ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа это Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅: ΠΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΈΠΉ унивСрситСт Β«Π’Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ школа экономики»

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ ΠΎ слоТном: комплСксныС числа

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа всСгда мСня Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π»ΠΈ. Как ΠΈ с понятиСм экспонСнты, Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠ°Π΄Π°Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΈΠΉ:

  • это матСматичСская абстракция, всё упираСтся Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. Π‘ΠΌΠΈΡ€ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ.
  • это ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠΉ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠΆΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ унивСрситСта.

Какой Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΠΉ способ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ Π΄Π΅Ρ‚ΠΎΠΊ ΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅! БСгодня ΠΌΡ‹ возьмСм эту Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ ΡˆΡ‚ΡƒΡ€ΠΌΠΎΠΌ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ наши Π»ΡŽΠ±ΠΈΠΌΡ‹Π΅ инструмСнты:

  • Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° связях, Π° Π½Π΅ Π½Π° мСханичСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Ρ….
  • Рассмотрим комплСксныС числа ΠΊΠ°ΠΊ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ нашСй систСмС счислСния, Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ноль, Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа.
  • Π’ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ Π² Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°Ρ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΡΡƒΡ‚ΡŒ, Π° Π½Π΅ просто ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ сухим тСкстом.

И нашС сСкрСтноС ΠΎΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ΅: ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ. ΠœΡ‹ добСрСмся Π΄ΠΎ комплСксных чисСл, Π½Π°Ρ‡Π°Π² с ΠΈΡ… ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΊΠΎΠ², ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Π’ΠΎΡ‚ Π²Π°ΠΌ нСбольшоС руководство:

Пока Ρ‡Ρ‚ΠΎ смысла Π² этой Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΌΠ°Π»ΠΎ, Π½ΠΎ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ рядом. К ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρƒ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ всё станСт Π½Π° свои мСста.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΉΠΌΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа

ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ просты. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ β€” СвропСйский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ Π² XVIII Π²Π΅ΠΊΠ΅. Π£ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ 3 ΠΈ 4, ΠΈ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ 4 – 3 = 1. Всё просто.

Но сколько Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ 3 – 4? Π§Ρ‚ΠΎ, собствСнно, это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚? Как ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΡΡ‚ΡŒ 4 ΠΊΠΎΡ€ΠΎΠ²Ρ‹ ΠΎΡ‚ 3? Как ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ мСньшС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ?

ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Π»ΠΈΡΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ полная Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ «бросало Ρ‚Π΅Π½ΡŒ Π½Π° всю Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉΒ» (Ѐрэнсис ΠœΠ°ΡΠ΅Ρ€Π΅Ρ, 1759). БСгодня Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ Ρ‡ΡƒΡˆΡŒΡŽ Π΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ± ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… числах, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎ Ρ‡Π΅ΠΌ-Ρ‚ΠΎ Π½Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΈ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎΠΌ. БпроситС вашСго учитСля, Π½Π°Ρ€ΡƒΡˆΠ°ΡŽΡ‚ Π»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа основы ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ.

Π§Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·ΠΎΡˆΠ»ΠΎ? ΠœΡ‹ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π΅Π»ΠΈ тСорСтичСскоС число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π»ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ свойствами. ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа нСльзя ΠΏΠΎΡ‚Ρ€ΠΎΠ³Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‰ΡƒΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ связи (ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π°Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€). Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ полСзная Π²Ρ‹Π΄ΡƒΠΌΠΊΠ°.

ВмСсто Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Β«Π― Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π²Π°ΠΌ 30Β», ΠΈ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ слова, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Π² плюсС я ΠΈΠ»ΠΈ Π² минусС, я ΠΌΠΎΠ³Ρƒ просто Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Β«-30Β», ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚. Если я Π·Π°Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽ дСньги ΠΈ ΠΎΠΏΠ»Π°Ρ‡Ρƒ свои Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΈ (-30 + 100 = 70), я смогу Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ эту Ρ‚Ρ€Π°Π½Π·Π°ΠΊΡ†ΠΈΡŽ нСсколькими символами. Π£ мСня останСтся +70.

Π—Π½Π°ΠΊΠΈ плюса ΠΈ минуса автоматичСски Ρ„ΠΈΠΊΡΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ β€” Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ измСнСния послС ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°Π½Π·Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° стала ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅, элСгантнСС. Π‘Ρ‚Π°Π»ΠΎ Π½Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа «осязаСмыми» β€” Ρƒ Π½ΠΈΡ… Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹Π΅ свойства, ΠΈ ΠΌΡ‹ пользовались ΠΈΠΌΠΈ, ΠΏΠΎΠΊΠ° ΠΎΠ½ΠΈ ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠΊΠΎ Π½Π΅ вошли Π² наш ΠΎΠ±ΠΈΡ…ΠΎΠ΄. Если ΠΊΡ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· Π²Π°ΡˆΠΈΡ… Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹Ρ… Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π΅ понял ΡΡƒΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Ρ‹ Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅.

