Пример
Задание. Проверить, является ли набор ${0,3}$ решением системы $\left\{\begin{array}{l} 3 x-2 y=-6 \\ 5 x+y=3 \end{array}\right.$
Решение. Подставляем в каждое из уравнений системы $x=0$ и $y=3$:
$$\left\{\begin{array}{l} 3 x-2 y=-6 \\ 5 x+y=3 \end{array}\right.$$
$$5 x+y=3 \Rightarrow 5 \cdot 0+3=3 \Rightarrow 3=3$$
Так как в результате подстановки получили верные равенства, то делаем вывод, что заданный набор является решением указанной СЛАУ.
Ответ. Набор ${0,3}$ является решением системы $\left\{\begin{array}{l} 3 x-2 y=-6 \\ 5 x+y=3 \end{array}\right.$
Виды систем
Определение
СЛАУ называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение.
В противном случае система называется 
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Система $\left\{\begin{array}{l} 3 x-2 y=-6 \\ 5 x+y=3 \end{array}\right.$ является совместной, так как она имеет, по крайней мере, одно решение $x=0$, $y=3$
Пример
Система $\left\{\begin{array}{l} 5 x+y=-6 \\ 5 x+y=3 \end{array}\right.$ является несовместной, так как выражения, стоящие в левых частях уравнений системы равны, но правые части не равны друг другу. Ни для каких наборов ${x,y}$ это не выполняется.
Определение
Система называется определённой, если она совместна и имеет единственное решение.
В противном случае (т.е. если система совместна и имеет более одного решения) система называется неопределённой.
Определение
Система называется однородной, если все правые части уравнений, входящих в нее, равны нулю одновременно.
Пример
$$\left\{\begin{array}{l} x-y+z-4 t=0 \\ 5 x+y+t=0 \end{array}\right.$$
Определение
Система называется квадратной, если количество уравнений равно количеству неизвестных.
Пример
Система $\left\{\begin{array}{l} 3 x-2 y=-6 \\ 5 x+y=3 \end{array}\right.$ квадратная, так как неизвестных две и это число равно количеству уравнений системы.
Матричная запись систем уравнений
Исходную СЛАУ можно записать в матричном виде:
$$A…X=B$$
где матрица $A=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & \ldots & a_{1 n} \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m 1} & \ldots & a_{m n} \end{array}\right)$ называется матрицей системы
Пример
Задание. Систему $\left\{\begin{array}{l} x-y+z-4 t=0 \\ 5 x+y+t=-11 \end{array}\right.$ записать в матричной форме и выписать все матрицы, которые ей соответствуют.
Решение. Заданную СЛАУ записываем в матричной форме $A…X=B$ , где матрица системы:
$$A=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 1 & -4 \\ 5 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right)$$
вектор-столбец неизвестных:
$$X=\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \\ t \end{array}\right)$$
вектор-столбец свободных коэффициентов:
$$B=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -11 \end{array}\right)$$
то есть, запись СЛАУ в матричной форме:
$$\left(\begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 1 & -4 \\ 5 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \\ t \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -11 \end{array}\right)$$
Расширенная матрица системы
Определение
Расширенной матрицей системы $\widetilde{A}=(A \mid B)$ называется матрица, полученная из матрицы системы $A$ , дописыванием справа после вертикальной черты столбца свободных членов.
Пример
Решение. Матрица системы $A=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right)$ , тогда расширенная матрица $\tilde{A}=(A \mid B)=\left(\begin{array}{rrr|r} 2 & 1 & -1 & 4 \\ 1 & -1 & 0 & 5 \end{array}\right)$
Читать дальше: критерий совместности системы.
5. Несовместная система линейных уравнений.
Ниже приводится пример решения такой системы. Сама система здесь не приводится, но ее расширенная матрица – это исходная матрица компьютерной выдачи.
Gauss Method. Transformation to E — matrix.
5 6 1
1.0 2.0 -3.0 4.0 -2.0 -1.0
2.0 -1.0 3.0 -4.0 -4.0 8.0
3.
