Найти стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: Найти стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ | Онлайн ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

4.2.4. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ «ЭкстрСмумы»

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1.

Найти ΡΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ€Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π£ΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅

Π’ стационарной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅

РСшСниС

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ стационарной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ систСмы

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: (1,-2).

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2.

Найти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π£ΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ М0 – стационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°,

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° М0 являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°, Ссли D > 0, A > 0.

РСшСниС

НайдСм стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ –

Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΈΡ… Π½Π° экстрСмум.

НСт экстрСмума.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 3.

Найти экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€ΠΈ условии 2Π₯ + 5Π£ + 3 = 0.

Π£ΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅

НайдитС экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π›Π°Π³Ρ€Π°Π½ΠΆΠ°

РСшСниС

Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ Π½Π° экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π›Π°Π³Ρ€Π°Π½ΠΆΠ°

Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° экстрСмум:

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° условного максимума, ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 4.

На ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π΅

Найти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, Π±Π»ΠΈΠΆΠ°ΠΉΡˆΡƒΡŽ ΠΊ прямой Π₯ – Π£ = 2.

Π£ΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅

РасстояниС ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М(Π₯0, Π£0) Π΄ΠΎ прямой Π₯ – Π£ = 2 опрСдСляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, трСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€ΠΈ условии

РСшСниС

РасстояниС ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М(Π₯0, Π£0) Π΄ΠΎ прямой Π₯ – Π£ = 2 опрСдСляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, трСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€ΠΈ условии

Боставим Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π›Π°Π³Ρ€Π°Π½ΠΆΠ°:

НС Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ условиС Π½Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния.

Бтационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°. ΠŸΡ€ΠΈ этом

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° условного ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 5.

Найти мноТСство Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π£ΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅

НайдитС наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ области,

ΠšΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π½Π° Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π΅, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π² стационарной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ области.

РСшСниС

НайдСм стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

Бтационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Z(0,0) = 0.

Для опрСдСлСния наибольшСго ΠΈ наимСньшСго значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π΅ области Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ условный экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Z = Xy ΠΏΡ€ΠΈ условии X2 + Y2 = 1.

Боставим Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π›Π°Π³Ρ€Π°Π½ΠΆΠ°:

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ:

ΠŸΡ€ΠΈ этом

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, наимСньшСС ΠΈ наибольшСС значСния Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΠ³Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π΅ области, Π° Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ функция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π°, ΠΎΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ области всС ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ значСния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ наимСньшим ΠΈ наибольшим, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ мноТСство Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ области –

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

< ΠŸΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π°Ρ   Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ >

Mathway | ΠŸΠΎΠΏΡƒΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

1Trovare la Derivata β€” d/dxΠ½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ x
2Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° x ΠΏΠΎ x
3Trovare la Derivata β€” d/dxe^x
4Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» e^(2x) ΠΏΠΎ x
5Trovare la Derivata β€” d/dx1/x
6Trovare la Derivata β€” d/dxx^2
7Trovare la Derivata β€” d/dx1/(x^2)
8Trovare la Derivata β€” d/dxsin(x)^2
9Trovare la Derivata β€” d/dxsec(x)
10Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» e^x ΠΏΠΎ x
11Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» x^2 ΠΏΠΎ x
12Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· x ΠΏΠΎ x
13Trovare la Derivata β€” d/dxcos(x)^2
14Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» 1/x ΠΏΠΎ x
15Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» sin(x)^2 ΠΏΠΎ x
16Trovare la Derivata β€” d/dxx^3
17Trovare la Derivata β€” d/dxsec(x)^2
18Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» cos(x)^2 ΠΏΠΎ x
19Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» sec(x)^2 ΠΏΠΎ x
20Trovare la Derivata β€” d/dxe^(x^2)
21Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 1 кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 1+7x ΠΏΠΎ x
22Trovare la Derivata β€” d/dxsin(2x)
23Trovare la Derivata β€” d/dxtan(x)^2
24Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» 1/(x^2) ΠΏΠΎ x
25Trovare la Derivata β€” d/dx2^x
26Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ a
27Trovare la Derivata β€” d/dxcos(2x)
28Trovare la Derivata β€” d/dxxe^x
29Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» 2x ΠΏΠΎ x
30Trovare la Derivata β€” d/dx( Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΎΡ‚ x)^2
31Trovare la Derivata β€” d/dxΠ½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ (x)^2
32Trovare la Derivata β€” d/dx3x^2
33Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» xe^(2x) ΠΏΠΎ x
34Trovare la Derivata β€” d/dx2e^x
35Trovare la Derivata β€” d/dxΠ½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ 2x
36Trovare la Derivata β€” d/dx-sin(x)
37Trovare la Derivata β€” d/dx4x^2-x+5
38Trovare la Derivata β€” d/dxy=16 ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· 4x^4+4
39Trovare la Derivata β€” d/dx2x^2
40Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» e^(3x) ΠΏΠΎ x
41Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» cos(2x) ΠΏΠΎ x
42Trovare la Derivata β€” d/dx1/( ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· x)
43Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» e^(x^2) ΠΏΠΎ x
44Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒe^infinity
45Trovare la Derivata β€” d/dxx/2
46Trovare la Derivata β€” d/dx-cos(x)
47Trovare la Derivata β€” d/dxsin(3x)
48Trovare la Derivata β€” d/dx1/(x^3)
49Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» tan(x)^2 ΠΏΠΎ x
50Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» 1 ΠΏΠΎ x
51Trovare la Derivata β€” d/dxx^x
52Trovare la Derivata β€” d/dxx Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΎΡ‚ x
53Trovare la Derivata β€” d/dxx^4
54ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» (3x-5)/(x-3), Ссли x стрСмится ΠΊ 3
55Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» x^2 Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ x ΠΏΠΎ x
56Trovare la Derivata β€” d/dxf(x) = square root of x
57Trovare la Derivata β€” d/dxx^2sin(x)
58Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» sin(2x) ΠΏΠΎ x
59Trovare la Derivata β€” d/dx3e^x
60Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» xe^x ΠΏΠΎ x
61Trovare la Derivata β€” d/dxy=x^2
62Trovare la Derivata β€” d/dxΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· x^2+1
63Trovare la Derivata β€” d/dxsin(x^2)
64Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» e^(-2x) ΠΏΠΎ x
65Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· x ΠΏΠΎ x
66Trovare la Derivata β€” d/dxe^2
67Trovare la Derivata β€” d/dxx^2+1
68Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» sin(x) ΠΏΠΎ x
69Trovare la Derivata β€” d/dxarcsin(x)
70ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» (sin(x))/x, Ссли x стрСмится ΠΊ 0
71Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» e^(-x) ΠΏΠΎ x
72Trovare la Derivata β€” d/dxx^5
73Trovare la Derivata β€” d/dx2/x
74Trovare la Derivata β€” d/dxΠ½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ 3x
75Trovare la Derivata β€” d/dxx^(1/2)
76Trovare la Derivata β€” d/d@VARf(x) = square root of x
77Trovare la Derivata β€” d/dxcos(x^2)
78Trovare la Derivata β€” d/dx1/(x^5)
79Trovare la Derivata β€” d/dxкубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· x^2
80Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» cos(x) ΠΏΠΎ x
81Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» e^(-x^2) ΠΏΠΎ x
82Trovare la Derivata β€” d/d@VARf(x)=x^3
83Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» 4x^2+7 Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 10 ΠΏΠΎ x
84Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ( Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ x)^2 ΠΏΠΎ x
85Trovare la Derivata β€” d/dxΠ»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ x
86Trovare la Derivata β€” d/dxarctan(x)
87Trovare la Derivata β€” d/dxΠ½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ 5x
88Trovare la Derivata β€” d/dx5e^x
89Trovare la Derivata β€” d/dxcos(3x)
90Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» x^3 ΠΏΠΎ x
91Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» x^2e^x ΠΏΠΎ x
92Trovare la Derivata β€” d/dx16 ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· 4x^4+4
93Trovare la Derivata β€” d/dxx/(e^x)
94ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» arctan(e^x), Ссли x стрСмится ΠΊ 3
95Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) ΠΏΠΎ x
96Trovare la Derivata β€” d/dx3^x
97Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» xe^(x^2) ΠΏΠΎ x
98Trovare la Derivata β€” d/dx2sin(x)
99Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒsec(0)^2
100Trovare la Derivata β€” d/dxΠ½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ x^2

Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΈ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ – mathsathome.

com

Поиск стационарных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ: Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎΡƒΡ€ΠΎΠΊ

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ?

Π‘Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π³Π΄Π΅ Π΅Π΅ производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π’ этих Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°. Π‘Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π°Π·Π²Π°Π½Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция Π½Π΅ возрастаСт ΠΈ Π½Π΅ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π² этих Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…. БущСствуСт 3 Ρ‚ΠΈΠΏΠ° стационарных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ: максимумы, ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ ΠΈ стационарныС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Ρ‹.

  • Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума – это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ кривая Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚Π° Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… (∩-образная).
  • Минимальная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ кривая Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚Π° Π²Π½ΠΈΠ· (βˆͺ-образная).
  • Бтационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π° β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ, Π³Π΄Π΅ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Π° измСняСтся, Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°.

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ½Π° поворачиваСтся. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ мСняСтся с Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π½Π° ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚. БущСствуСт Π΄Π²Π° Ρ‚ΠΈΠΏΠ° Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°: Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ функция измСняСтся с Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π½Π° ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ, ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°, Π³Π΄Π΅ функция измСняСтся с ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π½Π° Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ.

Π‘Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ относятся ΠΊ любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ. БущСствуСт Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° стационарных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ: максимумы, ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ ΠΈ стационарныС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Ρ‹. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° β€” это мСста, Π³Π΄Π΅ функция мСняСт ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ. ВсС ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (максимумы ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹) ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΈΠΏΠ°ΠΌΠΈ стационарных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π° ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ стационарными Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.

Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ:

  1. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.
  2. УстановитС эту ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.
  3. НайдитС π‘₯.
  4. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ π‘₯ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ y.

НапримСр, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΡΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ€Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ y = π‘₯ 2 – 2π‘₯ + 2.

Π¨Π°Π³ 1. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΎ Π³Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Π΅.

Π¨Π°Π³ 2. УстановитС эту ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π½ΡƒΠ»ΡŽ

Π‘Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ – это мСста, Π³Π΄Π΅ Π³Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

0 = 2π‘₯ – 2

Π¨Π°Π³ 3. Находим π‘₯

ΠŸΡ€ΠΈΠ±Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π²Π° ΠΊ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΠΌ сторонам, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ 2 = 2π‘₯.

Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² ΠΎΠ±Π΅ стороны Π½Π° 2, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ π‘₯ = 1.

Π¨Π°Π³ 4. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρƒ π‘₯ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρƒ y

Когда π‘₯ = 1, функция y = π‘₯ π‘₯ + 2 становится:

y = (1) 2 – 2(1) + 2. ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΠ²Π°Ρ это, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

y = 1

ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ стационарной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ находятся ΠΏΡ€ΠΈ π‘₯ = 1 , Ρƒ = 1,

ЗаписываСтся ΠΊΠ°ΠΊ (1, 1).

Π‘Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ всСгда ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΡΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ€Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. Если ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ коэффициСнт ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ коэффициСнт π‘₯ 2 , Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…, ΠΈ стационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°. Если коэффициСнт π‘₯ 2 ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ Π²Π½ΠΈΠ·, ΠΈ стационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ максимума.

Бтационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ являСтся Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ максимума, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Π² зависимости ΠΎΡ‚ коэффициСнта π‘₯ 2 .

ΠŸΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ коэффициСнт π‘₯ 2 всСгда Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π±Π°Π»Π». НапримСр, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ y = π‘₯ 2 β€” 3π‘₯ β€” 1 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ коэффициСнт π‘₯ 2 , Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 1, ΠΈ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 1 β€” ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, стационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°.

ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ коэффициСнт π‘₯ 2 всСгда Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π±Π°Π»Π». НапримСр, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ y = -2π‘₯ 2 + 5π‘₯ + 3 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ коэффициСнт π‘₯ 2 , Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ -2, Π° ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ -2 являСтся ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом, стационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ максимума.

Для любого ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа, записанного Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ y = aπ‘₯ 2 + bπ‘₯ + c, стационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° всСгда находится Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с π‘₯ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΠΉ π‘₯ = -b / 2a .

НапримСр, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ y = π‘₯ 2 – 4π‘₯ + 3 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ значСния a = 1, b = -4, c = 3.

π‘₯ = -b / 2a Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ, стационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° находится ΠΏΡ€ΠΈ π‘₯ = 4 / 2 ΠΏΡ€ΠΈ π‘₯ = 2.

Π‘Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… уравнСниях Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ€Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния, сначала Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ y = (x + a) 2 + b. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ стационарной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ΠΊΠ°ΠΊ (-a, b). НапримСр, Ссли y = (x – 2) 2 -1, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ стационарной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ (2, -1).

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ aπ‘₯ 2 + bπ‘₯ + c:

  1. Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ b Π½Π° 2.
  2. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊ π‘₯, Π² скобках.
  3. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ эту скобку Π² стСпСни 2.
  4. Π’ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· шага 1 ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ ΠΈΠ· этой скобки.
  5. Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ ΠΊ этому c.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, для y = π‘₯ 2 – 4π‘₯ + 3, Π³Π΄Π΅ a = 1, b = -4 ΠΈ c = 3:

  1. b Γ· 2 становится -4 Γ· 2, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ: -2 .
  2. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ это Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊ π‘₯ ΠΊΠ°ΠΊ: (π‘₯ – 2)
  3. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ эту скобку Π² стСпСни 2 ΠΊΠ°ΠΊ: (π‘₯ – 2) 2
  4. Π’ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ 9 Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚0009 -2 ΠΈΠ· шага 1, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ 4. Вычитая это, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ: (π‘₯ – 2) 2 – 4
  5. ΠœΡ‹ добавляСм c ΠΊ этому. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ c = 3, поэтому ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ (π‘₯ – 2) 2 – 1

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ y = (π‘₯ – 2) 2 – 1, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° покоя находится Π² (2, -1).

ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° π‘₯ стационарной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ β€” это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ π‘₯, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ скобка Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ скобки (π‘₯ – 2), стационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° находится, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° π‘₯ = 2.

ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° y стационарной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ прСдставляСт собой постоянный Ρ‡Π»Π΅Π½, ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π·Π° скобкой. Π­Ρ‚ΠΎ Ρƒ = -1.

Π‘Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ кубичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π‘Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ кубичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ находятся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ диффСрСнцирования кубичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ нахоТдСния Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ x, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ квадратичная функция Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Если ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ коэффициСнт x 3 , функция сначала Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ максимум, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ. Если коэффициСнт ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, кубичСский сначала Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ максимум.

Π’ этом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΌΡ‹ вычислим стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ y = π‘₯ 3 + 6π‘₯ 2 + 9π‘₯ + 4.

Π¨Π°Π³ 1. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.

Π¨Π°Π³ 2. УстановитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, Ρ€Π°Π²Π½ΡƒΡŽ Π½ΡƒΠ»ΡŽ

Шаг 3. РСшСниС для x

ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 3:

. = (π‘₯ + 1)(π‘₯ + 3)

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ значСния π‘₯, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… каТдая скобка Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ π‘₯ = -1 ΠΈ π‘₯ = -3.

Π¨Π°Π³ 4. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ… Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ для нахоТдСния ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρƒ стационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π² (-1, 0).

