Корни комплексные: Корни комплексных чисел » Аналитическая геометрия f(x)dx.Ru

Многочлен пятой степени действительно имеет пять корней; три реальных и два сложный.

Дифференциальные уравнения — Комплексные корни

Онлайн-заметки Пола
Дом / Дифференциальные уравнения / DE второго порядка / Комплексные корни

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы наверное на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-3: Комплексные корни

В этом разделе мы рассмотрим решения дифференциального уравнения

\[ay» + by’ + cy = 0\] 9{\ влево ( {\ lambda — \ mu \, i} \ right) \, \, t}} \]

Итак, эти две функции «достаточно хороши» (опять эти слова… в конце концов мы вернемся к их определению), чтобы сформировать общее решение. Однако у нас есть проблема. Поскольку мы начали с действительных чисел в нашем дифференциальном уравнении, мы хотели бы, чтобы наше решение включало только действительные числа. Два приведенных выше решения являются сложными, и поэтому мы хотели бы получить пару решений («достаточно хороших», конечно…), которые являются реальными. 9{\ lambda \, t}} \ left ( {\ cos \ left ( {\ mu t} \ right) — i \ sin \ left ( {\ mu \, t} \ right)} \ right) \ end {align *}\]

Это не устраняет сложный характер решений, но приводит два решения в форму, в которой мы можем исключить сложные части.

Напомним из раздела основ, что если два решения «достаточно хороши», то любое решение можно записать как комбинацию этих двух решений. Другими словами,

\[y\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right)\] 9{\ lambda \, t}} \ sin \ left ( {\ mu \, t} \ right) \]

На первый взгляд это не решает проблему, так как решение все еще сложное. Однако, узнав, что две константы \(c_{1}\) и \(c_{2}\) могут быть комплексными числами, мы можем прийти к реальному решению, разделив это на \(2i\). Это эквивалентно взятию

\[{c_1} = \frac{1}{{2i}}\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{and}}\hspace{0,25 дюйма}{c_2} = — \frac{1}{{2i}} \] 9{\ lambda t}} \ sin \ left ( {\ mu \, t} \ right) \]

Давайте теперь рассмотрим пару примеров.

Пример 1. Решите следующую IVP. \[y» — 4y’ + 9y = 0\hspace{0. 2} — 4р + 9{2t}}\sin\left( {\sqrt 5 t}\right)\]

Теперь вы заметите, что мы не различали это сразу, как в предыдущем разделе. Причина этого проста. Хотя дифференциация не очень сложна, она может стать немного запутанной. Итак, сначала взглянув на начальные условия, из первого видно, что если бы мы просто применили его, то получили бы следующее.

\[0 = у\влево( 0 \вправо) = {c_1}\] 9{2t}}\cos\left( {\sqrt 5 t} \right)\end{align*}\]

Производная гораздо лучше, чем если бы мы сделали исходное решение. Теперь примените второе начальное условие к полученной производной.

\[ — 8 = y’\left( 0 \right) = \sqrt 5 {c_2}\hspace{0,25in} \Rightarrow \hspace{0,25in}{c_2} = — \frac{8}{{\sqrt 5 }}\]

Фактическое решение тогда.

\[y\left( t \right) = — \frac{8}{{\sqrt 5}}{{\bf{e}}^{2t}}\sin \left({\sqrt 5 t} \right )\] 9{4t}}\cos\left( t \right)\end{align*}\]

Обратите внимание, что на этот раз нам понадобится производная с самого начала, так как ни один из терминов не будет выпадать. Применение начальных условий дает следующую систему.

\[\begin{align*} — 4 & = y\left( 0 \right) = {c_1}\\ — 1 & = y’\left( 0 \right) = 4{c_1} + {c_2}\end {выровнять*}\]

Решение этой системы дает \({c_1} = — 4\) и \({c_2} = 15\). Фактическое решение IVP тогда. 9{ — 3 \ влево ( {т — \ пи } \ вправо)}} \ грех \ влево ( {\ гидроразрыва {т} {2}} \ вправо) \ конец {выравнивание *} \]

Давайте сделаем последний пример, прежде чем перейти к следующей теме.

Пример 4. Решите следующую IVP. \[y» + 16y = 0\hspace{0,25in}y\left({\frac{\pi}}{2}} \right) = — 10\hspace{0,25in}y’\left({\frac {\pi} {2}} \справа) = 3\]

Показать решение

Характеристическое уравнение для этого дифференциального уравнения и его корни. 92}\) и записывайте время до тех пор, пока не закончатся члены дифференциального уравнения.