Комплексные числа это что такое: Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Содержание

Просто о сложном: комплексные числа

Комплексные числа всегда меня занимали. Как и с понятием экспоненты, большинство определений подпадали под одну из двух категорий:

это математическая абстракция, всё упирается в формулы. Смиритесь.
это используется в продвинутой физике, поверьте. Просто дождитесь университета.

Какой хороший способ привлечь деток к математике! Сегодня мы возьмем эту тему штурмом, используя наши любимые инструменты:

Будем основываться на связях, а не на механических формулах.
Рассмотрим комплексные числа как дополнение к нашей системе счисления, такому же, как ноль, дробные или отрицательные числа.
Визуализируем идеи в графиках, чтобы лучше понять суть, а не просто изложим сухим текстом.

И наше секретное оружие: изучение по аналогии. Мы доберемся до комплексных чисел, начав с их предков, отрицательных чисел. Вот вам небольшое руководство:

Пока что смысла в этой таблице мало, но пусть она будет рядом. К концу статьи всё станет на свои места.

Давайте действительно поймем, что такое отрицательные числа

Отрицательные числа не так просты. Представьте, что вы — европейский математик в XVIII веке. У вас есть 3 и 4, и вы можете написать 4 – 3 = 1. Всё просто.

Но сколько будет 3 – 4? Что, собственно, это означает? Как можно отнять 4 коровы от 3? Как можно иметь меньше, чем ничего?

Отрицательные числа рассматривались как полная чушь, что-то, что «бросало тень на всю теорию уравнений» (Фрэнсис Масерес, 1759). Сегодня было бы полной чушью думать об отрицательных числах, как о чем-то нелогичном и неполезном. Спросите вашего учителя, нарушают ли отрицательные числа основы математики.

Что же произошло? Мы изобрели теоретическое число, которое обладало полезными свойствами. Отрицательные числа нельзя потрогать или ощутить, но они хорошо описывают определенные связи (как задолженность, например). Это очень полезная выдумка.

Вместо того, чтобы сказать «Я должен вам 30», и читать слова, чтобы понять в плюсе я или в минусе, я могу просто записать «-30», и знать, что это означает. Если я заработаю деньги и оплачу свои долги (-30 + 100 = 70), я смогу легко записать эту транзакцию несколькими символами. У меня останется +70.

Знаки плюса и минуса автоматически фиксируют направление — вам не нужно целое предложение, чтобы описать изменения после каждой транзакции. Математика стала проще, элегантнее. Стало не важно, являются ли отрицательные числа «осязаемыми» — у них есть полезные свойства, и мы пользовались ими, пока они крепко не вошли в наш обиход. Если кто-то из ваших знакомых еще не понял суть отрицательных чисел, теперь вы ему поможете.

Но не будем умалять человеческие страдания: отрицательные числа были настоящим сдвигом в сознании. Даже Эйлер, гений, открывший число е и много еще чего, не понимал отрицательные числа так же хорошо, как мы сегодня. Они рассматривались как «бессмысленные» результаты вычислений.

Странно требовать от детей, чтобы они спокойно понимали идеи, которые когда-то смущали даже самых лучших математиков.

Ввод мнимых чисел

С мнимыми числами та же история. Мы можем решать уравнения вроде этого целыми днями:

Ответами будут 3 и -3. Но представим, что какой-то умник приписал сюда минус:

Ну и ну. Такой вопрос заставляет людей съеживаться, первый раз видя его. Вы хотите вычислить квадратный корень из числа, меньшего, чем ноль? Это немыслимо! (Исторически реально существовали подобные вопросы, но мне удобнее представлять какого-то безликого умника, чтобы не вгонять в краску ученых прошлого).

Выглядит безумно, как в свое время выглядели и отрицательные числа, ноль и иррациональные числа (неповторяющиеся числа). В этом вопросе нет «реального» смысла, правда?

Нет, не правда. Так называемые «мнимые числа» нормальны настолько же, как и все другие (или настолько же ненормальные): они являются инструментом для описания мира. В том же духе, как мы представляем, что -1, 0.3 и 0 «существуют», давайте предположим, что существует некое число i, где:

Другими словами, вы умножаете i на себя же, чтобы получить -1. 2 = -1, которое можно записать так:

Какое преобразование x, применяемое дважды, превращает 1 в -1? Хм.

