3. Геометрические вероятности
Геометрическое определение вероятности может быть использовано в том случае, когда вероятность попадания случайной точки в любую часть области пропорциональна мере этой области (длине, площади, объему и т. д.) и не зависит от ее расположения и формы.
Если геометрическая мера всей области равна S, а геометрическая мера части этой области, попадание в которую благоприятствует данному событию, есть , то вероятность события равна . Области могут иметь любое число измерений.
Пример 3.1. Какова вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не больше единицы, не превзойдет единицы, а их произведение будет не больше ?
Решение.
Пусть Х и У — взятые числа (см. рис. 3.1). Их возможные значения ; , что на плоскости соответствует квадрату с площадью . Благоприятствующие значения удовлетворяют условиям и . Граница Х + у =
= 1 делит квадрат пополам, причем область представляет собой нижний треугольник.
Ответ:
Пример 3.2. На отрезке АВ, длина которого L, наугад ставятся две точки, в результате чего этот отрезок оказывается разделенным на три части. Найти вероятность того, что из трех получившихся частей можно составить треугольник.
Решение. Обозначим через Х, У и L – х – у части отрезка АВ. Тогда ; ; . На плоскости этой области соответствует треугольник, ограниченный осями координат и прямой .
Рис. 3.2
Треугольник из полученных отрезков можно будет составить, если сумма длин двух из них превзойдет третью сторону, т. е.
и , .
Благоприятствующая площадь (см. рис. 3.2 заштрихованный треугольник) равна
. .
Ответ: .
Пример 3.3. На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата А наудачу бросается монета радиуса .
Найти вероятности следующих событий: А = «монета попадет целиком внутрь одного квадрата», В = «монета пересечет не более одной стороны квадрата».
Решение. Пусть (Х, у) — координаты центра упавшей монеты (рис. 3.3). В силу бесконечности шахматной доски можно считать, что элементарные исходы данного эксперимента полностью определяются положением центра упавшей монеты относительно вершин квадрата, содержащего этот центр. Помещая начало координат в одну из вершин указанного квадрата можно записать множество элементарных исходов в виде , . Множество, соответствующее событию А: , , т. е. является квадратом со стороной .
Следовательно, ; ; .
Множество, соответствующее событию В, изображено на рис. 3.3.
Рис. 3.3
; , .
Ответ: ; .
Пример 3.4. Шар помещен внутрь эллипсоида .
Найти вероятность того, что поставленная наудачу внутри эллипсоида точка окажется внутри шара.
Решение. Искомая вероятность будет равна отношению объема шара к объему эллипсоида. Объем шара равен , т. е. . Объем эллипсоида , следовательно, . .
Ответ: .
Пример 3.5. (Задача о встрече). Два человека в течение промежутка времени случайным образом приходят к месту встречи и ждут время . Какова вероятность, что они встретятся.
Решение. Пусть Х — время прихода первого человека, а У — второго. Х и У удовлетворяют условиям: , . Поскольку они приходят случайным образом, то все исходы равновозможны и S будет равна площади квадрата со стороной Т: Событие А = {они встретятся} можно задать так . Это множество образуют те точки, которые лежат внутри квадрата , между прямыми и . Поэтому . Искомая вероятность .
Ответ: .
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Как найти вероятность A или B (с примерами)
Для двух событий, A и B, «найти вероятность A или B» означает найти вероятность того, что произойдет либо событие A, либо событие B.
Обычно мы записываем эту вероятность одним из двух способов:
- P (A или B) — Письменная форма
- P(A∪B) – Форма записи
То, как мы вычисляем эту вероятность, зависит от того, являются ли события A и B взаимоисключающими или нет. Два события являются взаимоисключающими, если они не могут произойти одновременно.
Если A и B взаимоисключающие , то формула, которую мы используем для вычисления P(A∪B):
Mutually Exclusive Events: P(A∪B) = P(A) + P(B)
Если A и B не исключают друг друга , то формула, которую мы используем для вычисления P(A∪B):
Not Mutually Exclusive Events: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
Обратите внимание, что P(A ∩ B) — это вероятность того, что событие A и событие B произойдут одновременно.
Следующие примеры показывают, как использовать эти формулы на практике.
