Неравенства со степенями как решать: Неравенства со степенями | Логарифмы

Математический анализ. (Виленкин)

Математический анализ. (Виленкин)
  

Виленкин Н.Я., Шварцбурд С.И. Математический анализ. Учебное пособие для IX—X классов средних школ с математической специализацией. M., Просвещение, 1969 г.

Учебное пособие для школ с математической специализацией, снабженное большим количеством задач и упражнений. Как и вышедшая ранее (1968 г.) книга «Алгебра» того же авторского коллектива, может быть использована преподавателями и учащимися общеобразовательной школы.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
ВВЕДЕНИЕ
2. Числовые множества.
3. Пустое множество.
4. Подмножество.
5. Пересечение множеств.
6. Сложение множеств.
7. Разбиение множеств.

8. Вычитание множеств.
9. Отображение множеств.
10. Краткие исторические сведения.
Глава I. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 1. Тождественные преобразования многочленов
2. Целые рациональные выражения и функции.
3. Степень с натуральным показателем и ее свойства.
4. Многочлены.
5. Умножение многочленов.
6. Числовые кольца и поля.
7. Кольцо многочленов над данным числовым полем.
8. Бином Ньютона.
§ 2. Деление многочленов. Корни многочленов
2. Теорема Безу. Схема Горнера.
3. Корни многочлена.
4. Интерполяционные формулы.
5. Кратные корни.
6. Многочлены второй степени.
7. Многочлены с целыми коэффициентами.
8. Краткие исторические сведения.
Глава II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
§ 1. Общая теория уравнений
2. Область допустимых значений.
3. Уравнения.
4. Совокупности уравнений.
5. Преобразования уравнений.
6. Теоремы о равносильности уравнений.
§ 2. Уравнения с одним неизвестным
2. Метод разложения на множители.
3. Метод введения нового неизвестного.
4. Биквадратные уравнения.
5. Возвратные уравнения 3-й и 4-й степеней.
§ 3. Функциональные неравенства
2. Равносильные неравенства.
3. Доказательство неравенств.
4. Линейные неравенства.
5. Решение неравенств второй степени.
6. Решение алгебраических неравенств высших степеней.
7. Краткие исторические сведения.
Глава III. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ СТЕПЕНИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
§ 1. Степени с целым показателем
2. Степень с нулевым показателем.
3. Степень с целым отрицательным показателем.
§ 2. Корни. Степени с рациональными показателями
2. Степени с рациональными показателями.
3. Свойства степеней с рациональными показателями.
§ 3. Иррациональные алгебраические выражения
2. Одночленные иррациональные выражения.
3. Сокращение показателей и приведение корней к общему показателю.
4. Извлечение корня из произведения и степени.
5. Вынесение алгебраических выражений из-под корня и внесение их под корень.
6. Возведение корня в степень.
7. Извлечение корня из корня.
8. Подобные корни.
9. Сложение и вычитание корней.
10. Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числителе алгебраической дроби.
11. Преобразование выражений вида …
12. Смешанные задачи на преобразование иррациональных выражений.
§ 4. Иррациональные уравнения и неравенства
2. Сведение иррациональных уравнений к рациональным.
3. Уединение радикала.
4. Введение нового неизвестного.
5. Особые случаи решения иррациональных уравнений.
6. Иррациональные неравенства.
7. Краткие историчесие сведения.
Глава IV. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
§ 1. Системы алгебраических уравнений
2. Системы уравнений.
3. Геометрический смысл решений уравнений и систем уравнений с двумя неизвестными.
4. Совокупность уравнений.
5. Равносильные системы уравнений.
6. Метод подстановки.
7. Метод алгебраического сложения уравнений.
8. Метод введения новых неизвестных.
9. Системы однородных уравнений.
10. Геометрическая интерпретация решения систем двух уравнений с двумя неизвестными.
§ 2. Системы линейных уравнений
2. Теоремы о равносильности систем линейных уравнений.
3. Пример решения системы линейных уравнений методом Гаусса.
4. Метод Гаусса (приведение системы к обобщенно-треугольному виду).
5. Решение обобщенно-треугольной системы линейных уравнений.
6. Системы однородных линейных уравнений.
§ 3. Симметрические многочлены и их приложения к решению систем уравнений
2. Выражение степенных сумм
3. Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных.
4. Системы симметрических алгебраических уравнений.
5. Применение симметрических многочленов к решению иррациональных уравнений.
§ 4. Неравенства с многими переменными
2. Среднее арифметическое и среднее геометрическое трех чисел.
3. Неравенство Коши (двумерный вариант).
4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения.
§ 5. Решение неравенств
2. Неравенства с двумя переменными.
3. Задание областей неравенствами и системами неравенств.
4. Понятие о линейном программировании.
5. Краткие исторические сведения.
Глава V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Комплексные числа в алгебраической форме
2. Комплексные числа.
3. Сложение комплексных чисел; умножение на действительные числа.
4. Умножение комплексных чисел.
5. Квадратные уравнения с действительными коэффициентами.
6. Деление комплексных чисел.
7. Сопряженные комплексные числа.
8. Извлечение квадратных корней из комплексных чисел.
§ 2. Тригонометрическая форма комплексных чисел
2. Полярная система координат.
3. Тригонометрическая форма комплексного числа.
4. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.
5. Возведение комплексных чисел в степень. Формула Муавра.
6. Извлечение корня из комплексного числа.
7. Функции комплексного переменного и преобразования комплексной плоскости.
§ 3. Некоторые виды алгебраических уравнений
2. Двучленные уравнения.
3. Корни из единицы и построение правильных многоугольников.
4. Трехчленные уравнения.
§ 4. Основная теорема алгебры многочленов и ее следствия
2. Многочлены с действительными коэффициентами.
3. Разложение на множители многочленов с действительными коэффициентами.
4. Краткие исторические сведения.
Глава VI. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
§ 1. Конечные цепные дроби
2. Пример цепной дроби.
3. Определение цепной дроби.
4. Представление рациональных чисел в виде конечной цепной дроби.
5. Подходящие дроби.
6. Свойства подходящих дробей.
8. Подходящие дроби и календарь.
9. Приближение цепной дроби подходящими дробями.
§ 2. Бесконечные цепные дроби
2. Подходящие дроби и наилучшие приближения иррациональных чисел рациональными.
3. Цепные дроби как вычислительный инструмент.
4. Краткие исторические сведения.
Глава VII. КОМБИНАТОРИКА
§ 1. Комбинаторные задачи
§ 2. 6 \\ \ \boxed{x=6} $$

   — +
—————*——————>x
   6

$$ x \leq 6 $$

  • Решите пожалйста. Системы Неравенств 1 степени 1) 58x-39 < 35x+44 36x+23 < 29x+37 2) 26x-37 <15x+18

    14x+63 < 31x+52 Отсутсовал 2 недели в школе,понятия не имею как решать…
    Решение: решается  как уравнение,переносится всё в 1 сторону

    1)58х-39-35x-44<0

    23x-83<0

    23x<83

    x<3,6

    1) 58x-39 < 35x+44

        58х-39-35х-44<0

        23x-83<0

        23x<83

        x< 3,6

        36x+23 < 29x+37

        36x+23-29x-37<0

         7x-14<0

          x<2

        

    2) 26x-37 < 15x+18

        26x -37-25x-18<0

        1x-55<0

         x<55
        14x+63 < 31x+52

        14x+63-31x-52<0

        11-7x<0

        7x<11

         x<1,57

        

  • Решение линейных неравенств

    • Expression
    • Equation
    • Inequality
    • Contact us
    • Simplify
    • Factor
    • Expand
    • GCF
    • LCM
    • Solve
    • Graph
    • System
    • Solve
    • Graph
    • Система
    • Математический решатель на вашем сайте

    Решить линейное неравенство означает записать его в таком виде, что только y появляется слева, и только x и константы появляются с правой стороны. Это похоже на решение уравнения для тебя. Легко изобразить наборы решений для линейной неравенства. Просто начертите соответствующую граничную линию и затем заштрихуйте область выше или ниже линии.

    Решение линейных неравенств можно выполнить с помощью сложения и свойства умножения неравенств, так же как соответствующие свойства уравнений используются для решения линейных уравнения. Лучше всего это иллюстрируется примерами.

    Пример 1

    Решить у + 7 < 2 х + 5.

    Раствор

    Сначала перепишем неравенство так, чтобы y стоял слева рядом с собой.

    г + 7 < 2 х + 5 Вычтите по 7 с каждой стороны.
    г < 2 х — 2  

    Итак, множество решений — это множество всех точек, лежащих ниже линия y = 2x — 2, как показано на графике ниже.

    Обратите внимание, что на границе есть пунктирная линия, так как символ неравенства < , а не .

     

    Пример 2

    Решите 2y x + 6.

    Раствор

    Чтобы решить неравенство, сначала разделите каждую сторону на 2, чтобы изолировать у.

    2 года х + 6  
    у Разделите каждую сторону на 2.

    Набор решений — это набор точек на линии и над ней, как показано на графике ниже

     

    Пример 3

    Решить 3 — у х + 5.

    Раствор

    Сначала используйте свойства неравенств, чтобы изолировать y.

