Непрерывная случайная величина х задана функцией распределения: Непрерывная случайная величина, функция распределения и плотность

Содержание

Непрерывная случайная величина, функция распределения и плотность

Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств, и случайная величина называется непрерывной, если она может принимать любое значение из какого-либо ограниченного или неограниченного интервала. Для непрерывной случайной величины невозможно указать все возможные значения, поэтому обозначают интервалы этих значений, которые связаны с определёнными вероятностями.

Примерами непрерывных случайных величин могут служить: диаметр детали, обтачиваемой до заданного размера, рост человека, дальность полёта снаряда и др.

Так как для непрерывных случайных величин функция F(x), в отличие от дискретных случайных величин, нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Это значит, что для непрерывной случайной величины бессмысленно говорить о распределении вероятностей между её значениями: каждое из них имеет нулевую вероятность. Однако в некотором смысле среди значений непрерывной случайной величины есть "более и менее вероятные". Например, вряд ли у кого-либо возникнет сомнение, что значение случайной величины - роста наугад встреченного человека - 170 см - более вероятно, чем 220 см, хотя и одно, и другое значение могут встретиться на практике.

В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин, вводится понятие плотности распределения или плотности вероятности. Подойдём к нему путём сравнения смысла функции распределения для непрерывной случайной величины и для дискретной случайной величины.

Итак, функцией распределения случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) или интегральной функцией называется функция , которая определяет вероятность, что значение случайной величины X меньше или равно граничному значению х.

Для дискретной случайной величины в точках её значений

x1, x2, ..., xi,... сосредоточены массы вероятностей p1, p2, ..., pi,..., причём сумма всех масс равна 1. Перенесём эту интерпретацию на случай непрерывной случайной величины. Представим себе, что масса, равная 1, не сосредоточена в отдельных точках, а непрерывно "размазана" по оси абсцисс Оx с какой-то неравномерной плотностью. Вероятность попадания случайной величины на любой участок Δx будет интерпретироваться как масса, приходящаяся на этот участок, а средняя плотность на этом участке - как отношение массы к длине. Только что мы ввели важное понятие теории вероятностей: плотность распределения.

Плотностью вероятности f(x) непрерывной случайной величины называется производная её функции распределения:

.

Зная функцию плотности, можно найти вероятность того, что значение непрерывной случайной величины принадлежит закрытому интервалу [ab]:

вероятность того, что непрерывная случайная величина

X примет какое-либо значение из интервала [ab], равна определённому интегралу от её плотности вероятности в пределах от a до b:

или

.

При этом общая формула функции F(x) распределения вероятностей непрерывной случайной величины, которой можно пользоваться, если известна функция плотности f(x):

.

График плотности вероятности непрерывной случайной величины называется её кривой распределения (рис. ниже).

Площадь фигуры (на рисунке заштрихована), ограниченной кривой, прямыми, проведёнными из точек a и b перпендикулярно оси абсцисс, и осью Ох, графически отображает вероятность того, что значение непрерывной случайной величины Х находится в пределах от a до b.

Свойства функции плотности вероятности непрерывной случайной величины

1. Вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение из интервала (и площадь фигуры, которую ограничивают график функции

f(x) и ось Ох) равна единице:

2. Функция плотности вероятности не может принимать отрицательные значения:

,

а за пределами существования распределения её значение равно нулю


Плотность распределения f(x), как и функция распределения F(x), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения, она не универсальна: плотность распределения существует только для непрерывных случайных величин.

Упомянем о двух важнейших в практике видах распределения непрерывной случайной величины.

Если функция плотности распределения f(x) непрерывной случайной величины в некотором конечном интервале [ab] принимает постоянное значение C, а за пределами интервала принимает значение, равное нулю, то такое распределение называется равномерным

.

Если график функции плотности распределения симметричен относительно центра, средние значения сосредоточены вблизи центра, а при отдалении от центра собираются более отличающиеся от средних (график функции напоминает разрез колокола), то такое распределение называется нормальным.

Пример 1. Известна функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины:

Найти функцию f(x) плотности вероятности непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 4 до 8: .

Решение. Функцию плотности вероятности получаем, находя производную функции распределения вероятностей:

График функции F(x) - парабола:

График функции f(x) - прямая:

Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 4 до 8:

.

Пример 2. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины дана в виде:

Вычислить коэффициент C. Найти функцию F(x) распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 0 до 5: .

Решение. Коэффициент C найдём, пользуясь свойством 1 функции плотности вероятности:

Таким образом, функция плотности вероятности непрерывной случайной величины:

Интегрируя, найдём функцию F(x) распределения вероятностей. Если x < 0, то F(x) = 0. Если 0 < x < 10, то

.

x > 10, то F(x) = 1.

Таким образом, полная запись функции распределения вероятностей:

График функции f(x):

График функции F(x):

Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 0 до 5:

.

Пример 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана равенством , при этом . Найти коэффициент А, вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[, функцию распределения непрерывной случайной величины X.

Решение. По условию приходим к равенству

.

Но

Следовательно, , откуда . Итак,

.

Теперь находим вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[:

Теперь получим функцию распределения данной случайной величины:

Пример 5. Плотность распределения непрерывной случайной величины задана формулой:

(при x > 0)

(a - положительный коэффициент).

1) найти функцию распределения непрерывной случайной величины;

2) найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, лежащее между 1 и 2.

Решение.

1) При x < 0 f(x) = 0, значит . При x > 0 . Первый интеграл равен нулю. Второй . Итак, функция распределения данной непрерывной случайной величины имеет вид:

2) вероятность попадания непрерывной случайной величины на участок между 1 и 2 вычислим как приращение функции распределения на этом участке:

Пример 6. Непрерывная случайная величина имеет плотность

при .

1) найти вероятность попадания непрерывной случайной величины на участок от 0 до

π/4;

2) функцию распределения непрерывной случайной величины.