Мы не можем умножить дважды положительное число, потому что результат будет положительным.
Мы не можем умножить дважды отрицательное число, потому что результат опять будет положительным.

А как насчёт… вращения! Звучит, конечно, необычно, но что если представить х как «поворот 90 градусов», тогда применив х дважды, мы совершим поворот на 180 градусов на координатной оси, и 1 обернется в -1!

Вот это да! И если мы еще немного над этим поразмышляем, то мы можем совершить два оборота в противоположном направлении, и также перейти с 1 на -1. Это «отрицательное» вращение или умножение на -i:

Если мы дважды умножим на-i, то при первом умножении получим -i из 1, а при втором -1 из -i. Так что на самом деле существует два квадратных корня -1: i и -i.

Это довольно круто! У нас есть что-то вроде решения, но что оно означает?

i — это «новая мнимая размерность» для измерения числа
i (или -i) — это то, чем «становятся» числа при вращении
Умножение на i — это вращение на 90 градусов против часовой стрелки
Умножение на -i — это вращение на 90 градусов по часовой стрелке.
Двойное вращение в любом из направлений дает -1: оно опять возвращает нас к «обычной» размерности положительных и отрицательных чисел (ось x).

Все числа 2-мерные. Да, это трудно принять, но древним римлянам было бы также трудно принять десятичные дроби или деление в столбик. (Как это так, между 1 и 2 есть еще числа?). Выглядит странно, как и любой новый способ мыслить в математике.

Мы спросили «Как превратить 1 в -1 в два действия?» и нашли ответ: повернуть 1 на 90 градусов дважды. Довольно странный, новый способ мыслить в математике. Но очень полезный. (Между прочим, эта геометрическая интерпретация комплексных чисел появилась только десятилетия спустя после открытия самого числа i).

Также, не забывайте, что принятие оборота против часовой стрелки за положительный результат — это сугубо человеческая условность, и всё могло бы быть совсем по-другому.

Поиск множеств

Давайте углубимся немного в детали. При умножении отрицательных чисел (как -1), вы получаете множество:

1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1

Поскольку -1 не меняет размер числа, а только знак, вы получаете одно и то же число то со знаком «+», то со знаком «-». 2)и посмотрите на общее множество:

X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y…

Точно, как отрицательные числа моделируют зеркальное отражение чисел, мнимые числа могут моделировать что угодно, что вращается между двумя измерениями «Х» и «Y». Или что угодно с циклической, круговой зависимостью — есть что-нибудь на примете?

Понимание комплексных чисел

Есть еще одна деталь для рассмотрения: может ли число быть и «реальным», и «мнимым»?

Даже не сомневайтесь. Кто сказал, что нам обязательно нужно поворачивать строго на 90 градусов? Если мы одной ногой станем на «реальную» размерность, а другой — на «мнимую», то будет выглядеть примерно так:

Мы находимся на отметке в 45 градусов, где вещественная и мнимая части одинаковы, и само число равно «1 + i». Это как хот-дог, где есть и кетчуп, и горчица — кто сказал, что нужно обязательно выбирать что-то одно?

По сути, мы можем выбрать любую комбинацию вещественной и мнимой части и сделать из всего этого треугольник. Угол становится «углом вращения». Комплексное число — это заумное название для чисел, в которых есть вещественная и мнимая части. Они пишутся, как «a + bi», где:

a — вещественная часть
b — мнимая часть

Неплохо. Но остается один последний вопрос: как «велико» комплексное число? Мы не можем измерить вещественную часть или мнимую отдельно, потому что мы упустим общую картину.

Давайте сделаем шаг назад. Размер отрицательного числа — это расстояние от нуля:

Это другой способ найти абсолютную величину. Но как измерить оба компонента на 90 градусах для комплексных чисел?

Это птица в небе… или самолет… Пифагор спешит на помощь!

Эта теорема выскакивает, где только можно, даже в числах, придуманных через 2000 лет после самой теоремы. Да, мы делаем треугольник, и его гипотенуза и будет равна расстоянию от нуля:

Хоть измерить комплексное число не так просто, как «просто опустить знак -», у комплексных чисел есть очень полезные применения. Давайте рассмотрим некоторые из них.