Когда π‘₯ = -3, y = π‘₯ 3 + 6π‘₯ 2 + 9π‘₯ + 4 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 4.

Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… (-3, 4) Π΅ΡΡ‚ΡŒ стационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ стационарных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΠ°, рассмотрим коэффициСнт π‘₯ 3 .

Π’ этом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ коэффициСнт Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, поэтому стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² порядкС максимума, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°. ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ зависит ΠΎΡ‚ ΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ π‘₯.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, (-1, 0) β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума, Π° (-3, 4) β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°.

Π‘Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ sin(x)

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ sin(x), ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Π΅Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ cos(x). Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ приравняйтС эту ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ x. Ѐункция cos(x) Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΏΡ€ΠΈ x = Ο€ / 2 ΠΈ x = 3 Ο€ / 2 Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ 0≀ x ≀ 2 . ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ sin(x) ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅Π½, дальнСйшиС стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ находятся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ добавлСния ΠΈΠ»ΠΈ вычитания ΠΈΠ· этих Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… 2 Ο€.

  • sin(x) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ максимума Π²
  • sin(x) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Π²

Как ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ стационарных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ

Π₯Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ любой стационарной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, подставив ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρƒ x стационарной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f”(x). Если это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ f”(x) ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, стационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° являСтся максимальной. Если Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ f”(x) ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, стационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° являСтся ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ. Если f”(x) Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, это стационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°.

БущСствуСт 3 Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΈΠΏΠ° стационарных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.

Вторая производная, которая ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ записана ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ описываСт ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρ‹ приводят ΠΊ Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΌ функциям. Π›ΡŽΠ±Π°Ρ стационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, найдСнная здСсь, являСтся ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ.

ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρ‹ приводят ΠΊ Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΌ Π²Π½ΠΈΠ· функциям. Π›ΡŽΠ±Π°Ρ стационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, найдСнная здСсь, являСтся максимальной.

ΠšΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Π° измСняСтся, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° вторая производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°.

НапримСр, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ стационарных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ.

Π‘Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ находятся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ диффСрСнцирования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ нахоТдСния Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ π‘₯, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… эта производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π‘Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ находятся ΠΏΡ€ΠΈ π‘₯ = -1 ΠΈ π‘₯ = -3.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΌΡ‹ подставляСм π‘₯ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ стационарных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ .

Вторая производная, .

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ π‘₯ = -1 Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ 6(-1) + 12 = 6.

6 β€” ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚. ΠŸΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ стационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°.

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ π‘₯ = -3 Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ 6(-3) + 12 = – 6,

-6 β€” ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚. ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ стационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ максимума.

Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ значСния Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΅Π΅ Π·Π½Π°ΠΊ. Π˜ΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎ, являСтся Π»ΠΈ вторая производная ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Как ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ стационарных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ стационарной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ ΠΎΠ±Π΅ стороны ΠΎΡ‚ стационарной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Когда производная мСняСтся с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° являСтся максимальной. Если ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° являСтся минимальной. Для стационарной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅Ρ‚.

Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ опрСдСляСт Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ стационарной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

First Derivative Sign Diagram Nature of Stationary Point
+ / – Maximum Point
– / + Minimum Point
+ / + or – / – Бтационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°

НапримСр, классифицируйтС стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ y = π‘₯ 3 + 6π‘₯ 2 + 9π‘₯ + 4 с использованиСм ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ производная находится Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π‘Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ находятся ΠΊΠ°ΠΊ значСния π‘₯, Π³Π΄Π΅ эта производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Π‘ΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ π‘₯ = -1 ΠΈ π‘₯ = -3.

Π­Ρ‚ΠΈ значСния ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ Π½Π° Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ², ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ справа Π½Π° ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ значСния π‘₯ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ области.

Для Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ π‘₯ мСньшС -3 пСрвая производная ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°. (НапримСр, π‘₯ = -10, пСрвая производная Ρ€Π°Π²Π½Π° 189).

Для Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ π‘₯ ΠΎΡ‚ -3 Π΄ΠΎ -1 пСрвая производная ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°. (НапримСр, π‘₯ = -2, пСрвая производная Ρ€Π°Π²Π½Π° -3).

Для Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ π‘₯ большС -1 пСрвая производная ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°. (НапримСр, π‘₯ = 0, пСрвая производная Ρ€Π°Π²Π½Π° 9).

ΠŸΡ€ΠΈ π‘₯ = -3 Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ мСняСтся с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ мСняСтся с подъСма Π½Π° спад. Π‘Ρ…Π΅ΠΌΠ° Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² здСсь +/-.

Максимальная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° π‘₯ = -3.

ΠŸΡ€ΠΈ π‘₯ = -1 знаковая Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ мСняСтся с ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ мСняСтся с нисходящСго Π½Π° восходящий. Π‘Ρ…Π΅ΠΌΠ° Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² здСсь – / +.

БущСствуСт Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° ΠΏΡ€ΠΈ π‘₯ = -1.

Бколько стационарных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ функция?

ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ стСпСни n Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ n-1 стационарных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. Если эта функция Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈ стационарных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°, ΠΎΠ½Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ n-1 Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°. Для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ стационарной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ содСрТат эти ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹, Π²Ρ‹Ρ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ 3 ΠΈΠ· Π΅Π΅ стСпСни, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ количСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚.

Π’ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ максимальноС количСство стационарных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½.

Degree of Polynomial Type of Polynomial Maximum Number of Stationary Points
n π‘₯ n n-1
0 Constant Π‘Ρ€ΠΎΠΊ 0
1 Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ 0
2 Quadratic 1
3 Cubic 2
4 Quartic 3
5 Quintic 5

The table Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ количСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ.

Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π’ΠΈΠΏ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Number of Turning Points
0 Constant Term 0
1 Linear 0
2 Quadratic 1
3 Cubic 0 or 2
4 Quartic 1 or 3
5 Quintic 0, 2, 3 or 4

Some functions do not have stationary points.

Если производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎ Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅Ρ‚ стационарных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. y = e x ΠΈ y = 1 / x ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ… стационарных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.

ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ функция Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ стационарной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ссли Π΅Π΅ производная Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ кубичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ. Если эта квадратичная функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ дискриминант, квадратичная функция Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, кубичСская Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ стационарных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.

НапримСр, рассмотрим кубичСский y = π‘₯ 3 + π‘₯ 2 + π‘₯.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ .

Π‘ΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… эта производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Однако Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅Ρ‚.

ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ это, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ дискриминант ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа b 2 – 4ac ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅Π½.

a = 3, b = 2 ΠΈ c = 1.

b 2 – 4ac становится 2 2 – 4 Γ— 3 Γ— 1, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ -8.

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ с ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ дискриминантом Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, поэтому Π½Π° этой ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π΅Ρ‚ стационарных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.

Π‘Ρ‡Π΅Ρ‚, ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΈ статистика β€” Π½Π°Π±ΠΎΡ€ для акадСмичСских Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΎΠ²

Π‘Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ

ContentsToggle Π“Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ мСню 1 ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2 ΠšΠ»Π°ΡΡΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΡ стационарных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ2.1 ВСст Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ2.2 ВСст ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ2.3 ВСст ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ тСст Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ? 3 Π’ΠΈΠ΄Π΅ΠΎΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ 4 Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΈ 5 ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅ сСбя 6 Π’Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΠ΅ рСсурсы

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

стационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $f(x)$ β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ производная ΠΎΡ‚ $f(x)$ Ρ€Π°Π²Π½Π° 0. Π­Ρ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ «стационарными», ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π² этих Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… функция Π½Π΅ возрастаСт ΠΈ Π½Π΅ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚. ГрафичСски это соотвСтствуСт Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ $f(x)$, Π³Π΄Π΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ являСтся Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ линия.

Π‘Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $y=f(x)$ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ

\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0.\]

Π­Ρ‚ΠΎ повторяСт Π² матСматичСской записи ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅: Β«Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π³Π΄Π΅ Π³Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽΒ».