Решение.

1) находим вероятность:

.

2) находим функцию распределения непрерывной случайной величины:

Пример 7. Плотность распределения непрерывной случайной величины задана формулой

.

Найти вероятность попадания непрерывной случайной величины на участок (-1; +1)

Решение.

.

Начало темы "Теория вероятностей"

8. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(Х), выражающая для каждого Х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее Х: .

Функцию F(х) иногда называют интегральной функцией распределения, или интегральным законом распределения.

Случайная величина Х называется Непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Примеры непрерывных случайных величин: диаметр детали, которую токарь обтачивает до заданного размера, рост человека, дальность полета снаряда и др.

Теорема. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю

.

Следствие. Если Х — непрерывная случайная величина, то вероятность попадания случайной величины в интервал не зависит от того, является этот интервал открытым или закрытым, т. е.

.

Если непрерывная случайная величина Х может принимать только значения в границах от А до B (где А и B — некоторые постоянные), то функция распределения ее равна нулю для всех значений и единице для значений .

Для непрерывной случайной величины

.

Все свойства функций распределения дискретных случайных величин выполняются и для функций распределения непрерывных случайных величин.

Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным.

Плотностью вероятности (Плотностью распределения

или Плотностью) Р(Х) непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения

.

Плотность вероятности Р(Х), как и функция распределения F(Х), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения она существует только для Непрерывных случайных величин.

Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией, или дифференциальным законом распределения.

График плотности вероятности называется кривой распределения.

Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины:

.

(рис. 8.1).

Рис. 8.1

(рис. 8.2).

Рис. 8.2

4. .

Геометрически свойства плотности вероятности означают, что ее график — кривая распределения — лежит не ниже оси абсцисс, и полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Пример 8.1. Минутная стрелка электрических часов передвигается скачками поминутно. Вы бросили взгляд на часы. Они показывают А минут. Тогда для вас истинное время в данный момент будет случайной величиной. Найти ее функцию распределения.

Решение. Очевидно, что функция распределения истинного времени равна 0 для всех и единице для . Время течет равномерно. Поэтому вероятность того, что истинное время меньше А + 0,5 мин, равна 0,5, так как одинаково вероятно, прошло ли после А менее или более полминуты. Вероятность того, что истинное время меньше А + 0,25 мин, равна 0,25 (вероятность этого времени втрое меньше вероятности того, что истинное время больше А + 0,25 мин, а сумма их равна единице, как сумма вероятностей противоположных событий). Аналогично рассуждая, найдем, что вероятность того, что истинное время меньше А + 0,6 мин, равна 0,6. В общем случае вероятность того, что истинное время меньше А + + α мин , равна α. Следовательно, функция распределения истинного времени имеет следующее выражение:


Она непрерывна всюду, а производная ее непрерывна во всех точках, за исключением двух: Х = а и Х = а + 1. График этой функции имеет вид (рис. 8.3):

Рис. 8.3

Пример 8.2. Является ли функцией распределения некоторой случайной величины функция


Решение.

Рис. 8.4

Все значения этой функции принадлежат отрезку , т. е. . Функция F(Х) является неубывающей: в промежутке она постоянна, равна нулю, в промежутке возрастает, в промежутке также постоянна, равна единице (см. рис. 8.4). Функция непрерывна в каждой точке Х0 области ее определения — промежутка , поэтому непрерывна слева, т. е. выполняется равенство

, .

Выполняются и равенства:

, .

Следовательно, функция удовлетворяет всем свойствам, характерным для функции распределения. Значит данная функция является функцией распределения некоторой случайной величины Х.

Пример 8.3. Является ли функцией распределения некоторой случайной величины функция

Решение. Данная функция не является функцией распределения случайной величины, так как на промежутке она убывает и не является непрерывной. График функции изображен на рис. 8.5.

Рис. 8.5

Пример 8.4. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти коэффициент А и плотность вероятности случайной величины Х. Определить вероятность неравенства .

Решение. Плотность распределения равна первой производной от функции распределения

Коэффициент А определяем с помощью равенства

,

Отсюда

.

Тот же результат можно было получить, используя непрерывность функции в точке

, .

Следовательно, .

Поэтому плотность вероятности имеет вид

Вероятность Попадания случайной величины Х в заданный промежуток вычисляется по формуле

.

Пример 8.5. Случайная величина Х имеет плотность вероятности (закон Коши)

.

Найти коэффициент А и вероятность того, что случайная величина Х примет какое-нибудь значение из интервала . Найти функцию распре­деления этой случайной величины.

Решение. Найдем коэффициент А из равенства

,

Но

Следовательно, .

Итак, .

Вероятность того, что случайная величина Х примет какое-нибудь значение из интервала , равна

Найдем функцию распределения данной случайной величины


Пример 8.6. График плотности вероятности случайной величины Х изображен на рис. 8.6 (закон Симпсона). Написать выражение плотности вероятности ифункцию распределения этой случайной величины.

Рис. 8.6

Решение. Пользуясь графиком, записываем аналитическое выражение плотности распределения вероятностей данной случайной величины

Найдем функцию распределения.

Если , то .

Если , то .

Если , то

Если , то

Следовательно, функция распределения имеет вид

< Предыдущая   Следующая >

Непрерывные случайные величины. Пример решения задачи на Викиматик

В теории вероятностей приходится иметь дело со случайными величинами, все значения которых нельзя перебрать. Например, нельзя взять и «перебрать» все значения случайной величины $X$ — время службы часов, поскольку время может измеряться в часах, минутах, секундах, миллисекундах, и т.д. Можно лишь указать некоторый интервал, в пределах которого находятся значения случайной величины.

Непрерывная случайная величина — это случайная величина, значения которой целиком заполняют некоторый интервал.

Функция распределения непрерывной случайной величины

Поскольку перебрать все значения непрерывной случайной величины не представляется возможным, то задать ее можно с помощью функции распределения.

Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F\left(x\right)$, которая определяет  вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $F\left(x\right)=P\left(X < x\right)$.

Свойства функции распределения:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.

2. Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, равна разности значений функции распределения на концах этого интервала: $P\left(\alpha < X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.

3. $F\left(x\right)$ — неубывающая.

4. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } F\left(x\right)=0\ },\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } F\left(x\right)=1\ }$.

Пример 1. Непрерывная случайная величина $X$ задана следующей функцией распределения $F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x\le 0\\ 
x,\ 0 < x\le 1\\ 
1,\ x>1
\end{matrix}\right.$. Вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(0,3;0,7\right)$ можем найти как разность значений функции распределения $F\left(x\right)$ на концах этого интервала, то есть:

$$P\left(0,3 < X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$ 

Плотность распределения вероятностей

Функция $f\left(x\right)={F}'(x)$ называется плотностью распределения вероятностей, то есть это производная первого порядка, взятая от самой функции распределения $F\left(x\right)$.

Свойства функции $f\left(x\right)$.

1.1-{{1}\over {4}}={{1}\over {3}}-{{1}\over {4}}={{1}\over{12}}.$$ 

Данная статья полезна?

Да Нет

Числовые характеристики непрерывной случайной величины — Студопедия

Понятия математического ожидания М(Х) и дисперсии D(X), введенные ранее для дискретной случайной величины, можно распространить на непрерывные случайные величины.

· Математическое ожидание М(Х) непрерывной случайной величины Х определяется равенством:

при условии, что этот интеграл сходится.

· Дисперсия D(X) непрерывной случайной величины Х определяется равенством:

· Среднее квадратическое отклонение σ(Х)непрерывной случайной величины определяется равенством:

.

Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные ранее для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных.

Задача 5.3.Случайная величина Х задана дифференциальной функцией f(x):

Найти M(X), D(X), σ(Х), а также P(1 < х < 5).

Решение:

M(X)= =

+ =8/9 0+9/6 4/6=31/18,

D(X)=

= = /

P 1 =

Задачи

5.1.Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти дифференциальную функцию распределения f (x), а также

Р(‒1/2 < Х < 1/2).

5.2.Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти дифференциальную функцию распределения f (x), а также

Р(2π /9 < Х < π /2).


5.3. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения:

Найти: а) число с; б) М(Х), D(X).

5.4. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения:

Найти: а) число с; б) М(Х), D(X).

5.5. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X), D(X), σ(Х); в) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее интервалу (1;4).

5.6. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X), D(X), σ(Х); в) вероятность того, что в трех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее отрезку [1; 2,5].

5.7. Функция f(х) задана в виде:

Найти: а) значение постоянной с, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х; б) функцию распределения F(x).

5.8.Функция f(x) задана в виде:

Найти: а) значение постоянной с, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х; б) функцию распределения F(x).

5.9. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (3;7), задана функцией распределения F(х)= . Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение: а) меньше 5, б) не меньше 7.

5.10. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (-1;4), задана функцией распределения F(х)= . Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение: а) меньше 2, б) меньше 4.

5.11. Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения:

Найти: а) число с; б) М(Х); в) вероятность Р(Х > М(Х)).


5.12. Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения:

Найти: а) М(Х); б) вероятность Р(Х ≤ М(Х)).

5.13. Распределение Ремя задается плотностью вероятности:

Доказать, что f(x) действительно является плотностью распределения вероятностей.

5.14. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

Найти число с.

5.15.Случайная величина Х распределена по закону Симпсона (равнобедренного треугольника) на отрезке [-2;2] (рис. 5.4). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f(x) на всей числовой оси.

Рис. 5.4 Рис. 5.5

5.16. Случайная величина Х распределена по закону "прямоугольного треугольника" в интервале (0;4) (рис. 5.5). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f(x) на всей числовой оси.

Ответы

5.1.

P (-1/2<X<1/2)=2/3.

5.2.

P (2π /9<Х< π /2)=1/2.

5.3. а) с =1/6, б) М(Х)=3 , в) D(X)=26/81.

5.4. а) с=3/2, б) М(Х)=3/5, в) D(X)=12/175.

5.5.

б) M(X)=3 , D(X)=2/9, σ(Х)= /3.

в) 3/8.

5.6.

б) M(X)=2 , D(X)=3 , σ(Х)= 1,893.

в) 9/64.

5.7. а) с = ; б)

5.8.а) с =1/2; б)

5.9.а)1/4; б) 0.

5.10. а)3/5; б) 1.

5.11.а) с = 2; б) М(Х)= 2; в) 1-ln2 2 ≈ 0,5185.

5.12. а) М(Х)= π /2 ; б) 1/2

5.14. с = 1.

5.15.

5.16.

Функция плотности вероятности | PDF



4.1.1 Функция плотности вероятности (PDF)

Чтобы определить распределение дискретной случайной величины, мы можем предоставить ее PMF или CDF. Для непрерывные случайные величины, CDF четко определен, поэтому мы можем предоставить CDF. Однако PMF делает не работает для непрерывных случайных величин, потому что для непрерывной случайной величины $ P (X = x) = 0 $ для всех $ x \ in \ mathbb {R} $.+} \ frac {P (x


Таким образом, мы имеем следующее определение PDF непрерывных случайных величин:

Определение
. Рассмотрим непрерывную случайную величину $ X $ с абсолютно непрерывной CDF $ F_X (x) $.Функция $ f_X (x) $, определенная $$ f_X (x) = \ frac {dF_X (x)} {dx} = F'_X (x), \ hspace {20pt} \ textrm {if} F_X (x) \ textrm {дифференцируема в точке} x $$ называется функцией плотности вероятности (PDF) $ X $.