Реальный пример: Вращения

Мы не будем дожидаться университетского курса физики, чтобы попрактиковаться с комплексными числами. Мы займемся этим уже сегодня. Много можно рассказать на тему умножения комплексных чисел, но пока нужно понять главное:

Умножение на комплексное число совершает вращение на его угол

Давайте посмотрим, как это работает. Представьте, что я на лодке, движусь с курсом 3 единицы на Восток каждые 4 единицы на Север. Я хочу изменить свой курс на 45 градусов против часовой стрелки. Каким будет мой новый курс?

Кто-то может сказать «Это просто! Вычислите синус, косинус, погуглите значение по тангенсу…и тогда…» Кажется, я сломал свой калькулятор…

Давайте пойдем более простым путем: мы идем по курсу 3 + 4i (не важно, какой тут угол, нам всё равно пока) и хотим повернуться на 45 градусов. Ну, 45 градусов это 1 + i (идеальная диагональ). Так что мы можем умножить наш курс на это число!

Вот в чем суть:

Исходный курс: 3 единицы на Восток, 4 единицы на Север = 3 + 4i
Вращение против часовой стрелки на 45 градусов = умножение на 1 + i

При умножении мы получаем:

Наш новый ориентир — 1 единица на Запад (-1 на Восток) и 7 единиц на Север, можете нарисовать координаты на графике и следовать им.

Но! Мы нашли ответ за 10 секунд, без всяких синусов и косинусов. Не было векторов, матриц, отслеживания, в каком квадранте мы находимся. Это была простая арифметика и немного алгебры для приведения уравнения. Мнимые числа отлично справляются с вращением!

Более того, результат такого вычисления очень полезен. У нас есть курс (-1, 7) вместо угла (atan(7/-1) = 98.13, и сразу ясно, что мы во втором квадранте. Как, собственно, вы планировали нарисовать и следовать указанному углу? Используя транспортир под рукой?

Нет, вы бы конвертировали угол в косинус и синус (-0.14 и 0.99), нашли бы примерное соотношение между ними (около 1 к 7) и набросали бы треугольник. И тут комплексные числа несомненно выигрывают — аккуратно, молниеносно, и без калькулятора!

Если вы похожи на меня, то это открытие покажется вам сногсшибательным. Если нет, боюсь, что математика вас совсем не зажигает. Уж извините!

Тригонометрия хороша, но комплексные числа значительно упрощают вычисления (вроде поиска cos(a + b)). Это только маленький анонс; в следующих статьях я предоставлю вам полное меню.

Лирическое отступление: некоторые люди думают примерно так: «Эй, ну не удобно же иметь курс Север/Восток вместо простого угла для следования судна!»

Правда? Ну хорошо, посмотрите на свою правую руку. Какой угол между основанием вашего мизинца и кончиком указательного пальца? Удачи с вашим способом вычисления.

А можно просто ответить «Ну, кончик находится на Х дюймов вправо и Y дюймов вверх» и с этим уже можно что-то сделать.

Комплексные числа стали ближе?

Мы пронеслись смерчем по моим базовым открытиям в области комплексных чисел. Посмотрите на самую первую иллюстрацию, теперь он должен стать более понятным.

Есть еще столько всего интересного в этих красивых, чудных числах, но мой мозг уже устал. Моя цель была проста:

Убедить вас в том, что комплексные числа только рассматривались как «сумасшествие», а на деле они могут быть очень полезными (точно как и отрицательные числа)
Показать, как комплексные числа могут упростить некоторые задачи вроде вращения.

Если я кажусь слишком озабоченным этой темой, то для этого есть причина. Мнимые числа годами были моей навязчивой идеей — недостаток понимания меня раздражал.

Сейчас я наконец-то дошел до этого долгожданного понимания, и мне не терпелось поделиться с вами. Но меня по-прежнему злит, что вы знакомитесь с этими замечательными, несложными приемами понимания в блоге какого-то безумного лунатика, а не в классе на уроке математики. Мы душим в себе вопросы и «пыхтим» над непонятными вещами, потому что не хотим искать, находить и делиться чистыми, абсолютно логичными объяснениями.

Но зажечь свечу лучше, чем пробираться сквозь кромешную тьму: вот мои мысли, и я уверен, что огонек зажжется и в умах моих читателей.

