Множества a c b: МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ – Словарь по логике, А.А. Ивин, А.Л. Никифоров

Разность множеств А – В есть множество элементов A, не принадлежащих В.

Дополнением множества A (обозначается Á) называется множество элементов универсального множества U, не принадлежащих A, т. е. U – А. Для любых подмножеств A, В и С универсального множества U справедливы следующие важные равенства:

Некоторые из перечисленных равенств имеют специальные названия: 7 и 7» – законы идемпотентности, 9 и 9» – законы поглощения, 10 и 10» – законы де Моргана.

Классическая М. т. исходит из признания применимости к бесконечным множествам принципов логики. В развитии М. т. в начале XX в. выявились трудности, связанные с обнаружением парадоксов – противоречий, к которым приводит применение законов формальной логики к бесконечным множествам. Дальнейшая разработка М. т. была связана с уточнением понятия множества и устранением парадоксов.

МНОГОЗНАЧНОСТЬМОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА

Источник: Ивин А. А., Никифоров А. Л. Словарь по логике — М.: Туманит, изд. центр ВЛАДОС, 1997. — 384 с.

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Элементы теории реляционных баз данных: функциональные зависимости и декомпозиция без потерь

< Лекция 5 || Лекция 6: 1234 || Лекция 7 >

Аннотация: Эта и две следующие лекции посвящены вопросам теории реляционных баз данных. Поскольку все направление реляционного подхода к организации баз данных является сугубо практическим, эта теория, главным образом, прагматическая. Основная проблема, на решение которой направлена теория реляционных баз данных, состоит в обнаружении полезных свойств некоторых схем баз данных и выработке способов построения таких схем. Принято кратко называть эту проблему проблемой проектирования реляционных баз данных.

Ключевые слова: теория реляционных баз данных, проектирование реляционных баз данных, функциональная зависимость, замыкание множества функциональных зависимостей, покрытие множества функциональных зависимостей, аксиома Армстронга, теорема Хита, декомпозиция без потерь, многозначная зависимость, зависимость соединения, предметной области, нормальные формы отношений, переменная отношения, детерминант, первичный ключ отношения, тело отношения, тривиальная функциональная зависимость, транзитивная функциональная зависимость, правило вывода функциональных зависимостей, BCD, замыкание множества атрибутов над множеством функциональных зависимостей, ACB, шаг индукции, ACD, суперключ отношения, минимальное множество функциональных зависимостей, минимальное покрытие множества функциональных зависимостей, естественное соединение, минимально зависимый атрибут, диаграмма функциональных зависимостей, ключ отношения, множества, алгоритм, доказательство

Введение

intuit.ru/2010/edi»>Несмотря на свою практическую ориентированность, теория реляционных баз данных является самостоятельным научным направлением, в котором работали (и продолжают работать) многие известные исследователи, чьи имена будут встречаться в наших лекциях. Мы не планировали в данном курсе подробно описывать основные результаты в области теории реляционных баз данных. Наша цель состоит в том, чтобы обеспечить только определения и утверждения, необходимые для общего понимания процесса проектирования реляционных баз данных на основе нормализации.

Поскольку наиболее важные с практической точки зрения свойства реляционных баз данных базируются на понятии функциональной зависимости, мы выделили в отдельную лекцию краткое обсуждение соответствующих теоретических вопросов. Среди этих вопросов наибольший интерес представляют замыкания и покрытия множеств функциональных зависимостей, аксиомы Армстронга и теорема Хита о достаточном условии декомпозиции отношения без потерь. Понятия и утверждения данной лекции действительно нужны для усвоения материала лекции 7, но мы стремились еще и продемонстрировать читателям на несложных примерах, что собой представляет теория реляционных баз данных, каков уровень ее сложности и насколько она понятна интуитивно.

Заметим, что мы не выделяли в отдельные лекции теоретический материал, касающийся многозначных зависимостей и зависимостей соединения. Это было сделано по двум причинам. Во-первых, эти виды зависимостей реже встречаются при моделировании предметной области средствами баз данных. Поэтому мы сочли достаточным представить внутри лекции 8 только основы соответствующего теоретического материала. Во-вторых, хотя теория многозначных зависимостей и зависимостей соединения, по сути, не намного сложнее теории функциональных зависимостей, ее определения и утверждения слишком громоздки для данного курса.

Функциональные зависимости

ru/2010/edi»>Наиболее важные с практической точки зрения нормальные формы отношений основываются на фундаментальном в теории реляционных баз данных понятии функциональной зависимости. Для дальнейшего изложения нам потребуется несколько определений и утверждений (по ходу изложения мы будем пояснять их и иллюстрировать).

Общие определения

Пусть задана переменная отношения r, и X и Y являются произвольными подмножествами заголовка r («составными» атрибутами).

В значении переменной отношения r атрибут Y функционально зависит от атрибута X в том и только в том случае, если каждому значению X соответствует в точности одно значение Y. В этом случае говорят также, что атрибут X

ru/2010/edi»>Для примера будем использовать отношение СЛУЖАЩИЕ_ПРОЕКТЫ {СЛУ_НОМ, СЛУ_ИМЯ, СЛУ_ЗАРП, ПРО_НОМ, ПРОЕКТ_РУК} (рис. 6.1). Очевидно, что если СЛУ_НОМ является первичным ключом отношения СЛУЖАЩИЕ, то для этого отношения справедлива функциональная зависимость (Functional Dependency – FD) СЛУ_НОМ->СЛУ_ИМЯ.

На самом деле, для тела отношения СЛУЖАЩИЕ_ПРОЕКТЫ в том виде, в котором оно показано на рис. 6.1, выполняются еще и следующие FD (1):

Рис. 6.1.

СЛУ_НОМ->СЛУ_ИМЯ
СЛУ_НОМ->СЛУ_ЗАРП
СЛУ_НОМ->ПРО_НОМ
СЛУ_НОМ->ПРОЕКТ_РУК
{СЛУ_НОМ, СЛУ_ИМЯ}->СЛУ_ЗАРП
{СЛУ_НОМ, СЛУ_ИМЯ}->ПРО_НОМ
{СЛУ_НОМ, СЛУ_ИМЯ}->{СЛУ_ЗАРП, ПРО_НОМ}
…
ПРО_НОМ->ПРОЕКТ_РУК и т.д.

Поскольку имена всех служащих различны, то выполняются и такие FD (2):

СЛУ_ИМЯ->СЛУ_НОМ
СЛУ_ИМЯ->СЛУ_ЗАРП
СЛУ_ИМЯ->ПРО_НОМ и т. д.

Более того, для примера на рис. 6.1 выполняется и FD (3):

СЛУ_ЗАРП->ПРО_НОМ

Однако заметим, что природа FD группы (1) отличается от природы FD групп (2) и (3). Логично предположить, что идентификационные номера служащих должны быть всегда различны, а у каждого проекта имеется только один руководитель. Поэтому FD группы (1) должны быть верны для любого допустимого значения переменной отношения СЛУЖАЩИЕ_ПРОЕКТЫ и могут рассматриваться как

FD группы (2) базируются на менее естественном предположении о том, что имена всех служащих различны. Это соответствует действительности для примера из рис. 6.1, но возможно, что с течением времени FD группы (2) не будут выполняться для какого-либо значения переменной отношения СЛУЖАЩИЕ_ПРОЕКТЫ.

intuit.ru/2010/edi»>Наконец, FD группы (3) основана на совсем неестественном предположении, что никакие двое служащих, участвующие в разных проектах, не получают одинаковую зарплату. Опять же, данное предположение верно для примера из рис. 6.1, но, скорее всего, это случайное совпадение.

В дальнейшем нас будут интересовать только те функциональные зависимости, которые должны выполняться для всех возможных значений переменных отношений.

Заметим, что если атрибут A отношения r является возможным ключом, то для любого атрибута B этого отношения всегда выполняется FD A->B (в группе (1) к этим FD относятся все FD, детерминантом которых является СЛУ_НОМ ). Обратите внимание, что наличие в отношении СЛУЖАЩИЕ_ПРОЕКТЫ FD ПРО_НОМ->ПРОЕКТ_РУК приводит к некоторой избыточности этого отношения. Имя руководителя проекта является характеристикой проекта, а не служащего, но в нашем случае содержится в теле отношения столько раз, сколько служащих работает над проектом.

Итак, мы будем иметь дело с FD, которые выполняются для всех возможных состояний тела соответствующего отношения и могут рассматриваться как ограничения целостности. Как показывает (неполный) список (1), таких зависимостей может быть очень много. Поскольку они трактуются как ограничения целостности, за их соблюдением должна следить СУБД. Поэтому важно уметь сократить набор FD до минимума, поддержка которого гарантирует выполнение всех зависимостей. Мы займемся этим в следующих подразделах.

FD A->B называется тривиальной, если (т. е. множество атрибутов A включает множество B или совпадает с множеством B ).

Очевидно, что любая тривиальная FD всегда выполняется. Например, в отношении СЛУЖАЩИЕ_ПРОЕКТЫ всегда выполняется FD {СЛУ_ЗАРП, ПРО_НОМ}->СЛУ_ЗАРП. Частным случаем тривиальной FD является A->A.

Дальше >>

< Лекция 5 || Лекция 6: 1234 || Лекция 7 >

Уголок Джея 4

Прежде чем начать подсчет, нам нужно посмотреть на разницу между упорядоченными наборами (аранжировками) и неупорядоченными наборами (выборками). В упорядоченном множестве есть первый элемент, второй элемент, третий элемент и так далее. Изменение того, какой элемент считается первым, а какой вторым и т. д., изменяет упорядоченный набор, даже если используемые элементы не меняются. Предположим, у нас есть три элемента A, B и C. Количество упорядоченных множеств, которые мы можем составить из них, равно 6, т. е. ABC, ACB, BAC, BCA, CAB и CBA. Простой способ увидеть, как эти упорядоченные множества Приходится рисовать «дерево решений» (обычно мы рисуем дерево так, чтобы оно росло вниз, а не вверх) вот так:0003

С самого начала мы проводим ветвь к каждому элементу, который может быть первым элементом упорядоченного множества. От каждого из этих элементов мы проводим ветвь к элементу, который может быть вторым элементом упорядоченного множества, а затем от них мы проводим ветви к элементам, которые могут быть третьими элементами. В любой момент рисования дерева мы должны помнить, что мы использовали некоторые элементы, чтобы добраться до этой точки, поэтому они недоступны для продолжения. Мы вынуждены прекратить расширение дерева, когда больше нет элементов, которые можно использовать. Теперь каждый путь вдоль ветвей, начинающийся сверху и всегда спускающийся на нижний уровень, соответствует упорядоченному набору, упорядоченному набору меток, через которые вы проходите, двигаясь по этому пути.

Здесь я указал два таких пути, красный и зеленый, задав упорядоченные множества A C B и C A B. Количество путей легко сосчитать. В начале есть 3 ветви, и для каждой из них есть 2 ветви, которые могут продолжить путь (всего получается 6 = 3(2) двухветвевых путей), и, наконец, каждую из этих 6 можно продолжить в только одним способом, поэтому мы получаем в общей сложности 6 = 3 (2) (1) пути. Если бы мы начали с 4 элементов вместо 3 (вы должны сами нарисовать для этого дерево), мы бы получили 24 = 4(3)(2)(1) путей. Так как числа такого вида часто встречаются в математике, мы примем для них специальное обозначение, определим н! = n(n-1)(n-2) … (3)(2)(1) . Итак, 3! = 3(2)(1) = 6, 4! = 4(3)(2)(1) = 24 и 5! = 5(4)(3)(2)(1) = 120. Это обозначение читается как «n факториал». Подводя итог, можно сказать, что количество упорядоченных наборов из n элементов равно n!.

Вопрос : Сколько 6!, 7! и 8!.

Далее мы должны рассмотреть несколько другую задачу. Сколько упорядоченных наборов, содержащих только два элемента, можно составить из набора из четырех элементов? Легко видеть, что мы можем ответить на этот вопрос, начав рисовать дерево решений для всех упорядоченных наборов из четырех элементов, но затем остановившись на втором уровне.

Мы видим, что ответ равен 12 = 4(3). Если бы мы хотели, чтобы количество упорядоченных наборов размера 3, сделанных из набора размера 8, было бы 336 = 8 (7) (6). В общем случае количество упорядоченных наборов размера k, которое можно составить из набора размера n, обозначается P(n,k) и равно числу n(n-1)(n-2).. , (n-k+1). Обратите внимание, что здесь умножается ровно k чисел.

Вопрос : Найдите значения для P(5,2), P(7,4), P(6,1), P(3,3) и P(4,3).

Обратите внимание, что предыдущая задача нахождения количества всех упорядоченных множеств с n элементами на самом деле является частным случаем этой второй задачи. Другой способ сказать это состоит в том, что P(n,n) = n!.

Теперь мы можем найти формулу для C(n,k). Мы сделаем это, найдя другой способ подсчета количества упорядоченных наборов размера k, которые можно составить из набора размера n. Вернемся к проблеме нахождения количества упорядоченных множеств размера 2 в множестве размера 4. Мы можем получить эти множества, выбрав сначала подмножество размера 2 из множества размера 4 (имеется C(4,2) таких множеств). ), а затем упорядочить элементы этого подмножества (что можно сделать P(2,2) = 2! способами). Для каждого из подмножеств C(4,2) мы получим P(2,2) упорядоченных наборов размера 2, поэтому общее количество упорядоченных наборов размера 2 равно произведению C(4,2)P(2,2) ). Но мы уже знаем, что ответ P(4,2), поэтому мы должны иметь P(4,2) = C(4,2) P(2,2). Записав это в числовой форме, мы получим 12 = 4(3) = C(4,2) 2! = 2 С(4,2). Таким образом, находя C(4,2), мы получаем 12/2 = 6. Делая то же самое в целом, мы получаем P(n,k) = C(n,k) P(k,k). Итак, мы можем найти C(n,k) и получить:

Эту формулу иногда записывают немного по-другому, умножая верх и низ дроби на (n-k)! и используя тот факт, что n(n-1)…(n-k+1) (n-k)! = n!, мы можем написать:

Вопрос : Найдите C(5,3), C(10,2), C(12,3) и C(6,4) по этой формуле.

6! = 6(5)(4)(3)(2)(1) = 720
7! = 7(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 5040
8! = 8(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 40320
Обратите внимание, как быстро эти числа становятся большими. Какое наибольшее число факториалов может обработать ваш калькулятор?

P(5,2) = 5(4) = 20
P(7,4) = 7(6)(5)(4) = 840
P(6,1) = 6
P(3,3) = 3(2)(1) = 6
P(4,3) = 4(3)(2) = 24
C(5,3) = 5(4)(3)/3(2)(1) = 10
С(10,2) = 10(9)/2(1) = 45
С(12,3) = 12(11)(10)/3(2)(1) = 220
С(6, 4) = 6(5)(4)(3)/4(3)(2)(1) = 15

Вы должны проверить это с результатами треугольника Паскаля.

Символы диаграммы Венна и обозначения

Время чтения: около 6 минут

Автор: Lucid Content Team

Символы диаграммы Венна

∪: Объединение двух наборов. Полная диаграмма Венна представляет объединение двух множеств.

∩: Пересечение двух множеств. Пересечение показывает, какие элементы являются общими для категорий.

A ^c : Дополнение к набору. Дополнением является то, что не представлено в наборе.

Пришло время серьезно поговорить о диаграммах Венна, и мы говорим не о диаграммах Венна из вашей начальной школы. Мы говорим о хардкорных визуальных эффектах, созданных серьезными профессионалами для представления сложных математических идей.

Диаграммы Венна — это визуальные представления математических множеств — или коллекций чисел или вещей — которые изучаются с помощью раздела логики, называемого теорией множеств. Теория множеств — одна из основополагающих систем математики, и она помогла развить наше современное понимание бесконечности и действительных чисел.

Исследователи и математики разработали язык и систему обозначений на основе теории множеств. Если вы хотите узнать их секреты, вам следует ознакомиться с этими символами диаграммы Венна.

Это руководство проведет вас через процесс создания диаграммы Венна, объясняя используемые символы. Мы будем использовать Lucidchart для создания наших примеров, потому что он прост в использовании и совершенно бесплатен. Если вы хотите следовать или построить свою собственную диаграмму Венна, все, что вам нужно сделать, это создать бесплатную учетную запись. Теперь приступим!

Диаграммы Венна и теория множеств

В теории множеств используется более 30 символов, но для понимания основ необходимо знать только три. Как только вы освоите их, не стесняйтесь переходить к более сложным вещам.

Объединение двух наборов: ∪

Каждый круг или эллипс представляет категорию. Объединение двух множеств представлено ∪. (Не путайте этот символ с буквой «u».)

Это диаграмма Венна с двумя кругами. Зеленый кружок — это A, а синий — B. Полная диаграмма Венна представляет собой объединение A и B, или A ∪ B. Не стесняйтесь щелкать изображение, чтобы попробовать эту диаграмму в качестве шаблона.

Как будет выглядеть объединение двух множеств в реальном мире? Набор А может представлять группу людей, играющих на фортепиано. Набор B может представлять гитаристов. A ∪ B представляет тех, кто играет на фортепиано, гитаре или и на том, и на другом.

Пересечение двух множеств: ∩

При построении диаграммы Венна нас часто интересует пересечение двух множеств, т. е. какие элементы являются общими для категорий. На этой диаграмме бирюзовая область (где синий и зеленый перекрываются) представляет собой пересечение A и B, или A ∩ B.

среди пианистов и гитаристов есть те, кто владеет обоими инструментами.

Дополнение к набору: A

При построении диаграммы Венна вы также можете учитывать то, что не представлено в наборе. Это дополнение множества, обозначаемое A∁ (или A′), для множества A.

Абсолютное дополнение множества — это все, что не входит в множество. Это означает, что для данного универсума — или набора, содержащего элементы всех связанных множеств, обозначаемого U, на этот раз буквой, — все, что есть во вселенной, за исключением A, является абсолютным дополнением A в U. Это можно представить по уравнению A ^c = U \ A.

В случае с музыкальными инструментами это будут все, кто не играет на пианино.

Диаграмма Венна для быстрого питания, иллюстрирующая теорию множеств

Чтобы помочь вам закрепить практическое применение теории множеств, давайте рассмотрим пример. Начнем с опроса о предпочтениях трех человек в отношении фаст-фуда. Эти три человека, которых мы назначим A, B и C, указывают, какие рестораны им нравятся. Диаграмма с тремя кругами охватывает все возможности: ресторан не выберет ни один респондент, один, два или все три.

Вот результаты:

Теперь пришло время создать диаграмму Венна, представляющую результаты. Мы начали с шаблона ниже. Он использует объясняемый нами символ ∩, чтобы показать пересечение между двумя и тремя множествами. Есть восемь регионов, которые могли бы занять наши рестораны.

Теперь мы заполним нашу диаграмму Венна в соответствии с результатами. В A ∩ B у нас есть Wendy’s, потому что ее выбрали и респондент A, и респондент B. Burger King никто не выбирал, но он существует во вселенной доступных ресторанов быстрого питания, поэтому он находится в белом пространстве за пределами диаграммы. Пересечение всех трех, A ∩ B ∩ C, имеет Chick-fil-A, поскольку его выбрали все три респондента.

Вот как выглядит окончательная диаграмма:

Теперь у нас есть наглядное пособие, если мы выбираем, куда эти три человека должны пойти на обед!

Теперь, когда вы увидели диаграмму Венна в действии, вот пример, который вы можете легко изменить, чтобы создать свой собственный!

Теперь, когда вы знаете символы диаграммы Венна, прочитайте, как их составить!

Дополнительная литература по символам диаграммы Венна

Если вы хотите узнать больше о теории множеств и создать высококачественные диаграммы Венна, есть несколько доступных ресурсов. Например, в Стэнфордской энциклопедии есть введение в теорию основных множеств.

Чтобы узнать больше об истории диаграмм Венна, прочитайте нашу страницу с ответом «Что такое диаграмма Венна?» Хотя Джон Венн популяризировал представление теории множеств с помощью перекрывающихся кругов, идеи и символы на диаграммах Венна фактически предшествовали ему.

Быстрое слово

Если вы следили за Lucidchart, вы, вероятно, поняли, что это идеальное решение для диаграмм Венна. Поскольку вы редактируете в облаке, вы можете легко сотрудничать с коллегами, импортировать изображения и делиться своими диаграммами в цифровом или печатном виде.

Посмотрите, как работает наш конструктор диаграмм Венна.

Начните строить диаграммы с Lucidchart сегодня — попробуйте бесплатно!

Популярно сейчас

Зарегистрируйтесь, чтобы получать последние обновления и советы Lucidchart по электронной почте один раз в месяц.