Но Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡƒΠΌΠ°Π»ΡΡ‚ΡŒ чСловСчСскиС страдания: ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа Π±Ρ‹Π»ΠΈ настоящим сдвигом Π² сознании. Π”Π°ΠΆΠ΅ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€, Π³Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Π²ΡˆΠΈΠΉ число Π΅ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ‡Π΅Π³ΠΎ, Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π» ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ сСгодня. Они Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Π»ΠΈΡΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ «бСссмыслСнныС» Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ вычислСний.

Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½Π½ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ Π΄Π΅Ρ‚Π΅ΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ½ΠΈ спокойно ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°-Ρ‚ΠΎ смущали Π΄Π°ΠΆΠ΅ самых Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΡ… ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠ².

Π’Π²ΠΎΠ΄ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Ρ… чисСл

Π‘ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹ΠΌΠΈ числами Ρ‚Π° ΠΆΠ΅ история. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ уравнСния Π²Ρ€ΠΎΠ΄Π΅ этого Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ днями:

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ 3 ΠΈ -3. Но прСдставим, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΈΠΊ приписал сюда минус:

Ну ΠΈ Π½Ρƒ. Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ вопрос заставляСт людСй ΡΡŠΠ΅ΠΆΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π· видя Π΅Π³ΠΎ. Π’Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· числа, мСньшСго, Ρ‡Π΅ΠΌ ноль? Π­Ρ‚ΠΎ нСмыслимо! (Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ сущСствовали ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ вопросы, Π½ΠΎ ΠΌΠ½Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π±Π΅Π·Π»ΠΈΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΈΠΊΠ°, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π΅ Π²Π³ΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Π² краску ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»ΠΎΠ³ΠΎ).

Выглядит Π±Π΅Π·ΡƒΠΌΠ½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π² своС врСмя выглядСли ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, ноль ΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа (Π½Π΅ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ числа). Π’ этом вопросС Π½Π΅Ρ‚ Β«Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎΒ» смысла, ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°?

НСт, Π½Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°. Π’Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ Β«ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ числа» Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Π½Π°ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ всС Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ (ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΆΠ΅ Π½Π΅Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅): ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ инструмСнтом для описания ΠΌΠΈΡ€Π°. Π’ Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π΄ΡƒΡ…Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ прСдставляСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ -1, 0.3 ΠΈ 0 Β«ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚Β», Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сущСствуСт Π½Π΅ΠΊΠΎΠ΅ число i, Π³Π΄Π΅:

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, Π²Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ i Π½Π° сСбя ΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ -1. 2 = -1, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

КакоС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ x, примСняСмоС Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹, ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ 1 Π² -1? Π₯ΠΌ.

  • ΠœΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.
  • ΠœΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.

А ΠΊΠ°ΠΊ насчёт… вращСния! Π—Π²ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ, Π½ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ… ΠΊΠ°ΠΊ Β«ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ 90 градусов», Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² Ρ… Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹, ΠΌΡ‹ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ Π½Π° 180 градусов Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ оси, ΠΈ 1 обСрнСтся Π² -1!

Π’ΠΎΡ‚ это Π΄Π°! И Ссли ΠΌΡ‹ Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°Π΄ этим ΠΏΠΎΡ€Π°Π·ΠΌΡ‹ΡˆΠ»ΡΠ΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ с 1 Π½Π° -1. Π­Ρ‚ΠΎ Β«ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅Β» Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° -i:

Если ΠΌΡ‹ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π°-i, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ -i ΠΈΠ· 1, Π° ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ -1 ΠΈΠ· -i. Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ сущСствуСт Π΄Π²Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… корня -1: i ΠΈ -i.

Π­Ρ‚ΠΎ довольно ΠΊΡ€ΡƒΡ‚ΠΎ! Π£ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π²Ρ€ΠΎΠ΄Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π½ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚?

  • i β€” это «новая мнимая Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΒ» для измСрСния числа
  • i (ΠΈΠ»ΠΈ -i) β€” это Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Π΅ΠΌ «становятся» числа ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ
  • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° i β€” это Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° 90 градусов ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки
  • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° -i β€” это Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° 90 градусов ΠΏΠΎ часовой стрСлкС.
  • Π”Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² любом ΠΈΠ· Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π°Π΅Ρ‚ -1: ΠΎΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ нас ΠΊ Β«ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΉΒ» размСрности ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл (ось x).

ВсС числа 2-ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅. Π”Π°, это Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Π½ΠΎ Π΄Ρ€Π΅Π²Π½ΠΈΠΌ римлянам Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ дСсятичныС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² столбик. (Как это Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ 1 ΠΈ 2 Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ числа?). Выглядит странно, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ любой Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ способ ΠΌΡ‹ΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅.

ΠœΡ‹ спросили «Как ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ 1 Π² -1 Π² Π΄Π²Π° дСйствия?Β» ΠΈ нашли ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚: ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ 1 Π½Π° 90 градусов Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹. Π”ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ странный, Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ способ ΠΌΡ‹ΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. Но ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ΠΉ. (ΠœΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΠΌ, эта гСомСтричСская интСрпрСтация комплСксных чисСл появилась Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ дСсятилСтия спустя послС открытия самого числа i).

