической статистике. Однако существует и иной подход к построению основ теории вероятностей, опирающийся на специально вводимые в рассмотрение аксиомы. Этот подход был предложен А.Н. Колмогоровым. При аксиоматическом построении теории вероятностей первичным понятием является не элементарное случайное

Теоретическая часть Уравнение           (1) называется линейным. Чтобы решить его, надо сначала решить уравнение               (2) (это делается путем разделения переменных) и в общем решении последнего заменить произвольную постоянную С на неизвестную функцию С(х). Затем выражение, полученное для , подставить в уравнение (1) и найти функцию

Пришлось достаточно долго думать о том, с чего же лучше всего будет начать, чтобы было как то проще и в то же время эффективней.

Поэтому я решил начать с небольшого введения в такой раздел математики, как тригонометрия. Числовая окружность Из курса алгебры прошлых лет все вы, надеюсь, прекрасно знаете все об алгебраических функциях, т.е. функциях,

При решении вероятностных задач часто возникает необходимость определить вероятность события в ситуации, когда о нем имеются дополнительные сведения. Постановка задачи: нужно определить вероятность события A после того, как стало известно, что некоторое событие B произошло, иными словами, имел место исход, благоприятствующий событию A. ПРИМЕР 1 Бросается игральная кость. Пусть событие A состоит в выпадении четного числа

Классическая вероятность: определение и примеры

Определения статистики > Классическая вероятность

Содержание:

1. Что такое классическая вероятность?
2. Классические примеры вероятности в реальной жизни

Классическая вероятность — это простая форма вероятности, которая имеет равных шансов того, что что-то произойдет. Например:

• Бросание правильной кости. С одинаковой вероятностью вы получите 1, 2, 3, 4, 5 или 6.
• Выбор шаров для бинго . Каждый пронумерованный шар имеет равные шансы быть выбранным.
• Угадывание на тесте. Если вы угадали в тесте с множественным выбором с четырьмя возможными ответами A B C и D, у каждого варианта есть одинаковые шансы быть выбранным (при условии, что вы выбираете случайным образом и не следуете шаблону).

.

Формула классической вероятности.

Вероятность того, что произойдет простое событие, равна количеству раз, которое это событие может произойти, деленному на количество возможных событий.

«Математический» способ записи формулы: P(A) = f / N.

P(A) означает «вероятность события A» (событие A — это любое событие, которое вы ищете, например, выигрыш в лотерея).
«f» — это частота или возможное количество раз, когда событие может произойти.
N — количество раз, которое может произойти событие.

Примеры:
Вероятность того, что на правильном кубике выпадет 2, равна 1 из 6, или 1/6. Это один возможный результат (есть только один способ выбросить 1!), разделенный на количество возможных результатов (1,2,3,4,5,6).

Шансы на выигрыш Powerball составляют 1/292 000 000. «1» — это количество раз, когда событие может произойти (вы выиграли), разделенное на количество возможных комбинаций чисел (около 292 000 000) проданных билетов.

Подробный пример использования формулы см. в разделе Вероятность возникновения простого события.

Когда можно использовать формулу.

Вы можете использовать классическую вероятность только для очень простых событий, таких как броски костей. Классическую формулу вероятности можно использовать только тогда, когда все события равновероятны. Выбор карты из стандартной колоды дает вам 1/52 шанса получить конкретную карту, независимо от того, какую карту вы выберете (червовый король, пиковая дама, бубновая тройка и т. д.). С другой стороны, выяснить, будет ли завтра дождь или нет, нельзя с помощью этого базового типа вероятности. Может быть 15% вероятность дождя (и, следовательно, 85% вероятность того, что дождя не будет).

Деление количества событий на количество возможных событий очень упрощенно и не подходит для определения вероятностей во многих ситуациях. Например, для естественных событий, таких как вес, рост и результаты тестов, для расчета вероятностей нужны диаграммы нормального распределения. На самом деле, большинство вещей в «реальной жизни» — это не простые события, такие как монеты, карты или игральные кости. Для их решения вам понадобится что-то более сложное, чем классическая теория вероятностей.

Другие типы вероятности:

• Субъективная вероятность основана на ваших убеждениях. Например, вы можете «почувствовать», что приближается полоса везения.
• Эмпирическая вероятность основана на экспериментах. Вы физически проводите эксперименты и рассчитываете шансы на основе своих результатов.
• Аксиоматическая вероятность: тип вероятности, связанный с набором аксиом (правил). Например, у вас может быть правило, что вероятность должна быть больше 0 %, что одно событие должно произойти и что одно событие не может произойти, если произойдет другое событие.