Эпилог: Но они по-прежнему довольно странные!

Я знаю, они и для меня всё еще выглядят странными. Я пытаюсь мыслить, как мыслил первый человек, открывший ноль.

Ноль — это такая странная идея, «что-то» представляет «ничего», и это никак не могли понять в Древнем Риме. То же самое и с комплексными числами — это новый способ мышления. Но и ноль, и комплексные числа значительно упрощают математику. Если бы мы никогда не внедряли странности вроде новых систем счисления, мы бы до сих пор считали всё на пальцах.

Я повторяю эту аналогию, потому что так легко начать думать, что комплексные числа «не нормальные». Давайте быть открытыми к новшествам: в будущем люди будут только шутить над тем, как кто-то вплоть до XXI века не верил в комплексные числа.

Перевод статьи «A Visual, Intuitive Guide to Imaginary Numbers»

определение, алгебраическая форма, геометрическая интерпретация, действия с ними

В данной публикации мы рассмотрим определение комплексного числа, его алгебраическую форму и геометрическую интерпретацию, а также свойства арифметических действий, выполняемых с такими числами.

Определение комплексного числа
Геометрическая интерпретация комплексных чисел
Арифметические действия с комплексными числами
- Сложение и вычитание
- Умножение
- Деление

Определение комплексного числа

Комплексным называется число вида z = a + bi, где:

a и b – это вещественные числа;
i – мнимая единица, для которой справедливо равенство: i² = -1;
a – действительная часть;
bi – мнимая часть.

Примечание: a + bi – это алгебраическая форма комплексного числа, которое нужно воспринимать как единое целое, а не как сложение.

Для обозначения множества комплексных чисел используется символ, похожий на букву C.

Если b = 0, то комплексное число принимает вид: z = a + 0 ⋅ i = a. Таким образом, вещественное (действительное) число – это частный случай комплексного.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Комплексные числа можно перенести на координатную (комплексную) плоскость, осью абсцисс которой будут являться действительная часть (Re), а осью ординат – мнимая (Im).

В качестве примера ниже показаны следующие комплексные числа, которые можно интерпретировать как векторы:

z = 1 + 4i
z = 2 – i
z = -3 – 2i
z = -3 + 2i
z = 3
z = -2i

z = 3 является комплексным числом с нулевой мнимой частью, т. е. по сути это действительное число.
z = -2i – исключительно мнимое число с нулевой действительной частью.

Арифметические действия с комплексными числами

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел выполняется по тем же законам, которые применимы к обычным числам.

Например,

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i

Пример 1: сложим два комплексных числа: x = 2 + 4i и y = 1 – 3i.

Решение:
x + y = (2 + 4i) + (1 – 3i) = (2 + 1) + (4 – 3)i = 3 + i.

Пример 2: вычтем из комплексного числа x = 6 – 2i число y = 3 + 5i.

Решение:
x – y = (6 – 2i) – (3 + 5i) = 6 – 2i – 3 – 5i = 3 – 7i.

Ниже представлены свойства действий с комплексными числами.

Сложение и вычитание

00″ data-percent-format=»10.00%» data-date-format=»DD.MM.YYYY» data-time-format=»HH:mm» data-features=»["after_table_loaded_script"]» data-search-value=»» data-lightbox-img=»» data-head-rows-count=»1″ data-pagination-length=»50,100,All» data-auto-index=»off» data-searching-settings=»{"columnSearchPosition":"bottom","minChars":"0"}» data-lang=»default» data-override=»{"emptyTable":"","info":"","infoEmpty":"","infoFiltered":"","lengthMenu":"","search":"","zeroRecords":"","exportLabel":"","file":"default"}» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>


Коммутативность (переместительность)	x + y = y + x
Ассоциативность (сочетательность)	x + (y + z) = (x + y) + z
Прибавление нуля	x + 0 = x
Противоположный элемент	x + (-x) = 0
Вычитание через сложение	x — y = x + (-y)

Умножение


Коммутативность (переместительность)	x ⋅ y = y ⋅ x
Ассоциативность (сочетательность)	x ⋅ (y ⋅ z) = (x ⋅ y) ⋅ z
Умножение на 0	x ⋅ 0 = 0
Умножение на 1	x ⋅ 1 = x
Дистрибутивность (распределительность)	x ⋅ (y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z

Деление

У каждого комплексного числа a + bi, за искл. нуля, есть обратное к нему число, которое имеет вид:

Деление ненулевых комплексных чисел:

Что такое комплексные числа? | Live Science

Когда вы совершаете покупку по ссылкам на нашем сайте, мы можем получать партнерскую комиссию. Вот как это работает.

