Общее и частное решение дифференциального уравнения: 1.5. Общее и частные решения дифференциального уравнения

10. Дифференциальные уравнения. Высшая математика

10.1. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решение уравнения. Задача Коши

10.2. Дифференциальные уравнения первого порядка

10.3. Дифференциальные уравнения второго порядка

10.1. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решение уравнения. Задача Коши

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и её производные.

Общий вид ,

где n — порядок старшей производной, который определяет порядок дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения является всякая функция, которое превращает уравнение в тождество.

Примеры:

Общее решение — это решение, зависящее от произвольных констант или совокупность всех частных решений. Частное решение — это решение при фиксированном значении произвольных констант. Общий интеграл дифференциального уравнения:

Пример:

— дифференциальное уравнение в дифференциалах.

или

— общий интеграл.

Задача Коши. Начальные условия: и

Частное решение дифференциального уравнения должно удовлетворять и тому и другому условию.

10.2. Дифференциальные уравнения первого порядка

– уравнение, разрешенное относительно производной.

Теорема. О существовании и единственности решения (Теорема Ковалевской).

Пусть непрерывна в открытой области Д и .

Открытая область – это область без своей границы.

– существует и непрерывна в Д, гладкая по .

Пусть

Тогда имеется решение такое, что , и это решение единственное.

УРП (Дифференциальные уравнения 1-ого порядка с разделяющимися переменными).

— УРП, если .

— разделение переменных

— общее решение данного дифференциального уравнения.

Пример:

Однородное уравнение 1-ого порядка.

— называется однородным если функция , является однородной функцией, нулевого измерения.

— однородная функция n-ого измерения если

(0-е измерение)

(2-ого порядка)

(неоднородная)

Введем новую функцию:

Уравнение примет вид:

— уравнение с разделяющимися переменными

Пример:

Линейные уравнение 1-ого порядка и их решение

Уравнение называется линейным, если его можно записать в следующем виде: , где и — произвольные функции от .

— линейное уравнение без правой части.

Два метода решения линейных уравнений:

1. Метод Бернулли
2. Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной)

1. 1. Метод Бернулли: замена неизвестной функции y(x) на произведение двух неизвестных функций

Выберем так, чтобы .

1. Метод Лагранжа:

— уравнение без правой части.

(2)

— удовлетворяет уравнению (2).

Пример:

1)

2)

10.3. Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейное дифференциальное уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.

(****), и — константы – неоднородное или с правой частью.

(***) — однородное или без правой части.

— общее решение уравнения (****), где — общее решение соответствующего однородного уравнения (***),.где и — произвольные постоянные, а и — линейно независимые решения (***).

— какое-либо частное решение уравнение (****).

Решение линейных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами без правой части.

Будем искать и в виде .

Подставим в уравнение (***).

— характеристическое уравнение для уравнения (***).

Случай 1)

и — действительные различные корни.

Случай 2)

, где — корень уравнения кратности 2.

Подставим в уравнение (***).

, так как — это корень.

Случай 3) , где -мнимая единица .

Подставим в уравнение (***).

— линейно независимые, следовательно:

Пример:

Решение линейных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами с правой частью.

— ищется в таком же виде, в котором задана правая часть.

а)

,где А — неопределенный коэффициент.

Пример:

б)

Общий случай

— характеристическое уравнение.

а) Если не корень характеристического уравнения:

б) Если корень характеристического уравнения кратности

1	2		2	0
1	2		0	-1
1	2		1	-1
1	2		0	i
1	2		1	i
1	2		0	1
1	2		2	1
1	2		0	1+i
0	1		2	0
2	2		0	2
2	2		1	2
i	-i		0	i
2+i	2-i		0	2
2+i	2-i		0	2+i

Теорема. Если , то , где отвечает за

, а отвечает за . — частное решение уравнения , а — частное решение уравнения .

