Модуль в неравенстве: Ничего не найдено для Ru Ege Materialy Matematika Uravneniya I Neravenstva S Modulem %23Sleva Modul Sprava Chislo

01Математика — 8 класс. Алгебра — Элементарные неравенства с модулем

Skip to main content

2. Классы
3. 8 класс. Алгебра
4. 04. Системы линейных неравенств, элементарные неравенства с модулем
5. Теория: 10 Элементарные неравенства с модулем

• 1Пример
• 2Пример
• 3Пример
• 4Пример

Задание

Решение

Запишем неравенство \(\displaystyle |x|>7\) в виде совокупности двух систем. 

По определению

Определение

Модуль

Для переменной \(\displaystyle x\) функция модуль \(\displaystyle x{ \small ,}\) обозначаемая \(\displaystyle |x|{ \small ,}\) определена как

\(\displaystyle |x|=\left\{\begin{aligned}x, & \text{ если } x\ge 0{ \small ,}\\-x,& \text{ если } x< 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

получаем два случая:

• \(\displaystyle x\ge 0{ \small ,}\) тогда \(\displaystyle |x|=x{ \small ,}\)
• \(\displaystyle x<0{ \small ,}\) тогда \(\displaystyle |x|=-x{\small . }\)

Поэтому,

• если \(\displaystyle x\ge 0{ \small ,}\) то \(\displaystyle x >7{\small .}\) То есть

  \(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x&\ge 0{ \small ,}\\ x &>7{\small .} \end{aligned} \right.\)

• если \(\displaystyle x< 0{ \small ,}\) то \(\displaystyle -x >7{\small .}\) То есть

  \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&< 0{ \small ,}\\ -x &>7{\small .} \end{aligned} \right.\)

Значит, неравенство \(\displaystyle |x| >7\) эквивалентно совокупности двух систем:

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\ge 0{ \small ,}\\ x &>7 \end{aligned} \right.\)

или

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 { \small ,}\\ -x &>7{\small .} \end{aligned} \right.\)

 

Решим эти две системы.
 

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\ge 0{ \small ,}\\ x &>7 \end{aligned} \right. \) Неравенство \(\displaystyle x\ge 0\) соответствует множеству точек на прямой: Неравенство \(\displaystyle x>7\) соответствует множеству точек на прямой: Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно больше либо равна \(\displaystyle 0\) и больше \(\displaystyle 7{\small :}\) Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств. Значит, решение – \(\displaystyle x\in (7;+\infty){\small .} \)

или

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 { \small ,}\\ -x &>7{\small .} \end{aligned} \right.\) Умножим обе части второго неравенства на \(\displaystyle -1{\small : } \) \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 \\ -x &>7 \,| \cdot (\color{blue}{ -1}) \end{aligned} \right.\) \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 { \small ,}\\ x &<-7{\small .} \end{aligned} \right. \) Неравенство \(\displaystyle x< 0\) соответствует множеству точек на прямой: Неравенство \(\displaystyle x<-7\) соответствует множеству точек на прямой: Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно меньше \(\displaystyle 0\) и меньше \(\displaystyle -7{\small :}\) Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств. Значит, решение – \(\displaystyle x\in (-\infty;-7){\small .} \)

Таким образом, получили:

\(\displaystyle x\in (7;+\infty)\qquad\) или \(\displaystyle \qquad x\in (-\infty;-7) \)

Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;-7)\cup (7;+\infty){\small .} \)

Вход

Войти через

Регистрация

Неравенства с модулем

Справочник по математике для школьников и абитуриентов / Элементарная математика

26.12.201526. {2}.» />
(аналогичные свойства для неравенств имеют место, если в последней равносильности будет знак ). Иногда используется геометрическая интерпретация модуля, согласно которой есть расстояние на числовой прямой между точками и . Неравенство вида , если 0″ />, если , то неравенство решений не имеет. Неравенство вида a \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} f(x)>a,\\ f(x) если , то решением неравенства a» /> будет множество допустимых значений функции ; если , то решением неравенства a» /> будет множество тех , для которых .


При решении неравенств, содержащих более одного модуля, применяют метод интервалов для модулей.
Пример 1. Решить неравенство
Решение.
1 способ.
Поскольку при , то получаем

2 способ.
Возведя обе части исходного неравенства в квадрат, получим равносильное ему неравенство

(последнюю равносильность можно получить, используя, например, метод интервалов).
3 способ.
Используем определение модуля Отсюда исходное неравенство можно заменить совокупностью двух систем неравенств: Из первой системы получаем , из второй системы . Отсюда искомое решение будет объединением решений 1 и 2 систем, т. е. Ответ:
Пример 2.
Решить неравенство -2″ />.
Решение. Поскольку -2″ />, то исходное неравенство выполняется для любого действительного , т. е. .
Ответ: .
Пример 3. Решить неравенство 7.» />
Решение.
1 способ. Поскольку при 0″ />a\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} f(x)>a,\\ f(x),то имеем:7\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} 3x-2>7,\\ 3x-23,\\ x2 способ. Исходное неравенство можно заменить двумя системами (точнее совокупностью двух систем неравенств):
7; \end{matrix}\right.» />
7; \end{matrix}\right.» />
Решая систему а), найдем 3″ />. Решая систему b), найдем . Решение исходного неравенства есть объединение решений систем а) и b), т. е.
Ответ:
Пример 4.
Решить неравенство
Решение. Поскольку , то исходное неравенство решений не имеет.
Ответ: .
Тегинеравенства с модулемнеравенства содержащие знак модулянеравенства содержащие модульнеравенство х модулярешение неравенств с модулем

Приведенные модули и неравенства для многочленов

Приведенные модули и неравенства для многочленов

Скачать PDF

Скачать PDF

• Опубликовано: Август 2002 г.
• Дубинин В. Н. ¹ и
• В.Ю. Ким
  1  

Журнал математических наук том 110 , страницы 3070–3077 (2002 г.)Процитировать эту статью

• 43 доступа

• 3 Цитаты

• Сведения о показателях

Abstract

Мы применяем технику обобщенных редуцированных модулей при доказательстве некоторых неравенств для многочленов. Получены различные оценки модуля производной через модуль полинома, его старшего коэффициента, распределения нулей или образов критических точек.

Библиография: 9титулы.

Скачайте, чтобы прочитать полный текст статьи

ССЫЛКИ

1. P. Borwein and T. Erdelyi, Полиномы и полиномиальные неравенства , Нью-Йорк (1995).

2. А. И. Кострикин, Введение в алгебру. Основы алгебры . М., 1994.

3. Дубинин В. Н., Приведенные модули открытых множеств в теории аналитических функций, Докл. Рос. акад. Наук , 363 , 731-734 (1998).

   Google ученый

4. Азиз А. и Ратер Н.А., “ L ^стр.

   неравенства для многочленов, Гл. мат. , 32(52) , 39-43 (1997). Google ученый

5. Джайн В. К., Обобщение некоторых известных неравенств для полиномов, , Гласник Матем. , 32(52) , 45-51 (1997).

   Google ученый

6. Азиз А. и Ратер Н.А. Уточнение теоремы Пола Турана о полиномах, Math. Inequal. Appl. , 1 , 231-238 (1998).

   Google ученый

7. Дубинин В. Н. Асимптотика модуля вырожденного конденсатора и некоторые их приложения. Зап. науч. сем. ПОМИ 9.0026, 237 , 56-73 (1997).

   Google ученый

8. Дубинин В. Н., Ковалев Л. В. Приведенный модуль сложной сферы //

   Зап. науч. сем. ПОМИ . Google ученый

9. Полиа Г., Сего Г., Изопериметрические неравенства в математической физике, , М., 1962.

Скачать ссылки

Сведения об авторах

Авторы и организации

1. Институт прикладной математики ДВО РАН, Россия

   В. Н. Юбинин, В. В. Дубинин. Ким

Авторы

1. Дубинин В. Н.

   Просмотр публикаций автора

   Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

2. В.Ю. Ким

   Посмотреть публикации автора

   Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

Права и разрешения

Перепечатка и разрешения

Об этой статье

Функциональное неравенство в ограниченных областях банаховых модулей | Успехи в непрерывных и дискретных моделях

В этом разделе мы исследуем проблему устойчивости -линейных отображений, связанных с функциональным неравенством (1.2) в ограниченной области. Для удобства мы используем следующее сокращение для данной функции и

(31)

для всех

Теорема 3.1.

Пусть и будет дано. Предположим, что отображение удовлетворяет функциональному неравенству

(32)

для всех с и всех . Тогда существуют единственное -линейное отображение и константа такие, что

(33)

для всех

Доказательство.

Пусть с . Тогда из (3.2) следует, что

(34)

Таким образом,

(35)

для всех с и всех . Пусть и пусть Тогда Следовательно, из (3.5) следует, что

(36)

для всех с и для всех. Для случая пусть – элемент, определенный в доказательстве теоремы 2.2. Ясно, что используя (2.11) и (3.6), получаем

(37)

для всех с и всех . Отсюда

(38)

для всех и всех , где

(39)

Полагая и в (3.8) соответственно, получаем

(310)

для всех и всех . Из (3.8) и (3.10) следует, что

(311)

для всех . По результатам Хайерса [2] и Рассиаса [4] существует единственное аддитивное отображение, заданное формулой такое, что

(312)

для всех. Из определения и (3.2) следует, что и для всех с и для всех . Следовательно, -линейно по теореме 2. 2.

Применим результат теоремы 3.1 для изучения асимптотики обобщенного аддитивного отображения. Асимптотическое свойство аддитивных отображений было доказано Скофом [32] (см. также [30, 33]).

Следствие 3.2.

Пусть ненулевые положительные действительные числа. Предположим, что отображение с удовлетворяет

(313)

для всех тогда -линейно.

Доказательство.

Из (3.13) следует, что существует монотонно убывающая к нулю последовательность такая, что

(314)

для всех с и всех . Поэтому

(315)

для всех с и всех. Применяя (3.15) и теорему 3.1, мы получаем последовательность единственных -линейных отображений, удовлетворяющих условию

(316)

для всех . Поскольку последовательность монотонно убывает, заключаем

(317)

для всех и всех Единственность импликаций для всех Отсюда, вводя (3.16), получаем, что -линейно.

Следующая теорема является другим вариантом теоремы 3.1 для случая

Теорема 3. 3.

Пусть даны и пусть ненулевые действительные числа. Предположим, что отображение с удовлетворяет функциональному неравенству

(318)

для всех с и всех . Тогда существует единственное -линейное отображение такое, что

(319)

для всех с и .

Доказательство.

Вводя (3.18), получаем

(320)

для всех с и для всех . Отсюда

(321)

для всех с и всех . Из (3.21) следует, что

(322)

для всех с и всех . Складывая (3.21) с (3.22), получаем

(323)

для всех с и всех . Поэтому

(324)

для всех с . Пусть с. Мы можем подставить в (3.24), чтобы получить

(325)

. Мы можем заменить в (3.25) для всех неотрицательных целых чисел. Тогда, используя аналогичные рассуждения, приведенные в [4], мы имеем

(326)

Отсюда имеем следующее неравенство:

(327)

для всех с и всех целых чисел Так как полно, (3.27) показывает, что предел существует для всех с . Полагая и в (3.27), получаем, что выполняется неравенство (3.19) для всех с . Из определения и (3.24) следует, что

(328)

для всех с . Отсюда

(329)

для всех с . Мы распространяем аддитивность на все пространство, используя метод расширения Скофа [34]. Пусть и дано с Пусть будет наименьшим целым числом таким, что мы определяем отображение с помощью

(330)

Позвольте дано с и пусть будет наименьшим целым таким, что Тогда является наименьшим целым числом, удовлетворяющим Если , у нас есть и . Следовательно Для случая , из определения этого следует

(331)

Из определения и (3.29) получаем, что справедливо для всех Пусть и пусть будет целым числом таким, что Тогда

(332)

Осталось доказать, что является -линейным. Пусть и пусть будет положительным целым числом таким, что Поскольку для всех и удовлетворяет (3.28), мы имеем

(333)

Следовательно, является аддитивным. Поскольку для всех имеем из (3. 22), что для всех и всех Спуская, получаем . Поэтому для всех и вся Это доказывает, что -линейно. Также удовлетворяет неравенству (3.19) для всех с по определению .

Для этого случая воспользуемся примером Гайды [35] и приведем следующий контрпример.

Пример 3.4.

Пусть определим через

(334)

Рассмотрим функцию по формуле

(335)

Ясно, что непрерывен, ограничен на и

(336)

для всех (см. [35]). Из (3.36) следует, что для всех выполняется

(337)

Сначала покажем, что

(338)

для всех Если удовлетворяет (3.38) для всех, то удовлетворяет (3.38) для всех. это, пусть (результат очевиден при ). Тогда для всех Заменив на , получим, что для всех Отсюда можно считать, что Если или то

(339)

Теперь предположим, что Тогда существует целое число такое, что

(340)

Следовательно,

(341)

Следовательно,

(342)

для всех. Из определения и (3.

No related posts.