Наибольшее значение функции на графике функции: Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке — урок. Алгебра, 10 класс.

2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Содержание

Что исследует?

Для периодических функций идет исследование графика функции только на промежутке периода

Наш калькулятор позволяет исследовать график функции. Но пока что нет возможности находить область определения функции

Что умеет находить этот калькулятор:

Область определения функции: Да. Умеет определять только точки, в которых знаменатель функции обращается в нуль, но в остальных случаях:
Умеет определять точки пересечения графика функции с осями координат: Да
Экстремумы функции: интервалы (отрезки) возрастания и убывания функции: Да
Точки перегибов графика функции: перегибы: интервалы выпуклости, вогнутости (впуклости): Да
Вертикальные асимптоты : Да (это завязано с областью определения функции, на точки, где знаменатель функции обращается в нуль)
Горизонтальные асимптоты графика функции: Да
Наклонные асимптоты графика функции: Да
Четность и нечетность функции: Да
Минимум и максимум функции: Да

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

absolute(x): Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)
arccos(x): Функция — арккосинус от x
arccosh(x): Арккосинус гиперболический от x
arcsin(x): Арксинус от x
arcsinh(x): Арксинус гиперболический от x
arctg(x): Функция — арктангенс от x
arctgh(x): Арктангенс гиперболический от x
exp(x): Функция — экспонента от x (что и e^x)
log(x) or ln(x): Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))
sin(x): Функция — Синус от x
cos(x): Функция — Косинус от x
sinh(x): Функция — Синус гиперболический от x
cosh(x): Функция — Косинус гиперболический от x
sqrt(x): Функция — квадратный корень из x
sqr(x) или x^2: Функция — Квадрат x
ctg(x): Функция — Котангенс от x
arcctg(x): Функция — Арккотангенс от x
arcctgh(x): Функция — Гиперболический арккотангенс от x
tg(x): Функция — Тангенс от x
tgh(x): Функция — Тангенс гиперболический от x
cbrt(x): Функция — кубический корень из x
gamma(x): Гамма-функция
LambertW(x): Функция Ламберта
x! или factorial(x): Факториал от x
DiracDelta(x): Дельта-функция Дирака
Heaviside(x): Функция Хевисайда

Интегральные функции:

Si(x): Интегральный синус от x
Ci(x): Интегральный косинус от x
Shi(x): Интегральный гиперболический синус от x
Chi(x): Интегральный гиперболический косинус от x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа: вводить в виде 7. 3; — возведение в степень
x + 7: — сложение
x — 6: — вычитание
15/7: — дробь

Другие функции:

asec(x): Функция — арксеканс от x
acsc(x): Функция — арккосеканс от x
sec(x): Функция — секанс от x
csc(x): Функция — косеканс от x
floor(x): Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x): Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x): Функция — Знак x
erf(x): Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x): Функция Лапласа
asech(x): Функция — гиперболический арксеканс от x
csch(x): Функция — гиперболический косеканс от x
sech(x): Функция — гиперболический секанс от x
acsch(x): Функция — гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:

pi: Число «Пи», которое примерно равно ~3. 14159..
e: Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
i: Комплексная единица
oo: Символ бесконечности — знак для бесконечности

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

(не выбрано)9 класс10 класс11 класс1-й курс2-й курс3-й курс4-й курсдругое

Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке 10 класс

Тема: Производная

Урок: Применение производной для отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке

1. Введение. Постановка задачи

На этом занятии рассмотрим более простую задачу, а именно, будет задан промежуток, будет задана непрерывная функция на этом промежутке. Надо узнать наибольшее и наименьшее значение заданной функции на заданном промежутке.

2. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции без производной

№ 32.1 (б). Дано: , . Нарисуем график функции (см. рис.1).

Рис. 1. График функции .

Известно, что эта функция возрастает на промежутке , значит, она возрастает и на отрезке . А значит, если найти значение функции в точках и , то будут известны пределы изменения данной функции, ее самое большое и самое маленькое значение.

Когда аргумент возрастает от до 8, функция возрастает от до .

Ответ: ; .

3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений тригонометрической функции

№ 32.2 (а) Дано: Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке.

Построим график этой функции (см. рис.2).

