Докажите, что при любых любых значениях истинны неравенства
Докажите, что при любых любых значениях истинны неравенства
Докажите, что при любых любых значениях p истинно неравенство
Когда на тестах по математике стоит такая задача, то необходимо вначале решить неравенство. Если вы получите ответ, что решение неравенства – все числа, от минус до плюс бесконечности, то это значит, что неравенство выполняется при любых значениях p
Решим неравенство
Перенесем все в левую часть.
Раскрываем скобки.
Приводим подобные члены.
Раскрываем скобки.
Приводим подобные члены.
Изменим знаки выражений на противоположные.
При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
Окончательный ответ: p-любое.
Это значит, что оно истинно при любых значениях p.
Решим еще одно неравенство, в которой в качестве переменно будет не p, а у
Перенесем все в левую часть.
Раскрываем скобки, используя распределительный закон умножения
Раскрываем скобки, помня, что при раскрытии скобок знаки выражений меняются на противоположные
Приводим подобные члены.
Изменяем порядок действий. Ставим слагаемые так, чтобы нам было удобно применять формулу корней квадратного уравнения в дальнейшем
Решаем вспомогательное уравнение.
Решаем это квадратное уравнение через дискриминант.
Находим дискриминант по стандартной формуле
Дискриминант равен нулю, значит, уравнение имеет один корень.
Старший коэффициент положителен.
Квадратичная функция принимает только неотрицательные значения.
Следующее неравенство равносильно предыдущему.
| PHP |
| Алгебраические преобразования, уравнения, неравенства |
| Другое |
| Логарифмические, показательные уравнения , неравенства |
| Начала анализа |
| Планиметрия |
| Прогрессии |
| Стереометрия |
| Текстовые задачи |
| Тригонометрия |
| Числа и выражения |
Свойства числовых неравенств 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
Что такое неравенство
Что такое числовое неравенство.
Вспомним, что означают неравенства: и :
означает, что и означает, что
Вывод: число считается большим числа b, если разность является положительным числом. Число считается меньше числа b, если разность является отрицательным числом.
Геометрическая интерпретация.
Если точка с координатой находится правее, чем точка с координатой b, значит число .
И наоборот. Не всегда очевидна алгебраическая запись, поэтому геометрическая интерпретация часто помогает. С положительными числами это очевидно, а с отрицательными лучше пользоваться расположением этих чисел на числовой оси.
Свойства числовых неравенств.
Свойство неравенств №1
Если , то
Доказательство: Поскольку по условию , то разницы и являются положительными числами. Тогда положительной будет и их сумма Имеем: .Таким образом, разница – положительное число, и отсюда следует, что .
Свойство неравенств №2
Если и с – любое число, то .
Доказательство:
Рассмотрим разность Имеем: . Поскольку по условию , то разность – положительное число и . Что и требовалось доказать.
Свойство неравенств №3
Если и c – положительное число, то . И если и c – отрицательное число, то .
Доказательство:
Рассмотрим разность Имеем:. Поскольку по условию , то разность – положительное число.
Если , то произведение – положительное число, и разность положительная , т. е..
Если , то произведение – отрицательное число, и разность отрицательная, т. е.
Пример: , умножим обе части неравенства на 2 и получим , но если обе части неравенства умножить на -2, то знак неравенства поменяется на противоположный: .
Действия с неравенствами
Свойство 4.
.Т. е. любые неравенства одного знака можно складывать.
Свойство 5.
Рассмотрим перемножение неравенств.
Если все числа положительные, то их можно перемножить, и получим . Если умножать на отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный.
Свойство 6.
Рассмотрим возведение в степень неравенств.
и тогда .
Пример №1
Даны два положительных числа и .И . Доказать, что их обратные величины связаны противоположным неравенством:
Решение.
Перенесем в одну сторону и выполним необходимые действия.
Так как даны положительные числа и то нужно убедиться, что . Чтобы дробь была отрицательным числом, надо, чтобы числитель был отрицательным числом. Умножаем на -1 и получаем .
Пример №2
Дано:
а) Оценить число
Решение: Обе части неравенства умножаем на 2. Тогда . Задача решена.
б) Оценить число -3
Решение: будет меняться в пределах . Умножаем неравенство на 3. Получаем ;
в) Oценить разность
Решение: . Неравенства одного знака можно складывать. Получаем:
Ответ:
Пример №3
Дано:
Решение: Переносим все в одну сторону.. Приводим к общему знаменателю: Знаменатель по условию , значит и числитель должен быть положительным числом, т. е. . Квадрат числа всегда равен положительному числу, кроме, если а=1. Что и требовалось доказать.
Подведение итога урока.
На данном уроке была рассмотрена тема: «Свойства числовых неравенств». В ходе этого занятия вы вспомнили определение неравенства. Получили представление об основных свойствах числовых неравенств, которые впоследствии пригодятся для решения задач.
Список литературы
- Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
- Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- ЕГЭ по математике (Источник).
- Интернет-портал Frezzii.narod.ru (Источник).
- Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
Домашнее задание
- Сравните числа а и b, если: а) ; б) в)
- Какое из чисел больше х или у, если известно, что: а) ; б)
- №530, 532.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
Почему мы переворачиваем/переворачиваем знак неравенства?
