4.2.4. ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΌΠ΅ Β«ΠΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΡΒ»
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 1.
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π£ΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅
Π ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ
ΠΡΠ²Π΅Ρ: (1,-2).
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 2.
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π£ΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΡΡΡ Π0 β ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ°,
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π0 ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°, Π΅ΡΠ»ΠΈ D > 0, A > 0.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
ΠΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ β
ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ ΠΈΡ Π½Π° ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ.
ΠΠ΅Ρ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ°.
ΠΡΠ²Π΅Ρ:
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 3.
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ 2Π₯ + 5Π£ + 3 = 0.
Π£ΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ Π½Π° ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°
ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ Π½Π° ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ:
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π’ΠΎΡΠΊΠ° ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ°, ΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ
ΠΡΠ²Π΅Ρ:
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 4.
ΠΠ° ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Π΅
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΡ, Π±Π»ΠΈΠΆΠ°ΠΉΡΡΡ ΠΊ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π₯ β Π£ = 2.
Π£ΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅
Π Π°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π(Π₯0, Π£0) Π΄ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π₯ β Π£ = 2 ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π Π°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π(Π₯0, Π£0) Π΄ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π₯ β Π£ = 2 ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ
Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°:
ΠΠ΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ Π½Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
Π‘ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ°. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π° ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°.
ΠΡΠ²Π΅Ρ:
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 5.
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π£ΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π΅ ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ,
ΠΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π°ΡΡΡΡ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π½Π° Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π² ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π²Π½ΡΡΡΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
Π‘ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ°, Z(0,0) = 0.
ΠΠ»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Z = Xy ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ X2 + Y2 = 1.
Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°:
ΠΡΠ°ΠΊ, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ:
ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π΅ ΠΈ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π°ΡΡΡΡ Π½Π° Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ, Π° ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π°, ΠΎΠ½Π° ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ Π²Π½ΡΡΡΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ Π²ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠΈΠΌ ΠΈ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ β
ΠΡΠ²Π΅Ρ:
< ΠΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ°Ρ | Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΡΠ°Ρ > |
---|
Mathway | ΠΠΎΠΏΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ
1 | Trovare la Derivata β d/dx | Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ x | |
2 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° x ΠΏΠΎ x | |
3 | Trovare la Derivata β d/dx | e^x | |
4 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» e^(2x) ΠΏΠΎ x | |
5 | Trovare la Derivata β d/dx | 1/x | |
6 | Trovare la Derivata β d/dx | x^2 | |
7 | Trovare la Derivata β d/dx | 1/(x^2) | |
8 | Trovare la Derivata β d/dx | sin(x)^2 | |
9 | Trovare la Derivata β d/dx | sec(x) | |
10 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» e^x ΠΏΠΎ x | |
11 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» x^2 ΠΏΠΎ x | |
12 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΠΈΠ· x ΠΏΠΎ x | |
13 | Trovare la Derivata β d/dx | cos(x)^2 | |
14 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» 1/x ΠΏΠΎ x | |
15 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» sin(x)^2 ΠΏΠΎ x | |
16 | Trovare la Derivata β d/dx | x^3 | |
17 | Trovare la Derivata β d/dx | sec(x)^2 | |
18 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» cos(x)^2 ΠΏΠΎ x | |
19 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» sec(x)^2 ΠΏΠΎ x | |
20 | Trovare la Derivata β d/dx | e^(x^2) | |
21 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» Π² ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ 1 ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· 1+7x ΠΏΠΎ x | |