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅, Π½Π΅ Π·Π°Π±Ρ‹Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ принятиС ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки Π·Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ β€” это сугубо чСловСчСская ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΈ всё ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ совсСм ΠΏΠΎ-Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ.

Поиск мноТСств

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ углубимся Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π² Π΄Π΅Ρ‚Π°Π»ΠΈ. ΠŸΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл (ΠΊΠ°ΠΊ -1), Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚Π΅ мноТСство:

  • 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ -1 Π½Π΅ мСняСт Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ числа, Π° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π·Π½Π°ΠΊ, Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ число Ρ‚ΠΎ со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Β«+Β», Ρ‚ΠΎ со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Β«-Β». 2)ΠΈ посмотритС Π½Π° ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ мноТСство:

  • X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y…

Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ Π·Π΅Ρ€ΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ чисСл, ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ числа ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ вращаСтся ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя измСрСниями Β«Π₯Β» ΠΈ Β«YΒ». Или Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ с цикличСской, ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ β€” Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Π΅?

ПониманиС комплСксных чисСл

Π•ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Π° Π΄Π΅Ρ‚Π°Π»ΡŒ для рассмотрСния: ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ число Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈ Β«Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΒ», ΠΈ Β«ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹ΠΌΒ»?

Π”Π°ΠΆΠ΅ Π½Π΅ ΡΠΎΠΌΠ½Π΅Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ. ΠšΡ‚ΠΎ сказал, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ строго Π½Π° 90 градусов? Если ΠΌΡ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½ΠΎΠ³ΠΎΠΉ станСм Π½Π° Β«Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽΒ» Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ β€” Π½Π° Β«ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡƒΡŽΒ», Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ:

ΠœΡ‹ находимся Π½Π° ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠ΅ Π² 45 градусов, Π³Π΄Π΅ вСщСствСнная ΠΈ мнимая части ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹, ΠΈ само число Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Β«1 + iΒ». Π­Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ…ΠΎΡ‚-Π΄ΠΎΠ³, Π³Π΄Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΊΠ΅Ρ‚Ρ‡ΡƒΠΏ, ΠΈ Π³ΠΎΡ€Ρ‡ΠΈΡ†Π° β€” ΠΊΡ‚ΠΎ сказал, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ?

По сути, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΡŽ вСщСствСнной ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ части ΠΈ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· всСго этого Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ. Π£Π³ΠΎΠ» становится Β«ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ вращСния». КомплСксноС число β€” это Π·Π°ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ для чисСл, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π΅ΡΡ‚ΡŒ вСщСствСнная ΠΈ мнимая части. Они ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚ΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ Β«a + biΒ», Π³Π΄Π΅:

  • a β€” вСщСствСнная Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ
  • b β€” мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ

НСплохо. Но остаСтся ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ послСдний вопрос: ΠΊΠ°ΠΊ Β«Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΎΒ» комплСксноС число? ΠœΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡƒΡŽ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ упустим ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½Ρƒ.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ сдСлаСм шаг Π½Π°Π·Π°Π΄. Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа β€” это расстояниС ΠΎΡ‚ нуля:

Π­Ρ‚ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ способ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ. Но ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π° Π½Π° 90 градусах для комплСксных чисСл?

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ‚ΠΈΡ†Π° Π² нСбС… ΠΈΠ»ΠΈ самолСт… ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€ ΡΠΏΠ΅ΡˆΠΈΡ‚ Π½Π° ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ!

Π­Ρ‚Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° выскакиваСт, Π³Π΄Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π² числах, ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 2000 Π»Π΅Ρ‚ послС самой Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹. Π”Π°, ΠΌΡ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½Π° Ρ€Π°ΡΡΡ‚ΠΎΡΠ½ΠΈΡŽ ΠΎΡ‚ нуля:

Π₯ΠΎΡ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ комплСксноС число Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ просто, ΠΊΠ°ΠΊ «просто ΠΎΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊ -Β», Ρƒ комплСксных чисСл Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹Π΅ примСнСния. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ рассмотрим Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ….

Π Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: ВращСния

ΠœΡ‹ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π΄ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Ρ‚ΡŒΡΡ унивСрситСтского курса Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ с комплСксными числами. ΠœΡ‹ займСмся этим ΡƒΠΆΠ΅ сСгодня. Много ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ умноТСния комплСксных чисСл, Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅:

  • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° комплСксноС число ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ»

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим, ΠΊΠ°ΠΊ это Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ я Π½Π° Π»ΠΎΠ΄ΠΊΠ΅, Π΄Π²ΠΈΠΆΡƒΡΡŒ с курсом 3 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° Восток ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹Π΅ 4 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° Π‘Π΅Π²Π΅Ρ€. Π― Ρ…ΠΎΡ‡Ρƒ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ свой курс Π½Π° 45 градусов ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки. Каким Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΌΠΎΠΉ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ курс?

ΠšΡ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Β«Π­Ρ‚ΠΎ просто! ВычислитС синус, косинус, ΠΏΠΎΠ³ΡƒΠ³Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ тангСнсу…и тогда…» ΠšΠ°ΠΆΠ΅Ρ‚ΡΡ, я сломал свой ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€β€¦

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простым ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ: ΠΌΡ‹ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ курсу 3 + 4i (Π½Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚ΡƒΡ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ», Π½Π°ΠΌ всё Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°) ΠΈ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° 45 градусов. Ну, 45 градусов это 1 + i (идСальная диагональ). Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ наш курс Π½Π° это число!