0
1.0 -1.0 2.0 -6.0 3.0
4.0 3.0 4.0 2.0 -8.0 -2.0
1.0 -1.0 -1.0 2.0 -2.0 -3.0
1 4 4.000
.250 .500 -.750 1.000 -.500 -.250
3.000 1.000 .000 .000 -6.000 7.000
2.500 .000 .500 .000 -5.000 3.500
3.500 2.000 5.500 .000 -7.000 -1.500
.500 -2.000 .500 .000 -1.000 -2.500
2 5 -6.000
.000 .417 -.750 1.000 .000 -.833
-.500 -.167 .000 .000 1.000 -1.167
.000 -.833 .500 .000 .000 -2.333
.000 .833 5.500 .000 .000 -9.667
3
2 -.
833
.000 .000 -.500 1.000 .000 -2.000
-.500 .000 -.100 .000 1.000 -.700
.000 1.000 -.600 .000 .000 2.800
.000 .000 6.000 .000 .000-12.000
.000 .000 -.800 .000 .000 2.400
4 3 6.000
.000 .000 .000 1.000 .000 -3.000
-.500 .000 .000 .000 1.000 -.900
.000 1.000 .000 .000 .000 1.600
.000 .000 1.000 .000 .000 -2.000
.000 .000 .000 .000 .000 .800
There are no roots
Последняя строка последней матрицы из компьютерной выдачи указывает на то, что система несовместна. Действительно, 0 0.8.
6.
Приведение матрицы системы к треугольному
виду.
В линейной алгебре часто используют другой вариант метода Гаусса, состоящий в том, что матрица системы элементарными преобразованиями строк превращается в треугольную матрицу. В этом случае для получения решения системы требуется “обратный ход”. Ниже приведено компьютерное решение задачи (1) этим методом.
Gauss Method. Transformation to triangular matrix.
5 6 1
1.0 2.0 -3.0 4.0 -1.0 -1.0
2.0 -1.0 3.0 -4.0 2.0 8.0
4.0 3.0 4.0 2.0 2.0 -2.0
1.0 -1.0 -1.0 2.0 -3.0 -3.0
1 4 4.000
.250 .500 -.750 1.000 -.250 -.250
3.000 1.000 .000 .000 1.000 7.000
2.
500
.000 .500 .000 -.500 3.500
3.500 2.000 5.500 .000 2.500 -1.500
.500 -2.000 .500 .000 -2.500 -2.500
2 1 3.000
.250 .500 -.750 1.000 -.250 -.250
1.000 .333 .000 .000 .333 2.333
.000 -.833 .500 .000 -1.333 -2.333
.000 .833 5.500 .000 1.333 -9.667.000 -2.167 .500 .000 -2.667 -3.667
3 5 -1.333
.250 .500 -.750 1.000 -.250 -.250
1.000 .333 .000 .000 .333 2.333
.000 .625 -.375 .000 1.000 1.750
.000 .000 6.000 .000 .000-12.000
.000 -.500 -.500 .000 .000 1.000
4
3 6.
000
.250 .500 -.750 1.000 -.250 -.250
1.000 .333 .000 .000 .333 2.333
.000 .625 -.375 .000 1.000 1.750
.000 -.500 .000 .000 .000 .000
5 2 -.500
.250 .500 -.750 1.000 -.250 -.250
1.000 .333 .000 .000 .333 2.333
.000 .625 -.375 .000 1.000 1.750
.000 .000 1.000 .000 .000 -2.000
.000 1.000 .000 .000 .000 .000
48.000 — Result of Multiplication of the main elements
Rearrangement of Columns
1.000 .250 -.250 -.750 .500 -.250
.
000
1.000 .333 .000 .333 2.333
.000 .000 1.000 -.375 .625 1.750
.000 .000 .000 1.000 .000 -2.000
.000 .000 .000 .000 1.000 .000
1.000 .250 -.250 -.750 .000 -.250
.000 1.000 .333 .000 .000 2.333
.000 .000 1.000 -.375 .000 1.750
.000 .000 .000 1.000 .000 -2.000
.000 .000 .000 .000 1.000 .000
1.000 .250 -.250 .000 .000 -1.750
.000 1.000 .333 .000 .000 2.333
.000 .000 1.000 .000 .000 1.000
.000 .000 .000 1.000 .000 -2.000
.000 .000 .000 .000 1.000 .000
1.000
.