Примеры: P(A∪B) для взаимоисключающих событий.Пример 1: Какова вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет либо 2, либо 5?
Решение: если мы определим событие A как получение 2, а событие B как получение 5, то эти два события являются взаимоисключающими, потому что мы не можем выбросить 2 и 5 одновременно.
Таким образом, вероятность того, что выпадет либо 2, либо 5, рассчитывается как:
Р(А∪В) = (1/6) + (1/6) = 2/6 = 1/3.
Пример 2: Предположим, что в урне 3 красных шара, 2 зеленых шара и 5 желтых шаров. Если мы случайно выберем один шар, какова вероятность того, что вы выберете либо красный, либо зеленый шар?
Решение: если мы определим событие А как выбор красного шара, а событие В как выбор зеленого шара, то эти два события будут взаимоисключающими, потому что мы не можем выбрать одновременно красный и зеленый шар. Таким образом, вероятность того, что мы выберем красный или зеленый шар, рассчитывается как:
P(A∪B) = (3/10) + (2/10) = 5/10 = 1/2.
Примеры: P(A ∪ B) для не взаимоисключающих событий .В следующих примерах показано, как вычислить P(A∪B), когда A и B не являются взаимоисключающими событиями.
Пример 1. Если мы случайно выберем карту из стандартной колоды из 52 карт, какова вероятность того, что вы выберете пику или даму?
Решение: В этом примере можно выбрать карту, которая является и пикой, и дамой, поэтому эти два события не исключают друг друга.
Если мы допустим, что событие A будет событием выбора пики, а событие B будет событием выбора ферзя, то мы получим следующие вероятности:
- Р(А) = 13/52
- Р(В) = 4/52
- Р(А∩В) = 1/52
Таким образом, вероятность выбора пики или королевы рассчитывается как:
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = (13/52) + (4/52) – (1/52) = 16/52 = 4/13.
Пример 2. Если мы бросим игральную кость, какова вероятность того, что выпадет число больше 3 или четное число?
Решение. В этом примере кости могут выпасть на число, которое одновременно больше 3 и четно, поэтому эти два события не исключают друг друга.
Если мы допустим, что событие А будет событием выпадения числа больше 3, а событие В будет событием выпадения четного числа, то мы получим следующие вероятности:
- Р(А) = 3/6
- Р(В) = 3/6
- Р(А∩В) = 2/6
Таким образом, вероятность того, что кубик выпадет на число больше 3 или на четное число, рассчитывается как:
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = (3/6) + (3/6) – (2/6) = 4/6 = 2/3.
Вероятность нахождения
← предыдущая
следующая →
Предположим, что нам дан случайный эксперимент с выборочным пространством $S$. Чтобы найти вероятность события, обычно есть два шага: во-первых, мы используем конкретную информацию, которая у нас есть о случайном эксперименте. Во-вторых, мы используем аксиомы вероятности. Давайте посмотрим на пример. Хотя это простой пример и у вас может возникнуть соблазн написать ответ, не следуя инструкциям, мы рекомендуем вам следовать инструкциям.
Пример
Вы правильно бросили кубик. Какова вероятность того, что $E=\{1,5\}$?
Стоит отметить, что мы часто пишем $P(1)$ вместо $P(\{1\})$ для упрощения записи, но мы должны подчеркните, что вероятность определяется для наборов (событий), а не для отдельных исходов. Таким образом, когда мы напишите $P(2)=\frac{1}{6}$, на самом деле мы имеем в виду, что $P(\{2\})=\frac{1}{6}$.
Мы увидим, что описанные выше два шага можно использовать для нахождения вероятностей гораздо более сложных
события и случайные эксперименты.
Давайте теперь попрактикуемся в использовании аксиом, доказав несколько полезных фактов. 9в)=1-П(А)$.
- Раствор
Пример
Предположим, у нас есть следующая информация:
- Вероятность того, что сегодня пойдет дождь, равна 60$%.
- Существует $50$-процентная вероятность того, что завтра пойдет дождь.
- Существует $30$-процентная вероятность того, что не будет дождя ни в один из дней.
Найдите следующие вероятности:
- Вероятность того, что сегодня или завтра пойдет дождь.