    3-й х + 5  
    — у х + 2 Вычтите 3 с каждой стороны.
    у — х — 2 Умножить каждую сторону на -1. Обратный символ неравенства.

    График y x — 2 показан ниже.

    Обратите внимание, что граница области отмечена сплошной линией.

    Напомним, что свойство умножения неравенств утверждает что умножение каждой части неравенства на одно и то же положительное число дает эквивалентное неравенство. Однако, когда умножая каждую сторону на одно и то же отрицательное число, неравенство символ необходимо перевернуть, чтобы получить эквивалентное неравенство.

    Неравенства Математика — узнайте и поймите онлайн

    Неравенства представляют собой алгебраические выражения, которые вместо того, чтобы представлять, как обе части уравнения равны друг другу, представляют, как один член меньше, меньше или равен, больше больше или равно другому.

    Этот пример читается как x плюс 1 больше 3.

    Обратите внимание, что стрелка символа неравенства указывает на меньшее выражение в неравенстве.

    В частности, символы, используемые в неравенстве :

    Символ.
    меньше или равно

    Свойства неравенств

    свойства неравенств are described in Table 1:

    Table 1. Properties of inequalities

    If a, b, and c are real numbers:

    Property Definition Example
    Addition IF, тогда, так что
    Вычитание IF, затем, так что
    Умножение , если и, тогда, если и, тогда, 0067 , and , so , and , so
    Division If and , then If and , then

    , and , so ,

    , and , so ,

    Transitive Если и , то и , так что
    Сравнение Если и , то и , так
    Какие разные виды 7 неравенств?

    Основные типы неравенств, которые вы можете найти:

    Линейные неравенства

    Линейные неравенства — это неравенства, в которых максимальный показатель степени, присутствующий в его переменных, равен степени 1.

    Квадратные неравенства

    Если максимальный показатель степени, присутствующий в неравенстве, равен степени 2, это называется квадратным неравенством.

    Решение неравенств

    Чтобы решить неравенства, вам придется выполнить различные шаги в зависимости от того, являются ли они линейными или квадратичными.

    Решение линейных неравенств

    Чтобы решить линейные неравенства, вы можете манипулировать ими, чтобы найти решение так же, как уравнение, имея в виду следующие дополнительные правила:

    • Решением неравенства является множество всех действительных чисел, которые неравенство верное. Следовательно, любое значение x, удовлетворяющее неравенству, является решением для x.

    • Символы> (больше) и <(меньше) исключают конкретное значение как часть решения. Символы (больше или равно) и (меньше или равно) включить конкретное значение как часть решения, а не исключить его.

    • Решение неравенства можно представить на числовой прямой, используя пустой кружок для обозначения того, что значение x не является частью решения , и замкнутый кружок , если значение x является частью решения .

    • Если умножить или разделить неравенство на отрицательное число , то нужно инвертировать символ неравенства . Лучший способ понять, зачем вам это нужно, — посмотреть пример.

    Вы знаете, что 4 > 2, но если умножить это неравенство на -1

    Тогда получится -4 > -2, что неверно

    Чтобы неравенство оставалось верным, нужно обратить символ , например:

    -4 <-2 ✔ что верно

    Это потому, что в случае отрицательных чисел, чем ближе число к нулю, тем оно больше.

    Вы можете видеть -4 и -2, представленные на числовой прямой следующим образом:

    Числа на числовой прямой, Marilu García De Taylor — StudySmarter Originals

    • Если у вас есть дробь в неравенстве, где x находится в знаменателя (т. е. ), вам нужно помнить, что x может быть как положительным, так и отрицательным. Следовательно, нельзя умножать обе части неравенства на x; вместо этого умножьте на так, чтобы неравенство продолжало оставаться верным.

    Примеры решения линейных неравенств

    1) x — 5> 8 выделить x и скомбинировать одинаковые члены

    x> 8 + 5

    x> 13

    Используя обозначение набора , решение {x: x: x > 13}, которое можно прочитать как множество значений x, для которых x больше 13.

    2) 2x + 2 <16 изолировать x и объединить подобные термины

    2x <16 -2

    2x <14

    х <7

    Установите обозначение: {x: x <7}

    3) 5 — x <19

    — x <19 - 5

    — x <14 Не забудьте изменить символ, так как вы делите на -1

    x> -14

    Задайте обозначение: {x: x> -14}

    4) Если вам нужно найти множество значений, для которых два неравенства верны вместе, вы можете использовать числовую прямую чтобы увидеть решение более ЯСНО.

    Решением будут значения, удовлетворяющие обоим уравнениям одновременно. Например:

    Решение линейных неравенств с использованием числовой прямой, Marilu García De Taylor — StudySmarter Originals

    Задайте запись: {x: 4

    Если имеется нет перекрытия , то неравенства написано отдельно.