Если аргумент меняется на промежутке , то функция возрастает от -2 до 2. Если аргумент возрастает от , то функция убывает от 2 до 0.

Рис. 2. График функции .

Найдем производную .

, . Если , то и это значение принадлежит заданному отрезку . Если , то . Легко проверить, если принимает другие значения, соответствующие стационарные точки выходят за пределы заданного отрезка. Сравним значения функции на концах отрезка и в отобранных точках, в которых производная равна нулю. Найдем

;

Ответ: ;.

Итак, ответ получен. Производную в данном случае можно использовать, можно не использовать, применить свойства функции, которые были изучены ранее. Так бывает не всегда, иногда применение производной – это единственный метод, который позволяет решать подобные задачи.

4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции с помощью производной

№ 32.10 (а)

Дано: , . Найти наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.

Если в предыдущем случае можно было обойтись без производной – мы знали, как себя ведет функция, то в данном случае функция довольно сложная. Поэтому, ту методику, которую мы упомянули на предыдущей задаче, применим в полном объеме.

1. Найдем производную . Найдем критические точки , отсюда , — критические точки. Из них выбираем те, которые принадлежат данному отрезку: . Сравним значение функции в точках , , . Для этого найдем

;

Проиллюстрируем результат на рисунке (см. рис.3).

Рис. 3. Пределы изменения значений функции

Видим, что если аргумент меняется от 0 до 2, функция изменяется в пределах от -3 до 4. Функция меняется не монотонно: она либо возрастает, либо убывает.

Ответ: ;.

5. Алгоритм решения задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

Итак, на трех примерах была продемонстрирована общая методика нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке, в данном случае – на отрезке.

Алгоритм решения задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции:

1. Найти производную функции.

2. Найти критические точки функции и отобрать те точки, которые находятся на заданном отрезке.

3. Найти значения функции на концах отрезка и в отобранных точках.

4. Сравнить эти значения, и выбрать наибольшее и наименьшее.

6. Решение задачи

Рассмотрим еще один пример.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции , .

Ранее был рассмотрен график этой функции (см. рис.4).

Рис. 4. График функции .

На промежутке область значения этой функции . Точка — точка максимума. При — функция возрастает, при – функция убывает. Из чертежа видно, что , — не существует.

7. Итог урока

Итак, на уроке рассмотрели задачу о наибольшем и наименьшем значении функции, когда заданным промежутком является отрезок; сформулировали алгоритм решения подобных задач.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы). -М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник).

2. Портал Естественных Наук (Источник).

3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).

Сделай дома

№ 46.16, 46.17 (в) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)

Функция наибольшего целого числа — график, домен, диапазон, примеры

Функция наибольшего целого числа также известна как ступенчатая функция.

Он округляет число до ближайшего целого числа, меньшего или равного заданному числу. Наибольшая целочисленная функция имеет ступенчатую кривую, которую мы рассмотрим в следующих разделах. Область определения наибольшей целочисленной функции равна ℝ, а ее диапазон равен ℤ.

Таким образом, функция наибольшего целого числа просто округляет заданное число до наибольшего целого числа, меньшего или равного данному числу. Здесь мы узнаем больше о наибольшей целочисленной функции, ее графике и свойствах.

1.	Что такое функция наибольшего целого числа?
2.	Домен и диапазон функции наибольшего целого числа
3.	График наибольшей целочисленной функции
4.	Свойства функции наибольшего целого числа
5.	Часто задаваемые вопросы о функции наибольшего целого числа

Что такое функция наибольшего целого числа?

Функция наибольшего целого числа — это функция, которая возвращает наибольшее целое число, меньшее или равное заданному числу. Наибольшее целое число, меньшее или равное числу x, представляется как ⌊x⌋. Мы округлим данное число до ближайшего целого числа, которое меньше или равно самому числу. Математически функцию наибольшего целого числа ⌊x⌋ можно определить следующим образом:

⌊x⌋ = n, где n ≤ x < n + 1 и n — целое число.

Например, ⌊3,02⌋ = 3, поскольку 3 ≤ 3,02 < 4.

Очевидно, что входная переменная x может принимать любое действительное значение. Однако на выходе всегда будет целое число. Кроме того, все целые числа будут встречаться в выходном наборе.

Домен и диапазон функции наибольшего целого числа

Наибольшая целочисленная функция имеет область определения функции как множество всех действительных чисел (ℝ), а ее областью значений является множество всех целых чисел (ℤ). Давайте поймем область определения и диапазон функции, наблюдая за следующими примерами наибольшей целочисленной функции в следующей таблице:

Значения x	ф(х)=⌊х⌋
3. 1	f(3.1) = ⌊3.1⌋ = 3
2,999	f(2,999) = ⌊2,999⌋ = 2
−2,7	f(−2,7) = ⌊−2,7⌋ = −3
4	f(4) = ⌊4⌋ = 4
−7	f(−7) = ⌊−7⌋ = −7

Здесь значения x могут быть любыми действительными числами, поэтому область определения наибольшей целочисленной функции равна ℝ. Но обратите внимание, что все значения f(x) (значения y) являются целыми числами, и, следовательно, диапазон равен ℤ.

График функции наибольшего целого числа

График функции наибольшего целого числа известен как ступенчатая кривая из-за ступенчатой структуры кривой. Построим график наибольшей целочисленной функции. Во-первых, рассмотрим f(x) = ⌊x⌋, если x — целое число, то значением f будет сам x. Если x не является целым числом, то значением x будет целое число непосредственно перед x (слева от x).

Например,

Для всех чисел, лежащих в интервале [0, 1), значение f будет равно 0.
Для всего интервала [1, 2) f будет принимать значение 1.
Для интервала [−1, 0) f примет значение −1 и так далее.

Таким образом, для целого числа n все числа, лежащие в интервале [n, n+1), будут иметь значение наибольшей целочисленной функции как n. Функция имеет постоянное значение между любыми двумя целыми числами. Как только приходит следующее целое число, значение функции подскакивает на единицу. Это означает, что значение f при x = 1 равно 1 (а не 0), следовательно, будет пустая точка в (1, 0) и сплошная точка

в (1, 1), где пустая точка означает отсутствие значения, а сплошная точка означает включение значения. Эти наблюдения приводят нас к следующему графику.

Из приведенного выше графика ясно видно, что входными параметрами функции могут быть любые действительные числа, но на выходе всегда будут целые числа. Таким образом, областью определения этой функции являются действительные числа (ℝ), а ее диапазоном будут целые числа (ℤ).

Свойства функции наибольшего целого числа

Наибольшая целочисленная функция обладает многочисленными свойствами. Некоторые из важных свойств перечислены ниже.

⌊x+n⌋ = ⌊x⌋+n, где \(n \in \mathbb{Z}\)
⌊−x⌋ = \(\begin{case} & {-\left\lfloor x\right\rfloor}, & \text{if} x \in \mathbb{Z} \\ &{-\left\lfloor x \right\rfloor-1}, & \text{if } x \notin \mathbb{Z} \\ \end{cases}\)
Если ⌊f(x)⌋ ≥ L, то f(x) ≥ L
Если ⌊f(x)⌋ ≤ L, то f(x) < L + 1,

Важные примечания о функции наибольшего целого числа:

Следующие пункты помогут обобщить важные моменты функции наибольшего целого числа.

Если x число между последовательными целыми числами n и n+1, то ⌊x⌋=n. Если x целое число, то ⌊x⌋=x
Область определения наибольшей целочисленной функции равна ℝ, а ее диапазон равен ℤ.
График функции наибольшего целого числа содержит ступени, составленные из горизонтальных линий с одним концом в виде незаштрихованной точки и с другим концом в виде сплошной точки.

☛ Связанные темы:

Следующие ссылки связаны с функцией наибольшего целого числа

Натуральные числа
Представление действительных чисел в числовой строке
Квадратный корень из двух иррационален
Десятичное представление иррациональных чисел
Комплексный конъюгат
Рациональные числа

Примеры функции наибольшего целого числа

Пример 1: Какова область определения заданной функции наибольшего целого числа: f(x)=1/⌊x⌋?
Решение:
Знаменатель не должен быть равен 0, то есть ⌊x⌋≠0.
Наибольшая целая часть числа равна 0, если это число лежит в интервале [0,1).
Таким образом, для получения домена этот интервал необходимо исключить из множества действительных чисел.
Это означает, что область определения f равна R−[0,1).
Ответ: Домен = R−[0,1)
Пример 2: Найдите значение x такое, что ⌊x+1⌋ = 3.
Решение:
Из определения функции наибольшего целого числа имеем 3 ≤ x+1 < 4.
Вычтите 1 из этого неравенства.
Получаем, 2 ≤ x < 3
Ответ: x может принимать значения больше или равные 2 и меньше 3.
Пример 3: Найдите наибольшее целочисленное значение для следующего: (i) [13,01] (ii) [13,99] (ii) [-2,4].

Решение:
Наибольшее целочисленное значение функции для вышеприведенных случаев приведено ниже: ] = -3
Ответ: (i) 13 (ii) 13 (iii) -3.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по функции наибольшего целого числа

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о функции наибольшего целого числа

Что означает функция наибольшего целого числа?

Функция наибольшего целого числа — это функция, которая дает наибольшее целое число, меньшее или равное x. Эта функция обозначается ⌊x⌋. Мы округлим данное число до ближайшего целого числа, которое меньше или равно самому числу.

Как найти наибольшую целочисленную функцию числа?

Самый простой способ найти наибольшую целочисленную функцию числа — просто нанести ее на числовую прямую и выбрать первое целое число, стоящее слева от нее. Например, ⌊4,15⌋ = 4, ⌊-4,15⌋ = -5.

Каково другое название функции наибольшего целого числа?

Функция наибольшего целого числа также называется функцией пола. Здесь функция принимает наименьшее интегральное значение при округлении значения функции и, следовательно, называется функцией пола.

Почему функция наибольшего целого числа не дифференцируема?

Проверяя график функции наибольшего целого числа, мы видим, что он скачет всякий раз, когда достигает целого числа. Поскольку кривая разрывна в целых числах, она не дифференцируема в этих точках. Следовательно, для каждого целого числа функция наибольшего целого числа не дифференцируема.

Как вычислить функцию наибольшего целого числа отрицательного числа?

Найдем наибольшую целочисленную функцию от -3,2. т. е. ⌊-3,2⌋. Не думайте, что это равно -3. По определению у нас есть ⌊x⌋ = n, где n ≤ x < n + 1. Итак, подумайте, какое целое число находится непосредственно слева от -3,2, и ответ будет -4. Следовательно, ⌊-3,2⌋ = -4.

Является ли функция этажа дифференцируемой?

Функция пола или функция наибольшего целого числа не дифференцируема в целых числах. Функция пола имеет скачкообразные значения в целых числах, поэтому ее кривая известна как ступенчатая кривая. Кривая функции пола разрывна в целых числах и, следовательно, не дифференцируема в целых числах.

Каковы область определения и область значений функции наибольшего целого числа?

Вводом функции наибольшего целого числа может быть любое действительное число, тогда как выходом функции наибольшего целого числа всегда является целое число. Таким образом, областью определения этой функции являются действительные числа (ℝ), а ее диапазон — целые числа (ℤ).

Как построить график функции наибольшего целого числа?

Построить график функции наибольшего целого числа очень просто. Это ступенчатая кривая. Здесь f(x) = ⌊x⌋, если x — целое число, то значением f будет сам x, а если x — нецелое число, то значением x будет целое число непосредственно перед x. Следовательно, для целого числа n все числа из [n, n+1) будут иметь значение наибольшей целочисленной функции как n. Таким образом, для каждой пары n и n + 1 на оси x мы получаем небольшой участок горизонтальной линии, соответствующий y = n. Но обратите внимание, что у каждой горизонтальной линии есть закрытая точка слева и открытая точка справа.

Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

Рабочий лист функций

1.4 — Графики функций

Определения

Эти определения математически расплывчаты (это означает, что математик рвать на себе волосы, но нормальный человек может их понять).

График функции: График функции f — это множество всех упорядоченных пар ( x, f(x) ), где x находится в домен ф.
Увеличение функции: Функция возрастает на открытом интервале, если функция возрастает (положительный наклон) на интервал при движении слева направо.
Функция убывания: Функция убывает на открытом интервале, если функция падает (отрицательный наклон) на интервал при движении слева направо.
Постоянная функция: Функция является постоянной на открытом интервале, если функция остается постоянной (горизонтальная сегмент линии) на интервале при движении слева направо.
Относительный минимум: Функция имеет относительный минимум при x=a, если функция, оцененная при x=a, меньше, чем при x=a. любая другая точка в окрестности x=a. Относительный минимум является самая низкая точка в открытом интервале, но не обязательно во всей области. Родственник минимумы возникают, когда функция убывает слева от точки и возрастает справа от точки.
Относительный максимум: Функция имеет относительный максимум при x=a, если функция, оцененная при x=a, больше чем в любой другой точке окрестности x=a. Относительный максимум равен самая высокая точка в открытом интервале, но не обязательно во всей области. Относительные максимумы возникают, когда функция возрастает слева от точки и убывает справа от точки.
Функция наибольшего целого числа: Наибольшее целое значение — это наибольшее целое число, меньшее или равное этому значению.
Симметрия относительно оси Y: Отношение симметрично относительно оси y, если для каждой точки (x, y) на графике точка (-x,y) также находится на графике.
Симметрия относительно оси x: Отношение симметрично относительно оси x, если для каждой точки (x,y) на графике точка (x,-y) также находится на графике.
Симметрия относительно начала координат: Отношение симметрично относительно начала координат, если для каждой точки (x, y) на графике точка (-x,-y) также находится на графике.
Четная функция: Функция является четной, если для каждого x в области определения функции f(-x) = f(x)
Нечетная функция: Функция является нечетной, если для каждого x в области определения функции f(-x) = -f(x)

Проверка вертикальной линии

Отношение является функцией, если все вертикальные линии, проведенные через график отношения, пересекаются не более чем в одной точке.

Часто используется противопоставление этому.

Если вертикальная линия пересекает график отношения в двух или более точках, то отношение является не функция.

Функция наибольшего целого числа

Наибольшую целочисленную функцию часто называют целочисленной функцией (или Floor на верхнем уровне). математика), а на калькуляторе обозначается аббревиатурой INT. Вы можете найти функцию INT на калькулятор, войдя в меню [Math], проведя стрелкой вправо к параметру NUM, а затем выбрав функция INT (это номер 5 на TI83).

Целочисленную функцию иногда называют ступенчатой функцией из-за ступенчатого эффекта. получается при его построении. Обязательно используйте десятичную настройку при построении графика наибольшего целого числа. функцию, иначе вы получите странные результаты. Вы также можете использовать режим Dot вместо Connected. режим при построении графика целочисленной функции. Вы можете изменить режимы на серии TI, нажав кнопку [Режим].

Математически функция наибольшего целого числа представляется с помощью двойной левой скобки и двойная правая скобка

Симметрия — нечетные/четные функции

Симметрия относительно оси Y: Симметрия относительно оси Y означает, что левая часть графика является зеркальным отражением правая часть графика. Математически отношение, симметричное относительно оси Y обладает тем свойством, что для каждой точки (x, y), которая находится на графике, точка (-x, y) также находится на график. Другими словами, чтобы отразить что-то относительно оси Y, возьмите противоположное значение. координаты x и оставьте координаты y в покое.
Симметрия относительно оси x: Симметрия относительно оси X означает, что нижняя сторона графика является зеркальным отражением верхнюю часть графика. Математически отношение, симметричное относительно оси x, обладает тем свойством, что для каждой точки (x, y), которая находится на графике, точка (x, -y) является также на графике. Другими словами, чтобы отразить что-либо относительно оси X, возьмите напротив всех y-координат и оставить х-координаты в покое.
Симметрия относительно начала координат: Симметрия относительно начала координат означает, что для каждой точки (x,y) на графике точка (-x,-y) также находится на графике. Графически, чтобы создать симметрию относительно начала координат, возьмите любой точки, проведите воображаемую линию через начало координат и поставьте точку на этой линии расстояние, поскольку исходная точка находилась от начала координат по другую сторону от начала координат.
No related posts.