Найдем PDF однородной случайной величины $ X $, обсуждаемой в Пример 4.1. Этот случайный переменная имеет $ равномерное (a, b) $ распределение. CDF для $ X $ приведен в уравнении 4.1. Взяв производная, получаем \ begin {уравнение} f_X (x) = \ left \ { \ begin {array} {l l} \ frac {1} {b-a} & \ quad a b \ end {array} \ right.\ end {уравнение} Обратите внимание, что CDF не дифференцируема в точках $ a $ и $ b $. Тем не менее, как мы обсудим позже, это не важно. {\ infty} $

долларов США


Диапазон

Диапазон случайной величины $ X $ - это набор возможных значений случайной величины. Если $ X $ - это непрерывная случайная величина, мы можем определить диапазон $ X $ как набор действительных чисел $ x $, для которых PDF больше нуля, т. е. $$ R_X = \ {x | f_X (x)> 0 \}. $$ Определенный здесь набор $ R_X $ может не отображать в точности все возможные значения $ X $, но разница в том, что практически неважно.


$$ f_X (x) = \ lim _ {\ Delta \ rightarrow 0} \ frac {F_X (x + \ Delta) -F_X (x)} {\ Delta} $$
$$ = \ frac {dF_X (x)} {dx} = F'_X (x), \ hspace {20pt} \ textrm {if} F_X (x) \ textrm {дифференцируема в точке} x. $$
$ = c $.{-3}.

Свойства непрерывных функций плотности вероятности - Введение в бизнес-статистику

График непрерывного распределения вероятностей представляет собой кривую. Вероятность представлена ​​площадью под кривой. Мы уже встречались с этой концепцией, когда разрабатывали относительные частоты с гистограммами в главе 2. Относительная площадь для диапазона значений была вероятностью случайного проведения наблюдения в этой группе. Снова с распределением Пуассона в главе 4, графиком в примере 4.14 использовали квадраты для представления вероятности конкретных значений случайной величины. В этом случае мы были немного случайными, потому что случайные величины распределения Пуассона дискретны, целые числа, а прямоугольник имеет ширину. Обратите внимание, что горизонтальная ось, случайная величина x, намеренно не отметила точки вдоль оси. Вероятность конкретного значения непрерывной случайной величины будет равна нулю, потому что площадь под точкой равна нулю. Вероятность - это площадь.

Кривая называется функцией плотности вероятности (сокращенно pdf ).Мы используем символ f ( x ) для представления кривой. f ( x ) - функция, соответствующая графику; мы используем функцию плотности f ( x ), чтобы построить график распределения вероятностей.

Площадь под кривой задается другой функцией, называемой кумулятивной функцией распределения (сокращенно cdf ). Кумулятивная функция распределения используется для оценки вероятности как площади.Математически кумулятивная функция плотности вероятности является интегралом pdf, а вероятность между двумя значениями непрерывной случайной величины будет интегралом pdf между этими двумя значениями: площадью под кривой между этими значениями. Помните, что область под pdf для всех возможных значений случайной величины - одно, уверенность. Таким образом, вероятность можно рассматривать как относительный процент уверенности между двумя интересующими значениями.

  • Результаты измеряются, а не подсчитываются.
  • Вся площадь под кривой и над осью абсцисс равна единице.
  • Вероятность находится для интервалов значений x , а не для отдельных значений x .
  • P (c - вероятность того, что случайная величина X находится в интервале между значениями c и d . P (c - это площадь под кривой, над осью x , справа от c и слева от d .
  • P (x = c) = 0 Вероятность того, что x примет любое отдельное значение, равна нулю. Область под кривой, над осью x и между x = c и x = c не имеет ширины и, следовательно, площади (площадь = 0). Поскольку вероятность равна площади, вероятность также равна нулю.
  • P (c совпадает с P (c ≤ x ≤ d) , потому что вероятность равна площади.

Мы найдем область, которая представляет вероятность, используя геометрию, формулы, технологии или таблицы вероятностей. В общем, интегральное исчисление необходимо, чтобы найти площадь под кривой для многих функций плотности вероятности. Когда мы используем формулы для определения площади в этом учебнике, формулы были найдены с использованием техники интегрального исчисления.

Существует множество непрерывных распределений вероятностей. При использовании непрерывного распределения вероятностей для моделирования вероятности используемое распределение выбирается для моделирования и наилучшим образом соответствует конкретной ситуации.

В этой и следующей главах мы изучим равномерное распределение, экспоненциальное распределение и нормальное распределение. Следующие графики иллюстрируют эти распределения.

На графике показано равномерное распределение с областью между x = 3 и x = 6, заштрихованной для представления вероятности того, что значение случайной величины X находится в интервале от трех до шести.

На графике показано экспоненциальное распределение с областью между x = 2 и x = 4, заштрихованной, чтобы представить вероятность того, что значение случайной величины X находится в интервале между двумя и четырьмя.

На графике показано стандартное нормальное распределение с областью между x = 1 и x = 2, заштрихованной, чтобы представить вероятность того, что значение случайной величины X находится в интервале от одного до двух.

Для непрерывного распределения вероятностей ВЕРОЯТНОСТЬ = ОБЛАСТЬ.

Рассмотрим функцию f ( x ) = для 0 ≤ x ≤ 20. x = действительное число.График f ( x ) = представляет собой горизонтальную линию. Однако, поскольку 0 ≤ x ≤ 20, f ( x ) ограничивается частью от x = 0 до x = 20 включительно.

f ( x ) = для 0 ≤ x ≤ 20.

График f ( x ) = представляет собой горизонтальный отрезок линии, когда 0 ≤ x ≤ 20.

Область между f ( x ) = где 0 ≤ x ≤ 20 и осью x - это площадь прямоугольника с основанием = 20 и высотой =.

Предположим, мы хотим найти область между f ( x ) = и осью x , где 0 < x <2.

Напоминание

площадь прямоугольника = (основание) (высота).

