Log корень 3 6 log корень 3: (log 3 по основанию квадратный корень из 6)*(log 36 по основанию 3)

Аргумент и основание логарифма

Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:

Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание — подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».

Как вычислить логарифм?

Чтобы вычислить логарифм — нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?

Например, вычислите логарифм:  а) \(\log_{4}{16}\)     б) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)     в) \(\log_{\sqrt{5}}{1}\)     г) \(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\)      д) \(\log_{3}{\sqrt{3}}\)

а) В какую степень надо возвести \(4\), чтобы получить \(16\)? Очевидно во вторую. Поэтому: 

\(\log_{4}{16}=2\)

б) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\frac{1}{3}\)? В минус первую, так как именно отрицательная степень «переворачивает дробь» (здесь и далее пользуемся свойствами степени).

\(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)\(=-1\)

в) В какую степень надо возвести \(\sqrt{5}\), чтобы получить \(1\)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!

\(\log_{\sqrt{5}}{1}=0\)

г) В какую степень надо возвести \(\sqrt{7}\), чтобы получить \(\sqrt{7}\)? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.

\(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=1\)

д) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\sqrt{3}\)? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень — это степень \(\frac{1}{2}\).

\(\log_{3}{\sqrt{3}}=\)\(\frac{1}{2}\)

Пример: Вычислить логарифм \(\log_{4\sqrt{2}}{8}\)

Решение:

Ответ: \(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)

Десятичный и натуральный логарифмы

Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы \((a>0, a\neq1)\). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:

Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание — число Эйлера \(e\) (равное примерно \(2,7182818…\)), и записывается такой логарифм как \(\ln{a}\).

То есть, \(\ln{a}\) это то же самое, что и \(\log_{e}{a}\), где \(a\) — некоторое число.

Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается \(\lg{a}\).

То есть, \(\lg{a}\) это то же самое, что и \(\log_{10}{a}\), где \(a\) — некоторое число. {2}=25\)

Ответ готов.

Ответ: \(25\)

Как число записать в виде логарифма?

Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что \(\log_{2}{4}\) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать \(\log_{2}{4}\). 

Но \(\log_{3}{9}\) тоже равен \(2\), значит, также можно записать \(2=\log_{3}{9}\)  . Аналогично и с \(\log_{5}{25}\), и с \(\log_{9}{81}\), и т.д. То есть, получается  

\(2=\log_{2}{4}=\log_{3}{9}=\log_{4}{16}=\log_{5}{25}=\log_{6}{36}=\log_{7}{49}…\)

Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.

Точно также и с тройкой – ее можно записать как \(\log_{2}{8}\), или как \(\log_{3}{27}\), или как \(\log_{4}{64}\)… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:

\(3=\log_{2}{8}=\log_{3}{27}=\log_{4}{64}=\log_{5}{125}=\log_{6}{216}=\log_{7}{343}…\)

И с четверкой:

\(4=\log_{2}{16}=\log_{3}{81}=\log_{4}{256}=\log_{5}{625}=\log_{6}{1296}=\log_{7}{2401}…\)

И с минус единицей:

\(-1=\) \(\log_{2}\)\(\frac{1}{2}\)\(=\) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)\(=\) \(\log_{4}\)\(\frac{1}{4}\)\(=\) \(\log_{5}\)\(\frac{1}{5}\)\(=\) \(\log_{6}\)\(\frac{1}{6}\)\(=\) \(\log_{7}\)\(\frac{1}{7}\)\(…\)

И с одной третьей:

\(\frac{1}{3}\)\(=\log_{2}{\sqrt[3]{2}}=\log_{3}{\sqrt[3]{3}}=\log_{4}{\sqrt[3]{4}}=\log_{5}{\sqrt[3]{5}}=\log_{6}{\sqrt[3]{6}}=\log_{7}{\sqrt[3]{7}}…\)

И так далее.

Любое число \(a\) может быть представлено как логарифм с основанием \(b\):       \(a=\log_{b}{b^{a}}\)

Пример: Найдите значение выражения \(\frac{\log_{2}{14}}{1+\log_{2}{7}}\)

Решение:

Ответ: \(1\)

Смотрите также:
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства

Свойства логарифмов и примеры их решений (ЕГЭ — 2021)

То есть и аргумент, и основание должны быть больше нуля, а основание еще и не может равняться \( 1\).

Почему так?

Начнем с простого: допустим, что \( a=1\). Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили \( 1\), всегда получается \( 1\).

Более того, \( \displaystyle {{\log }_{1}}b\) не существует ни для какого \( \displaystyle b\ne 1\).

Но при этом \( \displaystyle {{\log }_{1}}1\) может равняться чему угодно (по той же причине – \( 1\) в любой степени равно \( 1\)). {\frac{1}{2}}}=\sqrt{4}=2\)), а вот \( \displaystyle {{\log }_{-4}}2\) не существует.

Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.

Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное.

Значит, аргумент должен быть положительным.

Например, \( \displaystyle {{\log }_{2}}\left( -4 \right)\) не существует, так как \( 2\) ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому \( \displaystyle {{\log }_{2}}0\) тоже не существует).

В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. 

Приведу пример:

Решим уравнение \( \displaystyle {{\log }_{x}}\left( x+2 \right)=2\).

Вспомним определение: логарифм \( \displaystyle {{\log }_{x}}\left( x+2 \right)\) – это степень, в которую надо возвести основание \( x\), чтобы получить аргумент \( \displaystyle \left( x+2 \right)\).

И по условию, эта степень равна \( 2\): \( \displaystyle {{x}^{2}}=x+2\). {2}}-x-2=0\).

Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна \( 1\), а произведение \( -2\). Легко подобрать, это числа \( 2\) и \( -1\).

Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу на ЕГЭ.

Почему?

Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?

\( \displaystyle x=2\text{: }{{\log }_{2}}\left( 2+2 \right)={{\log }_{2}}4=2\) – верно.

\( \displaystyle x=-1\text{: }{{\log }_{-1}}\left( -1+2 \right)=2\) – это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень \( x=-1\) – «сторонний».

Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x>0\\x\ne 1\\x+2>0\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}x>0\\x\ne 1.\end{array} \right.\)

Тогда, получив корни \( x=2\) и \( x=-1\), сразу отбросим корень \( -1\), и напишем правильный ответ.

Пример 1 (попробуй решить самостоятельно)

Найдите корень уравнения \( \displaystyle {{\log }_{x+1}}\left( 2x+5 \right)=2\). Если корней несколько, в ответе укажите меньший из них.

Решение:

\( \displaystyle {{\log }_{x+1}}\left( 2x+5 \right)=2\).

В первую очередь напишем ОДЗ:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+1>0\\x+1\ne 1\\2x+5>0\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}x>-1\\x\ne 0\\x>-\frac{5}{2}\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}x>-1\\x\ne 0.\end{array} \right.\)

Теперь вспоминаем, что такое логарифм: в какую степень нужно возвести основание \( \displaystyle x+1\), чтобы получить аргумент \( \displaystyle 2x+5\)?

Хотите читать учебник без ограничений? Зарегистрируйтесь:

Во вторую. То есть:

\( \displaystyle {{\left( x+1 \right)}^{2}}=2x+5\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{2}}+2x+1=2x+5\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{2}}-4=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=-2. \end{array} \right.\)

Казалось бы, меньший корень равен \( \displaystyle -2\). Но это не так: согласно ОДЗ корень \( \displaystyle x=-2\) – сторонний, то есть это вообще не корень данного уравнения. Таким образом, уравнение имеет только один корень: \( \displaystyle x=2\).

Ответ: \( \displaystyle x=2\).

Рабочая тетрадь по математике. Логарифмы. Свойства логарифмов.

государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Саратовской области «Саратовский колледж кулинарного искусства» О.В. Улитина преподаватель математики ГАПОУ СО СККИ РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО МАТЕМАТИКЕ Логарифмы. Свойства логарифмов. Учебное пособие для студентов ОУ СПО  по учебной дисциплине «Математика» Математика 2017 г АННОТАЦИЯ В данном пособии представлен раздел математики 1 курса   «Логарифмы. Свойства   логарифмов»   в   учреждениях   среднего   профессионального образования. При изучении данного раздела студентами появляется множество проблем, которые связаны не только со слабой базовой подготовкой студентов по основным темам школьного курса, но и с недостаточностью   упражнений, предлагаемых учебниками. Необходимо   увеличить   количество   упражнений,   тестов   решаемых студентами   на   уроках   для   лучшего   понимания   раздела.   В   данном   учебном пособии представлены упражнения, разработанные по принципу «от простого к сложному», позволяющие решить проблемы количества упражнений и качества знаний по данному разделу.  Решение задач  является одним из видов учебной работы обучающихся. Поэтому основные цели создания данного пособия:   самостоятельности, ­   систематизация   и   закрепление   теоретических   знаний   и   практических умений обучающихся; ­ углубление и расширение теоретических знаний, формирование умений использовать справочную документацию и дополнительную литературу; ­   развитие   познавательных   способностей   и   активности   обучающихся, творческой   инициативы,   ответственности   и организованности; ­ формирование самостоятельного мышления. Содержание учебного пособия соответствует образовательным стандартам профессионального   образования   и   может   быть   использовано   для   различных специальностей   и   профессий.   В   данном   пособии   представлены   упражнения, тесты,   задания,   которые   автор   в   течение   многих   лет   использовала   на   своих уроках   и   полученные   результаты   позволяют   сделать   следующий   вывод: используемые упражнения помогают студентам восстановить пробелы в знаниях по   темам   «Степени»,   «Корни»   и   понять   темы   «Логарифмы»,   «Свойства логарифмов». Пособие содержит как небольшой теоретический материал для изучения тем раздела, так и решенные примеры в качества образца. . 2 Математика ЛОГАРИФМ Операцию   нахождения   логарифма   числа   называют   логарифмированием.   Эта операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием. Определение логарифма  Логарифмом числа  b  по основанию  a, где  a  > 0,  a  ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b: log a b  b a x x  при a > 0, a ≠ 1, b > 0. Например:  2 2 5 3 log  25  9 16 log log 3  2 4 2  25  2  2 16 5 9 4 Задание1: Запишите с помощью логарифма 1 2 1)3 3 3 5 7)32  8)3 2)2 3)4 1 8 16     2;  9;  3  2 1 2 1 5 ; 2 1 ; 5)9  3; 0 6)7  1 4)5  1 25 ; 3 10)81 4  27; 11)32  8; 2 3  9 9)27 12)125 2 3  25 Задание 1 3 Математика Задание 2:  Запишите в виде степенного выражения 1) log 1 81 4)log 16 3 1 2   4;   4; 2) log 256 4;  4 5) log 729 3;  9 3) log 343 3;  7 6) log 1 0;  14 7) log 9 16 3 4  2; 8) log 7 4 7  1 4 ; 9) log 13 3 2 13  2 3 ; 10) log 32 5  2 Определение   логарифма   можно   записать   на   математическом   языке следующим образом:  , где  a  ,0 a  ,1 b  0 .   , где  к a  ,0 a  ,1 b  0 к log a  b a b Задание 2 , к0  a log ba  b Полученное равенство называется основным логарифмическим тождеством. Если основное логарифмическое тождество усложнить, то получим формулу: 4 Математика log 5 12 Задание 3: Найдите значение выражения 1)12 6)9 3) 2 8)7 ;  2log 11 2)4 7)11 log 6 ; 3log 6 11 4)8 2log 4 log 7 2 7 ; ; ; ; 4 9 log 13 8 9)6 ;  4log 3 6 5)5 ; 5 log 11 ; 10)3 5log 2 . 3 Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается   , blg   называется натуральным логарифмом и обозначается логарифм по основанию   ( ee …)7,2 . bln Задание 3 5 Математика При вычислении логарифмов используется таблица степеней: 10 1024 59049 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 9 16 25 36 49 64 81 10 0 6 64 729 4096 15625 46656 117649 7 128 2187 16 384 78125 279936 823543 3 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 8 256 6561 65 536 390625 1679616 5764801 9 512 19683 262 144 1953125 1007696 4035360 7 5 4 32 16 243 81 1024 256 3125 625 1296 7776 2401 16807 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 Степень (результат логарифмирования) Таблица квадратов А 11 26 13 А2 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 441 484 529 576 625 676 10 48576 9765625 60466176 282475249 1000 000 100 000 10 000 12 21 22 14 23 24 25 18 19 20 15 16 17 Примеры с решениями 1.  Вычислите  . log 2 1 125,0 Решение.  log 2 1 125,0  log )5,0( 2  3  log 2 3     1 2    log 2 3 2  log3 2 2  .3 Ответ:  . log 2 1 125,0  3 2. Вычислите  Решение.  3 1,0lg 100 . 1,0lg 3 100  lg( 10 3. Вычислите   13 log13 04,0 . 2 3  1  10 )  lg 10  1 3  lg 10  1 3   1 3 . Решение.   log 13 04,0  13 4. Вычислите   2 1 log 4 10 10 Решение. Т. к. выражение  1 2 log 13 04,0  13 log 13 04,0 1 2 1 2  04,0  04,0  .2,0 13  . 1 log 4 10  log log 4 4 10 4 , то решение принимает вид:  4lg 6 Математика  2 1 log 4 10 10  100 4lg 10  100 4  .25 Задание 4:  Вычислите, используя таблицу степеней 1)log 1024; 2 2)log 3 1 243 ; 3)log 1 5 5)log 4 1 256 ; 9)log 4 5 13)log 2 4; 1 2 3 ; 4 Задание 4 1 625 1 512 ; ; 4)log 512; 2 8)log 216; 6 6 7 ; 12)log 6 3 2 6 ; 6)log 729; 1 3 10)log 3 4 5 3 ; 7)log 1 8 11)log 7 14) log 11 1 11 ; 15) log 15 5 1 11 ; 16)log 7 1 7 3 . 7 Математика   3 1) log Задание 5:  Выберите номер правильного ответа 81 7)3  ) log 3 81; a  b ) log 81 4;  )log 4 3 c 3 4)8 )log 8 512; a b )log 512 3; )log c   8 3 512     3 4 4 4 3 8 512 3 81 4 1 64  64;  64;   3 4 )4 a  b )3 )64 c  243  5 2)3 )log 3 243; a b )log 243 5; ) log 243 3 c   5 3 5 3)log 216 3 6 )3 a 3 )6 b  216; 216; 6   5  10)2 )log 2 32; a b )log 32 5; ) log 32 2 c 32    5 2 5 21    5) log 441 2 2 441; )21 a 21 441; )2 b  c ) 441 21 1 49  49;  49; 1 49 )2 a  2 )7 b 6)log )7  c  7 ;  2 7   2  729; 729;  9 8) log 729 3 9  9 )3 a  3 )9 b 3 )729 c  9) log 144 2 12  144; )12 a  12 144; b )2  ) 144 12 c 2  20 11) log 400 2 20  400; )2 a  400; b )20  ) 400 20 c 2 Задание 5 8 Математика 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 5 1 3 1 5 1 9 1 8 1 2 3 4 Задание6: Выпишите номера примеров, решенных неверно  1)log 27 3  2 2)log 16  0, 4 2 3) log  4)log 125 3  2 5) log 9  4  0,09 2 1 625  2 11) log 36 7)log 729 8)log 16 9) log 10) log  0,2  4 9 2 3 0,3 5 1 6 12) log 0,5  0,125 3  0, 25 2 0,5 6) log Задание 6 Задание 7. Найдите логарифмы данных чисел по основанию α: 1)25, , 5 а  5 2)64, , 2 а  8 3)16, 1 4 , 2 а  2 4)27, , 3 а  3 5)2, ,1,0 а  4 Задание 7 Задание 8. Заполни таблицу, используя определение логарифма: a x  N log xNa  log10 1000  3 9 Найти х по заданным условиям Неизвестное Условие х log 3 1 Математика log 7 х 2 х log11 2 2  36,0 log log х 5 2 1 х 4 625 log log 2 х х  4 2 log 6  36 log 8  01 log 3 1 81  4 log 3 х 1 343 х125 log 2,0 log 2 log10 х16 х01,0 7 3  4 3  343 1 64 10 2  01,0 1 32 5  2 2  125 3 25 2,0 3  008,0  1 3   3  27    Задание 9. Используя определение логарифма выберите номер правильного ответа: ВАРИАНТ 1                                                                                        ВАРИАНТ 2 10 Математика 4 ; x   1)log ) b x ) a x 1 64  3; 1 3  ) c x 3  5 2)3 243  ) log 3 243; a  ) log 243 5; b  ) log 243 3 c  3)log 25 2 ) a x ) b x 3 5 5 ;  ) c x x  5;  5; 1 5  5 ) d x  4)log x 3 6  ) a x 18;  ) b x 2;  ) c x 216;  9 ) d x  5)log x 7  14; ) a x  ) 49; b x 1 49 ) c x  ; 2 2  2 6)log 144 12  )12 144; a  12 144; )2 b  c ) 144 12 1 225  x 7) log ) a x ) b x 15  ;  2; 1 2  2  512  3 ) c x 3 8)8 ) log 8 512; a ) log 512 3; b )log c 9)log 64 ) a x ) b x   8 3  512 2 8  6 ;  ) c x x  8;  8; 1 8  8 ) d x 10) log x 2  12; ) a x  ) 3; b x  64; ) c x  ) 8 d x 11) log x 13  26; ) a x  ) 169; b x 1 169 ) c x  ;  2  12) log 441 2 21  2 441; )2 a 1  21 441; )2 b  ) 441 21 c x 2 1) log 3 4 4 ; 81    ) b x ) a x 1 256 4; 1 4  ) c x 4  4 2)3 81  )log 3 81; a  )log 81 4; b  ) log 4 3 c  3) log 36 x  ) 6; a x  ) 6; b x 1 6  6 ) d x  x 3 4)log 7  21; ) a x  10; ) b x  343; ) c x  5) log x 11  22; ) a x  121; ) b x 1 121 ) c x ) c x   ; ; 2  6)log 243 3 9  9 243; a )3  3 2 b 43; )9  3 )243 c 9 x ;   ) b x ) a x 7) log 1 5 125  3; 1 3  ) c x 3  5 8)2 32  )log 2 32; a  )log 32 5; b  )log 32 2 c  9) log 484 ) a x ) b x x  22;  22; 1 22  ) c x ; 5 2 5 2  2   22 ) d x 10)log x 25  ) a x 27;  ) b x 50;  ) c x 625;  23 ) d x 11)log x 17  ) a x 34;  ) 289; b x 1 289 ) c x  ; 20 12)log 400 20  400; )2 a  )20 400; b  ) 400 c 20 2 2  2 Ответы запишите в таблицу: 1­ 5­ 3­ 4­ 2­ 6­ 7­ 8­ 9­ 10­ 11­ 12­ 11 Математика Для всех свойств логарифмов выполняются соответствующие условия: СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ 1.   2.  3.  4.  5.  6.  7.  8.  9.  log aa 1 log a 01  при   при  a  a  ; a ,0  1 ; a ,0  1  при  c a  при  log a bc ( )  log b a  log a  ,0 a  ,1 b  ,0 c log a b c  log a b  log a c b a  при  log a p b  p log log  b a log log c c b a a  ,0 a  ,1 b  ,0 c   при  a  ,0 a  ,1 b  0 ; a  ,0 a  ,1 b  ,0 c  ,0 ñ  0 ;  0 ; 0 . Полезно также знать и другие свойства логарифмов: log  b a  при  a  ,0 a  ,1 b  ,0 b  1 ; 1 log b a log an m b  m n log a b  при  log an b  log a b 1 n  при  a  ,0 a  ,1 b  0 ; a  ,0 a  ,1 b  0 . Полезно также знать и «хитрости» свойств логарифмов: log a b 2  log2 b a  при  a  ,0 a ;  0 log a bc ( )  log a    b  log a   a  ,0 a  ,1 b  ,0 c log a b c  log a a c log  b c log b a  b   при   log a   c a  ,0 a  ,1 b  ,0 c  a  ,0 b  ,0 b  ,0 c  0 . ;  0 . 0  b ,1  при  c  при  Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом: log10  a lg a Десятичным логарифмом называется  логарифм по основанию 10.  Он обозначается  lg ,  т.е. log 10 N = lg N . Логарифмы чисел 10, 100, 1000, … pавны соответственно 1,  2,  3, …,  т.е.  имеют столько положительных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы. Логарифмы чисел 0.1, 0.01, 0.001, … pавны соответственно –1,  –2,  –3, …, т.е. имеют столько отрицательных единиц,  сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей ( считая и нуль целых ).  Логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, называемую мантиссой. Целая часть  логарифма называется характеристикой. Для практического применения десятичные  логарифмы наиболее удобны.   12 Математика Натуральным логарифмом называется  логарифм по основанию  е. Он обозначается  ln ,  т.е. log e N = ln N. Число е является иррациональным, его приближённое значение  2.718281828. Оно является пределом, к которому стремится число ( 1 + 1 / n ) n  при  неограниченном возрастании  n Логарифм по основанию е называется натуральным логарифмом: log  ae ln a Примеры с решениями 1.  Найдите значение выражения  log 2  6 log 2 10 2 3 . log 2,0 75  log .3 2,0 Решение.  log 2 6  log 10 2 2. Найдите значение выражения  2 3  log 2 6  log 2 32 3  log 2 6  32 3  log 2 64  .6 Решение.  log 2,0 75  log 2,0 3  log 2,0 )3:75(  log 2,0 25  log      1 5 2     1 5 .2 3. Вычислите  Решение.  log 9 .27 log 9 27  log 3 log 27 9 3  log log 3 3 3 2 3 3  log3 log2 3 3 3 3  3 2 . 4. Известно, что  log 5 a2 . Найдите  log 2 .80 Решение.  log 2 80  log 2 16(  )5 log 16  log 2 2 5  4 5. Найдите значение выражения   log 8 log 2 8 4 4  4 1 log 5 2 5 2 5 5 log log .  4 1 a 1 . 4  a a Решение.   log 8 log 2 8 4 4  log 8 log 2 32 2 2  log 8 log 2 2 1 16  log 8 1 16  log 8 16  1   log 8 16  6. Найдите  lg 45 log 2 log 2 .  16 4 3 8 , если  3lg  a 2lg,  b . 13 Математика 5lg  3lg 2  lg 10 2  3lg2  lg 10  2lg Решение.  lg 45  )59lg(  9lg Задание 10:  1 2 a . b Используя свойства логарифмов найдите значение выражения: Вариант 1 Вариант 2    4 4  2) log 5 log 1)log 2 log 32 1 5 1 54 3)log log 1 2  2 3 2 3 7 7  log 7 log 7 4) log 5 196  5) log 5 log 35  6)3  8) log 9 10)log 36  81 7 3 6 12)6 5log 3 6 14)log 7 3  1 7 2  Задание 10   5 4  7)49 log 3 7  27 3 3log 4 21   9)log  11)21 13)log 5 6 5 5  15)125 log 7 25   1)log 32 log 1 2 2)log 4 log 64  4 4 16   16 1 3 5  log 5 1 75  3)log  3 5  9 7 6  log 4)log 3 180  5)log 4 log 36  6)8  8)log 3 27 49 10)log log 12  9 8 7 log 5 8 7)64 9)log  11)13  125  13 5 4log 3  12)9 4log 2 9 14)log 6 4  1 6 3 13)log 8 7 3 8   15)625 log 125 4  14 Математика Задание 11: ГРУППА А: Найдите значение выражения log)2 2 5  log 2  log)2 2 22  log Вариант 1  log)1 2 4 log 4  8 8 5 54  2 196  5  3 3 7 2 7 log)3 log)4 log)5 log 3)6 3 log)8 81 log)10 log)11 8  25  5 64 log  log 3 log  4  35  log 2 2 56 log 25)7 5  3  8  log)9 2  log)12 243 81  Вариант 2  log)1 128 4 log  4 2  2 32 11  45  3 8  5 192 log  3 log log)3 log)4 log)5 3 8 5 8  log 5 2  log 5  25 4 36)7 log)9 log 6 7  16  4   log)12 81 27  50 log 50)6 log)8 125 log)10 log)11 6   5 49 7 128 16 Задание 11 гр А 15 Математика ГРУППА Б: Найдите значение выражения Вариант 1 Вариант 2 16 25 log 4  1 4 764 log)5 5 log 4)6 log2 5   2 3 )7 log   1 2   2 125 4 9 log 5 154  log 16)8 log)10 52  2327  log)9 49  343 8log)11 log 512  1 4 1 7 log)12 25 log 625  7)13 7 7  Математика log)1 2 7  log 2 14  log)2 3 72  log 3 log2)3 2 6  log 2  log)4 4 5  log 4 63 log 36  2  log 3 18   log 2 35   16 27 35 9  log)1 3 log28  2  log 3 3 log2)2 log)3 5 log)4 4 32 7  22 1 5   log log 5 256  7 11 log 4 36  log)5 2 12  log 2 5 3 log 2)6 94  )7  log   1 2  log 1 2  9 2 log2 7  10 25 81  4 5 2 4 5 52 log log  log 8)8 125 2  log)10  327 log)9 216 log)11 4 256  36  log 6)13 1 3 1 6 243  7 3  log)12 9 log 3)14 Задание 11 гр Б 7)14 17 Математика Задание 12: Задание 1: Вычислить Задание 2: Найти х 18 8lg)1  lg ;125 log)2 2 7  log 2  ; lg)4 13 16 log 3 log 4 3 log)8 3,0  lg lg 16 8lg 3lg 2lg  16,3lg : у )13  ; ; через 4,0lg)10 27 lg 3lg ; )12 3lg ; )15 12 )5  log 4 log)3 12  18 8lg lg  2lg2 3lg  11 log 2  ;7,2lg log)7 lg)9 ; ;3 ;44 )6 ; 2 27 4lg 2lg 15 lg lg )11 )14  25 Выразите lg)1  x х  y ;1  2 lg5,0 1 3 . 2lg lg y  y ; lg)2 x lg)3 x Задание 12 4  log 1 3  4,2lg  12 lg2 1 2  50 72 lg lg   ;15 lg lg ;18 ;4lg  ;3lg lg)5 lg)7 x x   lg)8 x  lg)9 x  1 3  ;2lg3  lg 125 1 3  ;2lg35lg2 1 2 5lg 3lg 1 2     ;5,3lg Математика ; 7 16 ;130 log)1 6 x lg)2 x  lg  1 2 log3 log5,02  25  6 6 log2 6 ;3 5lg a  lg3 b  lg4 ; c lg)3 x  lg5 m  lg n  2 3 1 4 lg p ;  log29 ;40 ;10 3,0 log)4 4 x 216  log2 4 10  log4 ;3 4 lg)6 x  6,9lg  ;4,2lg lg)10 x lg)11 x lg)12 x 19 Математика Задание 13: Восстановите равенство  log (… …  log 2 30( 5,3 8 15 7 9  )5,3 8  15  log ) 9 )…3 log 3 log  log 2 3 21 7  log … )7…21(  Вариант 1 log)1 7 14  log log)2 2 …  log … 2  21 1 2 log …  56 7 log 2 log 3 log)4 log)5  2 3)6 25)7 log)8 log)9 5,0 log)10 216 5 196 …5 7 3 125 … 49 … log 3  log log 70 2  … 3 …  log … )5( …  log2  log   4 log 2  7   6 216 … 5 )2( … 5 … log 625 3 … …  196 log …  5(  4…. …  70 log )56 (….)  20 Математика Вариант 2 log ). ..1 1 2 log)3 )2 log 3 5  log 45 1 3 256  log 2 log 4 256 … 121  log 2  log 2 (… 4  2 32 … 11  log 5 3  …. 4 2 log 32  11 log 5( ) …  log 4 ( 256 )2…   )45 log)4 8 96  1 3 log 2 3  log 8 96  log … 3  log 8 96( )3…   log 18( … 25 4   5,4 ) 25 4 log)5 5 18 … log 5 …5,4 log 5 log 13 6  1 169)6 log 36)7 log)8 216 25,0 log)9 3 log)10 7 7  256  … 3 49  … 169 log … )6( …  log … 169  7 256 … … 3 )3(   … log  Задание 13 В­ 21 Математика Тренировочные упражнения Базовый уровень 1. Вычислите  2. Вычислите  3. Вычислите  4. Вычислите  5. Вычислите  6. Вычислите  7. Вычислите  log 2 3 2 . 5,0  2 . log 3 log 2 . 3 39 82  . log2 5,0 9 5,0 . log3 2 27 log 2,0 3 125 . 1 log 5 5,0 . 16 .   Найдите   значение   выражения  8.  9. Найдите значение выражения log6 01,0 6 . 25,0 log36 6 10. Найдите значение выражения  . 3lg210  22 11. Найдите значение выражения .  24 log 1 3    1 3    12. Вычислите  13. Вычислите  14. Вычислите  15.  Вычислите  16. Вычислите  log 18 27  log .12 18 log 1  2 log 12 .72 1 12 log 2 36  log 29 2 . log 7 log 256 2 7 . log log 6,0 6,0 27 243 . 17. Вычислите  log 1 3  2 log 9 .4 25 . 18. 64 19.  1   Найдите   значение   выражения log5,0 4   Найдите   значение   выражения 1 log 7 2 49 14 . 20. Найдите  log 2 21. Найдите  log 7 6 22. Известно, что  , если  1 81 , если  Найдите  . lg 175 Тренировочные упражнения 23. Известно, что  2lg  m 7lg,  n .  Найдите  . log14 56 24. Вычислите  log 81 25  3 log 5 4 6 . 2 25. Найдите значение выражения . 4 log 5 2,1 2,1 log 7 3  3 Математика . log 2 m3 log 7 5lg  a 7lg, . k42 .   b 23 Тесты Математика Тест 1 Отметьте номер правильного ответа в заданиях А1 – А7. А1. Вычислите  . log 5 1 5 5 1)  ; 2) 5; 3)  ; 1 5 4) –5. 1 5 1) 0,7; А2. Найдите значение выражения  . log3 49,0  3 А3. Найдите значение выражения  . 5  log32 5 2 1) 17; А4. Найдите  log 5 1)  ; 2a 2) 0,07; 2)  ; 28,0 2)  ; a 2 25 8 , если известно, что  3) 0,245; 4) 0,2401. 3)  ; 25 6 log 5 3)  a7 ; a 5 . 4) 19. 4)   . 5a 4) 2,5. 4) 4. А5. Найдите значение выражения  1) 4,5; А6. Вычислите  2) 9,5; . 128 lg 8lg 1)  ; lg 120 А7. Известно, что  2)  ; 7 3 lg m  lg,3 n  8 log 3 72 .8 3  3 log 3) 1; 3)  ; lg 16 . Найдите  1)  ; lg 375 2) 8; 3) 1; lg n 1000 m . 4)  . 8lg Ответом в заданиях В8 – В10 должно быть целое или записанное в виде десятичной  дроби число. В8. Вычислите  . В9. Найдите значение выражения  10 64 log16 81  2lg2  1 log 2 125 8  log В10. Найдите значение выражения  log 4 3 baa 24 . 3 4 log 3 1 2 , если  . log ba 14 Математика Решения заданий В8­В10 Тест 2 Базовый уровень  . 5 1. Вычислите  1)  ; 5,3 2. Вычислите  1) 2; Отметьте номер правильного ответа в заданиях А1 – А7. log 5 125 2)  ; 5,1 1,0lg . 1000 2) –1,5; . 1 3  log3 12 12 3. Найдите значение выражения  1) –1; 4. Вычислите  1) 2; 5. Вычислите  2)  1 27 ; log 20 .5 20  log 80 2) 400; log 1  9 log 15 .25 1 15 4)  . 5,2 4)  1 3 . 4)  . 3 3 4) 85. 3)  ;6 3) 0,5; 3) 27; 3)  log 20 ;85 25

Найдите значение числового логарифмического выражения – как решать

Формулировка задачи: Найдите значение числового логарифмического выражения.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 5 (Вычисления и преобразования).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на логарифмы на примерах.

Пример задачи 1:

Найдите значение выражения log_0,310 – log_0,33

Решение:

Разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного:

log_0,310 – log_0,33 = log_0,3(10/3)

Возведем 10/3 в степень -1, вынесем степень из под логарифма (логарифм степени):

log_0,3(10/3) = -log_0,3(3/10) = -1

Ответ: -1

Пример задачи 2:

Найдите значение выражения log₇13 / log₄₉13

Решение:

Преобразуем знаменатель: для этого вынесем степень основания из под логарифма:

log₄₉13 = log_(7)²13 = 1/2 ⋅ log₇13

Тогда значение выражения равно:

log₇13 / log₄₉13 = 2 ⋅ log₇13 / log₇13 = 2

Ответ: 2

Пример задачи 3:

Найдите значение выражения 9^log₅50 / 9^log₅2

Решение:

Преобразуем выражение:

9^log₅50 / 9^log₅2 = 9^{log₅50 – log₅2}

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного:

log₅50 – log₅2 = log₅(50/2) = log₅25 = 2

Тогда значение выражения равно:

Ответ: 81

Пример задачи 4:

Найдите значение выражения 6log₇∛7

Решение:

Вынесем корень за пределы логарифма:

6log₇∛7 = 6 ⋅ 1/3 ⋅ log₇7 = 2

Ответ: 2

Пример задачи 5:

Найдите значение выражения log₃5 / log₃7 + log₇0,2

Решение:

Преобразуем частное с помощью формулы перехода от логарифма в одном основании к логарифму при другом основании:

Сумма логарифмов с одним основанием равна логарифму произведения:

log₇5 + log₇0,2 = log₇1 = 0

Ответ: 0

Пример задачи 6:

Найдите значение выражения log_0,83 ⋅ log₃1,25

Решение:

Преобразуем второй множитель и приведем его к тому же основанию:

log₃1,25 = log₃(5/4) = -log₃(4/5) = -log₃0,8 = -1 / log_0,83

И найдем значение выражения:

log_0,83 ⋅ log₃1,25 = -log_0,83 / log_0,83 = -1

Ответ: -1

Пример задачи 7:

Найдите значение выражения 5^log₂₅49

Решение:

Вынесем степень основания логарифма за его пределы:

Внесем ее обратно как логарифм корня:

1/2 ⋅ log₅49 = log₅(49)^1/2 = log₅7

И воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

Ответ: 7

Пример задачи 8:

Найдите значение выражения log₄(log₂16)

Решение:

Вычислим значение выражения в скобках:

Тогда значение выражения равно:

Ответ: 1

Пример задачи 9:

Найдите значение выражения log₄2 + log_0,258

Решение:

Найдем значения каждой части выражения и получим результат:

log₄2 =1/2 ⋅ log₂2 = 1/2 ⋅ 1 = 0,5

log_0,258 = log_1/48 = 1/2 ⋅ log_1/28 = 1/2 ⋅ log_1/22³ = 1/2 ⋅ (-3) = -1,5

Тогда значение выражения равно:

log₄2 + log_0,258 = 0,5 – 1,5 = -1

Ответ: -1

Пример задачи 10:

Найдите значение выражения 2^{log₂6 – 3}

Решение:

Разложим число на множители:

2^{log₂6 – 3} = 2^log₂6 ⋅ 2^–3

Применим основное логарифмическое тождество к первому множителю и выполним оставшиеся вычисления:

2^log₂6 ⋅ 2^-3 = 6 ⋅ 1/8 = 0,75

Ответ: 0,75

Пример задачи 11:

Найдите значение выражения 7^–2log₇2

Решение:

Вынесем множитель перед логарифмом в степень, чтобы избавиться от него:

–2log₇2 = log₇2^–2 = log₇0,25

И применим основное логарифмическое тождество:

7^–2log₇2 = 7^log₇0,25 = 0,25

Ответ: 0,25

Пример задачи 12:

Найдите значение выражения (3^log₂3)^log₃2

Решение:

Если мы возведем число сначала в степень log₃2, а потом уже в степень log₂3, то сможем применить основное логарифмическое тождество:

(3^log₂3)^log₃2 = (3^log₃2)^log₂3 = 2^log₂3 = 3

Ответ: 3

Пример задачи 13:

Найдите значение выражения (1 – log₂12) ⋅ (1 – log₆12)

Решение:

Преобразуем логарифмы:

log₂12 = log₂(2 ⋅ 6) = log₂2 + log₂6 = 1 + log₂6

log₆12 = log₆(2 ⋅ 6) = log₆2 + log₆6 = log₆2 + 1

Подставим полученные значения в выражение:

(1 – (1 + log₂6)) ⋅ (1 – (log₆2 + 1)) = (1 – 1 – log₂6) ⋅ (1 – log₆2 – 1) = – log₂6 ⋅ (– log₆2) = log₂6 ⋅ log₆2

Преобразуем второй множитель, чтобы логарифмы имели одинаковые основания, и выполним остальные действия:

log₂6 ⋅ log₆2 = log₂6 ⋅ 1/log₂6 = 1

Ответ: 1

Пример задачи 14:

Найдите значение выражения log₃18 / (2 + log₃2)

Решение:

Преобразуем 2 в знаменателе в логарифм с основанием 3 (возведем 3 в степень 2 и получим число под логарифмом):

Сумма логарифмов с одним основанием в знаменателе равна логарифму произведения:

2 + log₃2 = log₃9 + log₃2 = log₃(9 ⋅ 2) = log₃18

Осталось сократить числитель и знаменатель:

Ответ: 1

Урок 24.

Расширяющиеся логарифмы — ChiliMath

Когда вас просят развернуть логарифмические выражения , ваша цель состоит в том, чтобы выразить одно логарифмическое выражение на множество отдельных частей или компонентов.Этот процесс прямо противоположен сжатию логарифмов, потому что вы сжимаете кучу логарифмов в более простое.

Лучший способ проиллюстрировать эту концепцию — показать множество примеров. В этом уроке восемь решенных задач.

Ключ к успешному расширению логарифмов — это осторожное применение правил логарифмов. Найдите время, чтобы изучить правила и понять, что они пытаются «сказать».

Например, правило 1 называется правилом продукта .Что он делает, так это разбивает произведение выражений на сумму лог-выражений. См. Остальные описания ниже.

Правила логарифмов

Изучите описание каждого правила, чтобы получить его интуитивное понимание.

Описание правил логарифмирования

Правило 1: Правило продукта

Логарифм произведения чисел — это сумма логарифмов отдельных чисел.

Правило 2: Правило частного

Логарифм частного числа — это разность логарифма отдельных чисел.

Правило 3: Правило силы

Логарифм экспоненциального числа — это показатель степени, умноженный на логарифм основания.

Правило 4: Правило нуля

Логарифм 1, где b> 0, но b \ ne 1, равен нулю.

Правило 5: Правило идентификации

Логарифм числа, равного его основанию, равен 1. Поскольку число также является основанием, b, это означает, что b> 0, но b \ ne 1.

Правило 6: Журнал экспонент Правило

Логарифм экспоненциального числа, основание которого совпадает с основанием журнала, равно экспоненте.

Правило 7: Экспонент журнала Правило

Увеличение логарифма числа по основанию равняется числу.

Примеры раскрытия логарифмов

Пример 1 : развернуть логарифмическое выражение.

Заглянув в круглые скобки, мы видим произведение числа и переменных. Правило продукта не говорит, что внутри должно быть только два фактора, на самом деле их может быть больше. Хорошо, поэтому мы разделим основное логарифмическое выражение как сумму четырех журналов.

Пример 2 : развернуть логарифмическое выражение.

Внутри скобок — дробь, означающая, что сначала я буду применять правило частных. Поскольку числитель является произведением 7 и x, я использую правило произведения, чтобы разбить его.

Пример 3 : разверните логарифмическое выражение.

Хорошо, это тоже дробная форма, поэтому правило частных — это первый шаг, который мы собираемся применить.

Итак, в этой проблеме есть что-то «новое».То есть числитель содержит переменную с показателем степени. Это должно быть легко, поскольку с этим легко справятся Правило 3 или Правило мощности. Просто опустите экспоненту влево, вот и все!

Кроме того, в знаменателе есть радикальное выражение. Помните, что радикал можно выразить дробной степенью. Поскольку этот радикал является квадратным корнем, это означает, что степень просто \ large {1 \ over 2}.

Кроме того, мы впервые видим Правило 5 или Правило Логарифма идентичности в действии.Ожидайте, что это правило будет применяться чаще, потому что оно чрезвычайно полезно в процессе упрощения.

Пример 4 : развернуть логарифмическое выражение.

Пусть вас не пугает квадратный корень. Просто представьте это как степень или показатель \ large {1 \ over 2}. Таким образом, эта проблема сводится к расширению логарифмического выражения со степенью \ large {1 \ over 2}. Здесь правило мощности опускает показатель \ large {1 \ over 2} слева от журнала, а затем вы расширяете остальную часть, как обычно.

Пример 5 : разверните логарифмическое выражение.

Эта задача довольно интересна, потому что все выражение возводится в некоторую степень. Кроме того, наличие квадратного корня в числителе добавляет некоторого уровня сложности.

Однако, если мы будем придерживаться основ, тщательно применяя правила экспонент на каждом этапе, у нас не должно возникнуть проблем с решением этой проблемы! Давай спланируем наши действия, хорошо?

Уменьшите показатель степени 4, используя Правило мощности.Затем используйте правило частного, чтобы выразить дробь как разность логарифмических выражений. И, наконец, не забывайте, что квадратный корень — это всего лишь дробный показатель от \ large {1 \ over 2}.

Я распределил 4 по символу группировки, чтобы избавиться от дроби \ large {1 \ over 2}. Также можно оставить 4 за пределами символа группировки, что означает, что нам не нужно распределять 4 по выражениям внутри квадратных скобок. Любой из двух ответов должен быть правильным.

Пример 6 : разверните логарифмическое выражение.

Это просто кубический корень из некоторого рационального выражения. Замените символ корня куба дробной степенью \ large {1 \ over 3}. Этот показатель \ large {1 \ over 3} можно уменьшить, используя правило логарифма степени. Теперь нам нужно разобраться с рациональным выражением, используя правило частных, а затем завершить его, используя правило продукта.

Не отвлекайтесь на разные типы групповых символов. Идея состоит в том, чтобы убедиться, что мы правильно применяем правила логарифмирования на каждом этапе, который мы предпринимаем, без совершения алгебраических ошибок, таких как распределение -1 в символе группировки.3}. Получите квадратные корни, заменив их дробной степенью, а затем используйте правило логарифмов мощности, чтобы уменьшить его перед символом журнала в качестве множителя.

Пример 8 : разверните логарифмическое выражение.

Основная мощность 3 может быть размещена впереди как множитель с помощью правила мощности. Правило Quotient должно иметь дело с дробными выражениями, записывая их как разность журналов. Теперь замените символ квадратного корня на показатель степени \ large {1 \ over 2}.Аналогичным образом замените символ корня куба на показатель степени \ large {1 \ over 3}.

Возможно, вас заинтересует:

Уплотняющие логарифмы

Объяснение логарифма

Правила логарифмирования

Решение логарифмических уравнений

Вычислить (журнал √27 + журнал √8 — журнал √125) / (журнал 6

Пять логарифмических членов образуют математическое соотношение в форме деления.логарифмы квадратных корней из 27 $, 8 $ и 125 $, а также логарифмы 6 $ и 5 $ являются числами, участвующими в формировании этого математического выражения.

Логарифм квадратного корня из 125 долларов вычитается из суммы логарифма квадратного корня из 27 долларов и логарифма квадратного корня из 8 долларов, образуя числитель. Точно так же логарифм 5 $ вычитается из логарифма 6 $, чтобы сформировать знаменатель. В этой задаче требуется оценить их соотношение.

Шаг: 1

Подкоренное выражение каждого логарифмического члена в числителе можно преобразовать в куб числа.{\ frac {3} {2}}} {\ log 6 — \ log 5}

Шаг: 3

Число членов логарифма в экспоненциальной записи. Итак, примените правило логарифмов, чтобы упростить каждый член в числителе.

$ = $ $ \ dfrac {\ dfrac {3} {2} \, (\ log 3) + \ dfrac {3} {2} \, (\ log 2) — \ dfrac {3} {2} \, (\ log 5)} {\ log 6 — \ log 5} $

Шаг: 4

Рациональное число $ \ dfrac {3} {2} $ — это общий множитель каждого логарифмического члена в числителе. Итак, возьмем $ \ dfrac {3} {2} $ общее из трех членов.

$ = $ $ \ dfrac {\ dfrac {3} {2} \ Big [\ log 3 + \ log 2 — \ log 5 \ Big]} {\ log 6 — \ log 5} $

Шаг: 5

Это можно выразить как два умножающих множителя.

$ = $ $ \ dfrac {3} {2} \ times \ dfrac {\ log 3 + \ log 2 — \ log 5} {\ log 6 — \ log 5} $

Шаг: 6

Внимательно обратите внимание на выражения в числителе и знаменателе. Числитель можно выразить так же, как выражение в знаменателе, применив правило произведения логарифмов к сложению членов $ \ log 3 $ и $ \ log 2 $.

$ = $ $ \ dfrac {3} {2} \ times \ dfrac {\ log (3 \ times 2) — \ log 5} {\ log 6 — \ log 5} $

$ = $ $ \ dfrac {3} {2} \ times \ dfrac {\ log 6 — \ log 5} {\ log 6 — \ log 5} $

$ = $ $ \ require {cancel} \ dfrac {3} {2} \ times \ dfrac {\ cancel {\ log 6 — \ log 5}} {\ cancel {\ log 6 — \ log 5}} $

$ = $ $ \ dfrac {3} {2} \ times 1 $

$ \ поэтому \, \, \, \, \, \, \ dfrac {\ log \ sqrt {27} + \ log \ sqrt {8} — \ log \ sqrt {125}} {\ log 6 — \ log 5} $ $ = $ $ \ dfrac {3} {2}

Следовательно, ответ на эту проблему — $ \ dfrac {3} {2} $, и это требуется математическое решение этой задачи логарифмирования.

Полный курс алгебры

38

Определение

Десятичный логарифм

Три закона логарифмов

КОГДА МЫ ДАЕМ, например, основание 2 и показатель степени 3, тогда мы можем вычислить 2 ³ .

2 ³ = 8.

И наоборот, если даны основание 2 и его мощность 8 —

2 ^? = 8

— тогда какой показатель даст 8?

Эта экспонента называется логарифмом.Мы называем показатель степени 3 логарифмом 8 с основанием 2. Запишем

3 = журнал ₂ 8.

Основание 2 записывается как нижний индекс.

3 — это показатель степени , до которого нужно поднять 2, чтобы получить 8.

Логарифм — это показатель степени.

С

10 ⁴ = 10 000

, затем

журнал ₁₀ 10,000 = 4.

«Логарифм 10 000 по основанию 10 равен 4.»

4 — это показатель степени , до которого необходимо поднять 10, чтобы получить 10 000.

«10 ⁴ = 10 000» называется экспоненциальной формой.

«log ₁₀ 10,000 = 4» называется логарифмической формой.

Вот определение:

log _b x = n означает b ⁿ = x .

Основание с этим показателем дает x .

Пример 1. Запишите в экспоненциальной форме: log ₂ 32 = 5

Ответ . 2 ⁵ = 32

Задача 1. Какие числа имеют отрицательный логарифм?

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

Правильные дроби.

Урок 20 арифметики

Пример 3.Журнал оценки ₈ 1.

Ответ . 8 до какой степени дает 1?

8 ⁰ = 1.

журнал ₈ 1 = 0.

Мы можем заметить, что по любому основанию логарифм 1 равен 0.

Пример 4. Анализ журнала ₅ 5.

Ответ . 5 с каким показателем даст 5? 5 ¹ = 5. Следовательно,

журнал ₅ 5 = 1.

В любой системе счисления логарифм самого основания равен 1.

Пример 5. журнал ₂ 2 ^м =?

Ответ . 2 с каким показателем даст 2 ^м ? м , очевидно.

журнал ₂ 2 ^м = м .

Следующее важное формальное правило действует для любой базы b :

Это правило воплощает сам смысл логарифма. x — справа — это показатель степени , до которого необходимо поднять основание b , чтобы получить b ^x .

Сравните предыдущее правило.

Пример 7. журнал ₂ . 25 =?

Ответ . 0,25 = ¼ = 2 ⁻² . Следовательно,

журнал ₂ .25 = журнал ₂ 2 ⁻² = −2.

Пример 8. журнал ₃ =?

Ответ. = 3 ^1/5 . (Определение рациональной экспоненты.) Следовательно,

журнал ₃ = журнал ₃ 3 ^1/5 = 1/5.

Задача 2. Запишите каждое из следующих утверждений в логарифмической форме.

Задача 3. Запишите каждое из следующих утверждений в экспоненциальной форме.

Проблема 4. Оцените следующее.

Проблема 5.Какой номер n ?

Проблема 6. журнал _b b ^x = x

Проблема 7. Оцените следующее.

Запишите в экспоненциальной форме и примените задачу 6.

Десятичный логарифм

Система десятичного логарифма имеет основу 10.Когда база не указана:

журнал 100 = 2

, то подразумевается система десятичных логарифмов — основание 10.

Вот степени десяти и их логарифмы:

Логарифмы заменяют геометрический ряд арифметическим.

Задача 8.

a) log 10 ⁵ = 5. 10 — основание.

б) журнал 10 ⁿ = n

c) log 58 = 1,7634. Следовательно, 10 ^1,7634 = 58

1,7634 — это десятичный логарифм 58. Когда 10 возводится в эту степень, получается 58.

Задача 9. log (log x ) = 1.Какой номер x ?

Журнал какого числа равен 1? Поскольку 10 является основанием, log 10 = 1.

(См. Выше)

Следовательно, log (log x ) = 1 подразумевает log x = 10. И, следовательно, поскольку 10 является основанием:

x = 10 ¹⁰ = 10 000 000 000

Три закона логарифмов

1 .log _b xy = log _b x + log _b y

« Логарифм произведения равен сумме
логарифмов каждого множителя. »

« Логарифм частного равен логарифму числителя
минус логарифм знаменателя. «

3 . журнал _b x ⁿ = n журнал _b x

« Логарифм степени x равен показателю степени
, умноженному на логарифм x . »

Для доказательства этих законов см. Тему 20 Precalculus.

Ответ. Согласно первым двум законам,

по третьему закону.

Ответ выше показывает полные теоретические шаги. На практике, однако, писать строку

Студент должен иметь возможность сразу перейти к следующей строке —

— если не до самой последней строки

Теперь = y ^½ .(Урок 29.) Следовательно, согласно третьему закону,

Пример 11. Используйте законы логарифмов, чтобы переписать журнал (sin x log x )

Решение . Он имеет вид log ab . a = sin x , b = log x .Следовательно,

журнал (sin x журнал x ) = журнал sin x + журнал журнал x .

Пример 12. Используйте законы логарифмов для перезаписи журнала.

Решение .

Проблема 10. Используйте законы логарифмов, чтобы переписать следующее.

Пример 13. Дано: log 3 = 0,4771 Вычислить

а) журнал 3000

Решение. Запишите 3000 в экспоненциальном представлении:

б) лог .003

Задача 11. Дано: log 6 = .7781 Используйте законы логарифмов, чтобы оценить следующее.

Пример 14. Дано: журнал 2 = 0,3010, журнал 3 = 0,4771 Вычислить журнал 18.

Решение . 18 = 2 · 3 ² . Следовательно,

Задача 12. Дано: журнал 2 = 0,3010 журнал 3 = 0,4771 журнал 5 = 0,6990

Используйте законы логарифмов, чтобы найти следующее.

а) журнал 6 = журнал 2 + журнал 3 =.7781

б) лог 15 = журнал 3 + журнал 5 = 1,1761

c) журнал 4 = журнал 2 ² = 2 журнал 2 = 0,6020

г) журнал 8 = журнал 2³ = 3 журнал 2 = 0,9030

e) журнал 30 = журнал 3 + журнал 10 = 1,4771

f) журнал 300 = журнал 3 + журнал 100 = 2,4771

г) журнал 3000 = журнал 3 + журнал 1000 = 3,4771

ч) журнал 12 = журнал 3 + журнал 4 = 1.0791

j) журнал = ½ журнала 3 = .2386

k) лог = ½ журнала 5 = 0,3495

п) лог = ½ (журнал 2 — журнал 3) = −.0881

o) журнал 1500 = журнал 3 + журнал 5 + журнал 100 = 3,1761

Систему натуральных логарифмов см. В разделе 20 Precalculus.

Информацию о логарифмических и экспоненциальных «функциях» см. В теме 21.

Следующий урок: вариация

Содержание | Дом

Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался в сети.
Даже 1 доллар поможет.

Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Логарифмы и корни | Бретт Берри | Math Hacks

Бревна и корни — нет, я не говорю о деревьях. Я говорю о математике. Бьюсь об заклад, вы думаете:

«Корни, хорошо. Но логарифмы? Разве это не тема по алгебре 2 ?!

Ага, это так! Но кто сказал, что мы не можем научиться этому прямо сейчас? Зачем откладывать на потом то, что можно узнать сегодня? Carpe diem , я прав? Но сначала давайте сделаем небольшой обзор.Помните эту диаграмму экспонент из второго урока?

Число, которое мы умножаем само на себя, называется основанием . Количество раз, которое мы умножаем на себя, называется степенью или показателем степени .

Вот несколько примеров экспонентов, чтобы освежить вашу память.

Мы хотим найти операцию, чтобы вернуть базовое число из решения экспоненциального уравнения. Вот здесь и появляются корни.

Предположим, вместо того, чтобы найти квадрат 9, который равен 81, мы хотим выяснить, какое число, умноженное на само себя, равно 81.

Другими словами, что такое квадратный корень из 81?

Это равно 9, потому что девять в квадрате — восемьдесят один.

Мы можем извлечь квадратный корень из любого неотрицательного числа , но только точные квадратные числа дают целочисленные результаты. Так что сначала ознакомьтесь с ними. Вот некоторые из них, с которых можно начать:

Теперь немного терминологии.

Корневой индекс — (необязательно) для квадратных корней.Квадратные корни часто записываются:

Индекс необходим только для различения более высоких проиндексированных корней, таких как кубические корни, четвертые корни, пятые корни и т. Д.

Кубические корни просят вас найти число, которое при умножении на себя три раза по дает подкоренное выражение, например:

Корни четвертой степени просят вас найти число, которое при умножении на себя четыре раза по дает подкоренное выражение.

Корни пятой степени просят вас найти число, которое при умножении на себя пять раз дает подкоренное выражение.

Опять же, вы можете взять любой корень любого неотрицательного числа (а в некоторых случаях и отрицательных чисел), но для многих чисел вам понадобится калькулятор, поскольку ответы иррациональны. Приведенные выше примеры — это часто возникающие «хорошие дела»!

Что, если бы мы хотели найти показатель степени в экспоненциальном уравнении? Другими словами, мы хотим отменить возведение в степень. Например, как решить эту проблему?

Поскольку мы запомнили общие степени и корни, мы легко идентифицируем решение как 2, поскольку 6 в степени 2 равно 36.

Вопросительный знак в уравнении не является формальной математикой, вместо этого мы запишем вышеприведенное выражение, используя логарифмическую нотацию , для краткости или log .

Терминология:

Другой способ взглянуть на это — спросить:

“ Сколько шестерок нужно умножить, чтобы получить 36? ”

Логарифм определяет количество повторных умножений. Все просто. Вот еще несколько примеров.

Спасибо за чтение!

❤ ОСТАВАЙТЕСЬ НА СВЯЗИ ❤

Будьте в курсе всего, что может предложить Math Hacks!

Instagram | Facebook | Twitter

Решение логарифмических уравнений — подробные решения

Решите логарифмические уравнения, включая несколько сложных вопросов. Представлены подробные решения. Логарифмические уравнения в примерах 4, 5, 6 и 7 включают логарифмы с разными основаниями и поэтому являются сложными.

Решение логарифмических уравнений — объяснения и примеры

Как вы хорошо знаете, логарифм — это математическая операция, обратная возведению в степень.Логарифм числа сокращается как « log ».

Прежде чем мы сможем решить логарифмические уравнения, давайте сначала познакомимся со следующими правилами логарифмов:

Правило произведения гласит, что сумма двух логарифмов равна произведению логарифмов. Первый закон представлен как;

⟹ log _b (x) + log _b (y) = log _b (xy)

Разность двух логарифмов x и y равна отношению логарифмов.

⟹ log _b (x) — log _b (y) = log (x / y)

⟹ log _b (x) ⁿ = n log _b (x)

⟹ log _b x = (log _a x) / (log _a b)

Логарифм любого положительного числа к тому же основанию этого числа всегда равен 1.
b ¹ = b ⟹ log _б (б) = 1.

Пример:

• Логарифм от числа 1 до любого ненулевого основания всегда равен нулю.
  b ⁰ = 1 ⟹ log _b 1 = 0.

Как решать логарифмические уравнения?

Уравнение, содержащее переменные в показателях степени, известно как экспоненциальное уравнение. Напротив, уравнение, которое включает логарифм выражения, содержащего переменную, называется логарифмическим уравнением.

Цель решения логарифмического уравнения — найти значение неизвестной переменной.

В этой статье мы узнаем, как решить два общих типа логарифмических уравнений, а именно:

1. Уравнения, содержащие логарифмы на одной стороне уравнения.
2. Уравнения с логарифмами на противоположных сторонах от знака равенства.

Как решить уравнения с односторонним логарифмом?

Уравнения с логарифмами на одной стороне принимают логарифм _b M = n ⇒ M = b ⁿ .

Чтобы решить этот тип уравнений, выполните следующие действия:

• Упростите логарифмические уравнения, применив соответствующие законы логарифмов.
• Перепишите логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме.
• Теперь упростим показатель степени и решим переменную.
• Проверьте свой ответ, подставив его обратно в логарифмическое уравнение. Обратите внимание, что приемлемый ответ логарифмического уравнения дает только положительный аргумент.

Пример 1

Логарифм решения ₂ (5x + 7) = 5

Решение

Перепишите уравнение в экспоненциальную форму

logs ₂ (5x + 2 ⁵ = 5x + 7

⇒ 32 = 5x + 7

⇒ 5x = 32-7

5x = 25

Разделите обе стороны на 5, чтобы получить

x = 5

Пример 2

Решите относительно x в логарифме (5x -11) = 2

Решение

Поскольку основание этого уравнения не дано, мы принимаем основание 10.

Теперь измените логарифм в экспоненциальной форме.

⇒ 10 ² = 5x — 11

⇒ 100 = 5x -11

111 = 5x

111/5 = x

Следовательно, x = 111/5 — это ответ.

Пример 3

Логарифм решения ₁₀ (2x + 1) = 3

Решение

Перепишите уравнение в экспоненциальной форме

log ₁₀ (2x + 2x) = 3n⇒ + 1 = 10 ³

⇒ 2x + 1 = 1000

2x = 999

Разделив обе стороны на 2, получим;

х = 499.5

Проверьте свой ответ, подставив его в исходное логарифмическое уравнение;

⇒ log ₁₀ (2 x 499,5 + 1) = log ₁₀ (1000) = 3, т.к. 10 ³ = 1000

Пример 4

Вычислить ln (4x -1) = 3

Решение

Перепишите уравнение в экспоненциальной форме как;

ln (4x -1) = 3 ⇒ 4x — 3 = e ³

Но, как известно, e = 2,718281828

4x — 3 = (2.718281828) ³ = 20,085537

x = 5,271384

Пример 5

Решите логарифмическое уравнение log ₂ (x +1) — log ₂ (x — 4) = 33

Сначала упростите логарифмы, применив правило частного, как показано ниже.

log ₂ (x +1) — log ₂ (x — 4) = 3 ⇒ log ₂ [(x + 1) / (x — 4)] = 3

Теперь перепишите уравнение в экспоненциальной форме

⇒2 ³ = [(x + 1) / (x — 4)]

⇒ 8 = [(x + 1) / (x — 4)]

Перекрестное умножение уравнения

⇒ [(x + 1) = 8 (x — 4)]

⇒ x + 1 = 8x -32

7x = 33 …… (Сбор одинаковых терминов)

x = 33/7

Пример 6

Решите относительно x, если log ₄ (x) + log ₄ (x -12) = 3

Решение

Упростите логарифм, используя следующее правило произведения;

журнал ₄ (x) + журнал ₄ (x -12) = 3 ⇒ log ₄ [(x) (x — 12)] = 3

⇒ log ₄ (x ² — 12x) = 3

Преобразуйте уравнение в экспоненциальную форму.

⇒ 4 ^{3 =} x ² — 12x

⇒ 64 = x ² — 12x

Поскольку это квадратное уравнение, мы решаем его факторизацией.

x ² -12x — 64 ⇒ (x + 4) (x — 16) = 0

x = -4 или 16

Когда x = -4 подставляется в исходное уравнение, мы получаем отрицательный ответ что мнимое. Следовательно, 16 — единственное приемлемое решение.

Как решить уравнения с логарифмами с обеих сторон уравнения?

Уравнения с логарифмами по обе стороны от знака равенства принимают log M = log N, что совпадает с M = N.

Процедура решения уравнений с логарифмами по обе стороны от знака равенства.

• Если логарифмы имеют общую основу, упростите задачу, а затем перепишите ее без логарифмов.
• Упростите, собрав одинаковые члены и решив переменную в уравнении.
• Проверьте свой ответ, вернув его в исходное уравнение. Помните, что приемлемый ответ приведет к положительному аргументу.

Пример 7

Журнал решения ₆ (2x — 4) + журнал _{6 (} 4) = журнал ₆ (40)

Решение

Сначала упростите логарифм.

log ₆ (2x — 4) + log ₆ (4) = log ₆ (40) ⇒ log ₆ [4 (2x — 4)] = log ₆ (40)

Теперь опустите логарифмы

⇒ [4 (2x — 4)] = (40)

⇒ 8x — 16 = 40

⇒ 8x = 40 + 16

8x = 56

x = 7

Пример. 8

Решите логарифмическое уравнение: log ₇ (x — 2) + log ₇ (x + 3) = log ₇ 14

Решение

Упростите уравнение, применив правило произведения .

Логарифм ₇ [(x — 2) (x + 3)] = log ₇ 14

Отбросьте логарифмы.

⇒ [(x — 2) (x + 3)] = 14

Распределите ФОЛЬГУ, чтобы получить;

⇒ x ² — x — 6 = 14

⇒ x ² — x — 20 = 0

⇒ (x + 4) (x — 5) = 0

x = -4 или x = 5

когда x = -5 и x = 5 подставляются в исходное уравнение, они дают отрицательный и положительный аргумент соответственно. Поэтому x = 5 — единственное приемлемое решение.

Пример 9

Журнал решения ₃ x + log ₃ (x + 3) = log ₃ (2x + 6)

Решение

Учитывая уравнение; log ₃ (x ² + 3x) = log ₃ (2x + 6), отбросьте логарифмы, чтобы получить;
⇒ x ² + 3x = 2x + 6
⇒ x ² + 3x — 2x — 6 = 0
x ² + x — 6 = 0 ……………… (Квадратное уравнение)
Фактор множителя квадратное уравнение получить;

(x — 2) (x + 3) = 0
x = 2 и x = -3

Проверяя оба значения x, мы получаем x = 2, что является правильным ответом.

Пример 10

Журнал решения ₅ (30x — 10) — 2 = log ₅ (x + 6)

Решение

log ₅ (30x — 10) — 2 = log ₅ (x + 6)

Это уравнение можно переписать как;

⇒ log ₅ (30x — 10) — log ₅ (x + 6) = 2

Упростим логарифмы

log ₅ [(30x — 10) / (x + 6)] = 2

Записываем логарифм в экспоненциальной форме.