Классическая вероятность может применяться только при наличии конечного числа вариантов выбора с равной вероятностью. Таким образом, трудно найти классические примеры вероятности в реальной жизни, потому что большинство вещей в жизни не имеют равной вероятности.

Один раз, когда вы используете классическую вероятность, вы

угадываете тест с множественным выбором . Допустим, у вас есть четыре варианта ответа: A, B, C и D. Каждый из этих вариантов имеет равные шансы быть правильным, что означает, что у вас есть 25%-й шанс ответить на вопрос правильно.
Шары в лототроне выбираются по правилам классической вероятности.

Лотерейные автоматы — подобные тем, которые используются для Mega Millions или Powerball — содержат пронумерованные шарики для пинг-понга, которые смешиваются с вращающимися лопатками или струями воздуха. Каждый из шариков для пинг-понга имеет равную вероятность быть выбранным.

Если в реальной жизни не так много классических примеров вероятностей, вам может быть интересно, в чем смысл их изучения. Ответ заключается в том, что это строительный блок для других областей вероятности, таких как правило подсчета. Он также распространяется на более сложные ситуации, такие как квантовая теория, которая имеет много общих важных свойств с классической теорией вероятностей [1].

Ссылки

[1] Rau, J. (2007). О квантовой и классической вероятности
Lottery Machine. Изображение: katorisi, CC BY 3.0, Wikimedia Commons.

УКАЗЫВАЙТЕ ЭТО КАК:
Стефани Глен . «Классическая вероятность: определение и примеры» от StatisticsHowTo.com : Элементарная статистика для всех нас! https://www.statisticshowto.com/classical-probability-definition/

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Пример, определение и использование в жизни

Классическая вероятность — это статистическое понятие, которое измеряет вероятность (вероятность) того, что произойдет. В классическом смысле это означает, что каждый статистический эксперимент будет содержать элементы с равной вероятностью возникновения (равные шансы возникновения чего-либо). Следовательно, концепция классической вероятности — это простейшая форма вероятности, которая имеет равные шансы на то, что что-то произойдет.

Примеры классической вероятности

Пример 1: Типичным примером классической вероятности будет бросок игральной кости, потому что равновероятно, что на верхней грани кости выпадет любое из 6 чисел на кости: 1, 2, 3, 4, 5 или 6.

Пример 2: Другим примером классической вероятности может быть подбрасывание беспристрастной монеты. Существует равная вероятность того, что при броске выпадет либо орёл, либо решка.

Пример 3: При выборе шаров бинго каждый пронумерованный шар имеет равные шансы быть выбранным.

Пример 4: Угадывание викторины с несколькими вариантами ответов (MCQ) с (скажем) четырьмя возможными ответами A, B, C или D. Каждый вариант (выбор) имеет одинаковые шансы (равные шансы) быть выбранным (при условии, что вы выбирать случайным образом и не следовать какой-либо схеме).

Формула классической вероятности

Вероятность того, что произойдет простое событие, равна количеству раз, когда это событие может произойти, деленному на количество возможных событий (исходов).

Математически $P(A) = \frac{f}{N}$,

где $P(A)$ означает «вероятность события A» (событие $A$ — это любое событие, которое вы ищете, например, выигрыш в лотерею, представляющее интерес), $f$ — частота, или количество возможных раз, когда событие могло произойти, а $N$ — это количество раз, когда событие могло произойти.

Например, вероятность выпадения 2 на правильном кубике составляет один из 6 (1/6). Другими словами, один возможный результат (есть только один способ выбросить 1 на правильном кубике), разделенный на количество возможных результатов.

Классическую вероятность можно использовать для очень простых событий, таких как бросок игральной кости и подбрасывание монеты, а также когда вероятность возникновения всех событий одинакова. Выбор карты из стандартной колоды карт дает вам 1/52 шанса получить конкретную карту, независимо от того, какую карту вы выберете. С другой стороны, выяснить, будет ли завтра дождь или нет, нельзя с помощью этого базового типа вероятности. Может быть 15% вероятность дождя (и, следовательно, 85% вероятность того, что дождя не будет).

Другие примеры классических вероятностных задач

Существует много других примеров классических вероятностных задач помимо броска костей. Эти примеры включают подбрасывание монет, вытягивание карт из колоды, угадывание в тесте с множественным выбором, выбор мармеладок из мешка и выбор людей для комитета и т.