- Вероятность того, что сегодня и завтра будет дождь.
- Вероятность того, что сегодня будет дождь, а завтра нет.
- Вероятность того, что сегодня или завтра будет дождь, но не то и другое одновременно.
В этой задаче утверждается, что завтра будет дождь с вероятностью $50$%. Ты можешь иметь услышал эту информацию из новостей по телевизору. Более интересный вопрос, как получается число $50$. Это пример реальной проблемы, в которой используются инструменты вероятности и статистики. Как и ты прочитав больше глав из книги, вы узнаете многие из этих инструментов, которые часто используются на практике.
Принцип включения-исключения:
Формула $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$, которую мы доказали в примере 1.10, является простой формой принцип включения-исключения. Мы можем расширить его до объединения трех или более множеств.
Принцип включения-исключения:
- $P(A \чашка B )= P(A)+P(B)-P(A \cap B)$,
- $P(A \чашка B \ чашка C) = P(A) + P(B) + P(C)-$
$ — P(A \cap B) — P(A \cap C) — P(B \cap C) + P(A \крышка B \крышка C)$
Обычно для $n$ событий $A_1, A_2,\cdots,A_n$ имеем 9n P(A_i)-\sum_{i
← предыдущая
следующая →
Печатная версия книги доступна на Amazon здесь.
Определение вероятности события
Результаты обучения
- Найти вероятность события при заданном числе благоприятных исходов и общем числе возможных исходов
Вероятность события говорит нам, насколько вероятно, что это событие произойдет. Мы обычно записываем вероятности в виде дробей или десятичных дробей.
Например, представьте вазу с фруктами, в которой пять фруктов — три банана и два яблока.
Если вы хотите съесть один фрукт на закуску, и вам все равно, что это за фрукт, есть вероятность [латекс]{\большой\фрак{3}{5}}[/латекс], что вы выберите банан, потому что из пяти фруктов три банана. Вероятность события – это количество благоприятных исходов, деленное на общее количество исходов.
Вероятность
Вероятность события равна количеству благоприятных исходов, деленному на общее число возможных исходов.
[латекс]\текст{Вероятность}={\Большая\фракция{\текст{количество благоприятных исходов}}{\текст{общее число исходов}}}[/латекс]
Преобразование дроби [латекс]{ \Large\frac{3}{5}}[/latex] до десятичной дроби, мы бы сказали, что [latex]0,6[/latex] вероятность выбрать банан.
[латекс]\begin{array}{}\\ \text{Вероятность выбора банана}={\Large\frac{3}{5}}\hfill \\ \text{Вероятность выбора банана}= 0.6\hfill \end{массив}[/latex]
Это базовое определение вероятности предполагает, что все исходы имеют одинаковую вероятность. Если вы будете изучать вероятности на последующих уроках математики, вы узнаете о нескольких других способах расчета вероятностей.
пример
Лыжный клуб проводит лотерею для сбора денег. Они продали [латекс]100[/латекс] билетов. Все билеты помещаются в банку. Случайным образом из банки вытащится один билет, а победитель получит приз. Чери купила один лотерейный билет.
1. Найдите вероятность того, что она выиграет приз.
2. Преобразуйте дробь в десятичную.
Раствор
| 1. | |
| Что вас просят найти? | Вероятность того, что Чери выиграет приз. |
| Сколько благоприятных исходов? | [латекс]1[/латекс], потому что у Чери билет [латекс]1[/латекс]. |
| Используйте определение вероятности. | [latex]\text{Вероятность события}={\Large\frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}}}[/latex] |
| Подставить в числителе и знаменателе. | [латекс]\текст{Вероятность победы Чери}={\Большая\фракция{1}{100}}[/латекс] |
| 2. | |
| Преобразование дроби в десятичную. | |
| Запишите вероятность в виде дроби. | [латекс]\текст{Вероятность}={\Большой\фракция{1}{100}}[/латекс] |
| Преобразование дроби в десятичную. | [латекс]\текст{вероятность}=0,01[/латекс] |
попробуйте
пример
Три женщины и пятеро мужчин прошли собеседование для поиска работы. Одному из кандидатов будет предложена работа.
1. Найти вероятность того, что работу предложат женщине.