Π’ΠΎΡ‚ Π² Ρ‡Π΅ΠΌ ΡΡƒΡ‚ΡŒ:

  • Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ курс: 3 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° Восток, 4 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° Π‘Π΅Π²Π΅Ρ€ = 3 + 4i
  • Π’Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки Π½Π° 45 градусов = ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° 1 + i

ΠŸΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

Наш Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ β€” 1 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° Π½Π° Π—Π°ΠΏΠ°Π΄ (-1 Π½Π° Восток) ΠΈ 7 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π½Π° Π‘Π΅Π²Π΅Ρ€, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠΌ.

Но! ΠœΡ‹ нашли ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π·Π° 10 сСкунд, Π±Π΅Π· всяких синусов ΠΈ косинусов. НС Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†, отслСТивания, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ ΠΌΡ‹ находимся. Π­Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹Π»Π° простая Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΈ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ для привСдСния уравнСния. ΠœΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ числа ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎ ΡΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ с Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ!

Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ вычислСния ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π΅Π½. Π£ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ курс (-1, 7) вмСсто ΡƒΠ³Π»Π° (atan(7/-1) = 98.13, ΠΈ сразу ясно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅. Как, собствСнно, Π²Ρ‹ ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΠ³Π»Ρƒ? Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ транспортир ΠΏΠΎΠ΄ Ρ€ΡƒΠΊΠΎΠΉ?

НСт, Π²Ρ‹ Π±Ρ‹ ΠΊΠΎΠ½Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π² косинус ΠΈ синус (-0.14 ΠΈ 0.99), нашли Π±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ (ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ 1 ΠΊ 7) ΠΈ набросали Π±Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ. И Ρ‚ΡƒΡ‚ комплСксныС числа нСсомнСнно Π²Ρ‹ΠΈΠ³Ρ€Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ β€” Π°ΠΊΠΊΡƒΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ, молниСносно, ΠΈ Π±Π΅Π· ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°!

Если Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈ Π½Π° мСня, Ρ‚ΠΎ это ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠ΅ покаТСтся Π²Π°ΠΌ ΡΠ½ΠΎΠ³ΡΡˆΠΈΠ±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. Если Π½Π΅Ρ‚, боюсь, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° вас совсСм Π½Π΅ Π·Π°ΠΆΠΈΠ³Π°Π΅Ρ‚. Π£ΠΆ ΠΈΠ·Π²ΠΈΠ½ΠΈΡ‚Π΅!

ВригономСтрия Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ°, Π½ΠΎ комплСксныС числа Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°ΡŽΡ‚ вычислСния (Π²Ρ€ΠΎΠ΄Π΅ поиска cos(a + b)). Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ малСнький анонс; Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ… я ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡŽ Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ мСню.

ЛиричСскоС отступлСниС: Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ люди Π΄ΡƒΠΌΠ°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ: Β«Π­ΠΉ, Π½Ρƒ Π½Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ курс Π‘Π΅Π²Π΅Ρ€/Восток вмСсто простого ΡƒΠ³Π»Π° для слСдования судна!Β»

ΠŸΡ€Π°Π²Π΄Π°? Ну Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ, посмотритС Π½Π° свою ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ€ΡƒΠΊΡƒ. Какой ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ основаниСм вашСго ΠΌΠΈΠ·ΠΈΠ½Ρ†Π° ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ‡ΠΈΠΊΠΎΠΌ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Π»ΡŒΡ†Π°? Π£Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с вашим способом вычислСния.

А ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ просто ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ «Ну, ΠΊΠΎΠ½Ρ‡ΠΈΠΊ находится Π½Π° Π₯ дюймов Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ ΠΈ Y дюймов Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…Β» ΠΈ с этим ΡƒΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ.

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа стали Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅?

ΠœΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ½Π΅ΡΠ»ΠΈΡΡŒ смСрчСм ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠΈΠΌ Π±Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ открытиям Π² области комплСксных чисСл. ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΡΠ°ΠΌΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΎΠ½ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ понятным.

Π•ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ всСго интСрСсного Π² этих красивых, Ρ‡ΡƒΠ΄Π½Ρ‹Ρ… числах, Π½ΠΎ ΠΌΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ·Π³ ΡƒΠΆΠ΅ устал. Моя Ρ†Π΅Π»ΡŒ Π±Ρ‹Π»Π° проста:

  • Π£Π±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒ вас Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ комплСксныС числа Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Π»ΠΈΡΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Β«ΡΡƒΠΌΠ°ΡΡˆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΈΠ΅Β», Π° Π½Π° Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ (Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа)
  • ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ комплСксныС числа ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π²Ρ€ΠΎΠ΄Π΅ вращСния.