250 .000 .000 .000 -1.500
.000 1.000 .000 .000 .000 2.000
.000 .000 1.000 .000 .000 1.000
.000 .000 .000 1.000 .000 -2.000
.000 .000 .000 .000 1.000 .000
1.000 .000 .000 .000 .000 -2.000
.000 1.000 .000 .000 .000 2.000
.000 .000 1.000 .000 .000 1.000
.000 .000 .000 1.000 .000 -2.000
.000 .000 .000 .000 1.000 .000
Determinant = 48.000
Roots
X4 = -2.000
X1 = 2.000
X5 = 1.000
X3 = -2.000
X2 = .000
Вычисление обратной матрицы методом Гаусса
Способ нахождения
обратной матрицы, основанный на
вычислении алгебраических дополнений
элементов матрицы, требует выполнения
большого числа арифметических операций
и на практике не используется.
Здесь
на конкретном примере покажем, как можно
найти обратную матрицу методом Гаусса.
Пусть требуется найти обратную матрицу А-1 для матрицы (2, 6) предыдущего параграфа. Заменим столбец свободных членов в системе
(1, 6) столбцом
1.000
0.000
В = 0.000 (1)
0.000
0.000
Получим систему
Х1 + 2Х2 — 3Х3 + 4Х4 — Х5 = 1,
2Х1 — Х2 — 3Х3 — 4Х4 + 2Х5 = 0,
3Х1 + Х2 — Х3 + 2Х4 — Х5 = 0, (2)
4Х1 + 3Х2 + 4Х3 + 2Х4 + 2Х5 = 0,
Х1 — Х2 —
Х3 + 2Х4 — 3Х5 = 0.
Как и раньше, матрицу системы обозначим А.. Это матрица (2, 6).
В предыдущем параграфе было установлено, что определитель матрицы А не равен нулю, поэтому система (2) имеет единственное решение, которое можно найти, например, методом Гаусса. Обозначим это решение как столбец Х. Будучи решением системы (2), столбец Х удовлетворяет матричному уравнению АХ = В, где столбец В представляет собой первый столбец единичной матрицы (1). Но с другой стороны, А А-1 = Е, и поэтому первый столбец единичной матрицы Е есть результат умножения матрицы А на первый столбец матрицы А-1. Таким образом, умножение матрицы А на столбец Х и умножение той же матрицы А на первый столбец матрицы А-1 приводит к одному и тому же результату, т. е. столбец Х и первый столбец обратной матрицы представляют собой одно и то же.
Точно также можно показать, что второй, третий, четвертый и пятый столбцы матрицы А-1 находится соответственно как решение следующих систем:
Х1 + 2Х2 — 3Х3 + 4Х4 — Х5 = 0,
2Х1 — Х2 — 3Х3 — 4Х4 + 2Х5 = 1,
3Х1 + Х2 — Х3 + 2Х4 — Х5 = 0, (3)
4Х1 + 3Х2 + 4Х3 + 2Х4 + 2Х5 = 0,
Х1 — Х2 —
Х3 + 2Х4 — 3Х5 = 0.
Х1 + 2Х2 — 3Х3 + 4Х4 — Х5 = 0,
2Х1 — Х2 — 3Х3 — 4Х4 + 2Х5 = 0,
3Х1 + Х2 — Х3 + 2Х4 — Х5 = 1, (4)
4Х1 + 3Х2 + 4Х3 + 2Х4 + 2Х5 = 0,
Х1 — Х2 — Х3 + 2Х4 — 3Х5 = 0.
Х1 + 2Х2 — 3Х3 + 4Х4 — Х5 = 0,
2Х1 — Х2 — 3Х3 — 4Х4 + 2Х5 = 0,
3Х1 + Х2 — Х3 + 2Х4 — Х5 = 0, (5)
4Х1 + 3Х2 + 4Х3 + 2Х4 + 2Х5 = 1,
Х1 — Х2 —
Х3 + 2Х4 — 3Х5 = 0.