22 | Trovare la Derivata β d/dx | sin(2x) | |
23 | Trovare la Derivata β d/dx | tan(x)^2 | |
24 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» 1/(x^2) ΠΏΠΎ x | |
25 | Trovare la Derivata β d/dx | 2^x | |
26 | ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ | Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ a | |
27 | Trovare la Derivata β d/dx | cos(2x) | |
28 | Trovare la Derivata β d/dx | xe^x | |
29 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» 2x ΠΏΠΎ x | |
30 | Trovare la Derivata β d/dx | ( Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΎΡ x)^2 | |
31 | Trovare la Derivata β d/dx | Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ (x)^2 | |
32 | Trovare la Derivata β d/dx | 3x^2 | |
33 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» xe^(2x) ΠΏΠΎ x | |
34 | Trovare la Derivata β d/dx | 2e^x | |
35 | Trovare la Derivata β d/dx | Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ 2x | |
36 | Trovare la Derivata β d/dx | -sin(x) | |
37 | Trovare la Derivata β d/dx | 4x^2-x+5 | |
38 | Trovare la Derivata β d/dx | y=16 ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ· 4x^4+4 | |
39 | Trovare la Derivata β d/dx | 2x^2 | |
40 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» e^(3x) ΠΏΠΎ x | |
41 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» cos(2x) ΠΏΠΎ x | |
42 | Trovare la Derivata β d/dx | 1/( ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· x) | |
43 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» e^(x^2) ΠΏΠΎ x | |
44 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ | e^infinity | |
45 | Trovare la Derivata β d/dx | x/2 | |
46 | Trovare la Derivata β d/dx | -cos(x) | |
47 | Trovare la Derivata β d/dx | sin(3x) | |
48 | Trovare la Derivata β d/dx | 1/(x^3) | |
49 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» tan(x)^2 ΠΏΠΎ x | |
50 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» 1 ΠΏΠΎ x | |
51 | Trovare la Derivata β d/dx | x^x | |
52 | Trovare la Derivata β d/dx | x Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΎΡ x | |
53 | Trovare la Derivata β d/dx | x^4 | |
54 | ΠΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» | ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» (3x-5)/(x-3), Π΅ΡΠ»ΠΈ x ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ 3 | |
55 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» x^2 Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ x ΠΏΠΎ x | |
56 | Trovare la Derivata β d/dx | f(x) = square root of x | |
57 | Trovare la Derivata β d/dx | x^2sin(x) | |
58 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» sin(2x) ΠΏΠΎ x | |
59 | Trovare la Derivata β d/dx | 3e^x | |
60 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» xe^x ΠΏΠΎ x | |
61 | Trovare la Derivata β d/dx | y=x^2 | |
62 | Trovare la Derivata β d/dx | ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· x^2+1 | |
63 | Trovare la Derivata β d/dx | sin(x^2) | |
64 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» e^(-2x) ΠΏΠΎ x | |
65 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΠΈΠ· x ΠΏΠΎ x | |
66 | Trovare la Derivata β d/dx | e^2 | |
67 | Trovare la Derivata β d/dx | x^2+1 | |
68 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» sin(x) ΠΏΠΎ x | |
69 | Trovare la Derivata β d/dx | arcsin(x) | |
70 | ΠΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» | ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» (sin(x))/x, Π΅ΡΠ»ΠΈ x ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ 0 | |
71 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» e^(-x) ΠΏΠΎ x | |
72 | Trovare la Derivata β d/dx | x^5 | |
73 | Trovare la Derivata β d/dx | 2/x | |
74 | Trovare la Derivata β d/dx | Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ 3x | |
75 | Trovare la Derivata β d/dx | x^(1/2) | |
76 | Trovare la Derivata β d/d@VAR | f(x) = square root of x | |
77 | Trovare la Derivata β d/dx | cos(x^2) | |
78 | Trovare la Derivata β d/dx | 1/(x^5) | |
79 | Trovare la Derivata β d/dx | ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· x^2 | |
80 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» cos(x) ΠΏΠΎ x | |
81 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» e^(-x^2) ΠΏΠΎ x | |
82 | Trovare la Derivata β d/d@VAR | f(x)=x^3 | |
83 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» 4x^2+7 Π² ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ 10 ΠΏΠΎ x | |
84 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ( Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ x)^2 ΠΏΠΎ x | |
85 | Trovare la Derivata β d/dx | Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ x | |
86 | Trovare la Derivata β d/dx | arctan(x) | |
87 | Trovare la Derivata β d/dx | Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ 5x | |
88 | Trovare la Derivata β d/dx | 5e^x | |
89 | Trovare la Derivata β d/dx | cos(3x) | |
90 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» x^3 ΠΏΠΎ x | |
91 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» x^2e^x ΠΏΠΎ x | |
92 | Trovare la Derivata β d/dx | 16 ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ· 4x^4+4 | |
93 | Trovare la Derivata β d/dx | x/(e^x) | |
94 | ΠΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» | ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» arctan(e^x), Π΅ΡΠ»ΠΈ x ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ 3 | |
95 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) ΠΏΠΎ x | |
96 | Trovare la Derivata β d/dx | 3^x | |
97 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» xe^(x^2) ΠΏΠΎ x | |
98 | Trovare la Derivata β d/dx | 2sin(x) | |
