Разработка урока математики на тему: «Бином Ньютона»
РАЗРАБОТКА УРОКА УРОКА АЛГЕБРЫ
в 10 классе
по теме
«Бином Ньютона»
Учителя математики
2019
Тема: Бином Ньютона
Цель урока:
Введение понятия степень двучлена, формулы Бином Ньютона. Вычисление биномиальных коэффициентов. Представление степени двучлена в виде многочлена по формуле Бином Ньютона.
Развитие логического мышления, мыслительных операций, таких как синтез и анализ, обобщение и сравнение.
Создание условий для формирования информационной культуры учащихся.
Оборудование: интерактивная доска, проектор, презентация
Ход урока
1. Мотивационный момент.
Сообщение темы, целей урока, практической значимости рассматриваемой темы.
2. Проверка домашнего задания
Перестановки
1) Сколько трехсловных предложений можно составить из трех слов: сегодня, дождь, идет?
Р3 = 3! = 6
2) Сколькими способами 6 человек могут сесть на 6 стульев? Р6 = 6! = 720
Размещение
1) В чемпионате участвуют 12 команд. Сколькими различными способами могут быть распределены 3 различные медали? 1320
Сочетания
В группе 30 человек. Надо выбрать троих для работы на компьютере. Сколькими способами можно это сделать? 4060
Сколькими способами можно составить команду из 4 человек для соревнований по бегу, если имеются 7 бегунов? С47 = 35
3. Актуализация опорных знаний и постановка проблемы.
Вопросы к учащимся:
прочитайте выражения: (х +2у)2, (а- b)3, (c — d)2
(квадрат суммы двух выражений х и 2у; куб разности двух выражений а и b; квадрат разности двух выражений с и d.
)
Что общего в заданных выражениях?
(каждый случай является какой либо степенью многочлена из двух выражений или степенью двучлена.)
Представьте каждую степень двучлена в виде многочлена. Какими формулами воспользуетесь?
Формулами квадрата суммы и разности, куба суммы
(х +2у)2 = х2 +4ху + 4у2
(а — 2)3 = а3 — 3а2 2 +3а 22 — 23= а3 — 6а2+12а -8.
4. Введение нового материала.
Открываем тетради и записываем новую тему «Бином Ньютона».
Бином Ньютона — это отношение, позволяющая представить выражение (a + b)n (n ∈ Z+) в виде многочлена.
С помощью следующей таблицы можно определить значения биномиальных коэффициентов для любой степени. Строится он следующим образом — любое число образуется суммой рядом стоящих чисел над ним. Именно потому эта таблица имеет название треугольник Паскаля.
Слева указана степень n, справа значения соответствующих биномиальных коэффициентов.
Столько раз эти слагаемые встретились при приведении подобных слагаемых в многочлене. Количество этих слагаемых есть не что иное, как число сочетаний С , где n — степень двучлена, m — степень второго выражения.
Степень одного из множителей в одночленах с3а или са3 равна 1, количество таких слагаемых, по определению сочетания, равно С = = =4, что подтверждается вашими вычислениями.
Проверим нашу гипотезу на слагаемом 6с2а2 : С = = =6, что также верно.
Заметим, что первое и последнее слагаемое стоит с коэффициентом 1, так как степень одного из выражений в этом одночлене равна 0, а по свойствам сочетаний С = С = 1.
Объединим ваши замечания в следующие правила:
Каждый одночлен является произведением первого и второго выражения в различных степенях и некоторого числа;
Степени всех одночленов раны степени двучлена в условии;
Степень первого выражения одночлена в разложении убывает, начиная со степени двучлена и заканчивая нулевой;
Степень второго выражения одночлена в разложении возрастает, начиная с нулевой и заканчивая степенью двучлена.
Коэффициенты при слагаемых многочлена равны числу сочетаний С , где n — степень двучлена , m — переменная величина, пробегающая значения от 0 до n и соответствующая степени второго выражения.
А теперь запишем формулу бинома Ньютона — формулу представления степени двучлена в многочлен.
Определение:
Д
ля каждого натурального числа n и произвольных чисел a и b имеет место равенство
Равенство называется формулой бинома Ньютона, числа С — биномиальными коэффициентами.