Если я ΠΊΠ°ΠΆΡƒΡΡŒ слишком ΠΎΠ·Π°Π±ΠΎΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ этой Ρ‚Π΅ΠΌΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ для этого Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°. ΠœΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ числа Π³ΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΌΠΎΠ΅ΠΉ навязчивой ΠΈΠ΄Π΅Π΅ΠΉ β€” нСдостаток понимания мСня Ρ€Π°Π·Π΄Ρ€Π°ΠΆΠ°Π».

БСйчас я Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†-Ρ‚ΠΎ дошСл Π΄ΠΎ этого Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎΠΆΠ΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ понимания, ΠΈ ΠΌΠ½Π΅ Π½Π΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΠ΅Π»ΠΎΡΡŒ ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с Π²Π°ΠΌΠΈ. Но мСня ΠΏΠΎ-ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ Π·Π»ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ с этими Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, нСслоТными ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ°ΠΌΠΈ понимания Π² Π±Π»ΠΎΠ³Π΅ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π±Π΅Π·ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΡƒΠ½Π°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°, Π° Π½Π΅ Π² классС Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. ΠœΡ‹ Π΄ΡƒΡˆΠΈΠΌ Π² сСбС вопросы ΠΈ Β«ΠΏΡ‹Ρ…Ρ‚ΠΈΠΌΒ» Π½Π°Π΄ нСпонятными Π²Π΅Ρ‰Π°ΠΌΠΈ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ чистыми, Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ объяснСниями.

Но Π·Π°ΠΆΠ΅Ρ‡ΡŒ свСчу Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅, Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ сквозь ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΡˆΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚ΡŒΠΌΡƒ: Π²ΠΎΡ‚ ΠΌΠΎΠΈ мысли, ΠΈ я ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π΅ΠΊ заТТСтся ΠΈ Π² ΡƒΠΌΠ°Ρ… ΠΌΠΎΠΈΡ… Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ.

Π­ΠΏΠΈΠ»ΠΎΠ³: Но ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎ-ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ довольно странныС!

Π― знаю, ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈ для мСня всё Π΅Ρ‰Π΅ выглядят странными. Π― ΠΏΡ‹Ρ‚Π°ΡŽΡΡŒ ΠΌΡ‹ΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ мыслил ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ, ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Π²ΡˆΠΈΠΉ ноль.

Ноль β€” это такая странная идСя, Β«Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎΒ» прСдставляСт Β«Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎΒ», ΠΈ это Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Π² Π”Ρ€Π΅Π²Π½Π΅ΠΌ Π ΠΈΠΌΠ΅. Π’ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС ΠΈ с комплСксными числами β€” это Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ способ ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΡ. Но ΠΈ ноль, ΠΈ комплСксныС числа Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°ΡŽΡ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ. Если Π±Ρ‹ ΠΌΡ‹ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ внСдряли странности Π²Ρ€ΠΎΠ΄Π΅ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… систСм счислСния, ΠΌΡ‹ Π±Ρ‹ Π΄ΠΎ сих ΠΏΠΎΡ€ считали всё Π½Π° ΠΏΠ°Π»ΡŒΡ†Π°Ρ….

Π― ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽ эту аналогию, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ комплСксныС числа Β«Π½Π΅ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅Β». Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΡˆΠ΅ΡΡ‚Π²Π°ΠΌ: Π² Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ люди Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΡˆΡƒΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°Π΄ Ρ‚Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΡ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π²ΠΏΠ»ΠΎΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ XXI Π²Π΅ΠΊΠ° Π½Π΅ Π²Π΅Ρ€ΠΈΠ» Π² комплСксныС числа.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ Β«A Visual, Intuitive Guide to Imaginary NumbersΒ»

ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, алгСбраичСская Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°, гСомСтричСская интСрпрСтация, дСйствия с Π½ΠΈΠΌΠΈ

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΡ‹ рассмотрим ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксного числа, Π΅Π³ΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡŽ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ свойства арифмСтичСских дСйствий, выполняСмых с Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ числами.

  • ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксного числа
  • ГСомСтричСская интСрпрСтация комплСксных чисСл
  • АрифмСтичСскиС дСйствия с комплСксными числами
    • Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅
    • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
    • Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксного числа

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΌ называСтся число Π²ΠΈΠ΄Π° z = a + bi, Π³Π΄Π΅:

  • a ΠΈ b – это вСщСствСнныС числа;
  • i – мнимая Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ справСдливо равСнство: i2 = -1;
  • a – Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ;
  • bi – мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: a + bi – это алгСбраичСская Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° комплСксного числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅, Π° Π½Π΅ ΠΊΠ°ΠΊ слоТСниС.

Для обозначСния мноТСства комплСксных чисСл ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ символ, ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠΉ Π½Π° Π±ΡƒΠΊΠ²Ρƒ C.

Если b = 0, Ρ‚ΠΎ комплСксноС число ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄: z = a + 0 β‹… i = a. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, вСщСствСнноС (Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅) число – это частный случай комплСксного.

ГСомСтричСская интСрпрСтация комплСксных чисСл

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ пСрСнСсти Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ (ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡƒΡŽ) ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, осью абсцисс ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΡΠ²Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ (Re), Π° осью ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ – мнимая (Im).