В этом комплексном числе 3 — действительное число, а 5i — мнимое.

Комплексные числа — это числа, состоящие из двух частей — действительного числа и мнимого числа. Комплексные числа являются строительными блоками более сложной математики, такой как алгебра. Их можно применять ко многим аспектам реальной жизни, особенно в электронике и электромагнетизме.

Стандартный формат для комплексных чисел: a + bi

, с действительным числом первым и мнимым последним. Поскольку любая часть может быть равна 0, технически любое действительное или мнимое число можно считать комплексным числом. Сложный не значит сложный; это означает, что два типа чисел объединяются, образуя комплекс, например, жилой комплекс — группу зданий, соединенных вместе.

Действительные числа — это материальные значения, которые можно нанести на горизонтальную числовую линию, например дроби, целые числа или любые исчисляемые числа, которые вы можете придумать. Мнимые числа — это абстрактные понятия, которые используются, когда вам нужен квадратный корень из отрицательного числа.

Сложение и умножение комплексных чисел

Поскольку комплексное число является двучленом — числовым выражением с двумя членами — арифметика обычно выполняется так же, как и для любого двучлена, путем объединения одинаковых членов и упрощения. Например:

(3 + 2i) + (4 — 4i)

(3 + 4) = 7

(2i — 4i) = -2i

9000 4 Результат 7-2i .

Для умножения вы используете метод FOIL для полиномиального умножения: умножьте первое, умножьте внешнее, умножьте внутреннее, умножьте последнее, а затем сложите. Например:

(3 — 2i)(5 + 3i) =

(3)(5) + (3)(3i) + (-2i)(5) + (-2i)(3i) =

15 + 9i + -10i + -6i ² =

15 — i — 6(-1) =

21 — i

корень из -1.

Деление комплексных чисел

Деление, однако, усложняется и требует использования сопряженных чисел. Комплексно-сопряженные числа — это пары комплексных чисел с разными знаками, например 9.0007 (а + би) и (а — би) . Умножение комплексно-сопряженных чисел приводит к сокращению среднего члена. Например:

(а + би)(а — би) = а ² — аби + аби — (би) ²

2 ) = a ² — b ² (-1)

Окончательный результат: a ² + b ²

знаменатель на сопряженное. Например,

(5 + 2i) ÷ (7 + 4i)

Сопряжение 7 + 4i равно 7 — 4i. Итак, умножаем числитель и знаменатель на сопряженное:

(5 + 2i)(7 – 4i) ÷ (7 + 4i)(7 – 4i) =

(35 + 14i – 20i – 8i ² ) ÷ (49 — 28i + 28i – 16i ² ) =

(35 — 6i + 8) ÷ (49 + 16) =

(43 — 6i) ÷ 65

Абсолютное значение комплексных чисел

900 04 Абсолютное значение числа считается его расстояние от нуля на числовой прямой.

Поскольку комплексные числа включают в себя мнимые числа, их нельзя изобразить на прямой с действительными числами. Однако они могут быть измерены от нуля на плоскости комплексных чисел, которая включает ось x (для действительного числа) и ось y (для мнимого числа).

Использование комплексных чисел

Комплексные числа можно использовать для решения квадратичных уравнений для нулей. Квадратичная формула решает ax2 + bx + c = 0 для значений x. Если формула содержит отрицательный квадратный корень, для упрощения нуля можно использовать комплексные числа.

Комплексные числа используются в электронике и электромагнетизме. Одно комплексное число объединяет две действительные величины, что упрощает работу с числами. Например, в электронике состояние элемента схемы определяется напряжением (V) и током (I). Элементы схемы также могут иметь емкость (c) и индуктивность (L), которые описывают тенденцию схемы сопротивляться изменениям V и I. Вместо того, чтобы описывать состояние элемента схемы с помощью V и I, его можно описать как 9. 0007 z = V + Ii . Затем законы электричества можно выразить с помощью сложения и умножения комплексных чисел.