Запишем пример, используя бином Ньютона:
(х -2)5 = С х5 + С х4(-2)1 + С х3 (-2)2 + С х2 (-2)3 +С х1 (-2)4 +С (-2)5=
Посчитаем биномиальные коэффициенты, используя определение и свойства числа сочетаний:
С = С =1; С = С = =5; С = С = = =10.)
=х5 -5 х4 2+ 10х3 22 — 10х2 23 +5х 24-25= х5 -10х4 + 40х3 — 80х2 +80х -32.
Как видите, мы достигли того же результата, но гораздо быстрее.
И можем добавить ещё одно правило
Что ещё, связанное с коэффициентами вы заметили?
Крайние коэффициенты равны 1, и все коэффициенты симметричны, относительно середины.
Добавим ещё одно правило, связанное со знаками между одночленами, в формуле бином Ньютона задана сумма, у нас же появились минусы.
Степень разности будет представлена в виде многочлена, знаки в котором чередуются, начиная со знака +, так как нечётная степень отрицательного выражения будет отрицательной, чётная степень всегда положительна.
Вы видите, насколько рационализируется работа по возведению двучлена в степень, если использовать бином Ньютона. Но на самом деле нашу работу можно ещё упростить. Достаточно долго вы вычисляли биномиальные коэффициенты, а коэффициенты — это сочетания. Посмотрите внимательно, все ли свойства сочетаний, которые были ранее введены, мы использовали?
4.
Практическая работа.
1). Составьте формулы бинома Ньютона, используя первую, вторую и третью строки.
Для n=1 а+b = a+b — получается вполне естественное тождество.
Для n=2 (а + b)2 = a2 + 2ab+b2;
Для n=3 (а + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;
Какой вывод вы сможете сделать?
Известные формулы квадрата и куба суммы или разности двух выражений являются частным случаем формулы бином Ньютона для n =2;3.
5. Обучающая самостоятельная работа с последующей проверкой
1. Представьте степень двучлена в виде многочлена, используя бином Ньютона
а) (х+у)6
б) (1- 2а)4
Решение:
1а) (х+у)6= х6 +6х5у +15х4 у2 +20х3у3 +15х2у4 +6ху5 +у6.
1б) (1- 2а)4 = 1 * 14 (2а)0 – 4* 13 2а + 6*12 (2а)2 — 4 * 11 * (2а)3 + 1 * 10(2а)4 == 1 — 8а + 24а2 — 32а3 + 16а4.
6. Подведение итогов самостоятельной работы.
7. Подведение итогов урока. Можно ещё раз повторить выводы
8. Домашнее задание:
Выучить формулу бином Ньютона.
Представить в виде многочлена: (х — 1)7 (2х — 3)4
Учитель: Послушайте рассказ и сделайте вывод о полезности комбинаторики: «Однажды Шерлок Холмс и доктор Ватсон отправились в путешествие на воздушном шаре.
Вдруг шар понесло ветром, затем он стал терять высоту. Увидев неподалеку человека, путешественники решили поинтересоваться, куда их занесло.
— Господин, скажите, пожалуйста, хотя бы приблизительно, где мы находимся? — спросил Холмс.
— Почему же приблизительно? Я могу сказать вам совершенно точно. Вы находитесь в корзине воздушного шара.
В этот момент порывом ветра шар унесло снова ввысь.
— Вот черт! Угораздило же попасть именно на математика, — пробормотал Холмс.
— Я, как всегда, восхищен вами, Холмс. Но как вы узнали, что этот человек — математик? — удивился Ватсон.
— Это элементарно, его ответ настолько же точен, насколько и бесполезен.
Как найти квадрат бинома
••• Sladic/iStock/GettyImages
Обновлено 1 декабря 2020 г.
Автор Lisa Maloney
Вы когда-нибудь слышали, как ваш учитель или однокурсники говорили о методе FOIL? Они, вероятно, не говорят о типе фольги, которую вы используете для ограждения или на кухне. Вместо этого метод FOIL расшифровывается как «первый, внешний, внутренний, последний», мнемоника или устройство запоминания, которое помогает вам вспомнить, как умножать два двучлена вместе, что вы и делаете, когда возводите двучлен в квадрат.
TL;DR (слишком длинный; не читал)
Чтобы возвести в квадрат двучлен, запишите произведение и используйте метод FOIL, чтобы сложить суммы первого, внешнего, внутреннего и последнего членов. Результатом является квадрат бинома.