Х1 + 2Х2 — 3Х3 + 4Х4 — Х5 = 0,
2Х1 — Х2 — 3Х3 — 4Х4 + 2Х5 = 0,
3Х1 + Х2 — Х3 + 2Х4 — Х5 = 0, (6)
4Х1 + 3Х2 + 4Х3 + 2Х4 + 2Х5 = 0,
Х1 — Х2 — Х3 + 2Х4 — 3Х5 = 1.
Таким образом, для определения А-1 нужно решить пять систем линейных уравнений с одной и той же матрицей А и с разными столбцами свободных членов, представляющими собой столбцы единичной матрицы.
Но
в тех случаях, когда нужно найти решения
нескольких систем с одинаковыми матрицами
А и разными столбцами свободных членов
совсем не обязательно каждую систему
решать отдельно, ведь при решении этих
систем методом Гаусса различаться
могут только крайние правые столбцы
преобразуемых матриц.
Поэтому к матрице
А можно приписать не один столбец
свободных членов, а сразу все столбцы,
соответствующие разным системам
уравнений. В результате элементарных
преобразований полученной матрицы на
месте каждого из столбцов свободных
членов получится решение соответствующей
ему системы уравнений. Нужно только
помнить, что ведущий элемент из элементов
добавленных столбцов не выбирается
Итак, для вычисления А-1 следует приписать к матрице А справа единичную матрицу Е. В результате преобразований полученной прямоугольной матрицы столбцы матрицы Е превращаются в столбцы искомой матрицы А-1, а на месте матрицы А появляется единичная матрица.
Непротиворечивые и непротиворечивые системы. Введение, методы, уравнения, вычисления и примеры решений
Система линейных уравнений представляет собой группу из двух или более линейных уравнений с одинаковыми переменными. Например, x + 2y = 14 , 2x + y = 6.
Для сравнения уравнений в линейных системах лучше всего посмотреть, сколько решений имеют оба уравнения.
Если между двумя уравнениями нет ничего общего, то их можно назвать несовместными. Но оно будет называться непротиворечивым, если любая упорядоченная пара может решить оба уравнения. Если уравнение имеет более одной общей точки, то оно называется зависимым. Но что означает «общее решение»? Это означает, что если существует хотя бы одна упорядоченная пара, которая может решить оба уравнения, несмотря на наличие многих уравнений, которые этого не делают.
Система уравнений состоит из двух уравнений y=2x+5 и y=4x+3. Решением системы является упорядоченная пара, являющаяся решением обоих уравнений.
У системы двух линейных уравнений может быть одно решение, бесконечное число решений или вообще не быть решения. Количество решений в системе уравнений может быть использовано для ее дифференцирования.
Система называется непротиворечивой, если она имеет хотя бы одно решение.
Независима, если непротиворечивая система имеет только одно решение.
Например, рассмотрим уравнение x + y = 6 и x – y = 2. Как вы думаете, есть ли у них общие решения? Да, уравнение x + y = 6 имеет много решений, но оба уравнения имеют одно общее решение, т. е. если x = 4 и y = 2, то оба уравнения имеют истинные решения.
Что означает несовместимость систем?
Несовместные уравнения линейных уравнений — это уравнения, не имеющие общих решений. В этой системе прямые будут параллельны, если уравнения изобразить на координатной плоскости. Рассмотрим несовместное уравнение вида x – y = 8 и 5x – 5y = 25. У них нет общих решений.
Когда линии или плоскости, образованные из систем уравнений, не пересекаются ни в одной точке или не параллельны, возникает противоречивая система.
Различие между непротиворечивыми и непротиворечивыми системами
Линейная или нелинейная система уравнений считается непротиворечивой в математике и особенно в алгебре, если по крайней мере один набор значений неизвестных удовлетворяет каждому уравнению в системе, то есть при подстановке в каждое уравнение , они превращают каждое уравнение в истинное тождество.
Термин «несогласованный» используется для обозначения системы линейных или нелинейных уравнений, в которой ни один набор значений неизвестного не удовлетворяет всем уравнениям.