ΠšΠ»Π°ΡΡΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΡ стационарных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ

Бтационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° называСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° , Ссли производная мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ (с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚) Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. Π•ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Ρ‚ΠΈΠΏΠ° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°:

  • A Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум , наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² локальном Ρ€Π΅Π³ΠΈΠΎΠ½Π΅.
  • Π›ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ , наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² локальной области.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ стационарными, Π½ΠΎ Π½Π΅ всС стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°.

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π½ΠΎ производная Π½Π΅ мСняСт Π·Π½Π°ΠΊΠ°, называСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π° ΠΈΠ»ΠΈ сСдловая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° . Π˜Ρ… ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ восходящих ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°, Π² зависимости ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, являСтся Π»ΠΈ производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ ΠΎΠ±Π΅ стороны ΠΎΡ‚ стационарной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

ВСст Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

ВСст Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для опрСдСлСния Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, являСтся Π»ΠΈ стационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ максимумом ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ . Бтационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° $x$ классифицируСтся Π² зависимости ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, являСтся Π»ΠΈ вторая производная ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

$\gt 0$

ΠœΠ΅ΡΡ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ

$\lt 0$

Π›ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум

$= 0$

ВСст Π½Π΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ²

Если тСст Π½Π΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ², ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ для опрСдСлСния Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π° стационарной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, тСст ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ).

ВСст ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

ВСст ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ опрСдСляСт Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ стационарной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ $x$ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… $x+\epsilon$ ΠΈ $x-\epsilon$, Π³Π΄Π΅ $\epsilon\ll1 \in\mathbb{R}$. Π­Ρ‚ΠΎ опрСдСляСт, являСтся Π»ΠΈ функция Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π² этих Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ :

  • Если $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}>0$ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ $x$, Ρ‚ΠΎ функция возрастаСт Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ $x$.
  • Если $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}<0$ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ $x$, Ρ‚ΠΎ функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ $x$.

Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° классификация стационарной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° основС тСста ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

$>0$

$0$

$<0$

Π›ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум

Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

$\narrow$

$\rightarrow$

$\searrow$

$\boldsymbol{\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}$

$<0$

$0$

$>0$

ΠœΠ΅ΡΡ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ

Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

$\searrow$

$\rightarrow$

$\narrow$

$\boldsymbol{\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}$

$>0$

$0$

$>0$

Восходящий ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±

Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

$\narrow$

$\rightarrow$

$\narrow$

$\boldsymbol{\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}$

$<0$

$0$

$<0$

ПадСниС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°

Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

$\searrow$

$\rightarrow$

$\searrow$

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ производная ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° ΠΈΠ»ΠΈ вторая производная ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ°?

Когда Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ ΠΈ быстрСС Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΡƒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π° Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ. 2.\] 92+24\cdot0 \\ &= 0. \end{align}

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π΅ ΡƒΠ΄Π°Π»Π°ΡΡŒ. ΠšΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ для опрСдСлСния Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π° стационарной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ $x=0.$

Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ опрСдСляСт Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ стационарной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ изучСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π±Π»ΠΈΠ·Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΉ области.

Рассмотрим Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ $x=-\epsilon$, Π³Π΄Π΅ $\epsilon$ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π° ΠΈ сколь ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»Π°. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ производная, оцСнСнная Π² этот ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚, Ρ€Π°Π²Π½Π°:

92 \\ \end{align}

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, поэтому функция $f(x)$ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π° возрастаСт Π½Π° справа ΠΎΡ‚ $x=0$.

Ѐункция $f(x)$ возрастаСт Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»Π΅Π²Π΅Π΅ ΠΈ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ $x=0.$ ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ стационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° $x=0$ являСтся восходящСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°.

  • Бтационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, найдСнная ΠΏΡ€ΠΈ $x=-3$, являСтся Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ.
  • Бтационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, найдСнная ΠΏΡ€ΠΈ $x=0$, являСтся восходящСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°.
  • 93-56x)\sqrt{x}$.