99 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ | sec(0)^2 | |
100 | Trovare la Derivata β d/dx | Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ x^2 |
ΠΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΈ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ β mathsathome.

ΠΠΎΠΈΡΠΊ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ: Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎΡΡΠΎΠΊ
Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ?
Π‘ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ β ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π³Π΄Π΅ Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ. Π ΡΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°. Π‘ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π°Π·Π²Π°Π½Ρ ΡΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ ΠΈ Π½Π΅ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π² ΡΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ . Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ 3 ΡΠΈΠΏΠ° ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ: ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΡ, ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΡ ΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Ρ.
- Π’ΠΎΡΠΊΠ° ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ° β ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ°, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΊΡΠΈΠ²Π°Ρ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠ° Π²Π²Π΅ΡΡ (β©-ΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½Π°Ρ).
- ΠΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° β ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ°, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΊΡΠΈΠ²Π°Ρ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠ° Π²Π½ΠΈΠ· (βͺ-ΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½Π°Ρ).
- Π‘ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π° β ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π½Π° ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ, Π³Π΄Π΅ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Π° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ, Π° ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°.
Π’ΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ° β ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΎΠ½Π° ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠ°ΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Ρ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π½Π° ΡΠ±ΡΠ²Π°ΡΡΠΈΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡΠΎΡ. Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π΄Π²Π° ΡΠΈΠΏΠ° ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ°: ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ°, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Ρ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ Π½Π° ΡΠ±ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ, ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°, Π³Π΄Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Ρ ΡΠ±ΡΠ²Π°ΡΡΠ΅ΠΉ Π½Π° Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΡΡ.
Π‘ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡΡ ΠΊ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ. Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΡΠΈ ΡΠΈΠΏΠ° ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ: ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΡ, ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΡ ΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Ρ. Π’ΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ° β ΡΡΠΎ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°, Π³Π΄Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ. ΠΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ (ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΡ) ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΈΠΏΠ°ΠΌΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ. Π’ΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π° ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ.
ΠΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ:
- ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ.
- Π£ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΠ΅ ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ Π½ΡΠ»Ρ.
- ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ π₯.
- ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΡΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ π₯ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎ Π² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ y.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ y = π₯ 2 β 2π₯ + 2.
Π¨Π°Π³ 1. ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡ Π½Π°ΠΌ ΠΎ Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΠ΅.
Π¨Π°Π³ 2. Π£ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΠ΅ ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ Π½ΡΠ»Ρ
Π‘ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ β ΡΡΠΎ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°, Π³Π΄Π΅ Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ.
0 = 2π₯ β 2
Π¨Π°Π³ 3. ΠΠ°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ π₯
ΠΡΠΈΠ±Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π²Π° ΠΊ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΠΌ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ 2 = 2π₯.
Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² ΠΎΠ±Π΅ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ Π½Π° 2, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ π₯ = 1.
