88. Необходимое условие сходимости числового ряда.
Теорема 5.1 (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю.
Эквивалентная формулировка: Если предел общего члена ряда не равен нулю.или не сугцествует, то данный ряд расходится.
Доказательство. Пусть данный ряд сходится и его сумма равна S. Для любого натурального п имеем Sn= Sn—1 + ап или
An=Sn—Sn-1
При п -> infinity обе частичные суммы Sn и Sn-1 стремятся к пределу S, поэтому из равенства следует, что
Подчеркнем
еще раз, что мы установили только
необходимое условие сходимости ряда,
т.
89. Числовые ряды с неотрицательными членами.
Числовой ряд называется рядом с положительными членами, если общий член ряда ап >0 для любого n=1,2,…. Критерием сходимости для таких рядов служит ограниченность последовательности частичных сумм ряда.
При решении задач на сходимость рядов первым шагом является проверка выполнения необходимого условия сходимости, т.е.
90. Критерий сходимости числовых рядов с неотрицательными членами.
Теорема . Для того чтобы ряд с положительными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.
91. Признаки сравнения, признак Даламбера и Коши, интегральный признак для числовых рядов с неотрицательными членами.
Признак
Даламбера (в
предельной форме).
Пусть для числового
ряда с положительными членами существует
конечный предел .
Тогда при d<1
ряд сходится, а при d>1
ряд расходится.
Первый признак сравнения. Пусть члены двух числовых рядов с положительными членами и удовлетворяют условию an<=bn (n=1,2,…). Тогда из сходимости «большего» ряда следует сходимость «меньшего» ряда , а из расходимости «меньшего» ряда следует расходимость «большего» ряда.
Второй признак сравнения. Пусть для двух числовых рядов с положительными членами и существует конечный предел . Тогда оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
Интегральный признак сходимости. Пусть члены числового ряда an=f(n) являются значениями неотрицательной непрерывной функции f(x),
Тогда ряд
и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.Признак Коши. Пусть для числового ряда с положительными членами существует конечный предел . Если к < 1, то ряд сходится, а при к > 1 ряд расходится.
92. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Числовой
ряд, содержащий бесконечное множество
положительных и бесконечное множество
отрицательных членов, называется знакопеременным.
Частным случаем знакопеременного ряда
является знакочередующийся
ряд, то есть
такой ряд, в котором последовательные
члены имеют противоположные знаки. Ряд
а1+а2+…+аn+…называется абсолютно
сходящимся,
если ряд |а1|+|а2|+…+|аn|+…также
сходится, т.е. сходится ряд, составленный
из модулей его членов. Ряд
а 1+а2+…+аn+…называется условно
сходящимся,
если сам он сходится, а ряд, составленный
из модулей его членов, расходится.
93. Признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов.
Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю, когда n–>∞, то: 1) ряд сходится; 2) любой остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого из своих членов и имеет одинаковый с ним знак.
94. Степенные ряды.
Ряд вида а0+а1+а2x2+…+аnxn+…, где а0, а1, а2, …, аn … — некоторая числовая последовательность, называют степенным рядом.
95. Теорема Абеля.
1)
Если степенной ряд а0+а
96. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
Для степенного ряда а0+а1+а2x2+…+аnxn+… возможны только три случая: 1) ряд сходится в единственной точке x=0; 2) ряд сходится для всех значений x; 3) существует такое R>0, что ряд сходится для всех значений x из интервала (-R, R) и расходится для всех значений x вне отрезка [-R,R]. Интервал (-R, R) называют интервалом сходимости ряда а 0+а1+а2x2+…+аnxn+…, а число R – радиусом сходимости этого ряда. Если существует предел D= , отличный от нуля, то радиус сходимости степенного ряда а0+а1+а2x2+…+аnxn+… равен .
33 Необходимое условие сходимости ряда. Достаточное условие расходимости числового ряда
Необходимый признак сходимости числового ряда:
Если
ряд
сходится,
то
.
Данный признак означает, что если , то ряд расходится. Например, расходится, так как . Из выполнения условия в общем случае не следует сходимость ряда . Например, для ряда (гармонический ряд), условие выполнено, но данный ряд расходится.
Ряд u1 + u2 + u3 +
… + un
Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.
34 Признаки сравнения числовых рядов
Теорема:
(признак сравнения) Если сущ-ет номер
n0,такой,
что для любого n>=n0
0<=an<=bn(1),
то 1. из сходимости =>сходимость
2. из расходимости
=>
расходимость
Док-во:
Пусть n0=1,
тогда 1. Sn=
— n-ная
частичная сумма ряда an.
/S\n=
— n-ная
частичная сумма ряда bn.
Из (1) => Sn<=/S\n
для любого n
т.к. bn-
сходится, то {/S\n}
– сходится => посл-ть ограниченна =>
ограниченна {Sn}
и значит что пос-ть сходится, значит
—
сходится. 2. Пусть
—
расходится => {Sn}
– неограниченна => {/S\n}-
неогр. =>
— расх. Пусть n0>1
тогда д.р. и — т.к. отбрасывание конечного числа
элементов ряда не влияет на сходимость
. Предельный признак сравнения: Теорема:
Если an>0,
bn>0,
для любого n>n0
и сущ-ет конечный предел an/bn
≠0, то ряды
и
— сходятся или расходятся одновременно.
Док-во: Пусть liman/bn=L
для любого ε>0
сущ-ет n εт.ч. для
любого n>nε|an/bn-L|<ε;
L-ε<an/bn<L+ε.
Bn>0
=> (L-ε)bn<an<(L+ε)bn
если
— сходится, то
(L+ε)
– сходится, и из === по признаку сравнения
следует, что
— сходится, если
— расходится, то (L-ε)
— расх, то из ——— следует — расходится.
35 Признак д’Аламбера
Теорема:
Пусть an>0
для любого n,
если lim(an+1/an)=L,
то
—
сходится, если L<1,
расходится если L>1.
0<(an+1/an)<1,
lim(an+1/an)=L<1;
L<θ<1
т.к. сходимость или расходимость ряда
не нарушается в результате изменения
или удаления конечного числа его членов
будем считать: 0<(a
36 Радикальный признак Коши
Радикальный
признак Коши: Рассмотрим положительный
числовой ряд
.
Если существует предел:
,
то:
а) При
ряд сходится.
В частности, ряд сходится при
.
б)
При
ряд расходится.
В частности, ряд расходится при
.
в)
При
признак
не дает ответа
Когда нужно использовать радикальный признак Коши? Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда общий член ряда ПОЛНОСТЬЮ находится в степени,зависящей от «эн». Либо когда корень «хорошо» извлекается из общего члена ряда. Есть еще экзотические случаи, но ими голову забивать не будем.
О быстро сходящихся бесконечных рядах
На этой странице
АннотацияВведениеСсылкиАвторское правоСтатьи по теме
Изучены достаточные условия, необходимые условия для более быстро сходящихся бесконечных рядов, более быстро 𝜏-сходящихся бесконечных рядов.
Доказана более быстрая сходимость бесконечных рядов типа Куммера.
1. Введение
Были работы, посвященные изучению более быстрых
сходимость последовательностей. Некоторые методы ускорения
сходимость последовательностей частных сумм фиксированных рядов с помощью линейных или
нелинейные преобразования частных сумм рядов изучаются в [1]. Поле ускорения
матричных преобразований подпоследовательности относительно скорости сходимости
ускоряемой последовательности изучены в [2]. В [3] обсуждается класс методов суммирования
последовательности, являющиеся обобщением метода Зальцера [4], которые ускоряют некоторые
сходящиеся последовательности, особенно монотонные последовательности. В [5] характеризуется
поле суммируемости матрицы 𝐴, показывая, что 𝐴 сохраняет сходимость по множеству всех
последовательности, которые сходятся быстрее, чем некоторая фиксированная последовательность 𝑥, 𝐴 сохраняет сходимость по множеству всех
последовательности, или 𝐴 сохраняет только предел набора постоянных
последовательности.
В этой статье некоторые вопросы, связанные с достаточным
условия и необходимые условия для более быстро сходящихся бесконечных рядов:
изучены, быстрее определяются и изучаются 𝜏-сходящиеся ряды, и быстрее
доказана сходимость рядов типа Куммера. В [7, стр. 146] упоминается
Результат Куммера: если ∑∞𝑛=1𝑎𝑛 — сходящийся ряд с положительными членами и
с неизвестной суммой 𝑎, ∑∞𝑛=1𝑐𝑛 — сходящийся ряд с положительными членами и
с известной суммой 𝑐,
и lim𝑛→∞𝑎𝑛/𝑐𝑛=𝑝>0,
тогда ряд Куммера ∑∞𝑛=1𝑏𝑛 имеет ту же сумму, что и ∑∞𝑛=1𝑎𝑛, и является более сходящимся рядом, чем ∑∞𝑛=1𝑎𝑛,
если все члены ∑∞𝑛=1𝑏𝑛 положительны. Следовательно, мы можем рассчитать
неизвестная сумма 𝑎 быстрее по условиям суммирования Куммера
ряд ∑∞𝑛=1𝑏𝑛,
который строится по формуле ∑∞𝑛=1𝑎𝑛, ∑∞𝑛=1𝑐𝑛,
и 𝑝.
В лемме 4.1 мы доказали более быструю сходимость ряда Куммера ∑∞𝑛=1𝑏𝑛 к неизвестной сумме 𝑎 чисел ∑∞𝑛=1𝑎𝑛 без условий положительности 𝑝 и членов ∑∞𝑛=1𝑐𝑛.
Через ℕ обозначим множество всех натуральных чисел, а через ℝ множество всех действительных чисел.
Определение 1.1 (см. [2]). Пусть ∑∞𝑛=1𝑎𝑛, ∑∞𝑛=1𝑏𝑛 — сходящийся вещественный ряд с одной и той же суммой, с ненулевыми членами и такой, что 𝑏𝑛+𝑏𝑛+1+…≠0,𝑛∈ℕ. Ряд ∑∞𝑛=1𝑎𝑛 называется сходящимся быстрее, чем ∑∞𝑛=1𝑏𝑛, если lim𝑛→∞(𝑎𝑛+𝑎𝑛+1+…)/(𝑏𝑛+𝑏𝑛+1+…)=0.
Лемма 1.2 (см. [7]). Пусть ∑∞𝑛=1𝑎𝑛, ∑∞𝑛=1𝑏𝑛 — сходящийся вещественный ряд с положительными членами и с той же суммой. Если lim𝑛→∞(𝑎𝑛/𝑏𝑛)=0, тогда lim𝑛→∞(𝑎𝑛+𝑎𝑛+1+…)/(𝑏𝑛+𝑏𝑛+1+…)=0.
В дальнейшем мы не предполагаем равенства суммы сходящийся ряд ∑∞𝑛=1𝑎𝑛,∑∞𝑛=1𝑏𝑛, потому что мы можем построить ряд ∑∞𝑛=1𝑎∗𝑛,∑∞𝑛=1𝑏∗𝑛, где 𝑎∗𝑛=𝑎𝑛 и 𝑏∗𝑛=𝑏𝑛 для 𝑛≥2 с той же суммой.
2. Более быстро сходящийся ряд
Лемма 2.1. Пусть ∑∞𝑛=1𝑎𝑛, ∑∞𝑛=1𝑏𝑛 — сходящийся вещественный ряд с положительными членами.
Если lim𝑛→∞𝑎𝑛+𝑎𝑛+1+…𝑏𝑛+𝑏𝑛+1+…=0, то liminf𝑛→∞𝑎𝑛𝑏𝑛=0. (2.1)
Доказательство. Путем противоречия мы предположим, что liminf𝑛→∞(𝑎𝑛/𝑏𝑛)=𝑞>0, тогда существует 𝑛0∈ℕ такое, что для каждого 𝑛>𝑛0 имеем 0<𝑞⋆<𝑎𝑛/𝑏𝑛, где 0<𝑞⋆<𝑞. Отсюда следует 𝑞⋆(𝑏𝑛+𝑏𝑛+1+…)<(𝑎𝑛+𝑎𝑛+1+…) при 𝑛>𝑛0, что противоречит lim𝑛→∞(𝑎𝑛+𝑎𝑛+1+…)/(𝑏𝑛+ 𝑏𝑛+1+…)=0, аналогично для 𝑞=∞.
Лемма 2.2. Пусть ∑∞𝑛=1𝑎𝑛, ∑∞𝑛=1𝑏𝑛 — сходящийся вещественный ряд с положительными членами. Пусть lim𝑛→∞(𝑎𝑛/𝑏𝑛) существует. Тогда lim𝑛→∞𝑎𝑛𝑏𝑛=0ifflim𝑛→∞𝑎𝑛+𝑎𝑛+1+…𝑏𝑛+𝑏𝑛+1+…=0. (2.2)
Следующий пример показывает, что при условиях По лемме 2.1 для всех 0<𝑟≤∞ существует ряд ∑∞𝑛=1𝑎𝑛, ∑∞𝑛=1𝑏𝑛 такой, что limsup𝑛→∞(𝑎𝑛/𝑏𝑛)=𝑟.
Пример 2.3. Пусть {𝛼𝑛;𝑛∈ℕ} — любая последовательность действительных положительных чисел, которая удовлетворить 𝛼𝑛≤1/𝑛4 для 𝑛≥1. Определим ряды ∑∞𝑛=1𝑎𝑛=𝑟𝛼1+𝛼1/12+𝑟𝛼2+𝛼2/22+…+𝑟𝛼𝑘+𝛼𝑘/𝑘2+… и ∑∞𝑛=1. Тогда имеем𝑏𝑛 Если =𝛼1+12𝛼1+𝛼2, тогда +22𝛼2+…+
Примечание 2.4. Очевидно, что из 𝛼𝑘+𝑘2𝛼𝑘+… в общем случае не следует lim𝑛→∞𝑎2𝑛−1+𝑎2𝑛+…𝑏2𝑛−1+𝑏2𝑛+…=lim𝑛→∞𝑟+1𝑛+𝛼𝀑+𝛼 /𝑛2𝛼𝑛+𝛼𝑛+1+…𝛼𝑛+𝛼𝑛+1+…+𝑛2𝛼𝑛+𝛼𝑛+1+…=0, (2.
3)lim𝑛→∏2+𝑎2𝑛+𝑑 𝑏2𝑛+1+…=lim𝑛→∞𝑟𝛼𝑛+1+𝛼𝑛+2++…1/𝑛2𝛼𝑛+𝛼𝑛+1+…𝛼𝑛+1+𝛼𝑛+…+2 𝛼𝑛+𝛼𝑛+1+…=0,(1)lim𝑛→∞𝑎2𝑛−1𝑏2𝑛−1=𝑟,lim𝑛→∞𝑎2𝑛𝑏2𝑛=0.(2) Например, если положить ∑∞=𝑛𝑼=1𝑎𝑼 /12+2𝛼2+𝛼2/22+…+𝑘𝛼𝑘+𝛼𝑘/𝑘2+…lim𝑛→∞(𝑎2𝑛−1/𝑏2𝑛−1)=∞. и lim𝑛→∞(𝑎𝑛+𝑎𝑛+1+…)/(𝑏𝑛+𝑏𝑛+1+…)=0liminf𝑛→∞(𝑎𝑛/𝑏𝑛)=0., получаем 𝑎2𝑛=𝑏2𝑛=1/(𝑛+1(𝑛 )) и 𝑛∈ℕ — множество всех точек кластера
последовательность 𝑎2𝑛−1=−𝑏2𝑛−1=−1/(𝑛(𝑛+1)),
В общем случае из условия 𝑛∈ℕ не следует условие lim𝑛→∞(𝑎𝑛+𝑎𝑛+1+…)/(𝑏𝑛+𝑏𝑛+1+…)=0, как следует из следующего примера.
Пример 2.5. Пусть {−1,1} будет такой последовательностью, что 𝑏𝑛+1+…)=0. Определим сходящиеся ряды {𝛼𝑛;𝑛∈ℕ} и 𝛼𝑛=𝑞𝑛,. Из определения получаем Из ∑∞𝑛=1𝑏𝑛=𝛼1−𝛼1/2+𝛼2/3−𝛼2/4+…+𝛼𝑘/(2𝑘−1)−𝛼𝑘/2𝑘+…𝑏2𝑛+𝑏2𝑛+1+…=−𝛛+1𝑛+𝑝 +𝛼2𝑛+1(2𝑛+2𝑛+2<12𝑛+32𝑛+4+…2𝑛−𝛼+𝛼𝑛+1+𝛼𝑛+2=1+…2𝑛-+𝑞𝑞𝑞 1+𝑞𝑛+2=𝑞+…𝑛2𝑞−12𝑛1−𝑞<0. (2.4) имеем𝑏2𝑛+1+𝑏2𝑛+2+…>0 Таким образом, lim𝑛→∞(𝑎𝑛/𝑏𝑛)=0.
Лемма 2.6. Пусть (2(𝑘+𝑚)−1)(2(𝑘+𝑚))>(𝑘+𝑚)2, 𝑘,𝑚∈ℕ — сходящийся вещественный ряд с ненулевыми членами.
Пусть /(2𝑘+1)(2𝑘+2)+…>2для𝑘≥1.
(2.5) для всех lim𝑛→∞(𝑎𝑛+𝑎𝑛+1+…)/(𝑏𝑛+𝑏𝑛+1+…)≠0. .
Пусть ∑∞𝑛 = 1𝑎𝑛∑∞𝑛 = 1𝑏𝑛𝑏𝑛+𝑏𝑛+1+… ≠ 0𝑛∈ℕ затем (1) 𝑙𝑖 (𝑎) = liminf𝑛 → ∞ | 1+𝑎𝑛+1/𝑎𝑛+𝑎𝑛+2/𝑎𝑛+ … |, (2) 𝑙𝑠 (𝑎) = limsup𝑛 → ∞ | 1+𝑎𝑛+1/𝑎𝑛+𝑎𝑛+2/𝑎𝑛+… |, (3) 𝑙𝑖 (𝑏) = Liminf𝑛 → тогда и только тогда, когда
|1+𝑏𝑛+1/𝑏𝑛+𝑏𝑛+2/𝑏𝑛+…|,
Доказательство. Для каждого 𝑙𝑠(𝑏)=limsup𝑛→∞|1+𝑏𝑛+1/𝑏𝑛+𝑏𝑛+2/𝑏𝑛+…| /𝑏𝑛)=0,тогдаlim𝑛→∞(𝑎𝑛+𝑎𝑛+1+…)/(𝑏𝑛+𝑏𝑛+1+Отсюда следует наше утверждение.
Замечание 2.7. Условие …)=0 может быть выполнено, например, если 1+…)/(𝑏𝑛+ В самом деле, если 𝑏𝑛+1+…)=0, то lim𝑛→∞(𝑎𝑛/𝑏𝑛)=0, то существует если (𝑎),𝑙𝑠(𝑎)<∞,0<𝑙𝑖(𝑏),𝑙𝑠(𝑏)<∞, такие, что для любого thenlim𝑛→∞(𝑎𝑛/𝑏𝑛)=0 имеем lim𝑛→∞(𝑎𝑛+𝑎𝑎𝑎 +…)/(𝑏𝑛+𝑏𝑛+1+…)=0.и, следовательно, 𝑛∈ℕ Условие |||𝑎𝑛+𝑎𝑛+1+…𝑏𝑛+𝑏𝑛+1|||=|||+…1+𝑎𝑛 +1/𝑎𝑛+𝑎𝑛+2/𝑎𝑛|||+…|||𝑏𝑛/𝑎𝑛+𝑏𝑛+1/𝑎𝑛+𝑏𝑛+2/𝑎𝑛|||=|||+…1+𝑎𝑛+1/𝑎𝑛+ 𝑎𝑛+2/𝑎𝑛|||+…|||𝑏𝑛/𝑎𝑛||||||1+𝑏𝑛+1/𝑏𝑛+𝑏𝑛+2/𝑏𝑛|||=|||𝑎+…𝑛/𝑏𝑛|| ||||1+𝑎𝑛+1/𝑎𝑛+𝑎𝑛+2/𝑎𝑛+𝑎𝑛+3/𝑎𝑛|||+…|||1+𝑏𝑛+1/𝑏𝑛+𝑏𝑛+2/𝑏+𝑛𝑛+3/𝑏𝑛+𝑛𝑛𝑛 |||.+…(2.
6) может выполняться, например, если liminf𝑛→∞|1+𝑏𝑛+1/𝑏𝑛+𝑏𝑛+2/𝑏𝑛+…|>0 Действительно, если limsup𝑛→∞|𝑏𝑛+1/ 𝑏𝑛|<1/2. тогда существует limsup𝑛→∞|𝑏𝑛+1/𝑏𝑛|<𝑟<1/2. такое, что для каждого 𝑛0∈ℕ имеем𝑛>𝑛0Обратно, из условия 𝑏𝑛+2𝑏𝑛+1||||||𝑏𝑛+1𝑏𝑛|||+|||𝑏𝑛+3𝑏𝑛+2||||||𝑏𝑛+2𝑏𝑛+1||||||𝑏𝑛+1𝑏𝑛|||+ …≤𝑟+𝑟2+𝑟3𝑟+…=,1−𝑟(2.7) не обязательно должны следовать условию |1+𝑏𝑛+1/𝑏𝑛+𝑏𝑛+2/𝑏𝑛+…|≥(1−2𝑟)/(1−𝑟 )>0. Например, если положить limsup𝑛→∞|1+𝑎𝑛+1/𝑎𝑛+𝑎𝑛+2/𝑎𝑛+…|<∞, limsup𝑛→∞|𝑎𝑛+1/𝑎𝑛|<1., limsup𝑛→∞|𝑎𝑎 /𝑎𝑛|=𝛼<1, 𝑛0∈ℕ, то 𝑛>𝑛0 — сходящийся ряд и |||𝑎1+𝑛+1𝑎𝑛+𝑎𝑛+2𝑎𝑛|||=|||𝑎+…1+𝑛+1𝑎𝑛++𝑎𝑛 2𝑎𝑛+1𝑎𝑛+1𝑎𝑛+𝑎𝑛+3𝑎𝑛+2𝑎𝑛+2𝑎𝑛+1𝑎𝑛+1𝑎𝑛 |||+… ≤1+𝛽+𝛽2+𝛽31+… = 1 — 𝛽 <∞, где <𝛽 <1. (2,8), liminf𝑛 → ∞|1+𝑏𝑛+1/𝑏𝑛+𝑏𝑛+2/𝑏𝑛+…|>0
3. limsup𝑛→∞|(𝑏𝑛+1/𝑏𝑛)|
<1/2.-Сходящийся ряд Определение 3.1 (см. [10]). Мы говорим, что последовательность 𝑎1≠0 имеет 𝑎2𝑛=1/2𝑛-ограничение действительного числа 𝑎2𝑛+1=−1/2𝑛 и пишем 𝑛=1,2,…,-∑∞𝑛=1𝑎𝑛,
если для каждого limsup𝑛→∞|𝑎𝑛+1/𝑎𝑛|=1 множество limsup𝑛→∞|1+𝑎𝑛+1/𝑎𝑛+𝑎𝑛+2/𝑎𝑛+…|=1. принадлежит идеалу 𝜏,
где {𝑎𝑛;𝑛∈ℕ} — допустимый идеал подмножеств в 𝜏, являющийся аддитивным (если 𝐿,
то 𝜏), наследственное (если lim𝑛→∞𝑎𝑛=𝐿,
тогда 𝜀>0), содержащий все синглетоны и не
содержащий 𝐴(𝜀)={𝑛;|𝑎𝑛−𝐿|≥𝜀}.
Обозначим через 𝜏 идеал всех конечных подмножеств 𝜏.
Определение 3.2 (см. [10]). Мы говорим, что ℕ𝐴,𝐵∈∈𝜏-сходится к действительному числу 𝐴∪𝐵∈∈𝜏, и пишем 𝐵⊂𝐴∈𝜏-𝐵∈𝜏, если для каждого ℕ множество 𝜏𝑓 принадлежит идеалу ℕ, где ∑∞𝑛=1𝑎𝑛 — допустимый идеал подмножеств 𝜏.
Определение 3.3. Пусть 𝐿, 𝜏 — ∑∞𝑛=1𝑎𝑛=𝐿-сходящийся вещественный ряд с ненулевыми членами такое, что 𝜀>0∑𝐴(𝜀)={𝑛;|𝑛𝑘=1𝑎𝑘−𝐿|≥𝜀}. Ряд 𝜏 называется 𝜏-сходящимся быстрее, чем ℕ, если ∑∞𝑛=1𝑎𝑛
Определение 3.4 (см. [9]). Пусть ∑∞𝑛=1𝑏𝑛 — допустимый идеал подмножеств 𝜏. Число 𝑏𝑛+𝑏𝑛+1+…≠0 называется 𝑛∈ℕ-кластерной точкой ∑∞𝑛=1𝑎𝑛, если для каждого 𝜏 множество ∑∞𝑛=1𝑏𝑛 не принадлежит 𝜏-lim𝑛→∞(𝑎𝑛 +1+𝑎𝑛+2+…)/(𝑏𝑛+1+𝑏𝑛+2+…)=0.
Замечание 3.5. Конечно, если 𝜏 — допустимый идеал подмножеств ℕ,
под 𝑥∈𝑅-кластерной точкой вещественной последовательности 𝜏 понимается число ∑∞𝑛=1𝑥𝑛, где для каждого 𝜀>0 множество ∑{𝑛∈ℕ;|𝑛𝑘=1𝑥𝑘−𝑥|<𝜀} не из 𝜏. Более того, мы говорим, что 𝜏 (ℕ) является 𝜏-кластерной точкой действительной последовательности {𝑥𝑛;𝑛∈ℕ}, если для каждого 𝑥∈ℝ (𝜀>0) множество {𝑛∈ℕ;|𝑥𝑛−𝑥|< 𝜀} (𝜏.
) не из ∞.
Примечание 3.6. Если −∞ — вещественная последовательность, 𝜏 — допустимый идеал и {𝑥𝑛;𝑛∈ℕ}, то 𝑐>0. Действительно, если 𝑐<0 ограничено, то согласно [8] существует {𝑛∈ℕ ;𝑥𝑛>𝑐}-кластерная точка {𝑛∈ℕ;𝑥𝑛<𝑐} Если 𝜏 не ограничено, то либо {𝑥𝑛;𝑛∈ℕ}, либо 𝜏 есть 𝑋={𝑥;𝑥является𝜏-кластерной точкой{𝑥𝑛ℛ;𝑑 }}-кластерная точка 𝑋≠∅. согласно замечанию 3.5 или существует {𝑥𝑛;𝑛∈ℕ} такое, что 𝜏 Если для некоторого {𝑥𝑛;𝑛∈ℕ}.{𝑥𝑛;𝑛∈ℕ}, тогда +∞ Рассмотрим идеал −∞ Поскольку 𝜏 — ограниченное множество, существует {𝑥𝑛;𝑛∈ℕ}𝑙∈ℝ такое, что {𝑛∈ℕ;|𝑥𝑛|>𝑙}∈𝜏. является 𝑙∈ℝ-кластерной точкой {𝑛∈ℕ;|𝑥𝑛|>𝑙}∈𝜏 Пусть 𝐾𝑙={𝑛∈ℕ;|𝑥𝑛|≤𝑙}∉𝜏.. Так как 𝜐={𝐾𝑙∩𝐴;𝐴∈𝜏}. является {𝑥𝑛;𝑛∈𝐾𝑙}-кластерной точкой 𝑥⋆∈ℝ, тогда множество |𝑥⋆|≤𝑙 и тогда тоже не из 𝑥⋆. Так как 𝜐 имеет наследственное свойство, то {𝑥𝑛;𝑛∈𝐾𝑙}.. Таким образом, 𝜀>0 является точкой кластеризации 𝑥⋆
Определение 3.7. Пусть 𝜐 — допустимый идеал подмножеств {𝑥𝑛;𝑛∈𝐾𝑙}.
Пусть {𝑛∈𝐾𝑙;|𝑥𝑛−𝑥⋆|<𝜀}∉𝜐 — бесконечный ряд действительных чисел, и пусть 𝜏 Если 𝜏 ограничено, то {𝑛∈ℕ;|𝑥𝑛−𝑥⋆|<𝜀}∉𝜏 ( 𝑥⋆) называется {𝑥𝑛;𝑛∈ℕ}.
-𝜏 (ℕ-∑∞𝑛=1𝑥𝑛). Если ∑𝑋={𝑥∈ℝ;𝑥является𝜏-кластерной точкой∞𝑛=1𝑥𝑛}. или 𝑋 есть 𝑠=суп𝑋-кластерная точка (𝑠=inf𝑋 или 𝜏 есть limsup𝑛→∞∑∞𝑛=1𝑥𝑛-кластерная точка), тогда 𝜏-liminf𝑛→∞∑∞𝑛=1𝑥𝑋=∞).
Определение 3.8. Мы говорим, что последовательность 𝜏 является inf𝑋=−∞-ограниченной сверху (−∞-ограниченной снизу), если существует 𝜏 такое, что 𝜏 (limsup𝑛→∞∑∞𝑛=1𝑥𝑛=∞) и 𝜏-ограничена, если liminf𝑛→∞∑∞𝑛=1𝑥𝑛=−∞-ограничен сверху и снизу одновременно.
Очевидно, что если {𝑥𝑛;𝑛∈ℝ} сходится быстрее, чем 𝜏, то 𝜏 сходится 𝑚∈ℝ-быстрее, то {𝑛∈ℕ;𝑥𝑛>𝑚}∈𝜏. Как правило, из того факта, что {𝑛∈ℕ;𝑥𝑛<𝑚}∈𝜏 сходится 𝜏-быстрее, 𝜏 не означает, что ∑∞𝑛=1𝑎𝑛 сходится быстрее, чем ∑∞𝑛=1𝑏𝑛.
Очевидно, что для серии ∑∞𝑛 = 1𝑎𝑛-convergent, где 𝜏 имеет свойство ∑∞𝑛 = 1𝑏𝑛: ∑∞𝑛 = 1𝑎𝑛 (𝜏 или ∑∞𝑛 = 1𝑏𝑛 асимптотическая плотность ∑∞𝑛 = 1𝑎𝑛 есть ∑∞𝑛 =1𝑏𝑛), получаем лемму, аналогичную лемме 2.6.
Лемма 3.9. Пусть 𝜏 — допустимый идеал подмножеств 𝜏 со свойством p1. Пусть {𝐴⊂𝑁;-сходящийся вещественный ряд с ненулевыми членами.
Пусть (𝐴)=0} для всех p1.
Пусть
𝜏 Тогда (1) ℕ (2) P1 (3) ∑∞𝑛 = 1𝑎𝑛
доказательство. Во-первых, заметим, что если ∑∞𝑛=1𝑏𝑛,
тогда последовательность 𝜏 является 𝑏𝑛+𝑏𝑛+1+…≠0,-ограниченной сверху (аналогично для 𝑛∈ℕ). Далее мы показываем, что если +1𝑎𝑛+𝑎𝑛+2𝑎𝑛|||,𝑡+…𝑖(𝑏)=𝜏-лиминф𝑛→∞|||𝑏1+𝑛+1𝑏𝑛+𝑏𝑛+2𝑏𝑛|||+…,𝑡𝑡𝑠(𝑠)= ∞|||𝑏1+𝑛+1𝑏𝑛+𝑏𝑛+2𝑏𝑛|||.+…(3.2) есть if𝑡𝑠(𝑎)<∞,𝑡𝑖(𝑏)>0,𝜏-lim𝑛→∞(𝑎𝑛/𝑏)=0 ,то𝜏-lim𝑛→∞(𝑎𝑛+𝑎𝑛+1+…)/(𝑏𝑛+𝑏𝑛+1+-сходящаяся последовательность к 0 и …)=0, является if𝑎𝑛+𝑎𝑛+1+…≠0для всех𝑛∈ℕ,𝑡𝑖( 𝑎)>0,𝑡𝑠(𝑏)<∞,𝜏-lim𝑛→∞(𝑎𝑛+𝑎𝑛+1+…)/(𝑏𝑛+-ограниченная последовательность, то 𝑏𝑛+1+…)=0,тогда𝜏-lim𝑛→∞( 𝑎𝑛/𝑏𝑛)=0, является если𝑎𝑛+𝑎𝑛+1+…≠0 для всех𝑛∈ℕ,0<𝑡𝑖(𝑎),𝑡𝑠(𝑎)<∞,0<𝑡𝑖(𝑏),𝑡<(𝑏, то) -сходящаяся последовательность к 0. Существуют 𝜏-lim𝑛→∞(𝑎𝑛/𝑏𝑛)=0, если и только если 𝜏-lim𝑛→∞(𝑎𝑛+𝑎𝑛+1+…)/(𝑏𝑛+𝑏𝑛+1+…)=0. такое, что множество 𝜏-limsup𝑛→∞𝑥𝑛<∞ принадлежит {𝑥𝑛;𝑛∈ℕ}.
Пусть 𝜏 Множество 𝜏-liminf принадлежит {𝑎𝑛;𝑛∈ℕ}.
Если 𝜏,
затем {𝑏𝑛;𝑛∈ℕ} и 𝜏 и, следовательно, {𝑎𝑛𝑏𝑛∶𝑛∈ℕ}.
Отсюда и из свойств идеала 𝜏 следует, что 𝑘∈ℝ𝑁𝑏={𝑛;|𝑏𝑛|≥𝑘}-сходится к 0. Тогда доказательство следует из
Лемма 2.6.
Следующие примеры показывают, что мы не можем заменить lim на 𝜏-lim в леммах 1.2, 2.1 и 2.2.
Пример 3.10. Пусть 𝜀>0. быть сходящимся рядом с положительными членами такое, что 𝑁𝑎(𝜀)={𝑛;|𝑎𝑛|≥𝜀/𝑘} сходится (например, 𝜏, 𝑛∈ℕ⧵(𝑁𝑎(𝜀)∪𝑁𝑏)). Пусть |𝑎𝑛|<𝜀/𝐾, |𝑏𝑛|<𝑘 — бесконечное подмножество |𝑎𝑛𝑏𝑛|<𝜀, где 𝜏 — произвольный допустимый идеал со свойством {𝑎𝑛𝑏𝑛∶𝑛∈ℕ} отличается от 𝜏. Определим действительный ряд 𝜏 следующим образом: ∑∞𝑛=1𝑏𝑛где ∑∞𝑛=1(𝑏𝑛+𝑏𝑛+1+𝑏𝑛+2+…) — действительное число такое, что ∑∞𝑛=1𝑏𝑛=∑∞𝑛= 1𝛼𝑛−1. Получаем 0<𝛼<1, 𝑀={𝑖𝑗;1<𝑖𝑗<𝑖𝑗+1,𝑗∈ℕ} для всех 𝑀∈𝜏.
Пример 3.11. Пусть ℕ, 𝜏 — бесконечное подмножество p1,
где 𝜏𝑓 — произвольный допустимый идеал со свойством
∑∞𝑛 = 1𝑎𝑛 отличается от 𝑎𝑛 = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1𝑛𝑏𝑛, 𝑛> 1, 𝑛 ≠ 𝑖𝑗, 𝑖𝑗𝑏∈𝑀, 𝑗 = 2,3,… 𝑖𝑗 -1+𝑏𝑖𝑗 -1+1𝑖+… 𝑛∈𝑀⧵1,𝑐,𝑛=1, (3.3).
Пусть 𝑐 — последовательность положительных действительных чисел, такая
что ∑∞𝑛=1𝑎𝑛=∑∞𝑛=1𝑏𝑛𝜏-lim𝑛→∞(𝑎𝑛/𝑏𝑛)=0, где (𝑎𝑛+𝑎𝑛+1+…)/(𝑏𝑛+𝑏𝑛+.
1+…)>1+.1+…)
Положим 𝑛≥𝑖2𝑀={𝑛𝑗;𝑛1=1,𝑛𝑗<𝑛𝑗+1,𝑛𝑗+1−𝑛𝑗≥2,𝑗∈ℕ}.
Пусть 𝑀∈𝜏ℕ для 𝜏 определяется следующим образом: если p1,
где 𝜏𝑓 положим {𝐵𝑛𝑗}∞𝑗=1𝐵𝑛𝑗+1<𝐵𝑛𝑗<𝑚𝐵𝑛𝑗+1,lim𝑗→∞𝐵𝑛𝑗=0, Для 𝑚>1,2𝐝=𝐴𝑘
где 𝑘∈𝑀 Отсюда и из определения 𝐴𝑘,𝐵𝑘 следует 𝑘∉𝑀 отсюда 𝑛𝑗<𝑘<𝑛𝑗+1-𝑗∈ℕ Очевидно, что 𝜀𝑛𝑗=(𝐴𝑛𝑗+1𝐴() 𝑛𝑗), для 𝐴𝑘=𝐴𝑛𝑗−(𝑘−𝑛𝑗)𝜀𝑛𝑗,𝐵𝑘=𝐵𝑛𝑗−(𝑘−𝑛𝑗)𝜀𝑛𝑗. Пусть 𝑘∉𝑀 и 𝐴𝑘/𝐵𝑘<𝐴𝑛𝑗/𝐵𝑛𝑗+1=𝐵𝑛𝑗/2𝑛𝑗𝐵𝑛𝑗+1<𝑚/2𝑛𝑗 — вещественные числа. Положим +1)/(𝐵𝑘−𝐵𝑘+1)=1𝑘≠𝑛𝑗−1,-𝑗>1.
Примечание 3.12. Если 𝐴0>𝐴1 не обладают свойством 𝐵0>𝐵1, получаем лемму, аналогичную лемме 3.9, но с индексы сдвига данного ряда. (Вообще говоря, неверно, что если и т. д.)
4. Ряд Куммера
В [7] показано: если ∑∞𝑛=1𝑏𝑛 — сходящийся вещественный ряд с положительными
членов и с неизвестной суммой 𝜏 и lim𝑛→∞(𝑎𝑛+𝑎𝑛+1+…)/(𝑏𝑛+𝑏𝑛+1+…)=0, представляет собой сходящийся действительный ряд с положительным
членов и с известной суммой 𝜏,
то если lim𝑛→∞(𝑎𝑛/𝑏𝑛)=1. серия Куммер 𝜏,
где p1 и 𝜏 для lim𝑛→∞𝑎𝑛=𝑎,
имеет ту же сумму, что и 𝜏, и если lim𝑛→∞𝑎𝑛+1=𝑎 — более быстро сходящийся ряд, то ∑∞𝑛=1𝑎𝑛.
В следующей лемме мы доказываем, используя лемму 2.6, что более быстрая сходимость ряда Куммера 𝑎 к неизвестной сумме ∑∞𝑛=1𝑐𝑛 без условий положительности 𝑐 и членов lim𝑛→∞(𝑎𝑛/𝑐𝑛)=𝑝>0∑∞𝑛=1𝑏𝑛𝑏1=𝑎1+𝑏1=𝑎1+𝑏 𝑐1)
Лемма 4.1. Пусть 𝑏𝑛=𝑎𝑛−𝑝𝑐𝑛 — сходящийся вещественный ряд с ненулевым членов и с суммой 𝑛≥2. Пусть ∑∞𝑛=1𝑎𝑛 Пусть 𝑏𝑛>0 для всех ∑∞𝑛=1𝑎𝑛. Пусть ∑∞𝑛=1𝑏𝑛 — сходящийся ряд с ненулевыми членами и с суммой ∑∞𝑛=1𝑎𝑛. Пусть 𝑝. Если для ряда ∑∞𝑛=1𝑎𝑛, где ∑∞𝑛=1𝑏𝑛 и ∑∞𝑛=1𝑐𝑛., для ∑∞𝑛=1𝑎𝑛, равно 𝑎, для liminf𝑛→∞|1+𝑎𝑛+1/𝑎𝑛+𝑎𝑛+2/𝑎𝑛+…|>0., и 𝑎𝑛+𝑎𝑛+1+…≠0, тогда𝑛∈ℕ и ∑∞𝑛=1𝑐𝑛 является более сходящимся рядом, чем 𝑐.
Доказательство. Так как lim𝑛→∞𝑎𝑛/𝑐𝑛=𝑝≠0, доказательство следует из леммы 2.6.
В следующем примере мы строим, используя Замечание 2.7 и лемме 4.1, ряд Куммера ∑∞𝑛=1𝑏𝑛 сходится быстрее, чем ряд 𝑏1=𝑎1+𝑝(𝑐−𝑐1) такой, что ряд 𝑏𝑛=𝑎𝑛−𝑝𝑐𝑛𝑛≥2𝑏𝑛≠ не имеет положительных членов.
Пример 4.2. Пусть 𝑛≥2 (сумма неизвестна). Очевидно, что limsup𝑛→∞|1+𝑏𝑛+1/𝑏𝑛+𝑏𝑛+2/𝑏𝑛+…|<∞ Пусть ∑∞𝑛=1𝑏𝑛=𝑎, тогда →∞(𝑏𝑛/𝑎𝑛)=0, отсюда следует ∑∞𝑛=1𝑏𝑛 (сумма известна).
Ряд Куммера равен ∑∞𝑛=1𝑎𝑛, где ∑∞𝑛=1𝑎𝑛, ∑∞𝑛=1𝑐𝑛,.
Очевидно, что ∑∞𝑛=1𝑏𝑛 Поскольку ∑∞𝑛=1𝑎𝑛=∑∞𝑛=1(−1)𝑛/(4𝑛(3𝑛2+√𝑛)), есть ряды с чередующимися знаками такие, что для
все лимсуп𝑛→∞|𝑎𝑛+1/𝑎𝑛|=1/4<1/2. мы имеем, что ∑∞𝑛=1𝑐𝑛=∑∞𝑛=1(−1)𝑛/(4𝑛𝑛2),
получаем для lim𝑛→∞𝑎𝑛/𝑐𝑛=1/3 ∑∞𝑛=1(𝑥𝑛/𝑛2∫)=−𝑥0(ln(1−𝑡)/𝑡)𝑑𝑡𝑥∈(−1,1) Отсюда ∑∞𝑛= 1(−1)𝑛/(4𝑛𝑛2∫)=0−1/4(ln(1−𝑡)/𝑡)𝑑𝑡 — ряд, сходящийся быстрее, чем ∑∞𝑛=1𝑏𝑛=𝑏1+∑∞𝑛=2(𝑎𝑛−( 1/3)𝑐𝑛), и имеет ту же сумму.
Ссылки
Д. А. Смит и В. Ф. Форд, «Ускорение линейной и логарифмической сходимости», SIAM Journal on Numerical Analysis , vol. 16, нет. 2, 223 страницы, 1979 г.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
Т. А. Киги и В. Ф. Форд, «Ускорение с помощью преобразований подпоследовательностей», Pacific Journal of Mathematics , vol. 132, нет. 2, 357 страниц, 1988.
Посмотреть по адресу:
Академия Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
Дж.
Вимп, «Некоторые преобразования монотонных последовательностей», Mathematics of Computation , vol. 26, нет. 117, 251 страница, 1972 г.Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
HE Salzer, «Простой метод суммирования некоторых медленно сходящихся рядов», Journal of Mathematics and Physics , vol. 33, 356 страниц, 1955.
Посмотреть по адресу:
Google Scholar | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
Д. Ф. Доусон, «Матричная суммируемость по некоторым классам последовательностей, упорядоченных по скорости сходимости», Pacific Journal of Mathematics , vol. 24, нет. 1, 51 страница, 1968 г.
Посмотреть по адресу:
Google Scholar | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
B.
C. Tripathy and M. Sen, «Примечание о скорости сходимости последовательностей и плотности подмножеств натуральных чисел», Итальянский журнал чистой и прикладной математики , вып. 17, 151 страница, 2005 г.Посмотреть по адресу:
Google Scholar | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
T. Šalát, Nekonečné Rady , ACADEMIA Nakladatelství Československé Akademie, Прага, Чехия, 1974.
Посмотреть по адресу:
lblattMATH | MathSciNetР. Филипов, И. Рецлав, Н. Мрожек и П. Шука, «Идеальная сходимость ограниченных последовательностей», Journal of Symbolic Logic , том. 72, нет. 2, 501 страница, 2007 г.
Посмотреть по адресу:
Google Scholar | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
П. Костырко, Т. Шалат и В. Вильчинский, «ℐ-конвергенция», Real Analysis Exchange , том.
26, нет. 2, 669 страниц, 2001 г.Посмотреть по адресу:
Google Scholar | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
Т. Шалат и В. Тома, «Классическая теорема Оливье и статистическая сходимость», Математические Анналы Блеза Паскаля , том. 10, нет. 2, 305 страниц, 2003 г.
Посмотреть по адресу:
Google Scholar | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
М. Диндош, Т. Шалат и В. Тома, «Статистическая сходимость бесконечных рядов», Чехословацкий математический журнал , том. 53(128), вып. 4, 989 страниц, 2003 г.
Посмотреть по адресу:
Google Scholar | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
Т. Шалат, «О статистически сходящихся последовательностях действительных чисел», Mathematica Slovaca , том.
30, нет. 2, 139 страниц, 1980.Посмотреть по адресу:
Google Scholar | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
Б. К. Трипати, «О статистической сходимости», Труды Эстонской академии наук. Физика, Математика , вып. 47, нет. 4, 299 страниц, 1998 г.
Посмотреть по адресу:
Google Scholar | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
Б. К. Трипати, «О статистически сходящихся рядах», Пенджабский университет. Журнал математики , том. 32, 1 стр., 1999 г.
Посмотреть по адресу:
Google Scholar | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
Вимп, «Некоторые преобразования монотонных последовательностей», Mathematics of Computation , vol. 26, нет. 117, 251 страница, 1972 г.
C. Tripathy and M. Sen, «Примечание о скорости сходимости последовательностей и плотности подмножеств натуральных чисел», Итальянский журнал чистой и прикладной математики , вып. 17, 151 страница, 2005 г.
26, нет. 2, 669 страниц, 2001 г.
30, нет. 2, 139 страниц, 1980.Copyright
Copyright © 2008 Dušan Holý et al. Это статья в открытом доступе, распространяемая под
Лицензия Creative Commons Attribution, которая разрешает неограниченное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии надлежащего цитирования оригинальной работы.
Равномерная сходимость — Математическая энциклопедия
последовательности функций (отображений)
Свойство последовательности $ f _ {n} : X \rightarrow Y $, где $Х$ произвольное множество, $ Y $ метрическое пространство, $ n = 1, 2 \dots $ сходящейся к функции (отображению) $ f: X \rightarrow Y $, требуя, чтобы для каждого $ \epsilon > 0 $ есть число $ n _ \epsilon $( не зависит от $x$) такое, что для всех $ n > n _ \epsilon $ и все $x\inX$ неравенство
$$ \rho ( f ( x), f _ {n} ( x)) < \ epsilon $$
держит. Это эквивалентно
$$ \lim\limits _ {n \стрелка вправо \infty } \ \sup _ {х \в X} \ \rho (f _ {n} (x), f (x)) = 0. $$
Для того, чтобы последовательность $ \{ f _ {n} \} $
сходится равномерно на множестве $X$
к функции $f$
необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность чисел $ \{ \alpha _ {n} \} $
такое, что $ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } \alpha _ {n} = 0 $,
а также число $n_{0}$
такое, что для $ n > n _ {0} $
и все $x\inX$
неравенство
9{п} \} $,
$ n = 1, 2 \точки $
сходится равномерно на любом интервале $[0,a]$,
$ 0 < а < 1 $,
но не сходится равномерно на $[0, 1]$.
Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости, не использующее предельную функцию, дается критерием Коши равномерной сходимости.
Содержание
- 1 Свойства равномерно сходящихся последовательностей.
- 1.1 Каталожные номера
- 1.2 Комментарии
- 1.3 Ссылки
Свойства равномерно сходящихся последовательностей.
1) Если $ Y $ линейное нормированное пространство и две последовательности отображений $ f _ {n} : X \rightarrow Y $ и $ g _ {n} : X \rightarrow Y $ сходятся равномерно на $X$, тогда для любого $ \lambda , \mu \in \mathbf C $ последовательность $ \{ \lambda f _ {n} + \mu g _ {n} \} $ также сходится равномерно на $X$.
2) Если $ Y $
является линейным нормированным кольцом, если последовательность $ f _ {n} : X \rightarrow Y $,
$ n = 1, 2 \точки $
сходится равномерно на $X$
и если $ g: X \rightarrow Y $
является ограниченным отображением, то последовательность $ \{ gf _ {n} \} $
также сходится равномерно на $X$.
3) Если $ X $ — топологическое пространство, $ Y $ является метрическим пространством и если последовательность отображений $ f _ {n} : X \rightarrow Y $, непрерывная при $ x _ {0} \in X $, сходится равномерно на $X$ в $f: X \rightarrow Y $, затем $f$ также непрерывна в $ x _ {0} $, то есть,
$$ \lim\limits _ {x \rightarrow x _ {0} } \ \lim\limits _ {n \стрелка вправо \infty } \ ж _ {п} ( х ) = \ \lim\limits _ {n \стрелка вправо \infty } \ ж _ {п} ( х _ {0} ) = \ \lim\limits _ {n \стрелка вправо \infty } \ \lim\limits _ {x \rightarrow x _ {0} } \ ж _ {п} (х). $$ 9{п} $, $ n = 1, 2 \точки $ на $[0, 1]$. Равномерная сходимость последовательности непрерывных функций не является необходимым условием непрерывности предельной функции. Однако если $ X $ — компактное множество, $ Y $ множество действительных чисел $ \mathbf R $ и если все функции в последовательности непрерывных функций $ f _ {n} : X \rightarrow \mathbf R $ одновременно увеличивать или уменьшать во всех точках $ x \in X $ и последовательность имеет конечный предел:
$$ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } f _ {n} ( x ) = f ( x ), $$
затем для того, чтобы $f$
быть непрерывным на $ X $
необходимо и достаточно, чтобы $ \{ f _ {n} \} $
сходится равномерно на этом множестве.
Необходимые и одновременно достаточные условия непрерывности предела последовательности непрерывных функций вообще даются в терминах квазиравномерной сходимости последовательности.
4) Если последовательность интегрируемых по Риману (Лебегу) функций $ f _ {n} : [a, b] \rightarrow \mathbf R $, $ n = 1, 2 \точки $ сходится равномерно на $[a,b]$ к функции $f: [a,b]\rightarrow\mathbf R$, то эта функция также интегрируема по Риману (соответственно по Лебегу) для любых $ x \in [a, b] $ надо 9{x} f ( t) dt $ равномерна на $[a,b]$. Формула (*) обобщена на случай интеграла Стилтьеса. Если же последовательность интегрируемых функций $f_{n}$, $ n = 1, 2 \точки $ на $[а,б]$ только сходится в каждой точке отрезка к суммируемой функции $f$, тогда (*) может не выполняться.
5) Если последовательность непрерывно дифференцируемых функций $ f _ {n} : [a, b] \rightarrow \mathbf R $, $ n = 1, 2 \точки $ на $[а,б]$ сходится в некоторой точке $ x _ {0} \in [ a, b] $ и если последовательность производных $ \{ df _ {n} /dx \} $ сходится равномерно на $[a,b]$, то последовательность $ \{ f _ {n} \} $ также сходится равномерно на $[a,b]$, его предел есть непрерывно дифференцируемая функция на отрезке и
$$
{
\ гидроразрыв {d} {dx}
}
\lim\limits _ {n \rightarrow \infty } f _ {n} ( x) = \
\lim\limits _ {n \стрелка вправо \infty } \
\frac{df _ {n} ( x) }{dx }
,\\
а \leq х \leq б.
$$
Пусть $ X $ быть множеством и $ Y $ метрическое пространство. Семейство функций (отображений) $ f _ \alpha : X \rightarrow Y $, $ \alpha \in \mathfrak U $, с $ \mathfrak U $ топологическое пространство называется равномерно сходящимся при $ \alpha \rightarrow \alpha _ {0} \in \mathfrak U $ в функцию (отображение) $ f: X \rightarrow Y $ если для каждого $ \epsilon > 0 $ существует окрестность $ U ( \alpha _ {0} ) $ из $ \ альфа _ {0} $ такое, что для всех $ \alpha \in U( \alpha _ {0} ) $ и $x\inX$ неравенство
$$ \rho ( f( x), f _ \alpha ( x)) < \ epsilon $$
держит.
Для равномерно сходящихся семейств функций имеются свойства, аналогичные указанным выше свойствам равномерно сходящихся последовательностей функций.
Понятие равномерной сходимости отображений можно обобщить на случай, когда $ Y $ является равномерным пространством, в частности, когда $ Y $ является топологической группой.
Каталожные номера
| [1] | П. |