Прежде чем двигаться дальше, найдите секунду, чтобы освежить в памяти, что значит возводить число в квадрат, независимо от того, является ли оно переменной, константой, полиномом (включая биномы) или чем-то еще.
Когда вы возводите число в квадрат, вы умножаете его само на себя. Итак, если вы возведете в квадрат x , у вас есть x × x, , что также может быть записано как x 2 . Если вы возведете в квадрат бином, например x + 4, у вас будет ( x + 4) 2 или после того, как вы запишете умножение, ( x + 4) × ( х + 4). Имея это в виду, вы готовы применить метод FOIL к возведению в квадрат биномов.
FOIL — это быстрый и простой способ запомнить, как умножать двучлены. Но для биномов работает только . Если вы имеете дело с полиномами, имеющими более двух членов, вам придется применить свойство дистрибутивности.
Запишите умножение, полученное при возведении в квадрат. Итак, если ваша первоначальная проблема заключается в оценке (92
Затем умножьте «O» или внешние члены каждого двучлена вместе. Это y из первого двучлена и 8 из второго двучлена, поскольку они находятся на внешних краях записанного вами умножения. У вас остается:
8y
Следующая буква в FOIL — «I», так что вы будете перемножать внутренние члены многочленов вместе. Это 8 из первого бинома и y из второго бинома, что дает вам:
8y
(Обратите внимание, что если вы возводите полином в квадрат, члены «O» и «I» в FOIL всегда будут одинаковыми.
)
Последняя буква в FOIL — «L», что означает умножение последних членов биномов вместе. Это 8 из первого бинома и 8 из второго бинома, что дает вам:
8 × 8 = 64
Сложите члены ФОЛЬГИ, которые вы только что вычислили вместе; результатом будет квадрат бинома. В этом случае термины были y 92 + 16y + 64
Предупреждения
Статьи по теме
Ссылки
- Забавная математика: умножение многочленов
- Фиолетовая математика: особый (и вводящий в заблуждение) случай
Ресурсы
- YouTube: Умножение полиномов на распределительное свойство
Об авторе
Лиза изучала математику в Университете Аляски в Анкоридже и провела несколько лет, обучая старшеклассников и студентов университетов через страшное, но веселое занятие! — математические предметы, такие как алгебра и исчисление.
Математический обзор возведения в квадрат биномов
Математический обзор возведения в квадрат биномов https://schooltutoring.com/help/wp-content/themes/movedo/images/empty/thumbnail.jpg 150 150 Дебора Дебора https://secure.gravatar.com/avatar/63fb4ad5c163b8f83de2f54371b9e040?s=96&d=mm&r=g
Обзор
При возведении в квадрат двучленов получается трехчлен по образцу. Шаблон может быть получен из общего процесса умножения двучлена на другой двучлен, за исключением того, что все члены одинаковы. Как и в общем процессе, используется Распределяющее свойство, затем объединяются подобные термины.
Что такое квадратный бином?
Квадратный бином — это многочлен, два члена которого умножаются сами на себя.
Расширение выражения и объединение одинаковых членов
Выражение (2x + 5)(2x + 5) можно расширить с помощью Распределительного свойства, так что его решение приведет к выражению 2x(2x + 5) + 5( 2x + 5) или 4x 2 + 10x + 10x + 25. Объединение одинаковых членов приводит к выражению 4x 2 + 20x + 25. 2) или y 2 -2y – 2y + 4. (Умножение -2 на -2 дает 4.) Объединение одинаковых членов приводит к выражению y 2 – 4y + 4.
Что такое шаблон для Квадрат биномиальной суммы?
Биномиальная сумма представлена в виде a + b, поэтому квадрат имеет форму (a + b)(a + b) алгебраически. Общий образец возведения суммы в квадрат можно найти, умножая члены, а затем комбинируя одинаковые члены.
Какова схема возведения в квадрат биномиальной разности?
Биномиальная разность находится в образце a – b, поэтому квадрат имеет форму (a-b)(a-b). Общая схема очень похожа на схему возведения в квадрат биномиальной суммы, за исключением того, что важно следить за знаками. Выражение a(a – b) – b(a – b) приводит к разложению a 