Непротиворечивое значение в математике
Непротиворечивое значение в математике — это уравнение, имеющее хотя бы одно общее решение. Давайте возьмем пример непротиворечивых уравнений, поскольку x + y = 6 и x – y = 2 есть одно общее решение. Точно так же в уравнениях x + y = 12 и 3y = x также есть одно общее решение, поэтому мы можем назвать их согласованными уравнениями.
Если линии, образованные уравнением, пересекаются в какой-то точке или параллельны, то система уравнений с двумя переменными считается состоявшейся.
Если система непротиворечивых линейных уравнений с тремя переменными считается истинной, то она должна удовлетворять следующим условиям:
Все три плоскости должны быть параллельны.
Любые две плоскости должны быть параллельны. Третий должен встретиться с одной из плоскостей в какой-то точке, а другой — в другой.
Зависимые и независимые системы
В зависимой системе существует бесконечное количество общих решений, поэтому трудно найти единственное и уникальное решение. Графически оба уравнения можно изобразить на одной линии. В то время как в независимой системе ни одно из уравнений не может быть получено из каких-либо других уравнений в системе.
Системы уравнений с двумя переменными и бесконечным числом решений
Система уравнений с двумя переменными рассматривается как уравнения двух прямых, и они могут иметь бесконечно много решений, если эти две прямые параллельны и могут быть выражены как кратные друг другу. Это быстрый способ определить системы с бесконечным числом решений.
Метод исключения
Для решения переменной в системе уравнений используется метод исключения для исключения оставшихся переменных.
Этот метод исключения также известен как исключение добавлением. Таким образом, чтобы найти правильное значение для другой переменной, оно подставляется в исходное уравнение после того, как будут найдены значения для остальных переменных.
Ниже приведены этапы метода исключения:
Выровняйте переменные, переписав уравнения.
Измените одно уравнение так, чтобы при сложении уравнений
Оба уравнения имели переменную, которая самоуничтожается.
Необходимо добавить уравнения и исключить переменные.
Решите оставшуюся переменную.
Найдите другую переменную, подставив предыдущую.
Дата последнего обновления: 27 апреля 2023 г. d Страницы
LCM из 3 и 4 и как найти наименее распространенные Несколько
Что такое простой процент? — Пример, формула, решенные примеры и часто задаваемые вопросы
Линейные графики — Определение, решенные примеры и практические задачи
Числа прописью
Доли в процентах
Теорема Коши о среднем значении: введение, история и решенные примеры
НОК 3 и 4 и как найти наименьшее общее кратное
Что такое простые проценты? — Пример, формула, решенные примеры и часто задаваемые вопросы
Линейные графики — Определение, решенные примеры и практические задачи
Числа прописью
От дроби к процентам
Теорема Коши о среднем значении: введение, история и решенные примеры
Актуальные темы
Раздел 1.1 Линейные уравнения — матрицы
Определение: 1. линейное уравнение в переменных [латекс]x_{1},.
..,x_{n}[/латекс] представляет собой уравнение, которое можно записать в виде
[латекс]а_ {1}x_{1}+….+a_{n}x_{n}=b[/latex]
, где [latex]a_{1},…,a_{n},b[/ латекс] являются константами, действительными числами или комплексными числами.
2. система линейных уравнений (или линейная система) представляет собой набор
одного или нескольких линейных уравнений, включающих одни и те же переменные, [латекс]x_{1},….,x_{n}[ /латекс].
3. решение системы – это список чисел, [латекс]s_{1},…,s_{n}[/латекс], который делает каждое уравнение истинным утверждением, когда значения [латекс ]s_{1},…,s_{n}[/latex] заменяются на [latex]x_{1},…,x_{n}[/latex] соответственно.
4. Решить систему означает «найти все решения системы». Множество всех возможных решений называется множеством решений линейной системы.
5. Две линейные системы называются эквивалентными , если у них одинаковый набор решений.
1.1 Видео 1
Теорема(факт): Система линейных уравнений не имеет решения, либо ровно одно решение, либо бесконечно много решений.