Π¨Π°Π³ 4. ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ π₯ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎ Π² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ y
ΠΠΎΠ³Π΄Π° π₯ = 1, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = π₯ π₯ + 2 ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ:
y = (1) 2 β 2(1) + 2. ΠΡΠ΅Π½ΠΈΠ²Π°Ρ ΡΡΠΎ, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
y = 1
ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈ π₯ = 1 , Ρ = 1,
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ (1, 1).
Π‘ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ π₯ 2 , ΡΠΎ ΠΎΠ½ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡ Π²Π²Π΅ΡΡ
, ΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ π₯ 2 ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ, ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡ Π²Π½ΠΈΠ·, ΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ°.
Π‘ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ°, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ° π₯ 2 .
ΠΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ π₯ 2 Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π΄Π°Π΅Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π±Π°Π»Π». ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΡΠΉ y = π₯ 2 β 3π₯ β 1 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ π₯ 2 , ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ 1, ΠΈ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ 1 β ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°.
ΠΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ π₯ 2 Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π΄Π°Π΅Ρ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π±Π°Π»Π». ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΡΠΉ y = -2π₯ 2 + 5π₯ + 3 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ π₯ 2 , ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ -2, Π° ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ -2 ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ, ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ°.
ΠΠ»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ y = aπ₯ 2 + bπ₯ + c, ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Ρ π₯ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΠΉ π₯ = -b / 2a .
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΡΠΉ y = π₯ 2 β 4π₯ + 3 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ a = 1, b = -4, c = 3.
π₯ = -b / 2a Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡ Π½Π°ΠΌ, ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΡΠΈ π₯ = 4 / 2 ΠΏΡΠΈ π₯ = 2.
Π‘ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ, Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ y = (x + a) 2 + b. ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΈΠ· ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡ ΠΊΠ°ΠΊ (-a, b). ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ y = (x β 2) 2 -1, ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠ°Π²Π½Ρ (2, -1).
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΡΠΎΡΠΌΡ aπ₯ 2 + bπ₯ + c:
- Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ b Π½Π° 2.
- ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊ π₯, Π² ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ°Ρ .
- ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΡ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΡ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ 2.
- ΠΠΎΠ·Π²Π΅Π΄ΠΈΡΠ΅ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· ΡΠ°Π³Π° 1 ΠΈ Π²ΡΡΡΠΈΡΠ΅ Π΅Π³ΠΎ ΠΈΠ· ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ.
- ΠΠΎΠ±Π°Π²ΡΡΠ΅ ΠΊ ΡΡΠΎΠΌΡ c.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π΄Π»Ρ y = π₯ 2 β 4π₯ + 3, Π³Π΄Π΅ a = 1, b = -4 ΠΈ c = 3:
- b Γ· 2 ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ -4 Γ· 2, ΡΡΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ: -2 .
- ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊ π₯ ΠΊΠ°ΠΊ: (π₯ β 2)
- ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΡΡ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΡ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ 2 ΠΊΠ°ΠΊ: (π₯ β 2) 2
- ΠΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ 9 Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ0009 -2 ΠΈΠ· ΡΠ°Π³Π° 1, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ 4. ΠΡΡΠΈΡΠ°Ρ ΡΡΠΎ, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ: (π₯ β 2) 2 β 4
- ΠΡ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ c ΠΊ ΡΡΠΎΠΌΡ. ΠΠ΄Π΅ΡΡ c = 3, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ (π₯ β 2) 2 β 1
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ y = (π₯ β 2) 2 β 1, ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠΎΠΊΠΎΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² (2, -1).
ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ° π₯ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ β ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ π₯, ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π½ΡΡΡΠΈ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ (π₯ β 2), ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° π₯ = 2.
ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ° y ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠΉ ΡΠ»Π΅Π½, ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ Π·Π° ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΎΠΉ. ΠΡΠΎ Ρ = -1.