    Решение линейных неравенств с использованием числовой прямой — без перекрытия, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals

    Установите обозначение: {x: x <4} ∪ {x: x> 5}

    Решение квадратных неравенств

    Переставьте члены в левую часть неравенства так, чтобы в другой части был только ноль.

    Перед решением квадратного неравенства вам может понадобиться раскрыть скобки и объединить одинаковые члены.

    2. Решить квадратное уравнение на найти критические значения . Для этого можно разложить на множители, дополнить квадрат или воспользоваться формулой квадрата.

    3. Нарисуйте график квадратичной функции. График квадратичной функции ( ) представляет собой параболу, пересекающую ось абсцисс в критических значениях. Если коэффициент при (а) отрицательный, то парабола будет перевернутой.

    4. С помощью графика найти требуемый набор значений .

    Примеры решения квадратных неравенств

    • Найдите множество значений x, для которых

    разложите на множители, чтобы найти критические значения

    (x — 2) (x + 3) = 0

    критических значения : x = 2 и x = -3

    Вы можете использовать таблицу, чтобы увидеть, где график будет положительным или отрицательным.

    x <-3 -3 x> 2
    (x — 2) + +0067
    (x + 3) + +
    (x — 2) (x + 3) + +

    Вы можете прочитать информацию в таблице так: Если x <-3, (x - 2) отрицательно, (x + 3) отрицательно, а (x - 2) (x + 3) положительно, и то же самое для остальных столбцов. Последняя строка (x — 2) (x + 3) говорит вам, где график будет положительным или отрицательным.

    Теперь вы можете нарисовать график:

    График решения квадратного неравенства, Марилу Гарсиа Де Тейлор — StudySmarter Originals

    Решением задачи являются значения x, где кривая выше оси x . Это происходит, когда x <-3 или x> 2. В системе обозначений: {x: x <-3} ∪ {x: x> 2}

    График решения квадратных неравенств — кривая над осью x, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals

    График решения квадратных неравенств — кривая под осью X, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals

    Как изобразить неравенство графически?

    Вам может понадобиться представить решение неравенства графически, рассмотрев графики, к которым они относятся.

    В этом случае применяются следующие правила:

    • Значения x, для которых кривая y = f (x) на ниже кривой y = g (x), удовлетворяют неравенству f (x)

    • Значения x, для которых кривая y = f (x) на выше кривой y = g (x) удовлетворяют неравенству f (x) > g (x)

    Примеры графического представления неравенств

    Имея уравнения y = 3x + 10, и , найдите решение неравенства

    Приравняйте уравнения друг к другу, чтобы найти точки пересечения и критические значения:

    разложите на множители, чтобы найти критические значения

    Критические значения равны x = -2 и x = 5

    Подставьте критические значения, чтобы найти точки пересечения :

    Когда x = -2, A = (- 2, 4)

    Когда x = 5, B = (5, 25)

    Представление неравенств графически — точки пересечения, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals

    Решением являются значения x, для которых график 3x + 10 находится выше графика . Это происходит, когда -2

    Представление областей неравенствами

    Иногда, когда вы работаете с неравенствами, вас попросят найти и закрасить область, которая одновременно удовлетворяет линейному и квадратному неравенствам.

    Наилучший способ решить этот тип задач — графически представить все неравенства, чтобы найти область, в которой выполняются все неравенства, обращая особое внимание на следующие рекомендации:

    • Если неравенства содержат символы < или > , то кривая не входит в область и ее нужно изобразить пунктирной линией .

    • Если неравенства содержат символы или , то кривая включается в область и должна быть представлена ​​сплошной линией .

    Пример представления областей неравенствами

    Закрасьте область, удовлетворяющую неравенствам:

    и

    В неравенстве y + x <5 используется символ <, поэтому его график представлен пунктирной линией. В неравенстве используется символ, поэтому оно представлено сплошной линией.

    Область, в которой одновременно выполняются оба неравенства, закрашена синим цветом.

    Графическое представление регионов в неравенствах, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals

    Математика неравенств — основные выводы чем, меньше или равно, больше или больше или равно другому.

  • С неравенствами можно работать так же, как и с уравнениями, но необходимо учитывать несколько дополнительных правил.

  • При умножении или делении неравенства на отрицательное число необходимо перевернуть символ, чтобы неравенство оставалось верным.

  • Решением неравенства является множество всех действительных чисел, которые делают неравенство верным.

  • Вы можете использовать числовую прямую для одновременного представления двух или более неравенств, чтобы более четко увидеть значения, которые удовлетворяют всем неравенствам одновременно.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    © 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

    Карта сайта