ГБ Алгебра для старших классов, Математика для старших классов, Вопросы и затруднения
Вы, наверное, помните в алгебре, что если мы умножаем неравенство на отрицательное число, то знак неравенства следует перевернуть или перевернуть. Например, если мы хотим найти решение неравенства , мы умножаем обе части на и меняем знак больше, что дает нам . Теперь, почему знак стал ?
Если мы обобщим приведенные выше утверждения, предположим, что у нас есть, скажем, два числа и такие, что если мы умножим их на отрицательное число, то вместо , ответ должен быть .
Прежде чем мы приступим к нашему обсуждению, давайте сначала вспомним 2 основных понятия, которые мы изучили в элементарной математике:
- Числовая ось устроена таким образом, что отрицательные числа находятся слева, а положительные числа находятся с правой стороны, как показано на рис. 1.
- Если у нас есть числа и , то если находится справа от на числовой строке. Например, на рисунке 1, поскольку справа от .
1.Рисунок 1. Числовая строка
Для конкретных значений давайте выберем и, как показано на диаграмме выше, и выберем . Обратите внимание, что мы будем использовать эти значения только для целей обсуждения, но мы можем использовать любые значения. Было бы полезно, если бы мы представили и как две точки на числовой прямой с синей точкой справа и красной точкой.
Обратите внимание, что перед умножением на отрицательное число ЗНАЧЕНИЕ СИНЕЙ ТОЧКИ > ЗНАЧЕНИЕ КРАСНОЙ ТОЧКИ.
Поскольку и являются переменными, нам нужно умножить все числа на числовой прямой на . Это делается для того, чтобы гарантировать, что любые значения, которые мы выбираем для и , мы умножаем их на . Если мы умножим каждое число на числовой прямой на , геометрическим следствием будет числовая прямая с отрицательными числами в правой части и положительными числами в левой части, как показано на рисунке 2.
Рисунок 2. После умножения всех чисел на числовой прямой на -1
Но отрицательные числа должны быть слева от, поэтому мы меняем его положение, поворачивая его на 180 градусов от любой точки поворота (например, 0) . Результирующий рисунок показан на рисунке 3.
Обратите внимание, что синяя и красная точки изменили порядок и теперь синяя точка находится слева от красной точки. Следовательно, ЗНАЧЕНИЕ СИНЕЙ ТОЧКИ < ЗНАЧЕНИЕ КРАСНОЙ ТОЧКИ. То есть, почему знак неравенства был перевернут.
Подводя итог, можно сказать, что умножение неравенства на отрицательное число равносильно изменению их порядка на числовой прямой. То есть, если и действительных чисел , и , то .
Наше резюме на самом деле является математической теоремой. Доказательство этого показано ниже. Это очень простое доказательство, так что, я полагаю, вы сможете его понять.
Теорема: Если и действительные числа, с и , то .
Доказательство:
Вычитая с обеих сторон, мы имеем .
Теперь значит положительно.
Поскольку отрицательно, следовательно, отрицательно (отрицательное, умноженное на положительное, равно отрицательному)
Поскольку отрицательно, следовательно, .
Распространение, у нас есть.
Добавляя к обеим сторонам, мы получаем то, что хотим показать .
Оставить комментарий перевернуть знак неравенства, перевернуть знак неравенства, деление на минус, смена знака неравенства, переключить знак неравенства, когда вы перевернете знак неравенства
Почему знак неравенства меняется, когда обе части умножаются или делятся на отрицательное число? Это происходит с уравнениями?
2
2 ответа
Айрис Филлипс ответила
Начнем с более легкой части вопроса, нет, это не произойдет в уравнении, потому что что бы ни случилось, обе части уравнения останутся равными, и знак равенства будет знаком равенства в любом случае это перевернуто.
- Переключение знаков
Так почему знак неравенства меняется? Оно меняется потому, что меняются значения, а точнее их знаки в неравенстве. Поэтому знак неравенства также необходимо изменить.
Когда все значения становятся отрицательными, что означает, что отрицательные значения либо переворачиваются, либо отменяются, если стороны были отрицательными, а знак неравенства остается прежним, решением будет совершенно другой диапазон чисел, потому что неравенство изменилось.
- Пример
В этом примере используется неравенство -3a≥-6. Что произойдет, если знак неравенства не изменится после умножения неравенства на -1? Новое равенство будет выглядеть так: 3a≥6.
Основные английские слова со значением…
Пожалуйста, включите JavaScript
Основные английские слова со значением и предложениями #2
Теоретически a должно быть a≥2.
Это можно проверить, подставив обратно в исходное неравенство, например: -3×2≥-6. Это работает, но что произойдет, если используется большее число? Используя, например, 3, становится ясно, что это не может быть правильным: -3×3≥-6.
Если бы знак неравенства перевернулся, новое неравенство выглядело бы так: 3a≤6, значит, a≤2. Это по-прежнему правильно, поэтому следующим шагом будет проверка этого неравенства с числом меньше 2, поэтому: -3×1≥-6. Это явно работает.
Тот же процесс применяется, если исходное неравенство положительно и меняется на отрицательное. Если знаки смешаны, важно убедиться, что знак неравенства всегда стоит перед одним и тем же знаком. Например, в этом неравенстве -3a≤6 знак стоит в положительную сторону. Умножение на -1 дает 3a≥-6. Знак неравенства по-прежнему обращен в положительную сторону.
поблагодарил автора.
брякнул это.
Оддман ответил
Умножение (или деление) на отрицательное число отражает каждое выражение вокруг начала числовой прямой.