Общая классификация дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений: общее и частное решение

Отношение между переменными дифференциального уравнения, которое удовлетворяет данному дифференциальному уравнению, называется решением дифференциального уравнения. Все решения дифференциального уравнения получаются интегрированием дифференциального уравнения. Узнайте о решении дифференциальных уравнений здесь, в этой статье, через определение, общее решение и частное решение, за которыми следуют такие методы, как метод разделения переменных, решение линейных и нелинейных дифференциальных уравнений с решенными примерами и часто задаваемыми вопросами.

Дифференциальное уравнение в математике определяется как уравнение, которое включает одну или несколько функций среди своих производных, как показано ниже:

Узнайте больше о дифференциальном исчислении в этой статье.

Как найти решение дифференциальных уравнений?

Производные функции определяют скорость изменения функции в точке, в основном используются в областях физики, химии, техники, биологии, геологии, экономики и т. д. Существует 4 метода нахождения решений дифференциальных уравнений. Они следующие:

• Решение путем проверки : Иногда возможно найти решение дифференциального уравнения второго порядка путем проверки, что обычно приводит к успешным пробам и ошибкам с помощью нескольких специальных простых функций. Метод проб и ошибок — не самый надежный способ определить уравнение, но при достаточной практике можно получить решение путем проверки.
• Общее решение дифференциального уравнения : Общее решение дифференциального уравнения – это уравнение, в котором число произвольных констант совпадает с порядком данного дифференциального уравнения. 9{3}+C\) представляет собой общее решение дифференциального уравнения. 3+c\), где c обозначает произвольную константу, указывает однопараметрическое семейство кривых, как показано на рисунке ниже.
  
  Частное решение дифференциальных уравнений

  Дифференциальные уравнения в математике иногда также определяются как производные зависимой переменной по независимой переменной. Как видно из предыдущего заголовка, общее решение содержит все возможные решения и обычно содержит произвольные константы. С другой стороны, решение без произвольных констант или функций называется частным решением. То есть, когда произвольной константе, присутствующей в общем решении дифференциального уравнения, на основе заданных условий приписывается какое-то частное значение, то это называется частным решением.

  Частное решение дифференциального уравнения получается путем предоставления дополнительных условий, как правило, в виде начальных или граничных условий.

  Также читайте о применении деривативов здесь.

  Методы решения дифференциальных уравнений первого порядка и первой степени

  Теперь, когда вы знаете об общем решении и частном решении дифференциальных уравнений, давайте разберемся с некоторыми другими методами решения дифференциальных уравнений. 9{ }g\left(y\right)dy+c\), где C — произвольная константа.

  Для приведенного ниже примера:

  \(\frac{dy}{dx}=7xy\)

  Все члены y, включая dy, могут быть перенесены в одну часть уравнения, а все члены x, включая dx, в другая сторона уравнения. Модифицированное уравнение:

  \(\frac{dy}{y}=7x\ dx\)

  Кроме того, читайте здесь о неопределённых интегралах.

  Решение линейного дифференциального уравнения

  Любое дифференциальное уравнение вида \(\frac{dy}{dx}+P.y=Q\), где P и Q являются функциями только от x, называется линейным дифференциалом уравнение первого порядка с y в качестве зависимой переменной. 9{\prime}}\dy}\) известен как интегрирующий коэффициент (IF).

  Ознакомьтесь с этой статьей о пределе и непрерывности.

  Решение нелинейного дифференциального уравнения

  Если уравнение нелинейно относительно неизвестной функции и ее производных, то оно считается нелинейным дифференциальным уравнением.

  Решенные примеры решения дифференциальных уравнений

  Изучив, как найти решение дифференциального уравнения, а затем зная общее решение и частное решение и связанные с ними понятия, давайте рассмотрим некоторые решенные примеры для большей практики. .

  Решено Пример 1: Найдите общее решение дифференциального уравнения в виде \(\frac{ydx−xdy}{x}=0\).

  Решение: Использование концепции дифференциальных уравнений методом разделимых переменных.

  Если коэффициент при dx зависит только от x, а коэффициент при dy зависит только от y в данном дифференциальном уравнении, то мы можем разделить члены dx и dy и проинтегрировать их по отдельности.

  ⇒∫f(x)dx=∫g(y)dy

  \(\frac{ydx−xdy}{x}=0\) 9х}\справа)\).