Π‘ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π‘ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ Π½Π°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ x, ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠ°Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΊΡΠ±ΠΈΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ x 3 , ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ, ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ.
Π ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΠΌΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ y = π₯ 3 + 6π₯ 2 + 9π₯ + 4.
Π¨Π°Π³ 1. ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ.
Π¨Π°Π³ 2. Π£ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ, ΡΠ°Π²Π½ΡΡ Π½ΡΠ»Ρ
Π¨Π°Π³ 3. Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ x
ΠΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΠ»Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π½Π° 3:
. = (π₯ + 1)(π₯ + 3)
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ π₯, ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ.
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ π₯ = -1 ΠΈ π₯ = -3.
Π¨Π°Π³ 4. ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Ρ Π² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π² (-1, 0).
ΠΠΎΠ³Π΄Π° π₯ = -3, y = π₯ 3 + 6π₯ 2 + 9π₯ + 4 ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 4.
Π ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ (-3, 4) Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ°.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Ρ
Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ
ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΊΡΠ±ΠΈΠΊΠ°, ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ π₯ 3 .
Π ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 1. ΠΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡΡΡΡ Π² ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ°, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°. ΠΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ π₯.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, (-1, 0) β ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ°, Π° (-3, 4) β ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°.
Π‘ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ sin(x)
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ sin(x), ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π΅Π΅, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ cos(x). ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΡΠ°Π²Π½ΡΠΉΡΠ΅ ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΊ Π½ΡΠ»Ρ ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ x. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ cos(x) ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΈ x = Ο / 2 ΠΈ x = 3 Ο / 2 Π² ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ 0β€ x β€ 2 . ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ sin(x) ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅Π½, Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠΈΠ΅ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΡ 2 Ο.
- sin(x) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ° Π²
- sin(x) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° Π²
ΠΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ
Π₯Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ, ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠ² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ x ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ fβ(x). ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ fβ(x) ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ. ΠΡΠ»ΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ fβ(x) ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠΌ. ΠΡΠ»ΠΈ fβ(x) ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π°.
Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ 3 ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠΏΠ° ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ.
ΠΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡ ΠΊ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌ. ΠΡΠ±Π°Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ°, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Π°Ρ Π·Π΄Π΅ΡΡ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠΌ.
ΠΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡ ΠΊ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΡΠΌ Π²Π½ΠΈΠ· ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌ. ΠΡΠ±Π°Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ°, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Π°Ρ Π·Π΄Π΅ΡΡ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ.
ΠΡΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Π° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ. ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π°.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π½Π° ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ.
Π‘ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ, ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ π₯, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
ΡΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ. Π‘ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈ π₯ = -1 ΠΈ π₯ = -3.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ π₯ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ, ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ .
ΠΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ, .
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ π₯ = -1 Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ 6(-1) + 12 = 6.
6 β ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ. ΠΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡ Π½Π°ΠΌ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°.
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ π₯ = -3 Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ 6(-3) + 12 = β 6,
-6 β ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ. ΠΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡ Π½Π°ΠΌ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ°.
Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ, ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΅Π΅ Π·Π½Π°ΠΊ. ΠΠΌΠ΅Π΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ Π½ΡΠ»Ρ.
ΠΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Ρ
Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ ΠΎΠ±Π΅ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΎΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ. ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ, ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ, ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ. ΠΠ»Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅Ρ.
Π ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ.
First Derivative Sign Diagram | Nature of Stationary Point |
+ / β | Maximum Point |
β / + | Minimum Point |
+ / + or β / β | Π‘ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π° |
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΡΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ y = π₯ 3 + 6π₯ 2 + 9π₯ + 4 Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.
ΠΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
Π‘ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ π₯, Π³Π΄Π΅ ΡΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ.
Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ π₯ = -1 ΠΈ π₯ = -3.
ΠΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½Ρ Π½Π° Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ², ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ ΡΠΏΡΠ°Π²Π° Π½Π° ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ΅.
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ π₯ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΡΡ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ.
ΠΠ»Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ π₯ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ -3 ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°. (ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, π₯ = -10, ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° 189).