Площадь соответствует вероятности. Вероятность того, что x находится между нулем и двумя, равна 0,1, что математически можно записать как P (0 < x <2) = P ( x <2) = 0.1.

Предположим, мы хотим найти область между f ( x ) = и осью x , где 4 < x <15.

Площадь соответствует вероятности P (4 < x <15) = 0,55.

Предположим, мы хотим найти P ( x = 15). На графике x-y x = 15 - это вертикальная линия. Вертикальная линия не имеет ширины (или нулевой ширины). Следовательно, P ( x = 15) = (основание) (высота) = (0) = 0

P ( X x ), который также может быть записан как P ( X < x ) для непрерывных распределений, называется кумулятивной функцией распределения или CDF.Обратите внимание на символ «меньше или равно». Мы также можем использовать CDF для вычисления P ( X > x ). CDF дает «площадь слева», а P ( X > x ) дает «площадь справа». Мы вычисляем P ( X > x ) для непрерывных распределений следующим образом: P ( X > x ) = 1 - P ( X < x ).

Обозначьте график f ( x ) и x .Масштабируйте оси x и y с максимальными значениями x и y . f ( x ) =, 0 ≤ x ≤ 20.

Чтобы вычислить вероятность того, что x находится между двумя значениями, посмотрите на следующий график. Закрасьте область между x = 2,3 и x = 12,7. Затем вычислите заштрихованную площадь прямоугольника.

Попробуйте

Рассмотрим функцию f ( x ) = для 0 ≤ x ≤ 8.Нарисуйте график f ( x ) и найдите P (2,5 < x <7,5).

P (2,5 < x <7,5) = 0,625

Обзор главы

Функция плотности вероятности (pdf) используется для описания вероятностей для непрерывных случайных величин. Площадь под кривой плотности между двумя точками соответствует вероятности того, что переменная находится между этими двумя значениями. Другими словами, площадь под кривой плотности между точками a и b равна P ( a < x < b ).Кумулятивная функция распределения (cdf) дает вероятность в виде площади. Если X является непрерывной случайной величиной, функция плотности вероятности (pdf), f ( x ), используется для построения графика распределения вероятностей. Общая площадь под графиком f ( x ) равна единице. Область под графиком f ( x ) и между значениями a и b дает вероятность P ( a < x < b ).

Кумулятивная функция распределения (cdf) X определяется P ( X x ). Это функция x , которая дает вероятность того, что случайная величина меньше или равна x .

Обзор формулы

Функция плотности вероятности (pdf) f ( x ):

  • f ( x ) ≥ 0
  • Общая площадь под кривой f ( x ) равна единице.

Кумулятивная функция распределения (cdf): P ( X x )

Какой тип распределения иллюстрирует график?

Какой тип распределения иллюстрирует график?

Какой тип распределения иллюстрирует график?

Что означает заштрихованная область? P (___ < x <___)

Что означает заштрихованная область? P (___ < x <___)

Для непрерывного распределения вероятностей 0 ≤ x ≤ 15.Что такое P ( x > 15)?

Какова площадь под f ( x ), если функция является непрерывной функцией плотности вероятности?

Для непрерывного распределения вероятностей 0 ≤ x ≤ 10. Что такое P ( x = 7)?

Непрерывная функция вероятности ограничена частью от x = 0 до 7. Что такое P ( x = 10)?

f ( x ) для непрерывной функции вероятности, а функция ограничена до 0 ≤ x ≤ 5.Что такое P ( x <0)?

f ( x ), непрерывная функция вероятности, равна, а функция ограничена до 0 ≤ x ≤ 12. Что такое P (0 < x <12)?

Найдите вероятность того, что x попадет в заштрихованную область.

Найдите вероятность того, что x попадет в заштрихованную область.

Найдите вероятность того, что x попадет в заштрихованную область.

f ( x ), непрерывная функция вероятности, равна, а функция ограничена до 1 ≤ x ≤ 4. Опишите

Вероятность равна площади от x = до x = 4 над осью x и до f ( x ) =.

Домашнее задание

Для каждой проблемы с вероятностью и процентилем нарисуйте картинку.

Рассмотрим следующий эксперимент.Вы один из 100 человек, привлеченных к участию в исследовании по определению процента медсестер в Америке с R.N. (дипломированная медсестра) степень. Вы спрашиваете медсестер, есть ли у них R.N. степень. Медсестры отвечают «да» или «нет». Затем вы рассчитываете процент медсестер с R.N. степень. Вы отдаете этот процент своему руководителю.

  1. Какая часть эксперимента даст дискретные данные?
  2. Какая часть эксперимента даст непрерывные данные?

При округлении возраста до ближайшего года данные остаются непрерывными или они становятся дискретными? Почему?

Возраст является мерой независимо от используемой точности.

4.1: Функции плотности вероятности (PDF) и кумулятивные функции распределения (CDF) для непрерывных случайных величин

Напомним, что непрерывные случайные величины имеют несчетное количество возможных значений (подумайте об интервалах действительных чисел). Так же, как и для дискретных случайных величин, мы можем говорить о вероятностях для непрерывных случайных величин, используя функций плотности .

Первые три условия в определении устанавливают свойства, необходимые для того, чтобы функция была действительным PDF-файлом для непрерывной случайной величины.Четвертое условие говорит нам, как использовать PDF-файл для вычисления вероятностей для непрерывных случайных величин, которые задаются интегралами, непрерывным аналогом сумм.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Пусть случайная величина \ (X \) обозначает время, в течение которого человек ожидает прибытия лифта. Предположим, что самое долгое время ожидания лифта составляет 2 минуты, поэтому возможные значения \ (X \) (в минутах) задаются интервалом \ ([0,2] \). Возможный PDF-файл для \ (X \) задается как
$$ f (x) = \ left \ {\ begin {array} {ll}
x, & \ text {for} \ 0 \ leq x \ leq 1 \ \
2-x, & \ text {for} \ 1 0, & \ text {иначе}
\ end {array} \ right.а_а \! f (x) \, dx = 0. \ notag $$
Неформально, если мы понимаем, что вероятность для непрерывной случайной величины задается областями под pdf , тогда, поскольку в строке нет области, там не является вероятностью, присвоенной случайной величине, принимающей единственное значение. Это не означает, что непрерывная случайная величина никогда не будет равна одному значению, только то, что мы не присваиваем никакой вероятности отдельным значениям случайной величины. По этой причине мы говорим только о вероятности того, что непрерывная случайная величина примет значение в ИНТЕРВАЛЕ, а не в точке.{\ infty} f_X (x) \, dx = 1. − ∞∞ fX (x) dx = 1.

Это связано с тем, что вероятность того, что XXX принимает какое-либо значение между −∞- \ infty − ∞ и ∞ \ infty∞, равна единице: X действительно принимает значение!

Эти формулы могут иметь больше смысла по сравнению с дискретным случаем, где функция, определяющая вероятности наступления событий, называется функцией массы вероятности p (x) p (x) p (x). В дискретном случае вероятность наступления результата xxx равна p (x) p (x) p (x) непосредственно. Вероятность P (a≤X≤b) P (a \ leq X \ leq b) P (a≤X≤b) дается в дискретном случае как:

P (a≤X≤b) = ∑a≤x≤bp (x), P (a \ leq X \ leq b) = \ sum_ {a \ leq x \ leq b} p (x), P (a ≤X≤b) = a≤x≤b∑ p (x),

, а функция массы вероятности нормализуется к единице так, чтобы:

∑xp (x) = 1, \ sum_x p (x) = 1, x∑ p (x) = 1,

, где сумма берется по всем возможным значениям xxx.2, f (x) = Cx (1 − x) 2,

, где xxx может быть любым числом в реальном интервале [0,1] [0,1] [0,1]. Вычислить CCC, используя условие нормализации для PDF-файлов.

Следует отметить, что функция плотности вероятности непрерывной случайной величины не обязательно должна быть непрерывной.

В отличие от случая дискретных случайных величин, функция плотности вероятности fX (x) f_X (x) fX (x) непрерывной случайной величины может не удовлетворять условию fX (x) ≤1f_X (x) \ leq 1fX (Х) ≤1.Равномерно распределенная непрерывная случайная величина на интервале [0,12] [0, \ frac {1} {2}] [0,21] имеет постоянную функцию плотности вероятности fX (x) = 2f_X (x) = 2fX ( x) = 2 на [0,12] [0, \ frac {1} {2}] [0,21]. Другой пример - неограниченная функция плотности вероятности fX (x) = 12x, 0

Непрерывные случайные переменные - математика A-Level, версия

Непрерывная случайная величина - это случайная величина, данные которой могут принимать бесконечно много значений.Например, случайная величина, измеряющая время, необходимое для того, чтобы что-то сделать, является непрерывной, поскольку существует бесконечное количество возможных вариантов выполнения.

Для любой непрерывной случайной величины с функцией плотности вероятности f (x) имеем:

Это полезный факт.

Пример

X - непрерывная случайная величина с функцией плотности вероятности, заданной следующим образом: f (x) = cx для 0 ≤ x ≤ 1, где c - постоянная.Найдите c.

Если мы проинтегрируем f (x) между 0 и 1, мы получим c / 2. Следовательно, c / 2 = 1 (из полезного факта выше!), Что дает c = 2.

Кумулятивная функция распределения (c.d.f.)

Если X - непрерывная случайная величина с p.d.f. f (x), определенная на a ≤ x ≤ b, то кумулятивная функция распределения (c.d.f.), записанная F (t), определяется как:

Так что c.d.f. находится путем интегрирования p.d.f. между минимальным значением X и t.

Точно так же функция плотности вероятности непрерывной случайной величины может быть получена путем дифференцирования кумулятивного распределения.

КДФ. может использоваться для определения вероятности того, что случайная величина находится между двумя значениями:

P (s ≤ X ≤ t) = вероятность того, что X находится между s и t. Но это равно вероятности того, что X ≤ t минус вероятность того, что X ≤ s.

[Нам нужна вероятность того, что X находится в красной области:]

Отсюда:

Ожидания и отклонения

С дискретными случайными величинами у нас было ожидание S x P (X = x), где P (X = x) было p.d.f .. Неудивительно, что для нахождения математического ожидания непрерывной случайной величины мы интегрируем, а не суммируем, например:

Как и в случае дискретных случайных величин, Var (X) = E (X 2 ) - [E (X)] 2

Введение: Непрерывные случайные переменные | Введение в статистику

Высота этих растений редиса - непрерывные случайные величины. (Кредит: Преподобный Стэн)

ГЛАВА ЦЕЛИ

К концу этой главы студент должен уметь:

  • Распознавать и понимать непрерывные функции плотности вероятности в целом.
  • Признать равномерное распределение вероятностей и применять его соответствующим образом.
  • Распознайте экспоненциальное распределение вероятностей и примените его соответствующим образом.

Непрерывные случайные величины находят множество применений. Средние показатели бейсбольных битов, баллы IQ, продолжительность междугородного телефонного разговора, сумма денег, которую носит человек, продолжительность срока службы компьютерного чипа и результаты SAT - это лишь некоторые из них. Область надежности зависит от множества непрерывных случайных величин.

ПРИМЕЧАНИЕ

Значения дискретных и непрерывных случайных величин могут быть неоднозначными. Например, если X равно количеству миль (с точностью до ближайшей мили), которое вы едете на работу, то X - это дискретная случайная величина. Вы считаете мили. Если X - это расстояние, которое вы едете на работу, тогда вы измеряете значения X , а X - это непрерывная случайная величина. Во втором примере, если X равно количеству книг в рюкзаке, тогда X - это дискретная случайная величина.Если X - это вес книги, то X - это непрерывная случайная величина, потому что веса измеряются. Очень важно, как определяется случайная величина.

График непрерывного распределения вероятностей представляет собой кривую. Вероятность представлена ​​площадью под кривой.

Кривая называется функцией плотности вероятности (сокращенно pdf ). Мы используем символ f ( x ) для представления кривой. f ( x ) - функция, соответствующая графику; мы используем функцию плотности f ( x ), чтобы построить график распределения вероятностей.

Площадь под кривой задается другой функцией, которая называется кумулятивной функцией распределения (сокращенно cdf ). Кумулятивная функция распределения используется для оценки вероятности как площади.

Результаты измеряются, а не подсчитываются.

Вся площадь под кривой и над осью абсцисс равна единице.

Вероятность находится для интервалов x значений, а не для отдельных значений x .

P (c - вероятность того, что случайная величина X находится в интервале между значениями c и d . P (c - это площадь под кривой, над осью x , справа от c и слева от d .

P (x = c) = 0 Вероятность того, что x примет любое отдельное значение, равна нулю. Область под кривой, над осью x и между x = c и x = c не имеет ширины и, следовательно, площади (площадь = 0).Поскольку вероятность равна площади, вероятность также равна нулю.

P (c совпадает с P (c ≤ x ≤ d) , потому что вероятность равна площади.

Мы найдем область, которая представляет вероятность, используя геометрию, формулы, технологии или таблицы вероятностей. В общем, расчет необходим, чтобы найти площадь под кривой для многих функций плотности вероятности. Когда мы используем формулы для определения площади в этом учебнике, формулы были найдены с использованием техники интегрального исчисления.Однако, поскольку большинство студентов, проходящих этот курс, не изучали математический анализ, мы не будем использовать его в этом учебнике.

Существует множество непрерывных распределений вероятностей. При использовании непрерывного распределения вероятностей для моделирования вероятности используемое распределение выбирается для моделирования и наилучшим образом соответствует конкретной ситуации.

В этой и следующей главах мы изучим равномерное распределение, экспоненциальное распределение и нормальное распределение. Следующие графики иллюстрируют эти распределения.

На графике показано равномерное распределение с областью от x = 3 до x = 6, заштрихованной для представления вероятности того, что значение случайной величины X находится в интервале от трех до шести. Распределение с областью между x = 2 и x = 4 заштриховано, чтобы представить вероятность того, что значение случайной величины X находится в интервале между двумя и четырьмя. На графике показано стандартное нормальное распределение с площадью между x = 1 и x = 2 заштриховано, чтобы представить вероятность того, что значение случайной величины X находится в интервале между одним и двумя.

Глоссарий

Равномерное распределение
непрерывная случайная величина (RV), которая имеет равновероятные результаты во всем домене, a < x < b ; его часто называют прямоугольным распределением , потому что график PDF имеет форму прямоугольника. Замечание: X ~ U ( a , b ). Среднее значение составляет мкм. = [латекс] \ frac {{a + b}} {{2}} \\ [/ latex], а стандартное отклонение составляет [латекс] \ sigma = \ sqrt {\ frac {{ba} } {{12}}} \\ [/ латекс].Функция плотности вероятности: f ( x ) = [latex] \ frac {{1}} {{ba}} \\ [/ latex] для a < x < b или a x b . Совокупное распределение: P ( X x ) = [латекс] \ frac {{x-a}} {{b-a}} \\ [/ latex].
Экспоненциальное распределение
непрерывная случайная величина (RV), которая появляется, когда нас интересуют интервалы времени между некоторыми случайными событиями, например, промежуток времени между прибытием в больницу неотложной помощи; обозначение: X ~ Exp ( м ).Среднее значение составляет мкм, = 1 м, а стандартное отклонение составляет σ = 1 м. Функция плотности вероятности равна f ( x ) = me −mx , x ≥ 0, а кумулятивная функция распределения равна P ( X x ) = 1 - e −mx .

5. Продолж. Rand. Варс.

Непрерывные случайные переменные
  • Распределения вероятностей

Некоторые различия между дискретной и непрерывной вероятностью раздачи:

Дискретные случайные переменные Непрерывные случайные переменные
Функции плотности неотрицательны для всех действительных чисел но больше нуля только при конечном или счетно бесконечном числе очков. Функции плотности неотрицательны для всех действительных чисел и больше нуля на определенных интервалах действительных чисел.
Сумма дискретной функции плотности, просуммированная по все действительные числа 1. Интеграл непрерывной функции плотности интегрирован по всем действительным числам 1.
Они могут иметь ненулевую вероятность при некоторых действительных числах. Они имеют нулевую вероятность для каждого действительного числа.
Вероятность события находится путем суммирования значения дискретного PDF при действительных числах, определенных событием. Вероятность события находится путем интегрирования непрерывный PDF-файл для всех действительных чисел, определенных событием.

Следующий оператор показывает, как вычислить вероятность что непрерывная случайная величина X с pdf f (x) лежит в интервале [a, b].

Кумулятивная функция плотности (cdf) для случайной величины X с pdf f (x) определяется следующим образом:

Некоторые из обычно используемых непрерывных случайных величин: представлен ниже. Непрерывные случайные величины вводятся давая либо их pdf, либо cdf.

При работе с непрерывными случайными величинами вы можете найти ресурсы для построения графиков и интеграции функций на математическом Страница инструментария в Университете Вандербильта полезна.


К началу

Ожидаемое или среднее значение случайной величины X с pdf f (x) задается

и вычисляется математическое ожидание функции g (X) от X как

Взяв g (x) = x 2 , в последней формуле вы можно найти E [X 2 ] и использовать его в формуле Var [X] = E [X 2 ] - (E [X] 2 ) чтобы найти дисперсию случайной величины X.


К началу

  • Единая случайная переменная с Параметры a и b

    Единая случайная переменная с параметрами a и b непрерывная случайная величина, которая может принимать значения в любом небольшом подынтервале длины d в интервале от a до b с равной вероятностью. Вероятность пропорциональна длине интервала d.

    Предположим, что непрерывная равномерно распределенная случайная переменная R на [0,1] может быть сгенерирована компьютером. В Равномерная RV с параметрами a и b затем может быть смоделирована с помощью компьютер генерирует значение случайной переменной R. Назовите созданное значение r. Тогда значение однородной случайной величины, X с параметрами a и b является a + r (b-a).

    A Uniform RV с параметрами a и b также можно моделировать счетчиком, значения которого пронумерованы от a до b.

    • Распределение вероятностей (pdf) и кумулятивное распределение Функция (cdf)

    PDF обозначается f (x), а cdf обозначается F (х).

    Это легко видеть, что f (x) определяет функцию плотности вероятности, потому что он неотрицателен и интеграл функции от -infinity до бесконечности 1.

    The следующие два графика показывают pdf (левый график) и cdf (правый график) однородная случайная величина с параметрами 2 и 5.


К началу

  • Экспоненциальная случайная переменная с параметром theta (> 0)

    Экспоненциальная случайная величина с параметром тета часто дает время ожидания между событиями.Например, если клиенты прибывают в пункт обслуживания в соответствии с распределением Пуассона, время между прибытием имеет экспоненциальное распределение. В экспоненциальная случайная величина также используется для моделирования времени обслуживания используется при обслуживании клиентов. Например, время, необходимое для компьютер для выполнения работы может быть распределен по экспоненте.

    Переходя по этой ссылке вы можете перейти на веб-страницу с дополнительной информацией об экспоненциальной случайных величин и нажатием красной кости перед упражнением 5 вы можете видеть и изменять графики экспоненциальных случайных величин. В этом моделировании экспонента имеет вид re -rx для x> 0 вместо формы, показанной ниже.

    • Распределение вероятностей (pdf) и кумулятивное распределение Функция (cdf)

    PDF и cdf для экспоненты с параметром theta показаны далее. PDF обозначается f (x), а cdf обозначается пользователем F (x).


    Графики pdf (слева) и cdf (справа) для экспоненты Далее показаны RV с параметром 1.

    Моделирование непрерывной случайной величины X может быть осуществляется путем нахождения обратного кумулятивного распределения function (cdf) для X. Результат, который здесь не будет обоснован говорит, что если X имеет cdf F с обратной функцией F -1 , то случайная величина X может быть смоделирована путем генерации значений непрерывного равномерная случайная величина R на [0,1] и нахождение F -1 [R]. Значения F -1 [R] обеспечивают смоделированные значения X. Этот метод ограничен непрерывными случайными величинами, для которых Можно найти выражение в закрытой форме для F -1 .

    В случае экспоненты F -1 [R] = theta (-ln (1-R)).

    Подписаться на это ссылка на моделирование экспоненциальной случайной переменной. Толкать красный кубик перед упражнением 5 для запуска моделирования. Обратите внимание, что в этом моделировании экспонента имеет вид re -rx для x> 0 вместо формы, показанной выше.

    • Среднее и дисперсия

      Гамма-функция определяется следующим неправильным интеграл.

      Этот интеграл обладает тем свойством, что

      , и это можно использовать, чтобы показать, что для любого положительного целое число, n,

      Сделав замену x = y и dx = dy в первом интеграле следующего дисплея вы получите тождество показано далее.

      Эти тождества гамма-функции используются для нахождения среднее и дисперсия экспоненциального распределения

      Но Var [X] = E [X 2 ] - (E [X] 2 ), поэтому


К началу

  • Нормальная случайная переменная с параметрами му ( ) и сигма ( )

    • Определение и моделирование

    Нормальная случайная переменная определяется вероятностью функция плотности показана в следующем разделе.Как вы увидите нормальная случайная величина имеет pdf-файл в форме колокола. Этот "колоколообразный" функция плотности центрирована в среднем и имеет изменчивость, выраженную в стандартном отклонении.

    Как вы увидите в следующей главе, причина того, что Нормальный RV, возникающий во многих ситуациях, можно описать просто как приблизительно нормально распределены ». В этом заявлении говорится средство моделирования нормальной случайной величины: найти средние случайным образом выбранные числа - эти средние будут иметь приблизительное нормальное распределение.

    Перейти по этой ссылке к моделированию нормальной случайной величины. Вдавите красный кубик перед или упражнение 4.

    • Распределение вероятностей (pdf) и кумулятивное распределение Функция (cdf)

    Далее показана формула PDF-файла.

    В обычном pdf x может быть любым действительным числом.

    cdf для нормального распределения не имеет закрытой формы выражение.Его можно выразить как интеграл pdf от -Бесконечность до x. Есть таблицы cdf (см. Оборотную сторону ваш учебник) для частного случая = 0 и = 1. Этот особый случай RV называется стандартной нормальной случайной величиной. Как только вы узнаете cdf для стандартного нормального RV, вы сможете найти вероятности для любого другого нормального RV с использованием формулы z-значения. На следующем экране отображаются файлы в формате PDF (левый график) и cdf (правый график). для стандартного нормального дома на колесах.


    • Среднее значение и отклонение

      Вычисления среднего и дисперсии показаны для Стандартный нормальный жилой дом. Эта особая нормальная случайная величина обозначается Z.

      Этот интеграл равен нулю, потому что функция является нечетная функция.

      Интегральное тождество следует потому, что функция интеграция - четная функция.Сделайте изменение переменная u = z 2 , поэтому du = 2zdz. Последний интеграл выше тогда становится

      Последняя строка следует, потому что гамма-функция оценивается как 1/2 - это квадратный корень из числа пи.

      Так как среднее значение стандартного нормального RV равно 0, Var [Z] = E [Z 2 ] - (E [Z] 2 ) = 1-0 = 1.


К началу

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *