Найти дивергенцию векторного поля онлайн: Найти градиент, дивергенцию, ротор | Решатели

5. Дивергенция векторного поля

Продолжим изучение характеристик векторных полей.

Определение 23. Дивергенцией векторного поля A = {A_x, A_y, A_z}, где

A_x, A_y, A_z – функции от x, y, z, называется

. (107)

Замечание 1. Из определения видно, что дивергенция является скалярной функцией.

Замечание 2. Слово «дивергенция» означает «расходимость», так как дивергенция характеризует плотность источников данного векторного поля в рассматриваемой точке.

Рассмотрим формулу Гаусса-Остроградского с учетом определений потока и дивергенции векторного поля.

Тогда в левой части формулы (67) стоит тройной интеграл по объему V от дивергенции векторного поля {P, Q, R}, а в правой – поток этого вектора через ограничивающую тело поверхность S:

(108)

Докажем, что величина дивергенции в данной точке не зависит от выбора системы координат. Рассмотрим некоторую точку М, которую окружает трехмерная область V, ограниченная поверхностью S. Разделим обе части формулы (108) на V и перейдем к пределу при стягивании тела V к точке М. Получим:

. (109)

Это равенство можно считать инвариантным определением дивергенции, то есть определением, не зависящим от выбора координатной системы.

Пример 28.

Определить дивергенцию и ротор векторного поля .

Дифференциальные операции второго порядка

Вспомним определение градиента скалярной функции u = u(x, y, z):

grad u =

Определим оператор, стоящий в скобках в правой части этого равенства, так:

Определение 24. Оператор

(110)

называется оператором Гамильтона или набла-оператором и обозначается символом

 («набла»).

При применении оператора Гамильтона удобно рассматривать его как «символический вектор» и использовать различные операции над векторами. Например:

1) если умножить «вектор» на скалярную функцию и, то получим градиент этой функции:

u = grad u; (111)

2) составив скалярное произведение  на вектор A = {A_x, A_y, A_z}, получим дивергенцию вектора A:

· A = ; (112)

3) перемножим теперь векторы  и А векторным образом.

Результатом будет ротор вектора А:

 А =

(113)

4) рассмотрим скалярное произведение векторов  и u = grad u:

· (u) = div (grad u) = =

Определение 25. Оператор

Δ = ·  = ² = (114)

называется оператором Лапласа и обозначается символом Δ («дельта»).

Определение 26. Уравнение

(115)

называется уравнением Лапласа, а функция, удовлетворяющая ему – гармонической функцией.

Отметим еще раз, результатом применения к скалярной функции

и оператора Гамильтона является вектор, а оператора Лапласа – скаляр.

По аналогии с производной по направлению от скалярной функции и:

введем понятие производной по направлению единичного вектора от векторной функции:

)

. (116)

Производная по направлению любого произвольного вектора отличается от производной по направлению единичного вектора лишь тем, что в нее входит дополнительный скалярный множитель:

(117)

Таким образом, с помощью оператора Гамильтона можно образовать пять дифференциальных операций второго порядка:

1. div grad u = (,) u = ²

   u

2. rot grad u = [,] u

3. grad div =(,) (118)

4. div rot = (,[,])

5. rot rot =

Кроме того, операцию ² можно применять и к векторным полям, рассматривая ². 2 — вопрос №2998977 — Учеба и наука

Лучший ответ по мнению автора

22. 09.18 Лучший ответ по мнению автора Ответ понравился автору вопроса

Другие ответы

22. 09.18

Михаил Александров Читать ответы

Андрей Андреевич Читать ответы

Eleonora Gabrielyan Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика

Похожие вопросы

Решено

На рисунке изображены графики функций y = f(x) и y = g(x). 2, y=0 ( с графиком)

Пользуйтесь нашим приложением

Калькулятор расхождения — eMathHelp

Калькулятор найдет дивергенцию заданного векторного поля с указанием шагов.

Связанные калькуляторы: Калькулятор частных производных, Калькулятор скалярного произведения

$$$\mathbf{\vec{F}}\left(x,y,z\right)$$$:$$$\langle$$$

,

,

$$$\rangle$$$

$$$\влево(x_{0}, y_{0}, z_{0}\вправо)$$$:$$$($$$

,

,

$$$)$$$

Оставьте пустым, если вам не нужна дивергенция в конкретной точке. {z }$$$ (шаги см. в калькуляторе производных). 9{z}$$$A

Калькулятор дивергенции — Найдите дивергенцию векторного поля

Онлайн-калькулятор дивергенции специально разработан для нахождения дивергенции векторного поля только с точки зрения величины потока и без направления . Подобно ротору векторного поля, дивергенция имеет свои специфические свойства, которые делают ее ценным термином в области физических наук.

Если вам интересно узнать больше о физическом явлении этого термина, вы находитесь на правильной платформе.

Что такое дивергенция?

В словаре векторного анализа:

«Векторный оператор, который фактически измеряет норму источника и стока поля через скаляр со знаком, называется дивергенцией»

Типы дивергенции:

В зависимости от Поток потока, дивергенция векторного поля подразделяется на два типа:

Положительная дивергенция:

Точка, из которой поток идет наружу, называется положительной дивергенцией. Точка известна как источник.

 

Отрицательное расхождение:

Точка, из которой поток движется внутрь, называется отрицательным расхождением. Здесь точка выступает в роли стока.

Нулевая дивергенция:

Нулевая дивергенция означает, что ничего не теряется. Другими словами, количество приходящего потока эквивалентно количеству уходящего потока.

Вы можете мгновенно определить любой тип дивергенции, используя наш бесплатный онлайн-калькулятор дивергенции.

Дивергенция Формула:

Вычисление дивергенции векторного поля не дает правильного направления выхода. Однако для иллюстрации расхождения можно использовать следующее математическое уравнение:

Расхождение = ∇ . A

Поскольку дельта оператора определяется как:

$$ ∇ = \frac{\partial}{\partial x}P, \frac{\partial}{\partial y}Q, \frac{\partial} {\partial z}R $$

Таким образом, формула для дивергенции выглядит следующим образом:

$$ Расхождение {\vec{A}} = \left(\frac{\partial}{\partial x}P, \frac{\partial}{\partial y}Q, \frac{\partial}{ \partial z}R\right)\cdot {\vec{A}} $$

Как рассчитать дивергенцию?

Вы можете использовать наш бесплатный онлайн-калькулятор дивергенции для получения более точных результатов, но очень важно попрактиковаться на нескольких примерах, чтобы понять основную концепцию дивергенции векторного поля. {2} \right)} ,\sin{\left(x y \right)},3\right) $$ 9{2} \right)}+x \cos{\left(x y \right)}+0\right) $$

Это требуемый ответ.

Вы также можете использовать наш бесплатный калькулятор расходимости векторного поля для определения потока жидкости или газа с точки зрения величины.

Пример № 02:

Вычислить дивергенцию векторного поля, приведенного ниже:

$$ B = \sin{\left(x \right)},\cos{\left(y \right)},2 z $$

Решение:

Дивергенция векторного поля изображается следующим образом:

Расхождение = ∇ . А

или;

$$ Расхождение {\vec{A}} = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)\cdot {\vec{A}} $$

Итак, имеем:

$$ Расходимость {\vec{A}} = \left(\frac{\partial}{\partial x }, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)\cdot \left(\sin{\left(x \right)}, \cos{\left (y \right)}, 2 z\right) $$

Записав каждый член отдельно с его частной производной:

$$ Расходимость {\vec{A}} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\sin{\left(x \right)}\right) + \frac{\partial}{ \partial y} \left(\cos{\left(y \right)}\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(2 z\right) $$

Взятие частных производных каждого член индивидуально:

$$ \frac{\partial}{\partial x} \left(\sin{\left(x \right)}\right) = \cos{\left(x \right)} $$

$$ \frac{\partial}{\partial y} \left(\cos{\left(y \right)}\right) = — \sin{\left(y \right)} $$

$$ \frac{\partial}{\partial z} \left(2 z\right) = 2 $$

(щелкните частную производную, чтобы получить пошаговые расчеты)

Теперь вычисляем дивергенцию, суммируя все следующие члены:

$$ Расходимость {\vec{A}} = \cos{\left(x \right)}+ \sin{\left(y \right)}+2 $$

Однако, если вы используете наш бесплатный онлайн-калькулятор дивергенции, шансы на любую неопределенность уменьшаются.

Как работает калькулятор дивергенции?

Наш калькулятор лучший среди всех калькуляторов, которые используются для нахождения дивергенции векторного поля.

Посмотрим, что делать!

Ввод:

• Запишите значения для каждой заданной координаты векторного поля

Теперь, если вы хотите найти расхождение для определенной координаты:

• Запишите желаемое значение координаты
• Нажмите «Рассчитать»

Вывод:

Калькулятор свободных расхождений вычисляет:

• Частные производные каждого члена, входящего в формулу
• Суммируйте все значения, чтобы получить расхождение заданного поля
• Пошаговые расчеты для лучшего понимания

Часто задаваемые вопросы:

Каков реальный пример феномена дивергенции?

В реальной атмосфере дивергенция возникает, когда сильный iwing=d удаляется от более слабого ветра. Когда дивергенция происходит в верхних слоях атмосферы, это приводит к подъему воздуха.

Что говорит нам теорема о дивергенции?

Эта теорема утверждает, что если вы используете тройной интеграл для дивергенции, чтобы определить сумму исходящего потока маленьких битов в объеме, вы получите общий исходящий поток для этого объема. Чтобы определить этот поток, вы можете бесплатно воспользоваться нашим калькулятором теорем дивергенции.

Является ли дивергенция тем же, что и поток?

Да, расходимость векторного поля можно представить как плотность его потока, входящего или выходящего из точки, которую можно легко измерить с помощью бесплатного онлайн-калькулятора расходимости вектора.

Что подразумевается под завитком?

Угловое вращение потока вокруг точки в определенном направлении называется ротором векторного поля.

Заключение:

Дивергенция говорит нам о мгновенном изменении силы векторного поля. Мы можем видеть широкое применение теоремы о дивергенции в области дифференциальных уравнений в частных производных, где они используются для вывода потока тепла и сохранения массы.