ΠΠ»Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ π₯ ΠΎΡ -3 Π΄ΠΎ -1 ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°. (ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, π₯ = -2, ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° -3).
ΠΠ»Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ π₯ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ -1 ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°. (ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, π₯ = 0, ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° 9).
ΠΡΠΈ π₯ = -3 Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ. ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ΅ΠΌΠ° Π½Π° ΡΠΏΠ°Π΄. Π‘Ρ Π΅ΠΌΠ° Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π·Π΄Π΅ΡΡ +/-.
ΠΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° π₯ = -3.
ΠΡΠΈ π₯ = -1 Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ²Π°Ρ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ. ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Ρ Π½ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π½Π° Π²ΠΎΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠΉ. Π‘Ρ Π΅ΠΌΠ° Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π·Π΄Π΅ΡΡ β / +.
Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΠΏΡΠΈ π₯ = -1.
Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ?
ΠΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ n Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ n-1 ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡΠΈΡ ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π°, ΠΎΠ½Π° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ n-1 ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ°. ΠΠ»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Ρ ΡΡΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Ρ, Π²ΡΡΡΠΈΡΠ΅ 3 ΠΈΠ· Π΅Π΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΎΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ.
Π ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½.
Degree of Polynomial | Type of Polynomial | Maximum Number of Stationary Points |
n | π₯ n | n-1 |
0 | Constant Π‘ΡΠΎΠΊ | 0 |
1 | ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠΉ | 0 |
2 | Quadratic | 1 |
3 | Cubic | 2 |
4 | Quartic | 3 |
5 | Quintic | 5 |
The table Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ.
Π‘ΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° | Π’ΠΈΠΏ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° | Number of Turning Points |
0 | Constant Term | 0 |
1 | Linear | 0 |
2 | Quadratic | 1 |
3 | Cubic | 0 or 2 |
4 | Quartic | 1 or 3 |
5 | Quintic | 0, 2, 3 or 4 |
Some functions do not have stationary points.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π΅Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ. y = e x ΠΈ y = 1 / x ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ.
ΠΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠΈΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ, ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ, Π° Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ
ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ y = π₯ 3 + π₯ 2 + π₯.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ .
Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅Ρ.
ΠΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΡΡΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠΈΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° b 2 β 4ac ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»Π΅Π½.
a = 3, b = 2 ΠΈ c = 1.
b 2 β 4ac ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ 2 2 β 4 Γ 3 Γ 1, ΡΡΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ -8.
ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½Π°Ρ Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠΈΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΡΠΎΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠ°Π²Π½ΡΡΡΡΡ Π½ΡΠ»Ρ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π½Π° ΡΡΠΎΠΉ ΠΊΡΠ±ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π΅Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ.
Π‘ΡΠ΅Ρ, ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠ° β Π½Π°Π±ΠΎΡ Π΄Π»Ρ Π°ΠΊΠ°Π΄Π΅ΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π½Π°Π²ΡΠΊΠΎΠ²
Π‘ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ
ContentsToggle ΠΠ»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅Π½Ρ 1 ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2 ΠΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ2.1 Π’Π΅ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ2.2 Π’Π΅ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ2.3 Π’Π΅ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ΅ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ? 3 ΠΠΈΠ΄Π΅ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ 4 Π£ΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΈ 5 ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΡΠ΅ ΡΠ΅Π±Ρ 6 ΠΠ½Π΅ΡΠ½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΡΡΡΡ
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $f(x)$ β ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ $f(x)$ ΡΠ°Π²Π½Π° 0. ΠΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Β«ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠΌΠΈΒ», ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π² ΡΡΠΈΡ
ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ ΠΈ Π½Π΅ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ. ΠΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΡΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌ Π½Π° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ $f(x)$, Π³Π΄Π΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ.
Π‘ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $y=f(x)$ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ
\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0.\]
ΠΡΠΎ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΠ΅Ρ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ΅: Β«ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π³Π΄Π΅ Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»ΡΒ».
ΠΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ
Π‘ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ° , Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΠΊ (Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡΠΎΡ) Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅. ΠΡΡΡ Π΄Π²Π° ΡΠΈΠΏΠ° ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ°:
- A Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ , Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ΅Π³ΠΈΠΎΠ½Π΅.
- ΠΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ , Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅: Π²ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ° ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, Π½ΠΎ Π½Π΅ Π²ΡΠ΅ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ°.
Π’ΠΎΡΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ, Π½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΠΊΠ°, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π° ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠ²Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° . ΠΡ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π²ΠΎΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π°, Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ ΠΎΠ±Π΅ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΎΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ.
Π’Π΅ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ
Π’Π΅ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠΌ . Π‘ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° $x$ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΡΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ Π½ΡΠ»Ρ.
$\gt 0$ | ΠΠ΅ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ |
$\lt 0$ | ΠΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ |
$= 0$ | Π’Π΅ΡΡ Π½Π΅ Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ² |
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠ΅ΡΡ Π½Π΅ Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ², ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Ρ
Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠ° ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ΅ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ).
Π’Π΅ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ
Π’Π΅ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ $x$ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ $x+\epsilon$ ΠΈ $x-\epsilon$, Π³Π΄Π΅ $\epsilon\ll1 \in\mathbb{R}$. ΠΡΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ±ΡΠ²Π°ΡΡΠ΅ΠΉ Π² ΡΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ , ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π½Π° ΡΠΎΡΠΌΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ :
- ΠΡΠ»ΠΈ $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}>0$ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $x$, ΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $x$.
- ΠΡΠ»ΠΈ $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}<0$ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $x$, ΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $x$.
Π ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΡΠ΅ΡΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.
$>0$ | $0$ | $<0$ | ΠΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ | |
Π€ΠΎΡΠΌΠ° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° | $\narrow$ | $\rightarrow$ | $\searrow$ | |
$\boldsymbol{\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}$ | $<0$ | $0$ | $>0$ | ΠΠ΅ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ |
Π€ΠΎΡΠΌΠ° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° | $\searrow$ | $\rightarrow$ | $\narrow$ | |
$\boldsymbol{\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}$ | $>0$ | $0$ | $>0$ | ΠΠΎΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ± |
Π€ΠΎΡΠΌΠ° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° | $\narrow$ | $\rightarrow$ | $\narrow$ | |
$\boldsymbol{\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}$ | $<0$ | $0$ | $<0$ | ΠΠ°Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π° |
Π€ΠΎΡΠΌΠ° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° | $\searrow$ | $\rightarrow$ | $\searrow$ |
ΠΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠ° ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠ°?
ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ ΠΈ Π±ΡΡΡΡΠ΅Π΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π° Π½Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ. 2.\] 92+24\cdot0 \\ &= 0. \end{align}
ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠ° Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π΅ ΡΠ΄Π°Π»Π°ΡΡ. ΠΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠ° ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΡΠΈ $x=0.$
ΠΠ°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² Π±Π»ΠΈΠ·Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠΎΡΠΊΡ $x=-\epsilon$, Π³Π΄Π΅ $\epsilon$ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π° ΠΈ ΡΠΊΠΎΠ»Ρ ΡΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»Π°. ΠΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ, ΠΎΡΠ΅Π½Π΅Π½Π½Π°Ρ Π² ΡΡΠΎΡ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ, ΡΠ°Π²Π½Π°:
92 \\ \end{align}ΠΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ $f(x)$ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π° Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ Π½Π° ΡΠΏΡΠ°Π²Π° ΠΎΡ $x=0$.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ $f(x)$ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»Π΅Π²Π΅Π΅ ΠΈ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ $x=0.$ ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° $x=0$ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΠΎΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π°.
- Π‘ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ°, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΈ $x=-3$, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠΌ.
- Π‘ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ°, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΈ $x=0$, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΠΎΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π°. 93-56x)\sqrt{x}$.