Как упоминалось ранее, это также может быть применено к электромагнетизму. Вместо того, чтобы описываться как напряженность электрического поля и напряженность магнитного поля, вы можете создать комплексное число, в котором электрическая и магнитная составляющие являются действительными и мнимыми числами.

Дополнительная литература:

Калькулятор комплексных чисел

Увлекательная математика: комплексные числа

Склад математики: комплексные числа

Будьте в курсе последних научных новостей, подписавшись на нашу рассылку Essentials.

Свяжитесь со мной, чтобы сообщить о новостях и предложениях от других брендов Future. Получайте электронные письма от нас от имени наших надежных партнеров или спонсоров.

1
Ученые обнаружили ближайшую к Земле черную дыру, уничтожающую звезды из когда-либо виденных
2
Китайский неисправный марсоход, возможно, нашел доказательства недавней воды на Красной планете
3
Гигантский айсберг в форме фаллоса, плавающий в заливе Концепшн, удивляет жителей Дилдо, Канада предлагает
5
ДНК человека возрастом 25 000 лет обнаружена на палеолитической подвеске из сибирской пещеры

1
Почему одних людей всегда кусают комары, а других нет?
2
При редком нападении 30 косаток «тяжело ранены» 2 взрослых серых кита в Калифорнии
4
Млекопитающие с сумками «более развиты», чем люди — что-то вроде
5
Невиданная ранее «кристаллоподобная материя», спрятанная в куске окаменевшей молнии, вероятно, является совершенно новым минералом

Комплексные числа: что такое, происхождение, характеристики, важность.

Комплексные числа представляют собой комбинацию действительных и мнимых чисел. Действительная часть может быть выражена целым или десятичным числом, а мнимая часть имеет отрицательный квадрат. Комплексные числа возникают из-за необходимости выражать корни отрицательных чисел, чего не могут сделать действительные числа. Вот почему отражают все корни многочленов.

Их использование распространяется на различные отрасли науки, начиная с от математики до техники. Комплексные числа также могут представлять электромагнитные волны и электрические токи, поэтому они необходимы в области электроники и телекоммуникаций.

Его математическая формула: a + b i , где a и b — действительные числа, а i — мнимое число. Это выражение известно как биномиальная форма из-за того, что оно состоит из двух частей.

Каково происхождение комплексных чисел?

Французский математик Рене Декарт был первым, кто подчеркнул воображаемую природу чисел, утверждая, что «можно вообразить столько (чисел), сколько уже упомянуто в каждом уравнении, но иногда нет никакой величины, которая соответствовала бы тому, что мы воображаем ».

Однако концептуализация комплексных чисел восходит к 16 веку благодаря вкладу итальянского математика Джероламо Кардано, который доказал, что отрицательный член внутри квадратного корня может привести к решению уравнения. До сих пор считалось невозможным найти квадратный корень из отрицательного числа.

Позднее, в XVIII веке, математик Карл Фридрих Гаусс закрепил положения Кардано, в дополнение к разработав трактат о комплексных числах на плоскости и тем самым заложив современные основы термина.

Каковы основные характеристики комплексных чисел?

Действительные числа, используемые в формуле комплексных чисел, могут быть выражены в виде упорядоченная пара, бином и вектор.
Весь набор мнимых чисел называется i и эквивалентен 1 в действительных числах. Точно так же квадратный корень из из равен -1.
Два комплексных числа считаются равными, если они имеют одинаковые действительные и мнимые компоненты.
Буква C представляет собой набор всех комплексных чисел. С также образует двумерное векторное пространство.
В отличие от действительных чисел, комплексные числа не имеют естественного порядка.
Существуют чисто мнимые числа, действительная часть которых равна 0; их формула такова: 0 + bi = bi.

Каково значение комплексных чисел?

Хотя их повседневное применение не так прямолинейно, как у действительных чисел, их мнимая составляющая делает комплексные числа важными, поскольку они позволяют очень точно работать в конкретных областях науки и физики . Так обстоит дело с измерением электромагнитных полей, которые состоят из электрических и магнитных компонентов и для их описания требуются пары действительных чисел.