Π’ качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ комплСксныС числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹:

  • z = 1 + 4i
  • z = 2 – i
  • z = -3 – 2i
  • z = -3 + 2i
  • z = 3
  • z = -2i

  • z = 3 являСтся комплСксным числом с Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ, Ρ‚. Π΅. ΠΏΠΎ сути это Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.
  • z = -2i – ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ΅ число с Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ.

АрифмСтичСскиС дСйствия с комплСксными числами

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл выполняСтся ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π°ΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΡ‹ ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ числам.

НапримСр,

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: слоТим Π΄Π²Π° комплСксных числа: x = 2 + 4i ΠΈ y = 1 – 3i.

РСшСниС:
x + y = (2 + 4i) + (1 – 3i) = (2 + 1) + (4 – 3)i = 3 + i.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: Π²Ρ‹Ρ‡Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΈΠ· комплСксного числа x = 6 – 2i число y = 3 + 5i.

РСшСниС:
x – y = (6 – 2i) – (3 + 5i) = 6 – 2i – 3 – 5i = 3 – 7i.

НиТС прСдставлСны свойства дСйствий с комплСксными числами.

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅

00″ data-percent-format=»10.00%» data-date-format=»DD.MM.YYYY» data-time-format=»HH:mm» data-features=»["after_table_loaded_script"]» data-search-value=»» data-lightbox-img=»» data-head-rows-count=»1″ data-pagination-length=»50,100,All» data-auto-index=»off» data-searching-settings=»{"columnSearchPosition":"bottom","minChars":"0"}» data-lang=»default» data-override=»{"emptyTable":"","info":"","infoEmpty":"","infoFiltered":"","lengthMenu":"","search":"","zeroRecords":"","exportLabel":"","file":"default"}» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>
ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ
(ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ)
x + y = y + x
ΠΡΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ
(ΡΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ)
x + (y + z) = (x + y) + z
ΠŸΡ€ΠΈΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ нуляx + 0 = x
ΠŸΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ элСмСнтx + (-x) = 0
Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· слоТСниСx — y = x + (-y)

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

00″ data-percent-format=»10.00%» data-date-format=»DD.MM.YYYY» data-time-format=»HH:mm» data-features=»["after_table_loaded_script"]» data-search-value=»» data-lightbox-img=»» data-head-rows-count=»1″ data-pagination-length=»50,100,All» data-auto-index=»off» data-searching-settings=»{"columnSearchPosition":"bottom","minChars":"0"}» data-lang=»default» data-override=»{"emptyTable":"","info":"","infoEmpty":"","infoFiltered":"","lengthMenu":"","search":"","zeroRecords":"","exportLabel":"","file":"default"}» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>
ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ
(ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ)
x β‹… y = y β‹… x
ΠΡΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ
(ΡΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ)
x β‹… (y β‹… z) = (x β‹… y) β‹… z
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° 0x β‹… 0 = 0
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° 1x β‹… 1 = x
Π”ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΠ±ΡƒΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ
(Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ)
x β‹… (y + z) = x β‹… y + x β‹… z

Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π£ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ комплСксного числа a + bi, Π·Π° искл. нуля, Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… комплСксных чисСл:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ комплСксныС числа? | Live Science

Когда Π²Ρ‹ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΊΡƒΠΏΠΊΡƒ ΠΏΠΎ ссылкам Π½Π° нашСм сайтС, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‚Π½Π΅Ρ€ΡΠΊΡƒΡŽ комиссию. Π’ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊ это Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚.

Π’ этом комплСксном числС 3 β€” Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π° 5i β€” ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ΅.

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа β€” это числа, состоящиС ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… частСй β€” Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ числа. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π±Π»ΠΎΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТной ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°. Π˜Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌ аспСктам Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ, особСнно Π² элСктроникС ΠΈ элСктромагнСтизмС.

Π‘Ρ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ для комплСксных чисСл: a + bi

, с Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ послСдним. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ любая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° 0, тСхничСски любоС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ΅ число ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ комплСксным числом. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Π½Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ слоТный; это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π° Ρ‚ΠΈΠΏΠ° чисСл ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‚ΡΡ, образуя комплСкс, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΆΠΈΠ»ΠΎΠΉ комплСкс β€” Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡƒ Π·Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ, соСдинСнных вмСстС.

Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа β€” это ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ нанСсти Π½Π° Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ линию, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ исчисляСмыС числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ. ΠœΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ числа β€” это абстрактныС понятия, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа.

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ комплСксноС число являСтся Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ β€” числовым Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ с двумя Ρ‡Π»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ β€” Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ выполняСтся Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ для любого Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½Π°, ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ объСдинСния ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΈ упрощСния. НапримСр:

(3 + 2i) + (4 — 4i)

(3 + 4) = 7

(2i — 4i) = -2i

9000 4 Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ 7-2i .

Для умноТСния Π²Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ FOIL для полиномиального умноТСния: ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ внСшнСС, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅Π΅, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ послСднСС, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ слоТитС. НапримСр:

(3 — 2i)(5 + 3i) =

(3)(5) + (3)(3i) + (-2i)(5) + (-2i)(3i) =

15 + 9i + -10i + -6i 2 =

15 — i — 6(-1) =

21 — i

ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· -1.

Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл

Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, услоТняСтся ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ использования сопряТСнных чисСл. КомплСксно-сопряТСнныС числа β€” это ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ комплСксных чисСл с Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 9.0007 (Π° + Π±ΠΈ) ΠΈ (Π° — Π±ΠΈ) . Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксно-сопряТСнных чисСл ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΡΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ срСднСго Ρ‡Π»Π΅Π½Π°. НапримСр:

(Π° + Π±ΠΈ)(Π° — Π±ΠΈ) = Π° 2 — Π°Π±ΠΈ + Π°Π±ΠΈ — (Π±ΠΈ) 2

2 ) = a 2 — b 2 (-1)

ΠžΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚: a 2 + b 2

Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° сопряТСнноС. НапримСр,

(5 + 2i) Γ· (7 + 4i)

БопряТСниС 7 + 4i Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 7 — 4i. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° сопряТСнноС:

(5 + 2i)(7 – 4i) Γ· (7 + 4i)(7 – 4i) =

(35 + 14i – 20i – 8i 2 ) Γ· (49 — 28i + 28i – 16i 2 ) =

(35 — 6i + 8) Γ· (49 + 16) =

(43 — 6i) Γ· 65

ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл

900 04 ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ числа считаСтся Π΅Π³ΠΎ расстояниС ΠΎΡ‚ нуля Π½Π° числовой прямой. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ комплСксныС числа Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ Π² сСбя ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ числа, ΠΈΡ… нСльзя ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° прямой с Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами. Однако ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Ρ‹ ΠΎΡ‚ нуля Π½Π° плоскости комплСксных чисСл, которая Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ ось x (для Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа) ΠΈ ось y (для ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ числа).

ИспользованиС комплСксных чисСл

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ для Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ ax2 + bx + c = 0 для Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ x. Если Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° содСрТит ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, для упрощСния нуля ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ комплСксныС числа.

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² элСктроникС ΠΈ элСктромагнСтизмС. Одно комплСксноС число ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΠ΅Ρ‚ Π΄Π²Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ с числами. НапримСр, Π² элСктроникС состояниС элСмСнта схСмы опрСдСляСтся напряТСниСм (V) ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠΌ (I). Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ схСмы Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π΅ΠΌΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ (c) ΠΈ ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ (L), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π΅Π½Π΄Π΅Π½Ρ†ΠΈΡŽ схСмы ΡΠΎΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ измСнСниям V ΠΈ I. ВмСсто Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ состояниС элСмСнта схСмы с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ V ΠΈ I, Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ 9. 0007 z = V + Ii . Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ элСктричСства ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ слоТСния ΠΈ умноТСния комплСксных чисСл.

Как ΡƒΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΎΡΡŒ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅, это Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΎ ΠΊ элСктромагнСтизму. ВмСсто Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ элСктричСского поля ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ поля, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ комплСксноС число, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ элСктричСская ΠΈ магнитная ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹ΠΌΠΈ числами.

Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°:

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ комплСксных чисСл

Π£Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°: комплСксныС числа

Π‘ΠΊΠ»Π°Π΄ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ: комплСксныС числа

Π‘ΡƒΠ΄ΡŒΡ‚Π΅ Π² курсС послСдних Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Ρ… новостСй, подписавшись Π½Π° Π½Π°ΡˆΡƒ рассылку Essentials.

Π‘Π²ΡΠΆΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ со ΠΌΠ½ΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΎΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎ новостях ΠΈ прСдлоТСниях ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π±Ρ€Π΅Π½Π΄ΠΎΠ² Future. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΠΉΡ‚Π΅ элСктронныС письма ΠΎΡ‚ нас ΠΎΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π½Π°ΡˆΠΈΡ… Π½Π°Π΄Π΅ΠΆΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ°Ρ€Ρ‚Π½Π΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΈΠ»ΠΈ спонсоров.
  1. 1

    Π£Ρ‡Π΅Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΠ»ΠΈ Π±Π»ΠΈΠΆΠ°ΠΉΡˆΡƒΡŽ ΠΊ Π—Π΅ΠΌΠ»Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ‹Ρ€Ρƒ, ΡƒΠ½ΠΈΡ‡Ρ‚ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π·Π²Π΅Π·Π΄Ρ‹ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ…

  2. 2

    ΠšΠΈΡ‚Π°ΠΉΡΠΊΠΈΠΉ нСисправный марсоход, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, нашСл Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° Π½Π΅Π΄Π°Π²Π½Π΅ΠΉ Π²ΠΎΠ΄Ρ‹ Π½Π° ΠšΡ€Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚Π΅

  3. 3

    Гигантский айсбСрг Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ фаллоса, ΠΏΠ»Π°Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π² Π·Π°Π»ΠΈΠ²Π΅ ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡˆΠ½, удивляСт ΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Π”ΠΈΠ»Π΄ΠΎ, Канада ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚

  4. 5

    Π”ΠΠš Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ° возрастом 25 000 Π»Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠ΅Π½Π° Π½Π° палСолитичСской подвСскС ΠΈΠ· сибирской ΠΏΠ΅Ρ‰Π΅Ρ€Ρ‹

  1. 1

    ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΡ… людСй всСгда ΠΊΡƒΡΠ°ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΌΠ°Ρ€Ρ‹, Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π½Π΅Ρ‚?

  2. 2

    ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΠ°Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ 30 косаток «тяТСло Ρ€Π°Π½Π΅Π½Ρ‹Β» 2 взрослых сСрых ΠΊΠΈΡ‚Π° Π² ΠšΠ°Π»ΠΈΡ„ΠΎΡ€Π½ΠΈΠΈ

  3. 4

    ΠœΠ»Π΅ΠΊΠΎΠΏΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ с сумками Β«Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚Ρ‹Β», Ρ‡Π΅ΠΌ люди β€” Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π²Ρ€ΠΎΠ΄Π΅

  4. 5

    НСвиданная Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ «кристаллоподобная матСрия», спрятанная Π² кускС окамСнСвшСй ΠΌΠΎΠ»Π½ΠΈΠΈ, вСроятно, являСтся ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΈΠ½Π΅Ρ€Π°Π»ΠΎΠΌ

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа: Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅, происхоТдСниС, характСристики, Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

..

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΡŽ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Ρ… чисСл. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π° Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ дСсятичным числом, Π° мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΈΠ·-Π·Π° нСобходимости Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, Ρ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа. Π’ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ².

Π˜Ρ… использованиС распространяСтся Π½Π° Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ отрасли Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ, начиная с ΠΎΡ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π΄ΠΎ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠΈ. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ элСктромагнитныС Π²ΠΎΠ»Π½Ρ‹ ΠΈ элСктричСскиС Ρ‚ΠΎΠΊΠΈ, поэтому ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ Π² области элСктроники ΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΉ.

Π•Π³ΠΎ матСматичСская Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°: a + b i , Π³Π΄Π΅ a ΠΈ b β€” Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, Π° i β€” ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ΅ число. Π­Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ извСстно ΠΊΠ°ΠΊ биномиальная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° ΠΈΠ·-Π·Π° Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ состоит ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… частСй.

Каково происхоТдСниС комплСксных чисСл?

Ѐранцузский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ Π Π΅Π½Π΅ Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ Π±Ρ‹Π» ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ, ΠΊΡ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠ½ΡƒΠ» Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Ρƒ чисСл, утвСрТдая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Β«ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ (чисСл), сколько ΡƒΠΆΠ΅ упомянуто Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π½ΠΎ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅Ρ‚ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, которая соотвСтствовала Π±Ρ‹ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌ Β».

Однако концСптуализация комплСксных чисСл восходит ΠΊ 16 Π²Π΅ΠΊΡƒ благодаря Π²ΠΊΠ»Π°Π΄Ρƒ ΠΈΡ‚Π°Π»ΡŒΡΠ½ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π”ΠΆΠ΅Ρ€ΠΎΠ»Π°ΠΌΠΎ ΠšΠ°Ρ€Π΄Π°Π½ΠΎ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ привСсти ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ уравнСния. Π”ΠΎ сих ΠΏΠΎΡ€ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа.

ПозднСС, Π² XVIII Π²Π΅ΠΊΠ΅, ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ ΠšΠ°Ρ€Π» Π€Ρ€ΠΈΠ΄Ρ€ΠΈΡ… Гаусс Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠΈΠ» полоТСния ΠšΠ°Ρ€Π΄Π°Π½ΠΎ, Π² Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π² Ρ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π°Ρ‚ ΠΎ комплСксных числах Π½Π° плоскости ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌ самым Π·Π°Π»ΠΎΠΆΠΈΠ² соврСмСнныС основы Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°.

ΠšΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ основныС характСристики комплСксных чисСл?
  • Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ комплСксных чисСл, ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ упорядочСнная ΠΏΠ°Ρ€Π°, Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.
  • Π’Π΅ΡΡŒ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Ρ… чисСл называСтся i ΠΈ эквивалСнтСн 1 Π² Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… числах. Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΈΠ· Ρ€Π°Π²Π΅Π½ -1.
  • Π”Π²Π° комплСксных числа ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹.
  • Π‘ΡƒΠΊΠ²Π° C прСдставляСт собой Π½Π°Π±ΠΎΡ€ всСх комплСксных чисСл. Π‘ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ пространство.
  • Π’ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, комплСксныС числа Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ СстСствСнного порядка.
  • Π‘ΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ чисто ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ числа, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π½Π° 0; ΠΈΡ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²Π°: 0 + bi = bi.

Каково Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл?

Π₯отя ΠΈΡ… повсСднСвноС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ прямолинСйно, ΠΊΠ°ΠΊ Ρƒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, ΠΈΡ… мнимая ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ комплСксныС числа Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… областях Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ ΠΈ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ . Π’Π°ΠΊ обстоит Π΄Π΅Π»ΠΎ с ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ элСктромагнитных ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ состоят ΠΈΠ· элСктричСских ΠΈ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈ для ΠΈΡ… описания Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *