Модуль уравнение: Решение уравнений с модулями

уравнения / Уравнение с модулем / Математика

$$|x|+|2x-3|=|3x+5|-8$$ Пробовал решать через возведение обоих частей в квадрат, но ответ получился некорректный. уравнения модуль задан 18 Ноя ’14 16:00 Ekzo609 94●1●6●22 82% принятых изменен 18 Ноя ’14 23:26 Виталина 99●1●7

старыеновыеценные

Перенесите правый модуль влево, получится: $%|а|+|b|-|c|=a+b-c$%. Следовательно система $%a\geq0$%, $%b\geq0$%, $%c\geq0$%. ссылка отвечен 18 Ноя ’14 16:27 epimkin 23.9k●9●46 изменен 18 Ноя ’14 23:29 Виталина 99●1●7

Есть три точки перелома: $%x=-\!\!\frac53\!\!, \;x=0, \;x=\frac32\!\!.$% Справа от самой правой: $%3x-3=3x-3,\;$%подходит любой $%x. $% Между самой левой и самой правой: разность левой и правой частей строго убывает, там решений нет. Слева от самой левой: $%3-3x=-13-3x,\;$%решений нет. ссылка отвечен 18 Ноя ’14 18:16 trongsund 3.2k●2●15

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

3. Модуль числа. Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля

Геометрический смысл модуля: – расстояние от точки 0 до точки на числовой прямой. Модуль называют еще абсолютной величиной.

Аналитически его определяют так: .

Если под знаком модуля стоит неотрицательное выражение, то знак модуля можно опустить и выражение, стоящее под знаком модуля, записать без изменения. Если под знаком модуля стоит отрицательное выражение, то знак опустив модуля, выражение, стоящее под знаком модуля, взять в скобки и перед ним поставить знак «минус».

Основные свойства модуля:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ; 8. .

Используя геометрический смысл модуля и его определение получают способы решения уравнений с модулем.

I тип уравнений

, где число

1. если , то решений нет;

2. если , решаем уравнение ;

3. если , решаем совокупность уравнений: .

II тип уравнений

(2), где некоторые выражения с переменной. Решать это уравнение можно несколькими способами:

1–й способ – используя определение модуля:

2–й способ – используя подход как к уравнениям I типа:

Замечание: 1–й и 2–й способ в решении таких уравнений выбирают в зависимости от того, какое неравенство или решается легче.

3–й способ – метод интервалов:

1) находим критические точки: ;

2) наносим полученные значения на числовую ось ;

3) определяем знаки для каждого из полученных интервалов;

4) рисуем кривую знаков;

5) решаем уравнение на каждом промежутке в отдельности, раскрывая модуль согласно рисунку;

6) ОДЗ. Если это не вся числовая ось, учитываем сразу на рисунке после того как нарисовали кривую знаков.

III тип уравнений

Уравнения содержат несколько модулей: , (3), где .

1–й способ – можно использовать определение модуля и рассматривать 4 случая возможных знаков , . Этот способ, как правило, не является рациональным.

2–й способ – метод интервалов: рисуем столько числовых осей и кривых знаков, сколько модулей в уравнении.

IV тип уравнений , (4), где .

1–й способ – решаем совокупность уравнений: .

2–й способ – метод интервалов.

₃–й способ – используя теорему равносильности: если обе части уравнения , где при всех значениях из области определения, возвести в одну и ту же натуральную степень , то получится уравнение , равносильное данному.

Поэтому уравнение (4) равносильно уравнению: Далее используем свойство квадрата модуля:

V тип уравнений Это уравнения, решаемые заменой переменной. Например: , (5)

4. Модуль числа. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

Опр. |f(x)|=f(x), x>0 – модуль функции. –f(x), x<0

а , если а ≥ 0, – модуль числа

Определение: l а l=

–а, если а<0.

Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

Теория чисел. Модульная арифметика

◀ Теория чисел. Алгоритм Евклида ▶

Содержание

Пусть \(n\) — положительное целое число. Обозначим множество \([0..n-1]\) через \(\mathbb{Z}_n\).

Мы считаем два целых числа \(x, y\) одинаковыми, если \(x\) и \(y\) отличаются на a кратно \(n\), и мы записываем это как \(x = y \pmod{n}\) и говорим, что \(x\) и \(y\) конгруэнтны по модулю \(n\). Мы можем опустить \(\pmod{n}\), когда ясно из контекста. Каждое целое число \(x\) конгруэнтно некоторому \(y\) в \(\mathbb{Z}_n\). Когда мы добавляем или вычесть кратные \(n\) из целого числа \(x\), чтобы получить некоторое \(у\в\mathbb{Z}_n\), мы говорим уменьшает \(x\) по модулю \(n\), а \(y\) является остатком .

Мы могли бы выбрать разные наборы для \(\mathbb{Z}_n\), например мы могли бы добавить \(n\) к каждому элементу, но по умолчанию будет \([0..n-1]\). Элементы в этом конкретном представлении \(\mathbb{Z}_n\) называются наименьшими остатками .

Пример : \(38 = 3 \pmod{5}\), так как \(38 = 7\умножить на 5 + 3\). \(-3 = 11 \pmod{14}\), так как \(-3 = (-1)\умножить на 14 + 11\).

Каков наиболее естественный способ выполнения арифметических действий в \(\mathbb{Z}_n\)? Учитывая два элемента \(x, y \in \mathbb{Z}_n\), мы можем складывать, вычитать или умножать их как целые числа, а затем результат будет соответствовать одному из элементов в \(\mathbb{Z}_n\).

Пример : \(6 + 7 = 1 \pmod{12}\), \(3 \times 20 = 10 \pmod{50}\), \(12 — 14 = 16 \pmod{18}\).

Эти операции ведут себя так же, как их обычные аналоги. Однако понятия размера нет. Говоря \(0

Division

Division явно отсутствует в приведенном выше обсуждении. Если \(y\) делит \(x\) как целые числа, то можно предположить, что мы могли бы использовать обычное определение. Посмотрим, к чему это приведет: у нас есть \(10 = 4 \pmod{6}\). Разделение обоих сторон на \(2\) дает неверное уравнение \(5 = 2 \pmod{6}\).

Таким образом, мы должны изменить значение деления. Интуитивно деление должно «отменять умножение», т. е. разделить \(x\) на \(y\) означает найти число \(z\) такое, что \(y\) умножить на \(z\) равно \(x\). Проблема выше в том, что существуют разные кандидаты на \(z\): в \(\mathbb{Z}_6\) и 5, и 2 дают 4 при умножении на 2.

Какой ответ мы должны выбрать для «\(4 / 2\)», \( 5\) или \(2\)? Мы могли бы ввести некоторые произвольные соглашения, такие как выбор наименьшего ответ при рассмотрении наименьшего остатка как целого числа, но тогда деление будет вести себя странно.

Вместо этого мы требуем уникальности, то есть \(x\), деленное на \(y\) по модулю \(n\), составляет всего определяется, когда существует уникальный \(z \in \mathbb{Z}_n\) такой, что \(x = y z\).

Мы можем получить условие на \(y\) следующим образом. Предположим, \(z_1 y = z_2 y \pmod {n}\). Тогда по определению это означает для некоторого \(k\) имеем \(y(z_1 — z_2) = k n\). Пусть \(d\) будет наибольшим общий делитель \(n\) и \(y\). Тогда \(n/d\) делит \(z_1 — z_2\) поскольку он не может делить \(y\), мы имеем

\[ z_1 y = z_2 y \pmod {n} \]

тогда и только тогда, когда

\[ z_1 = z_2 \pmod {n/d} . \]

Таким образом, уникальный \(z\) существует по модулю \(n\), только если наибольшее общее делитель \(y\) и \(n\) равен 1.

Обратные

Мы увидим, что существует единственное \(z\) тогда и только тогда, когда можно найти \(w \in \mathbb{Z}_n\) такое, что \(y w = 1 \pmod {n}\). Если такое \(w\) существует, то оно должно быть уникальным: предположим, что \(y w’\) также равно 1. {-1}\), если существует инверсия \(y\), иначе ответ не определено. 9{-1}) = 2 \pmod{6}\).

◀ Теория чиселАлгоритм Евклида ▶

Содержание

---

Бен Линн [email protected] 💡

Линейные уравнения по модулю

Линейные уравнения по модулю

Следующий: Маленькая теорема Ферма Up: Сравнения по модулю Предыдущий: Сравнения по модулю Содержимое Индекс

В этом разделе мы озабочены тем, как решить, является ли линейное уравнение форма имеет решение по модулю . Алгоритмы для вычисления решения для являются предметом раздела 2.3.

Сначала мы докажем предложение, которое дает критерий при что можно сократить количество с обеих сторон сравнения.

Предложение 2.1 (Отмена) Если и

затем .

Доказательство . По определению

С

, следует из теоремы 1.1.6 следует, что , так

как заявлено.

Когда имеет мультипликативную обратную в (т.е. ), то уравнение имеет уникальный решение по модулю . Таким образом, представляет интерес определить единицы в , т. е. элементы, имеющие мультипликативное обратное.

Будем использовать комплекты остатков доказать, что единицы в именно такой, что для любого лифта из к (неважно какой подъемник).

Определение 2.1 (Полный набор остатков) Мы называем подмножество

размера редукции которого по модулю находятся попарно различные a полный набор остатков по модулю . Другими словами, полный набор остатков есть выбор представитель для каждого класса эквивалентности в

.

Например, представляет собой полный набор вычетов по модулю . Когда , представляет собой полный набор остатков.

Лемма 2.1 Если представляет собой полный набор вычетов по модулю и с , затем также является полным набором вычетов по модулю .

Доказательство . Если

с

, затем Предложение 2.1.9 подразумевает, что

. Так как является полным набором вычетов, отсюда следует который . Таким образом, элементы имеют различные редукции по модулю . Отсюда следует, что , который это полный набор остатков по модулю .

Предложение 2.1 (Единицы) Если , то уравнение имеет решение, и это решение единственно по модулю .

Доказательство . Позволять быть полным набором вычетов по модулю , здесь является уникальным элементом что соответствует по модулю . По лемме 2.1.11 также является полным набором вычетов по модулю , так есть уникальный элемент это соответствует к по модулю , и у нас есть

.

Алгебраически это предложение утверждает, что если , затем карта дается левым умножением на является биекция.

Пример 2.1 Рассмотрим уравнение

, и полный комплект

представителей смежных классов. У нас есть

так

.

Когда , то уравнение может или может не иметь решения. Например, не имеет решение, но делает, а на самом деле имеет более один мод ( и ). Обобщение Предложение 2.1.12, мы получаем следующее более общее критерий разрешимости.

Предложение 2.1 (Разрешимость) Уравнение имеет решение если и только если делит .

Доказательство .