Определение: Система линейных уравнений называется непротиворечивой , если она имеет либо одно решение, либо бесконечно много решений. Система линейных уравнений называется несовместной , если она не имеет решения.
1.1 Видео 2
Определение: 1. Основная информация линейной системы
может быть компактно записана в виде прямоугольного массива, называемого матрицей .
2. Матрица, связанная с линейной системой, называется матрицей коэффициентов линейной системы.
3. расширенная матрица системы состоит из матрицы коэффициентов с добавленным столбцом, содержащим константы из правых частей уравнений.
Пример 1: Запишите матрицу коэффициентов и расширенную матрицу линейной системы.
$$\begin{array}{ccc}
2x_{1}+x_{2}-3x_{3} & = & 4\\
3x_{1}+4x_{3} & = & 1\\
2x_{2}-x_{3} & = & 2
\end{array}$$
1.1 Видео 3
Упражнение 1 : Запишите матрицу коэффициентов и расширенную матрицу линейная система .
$$\begin{array}{ccc}
2x_{2}-3x_{3}+x_{4} & = & 1\\
3x_{1}-x_{3}+4x_{4} & = & 2\\
x_{1}+x_{2} & = & 3\\
x_{2}-x_{3}+x_{ 4} & = & 1
\end{array}$$
Определение. Размер матрицы говорит о том, сколько в ней строк и столбцов. Если [latex]m[/latex] и [latex]n[/latex] — положительные числа, матрица [latex]m\times n[/latex] представляет собой прямоугольный массив чисел с [latex]m[/latex] строк и [latex]n[/latex] столбцов.( Количество строк всегда идет первым. )
Определение: 1. Элементарные операции со строками включают следующее:
A. (Замена) Замена одной строки суммой самой себя и кратной другой строки.
B. (Развязка) Поменять местами два ряда.
C. (Масштабирование) Умножить все записи в строке на ненулевую константу.
2. Две матрицы называются строковыми эквивалентами , если существует последовательность элементарных операций над строками, преобразующая одну матрицу в другую.
1.1 Видео 4
Факты: 1. Операции со строками обратимы.
2. Если расширенные матрицы двух линейных систем эквивалентны по строкам, то эти две системы эквивалентны, т. е. имеют одно и то же множество решений.
Вопросы: Дана линейная система 1. Является ли система непротиворечивой? 2. Если система имеет решение, единственно ли это решение?
Пример 2: Определите, непротиворечива ли следующая система.
$$\begin{array}{ccc}
x_{2}-x_{3} & = & 4\\
3x_{1}+x_{3} & = & 1\\
2x_{1}-x_{2} & = & 2
\end{array}$$
1.1 Видео 5
Упражнение 2 : Определите, непротиворечива ли следующая система.
$$\begin{array}{ccc}
2x_{2}-3x_{3} & = & 1\\
3x_{1}-x_{3} & = & 2\\
x_{1}+ x_{2} & = & 3
\end{array}$$
Пример 3. Определите, непротиворечива ли следующая система.
$$\begin{array}{ccc} x_{1}+x_{2}-3x_{3} & = & 4\\
x_{1}-2x_{3} & = & 1\\
-x_{2}+x_{3} & = & 2
\end{array}$$
1.1 Видео 6
Упражнение 3: Определите, непротиворечива ли следующая система.
$$\begin{array}{ccc}
-x_{1}+x_{2}-3x_{3} & = & 1\\
x_{2}+3x_{3} & = & 2\\
x_{1}-2x_{2} & = & 3
\end{array}$$
Групповая работа 1. Имеют ли следующие три линии общую точку пересечения?
$$\begin{array}{cc}
2x_{1}-x_{2} & =1\\
x_{1}+x_{2} & =2\\
-x_{1}+3x_{ 2} & =3
\end{array}$$
Работа в группах 2. Имеют ли следующие три плоскости общую точку пересечения?
$$\begin{array}{cc} 2x_{1}-x_{2}+x_{3} & =1\\
x_{1}+x_{2} & =2\\
x_{2 }+3x_{3} & =3 \end{array}$$
Групповая работа 3.