  Здравствуйте! Надеюсь, статья о решении дифференциальных уравнений окажется для вас информативной и полезной; следите за обновлениями в приложении Testbook или посетите веб-сайт Testbook, чтобы узнать больше об обновлениях по подобным темам из математики, естественных наук и многих других предметов, и даже можете проверить серию тестов, доступных для проверки ваших знаний о различных экзаменах.

  Часто задаваемые вопросы о решении дифференциальных уравнений

  В.1. Каково общее решение дифференциальных уравнений?

  Ответ 1 Общее решение дифференциального уравнения – это уравнение, в котором число произвольных констант совпадает с порядком данного дифференциального уравнения.

  Q.2 Как вы определяете частное решение дифференциального уравнения?

  Ответ 2 Когда произвольной константе, присутствующей в общем решении дифференциального уравнения, основанном на заданных условиях, присваивается некоторое конкретное значение, тогда это известно как частное решение.

  Q.3 Что такое сингулярное решение дифференциального уравнения?

  Ответ 3 Это тип частного решения, но их нельзя вывести из общего решения, задав значения произвольных констант.

  Q.4 Как найти решение дифференциального уравнения?

  Ответ 4 Решение дифференциального уравнения может быть получено через общее решение и частные решения. Существуют и другие методы, такие как методы разделения переменных, решения с помощью линейных дифференциальных уравнений и так далее.

  Q.5 Каково определение линейного дифференциального уравнения первого порядка?

  Ans.5 Дифференциальное уравнение, в котором зависимая переменная и ее дифференциальный коэффициент стоят в первой степени и не перемножаются вместе, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

  Скачать публикацию в формате PDF

  Еще на testbook.com

  Оценка пределов: изучите методы оценки пределов!
  Качество и характеристики сточных вод: физические, химические, биологические
  Проектирование канализации: типы, компоненты, проектирование и конструкция, дополнительная информация
  Тригонометрия: подробное изучение отношений, сторон, углов и идентичности !
  Геоморфические процессы: типы сил, геоморфологические агенты, прочее

  Дифференциальное уравнение Общие и частные решения Вопросы и ответы

  Этот набор вопросов и ответов по математике с множественным выбором (MCQ) посвящен «Общим и частным решениям дифференциального уравнения».

  1. Какая из следующих функций является решением дифференциального уравнения \(\frac{dy}{dx}\)+2y=0?
  . Рассмотрим функцию y=e ^-2x
  Дифференцируя обе части по x, получаем 92}\)+4у=0.
  

  3. Какая из следующих функций является решением дифференциального уравнения xy’-y=0?
  a) y=4x
  b) y=x ²
  c) y=-4x
  d) y=2x
  Посмотреть ответ

  Ответ: d
  получаем
  y’=\(\frac{dy}{dx}\)=2
  Подставляя в уравнение xy’-y, получаем
  xy’-y=x(2)-2x=2x-2x=0
  Следовательно, функция y=2x является решением дифференциального уравнения xy’-y=0. 92}\)=-30 cos⁡3x
  ⇒y”+6y=0.
  Следовательно, функция y=5 cos⁡3x является решением дифференциального уравнения y”+6y=0.
  

  6. Какая из следующих функций является решением дифференциального уравнения \(\frac{dy}{dx}\)-14x=0?
  a) y=7x ²
  b) y=7x ³
  c) y=x ⁷
  d) y=14x
  Посмотреть ответ

  Ответ: a
  Объяснение функции ²
  Дифференцируя по x, получаем
  \(\frac{dy}{dx}\)=14x 92}\)=0.
  

  объявление

  8. Сколько произвольных констант будет в общем решении дифференциального уравнения второго порядка?
  a) 3
  b) 4
  c) 2
  d) 1
  Просмотреть ответ

  Ответ: c
  Пояснение: Количество произвольных констант в общем решении дифференциального уравнения n ^{-го порядка} равно n.
  Следовательно, число произвольных констант в общем решении второго порядка Д.Э равно 2.
  

  92}\)-3 \(\frac{dy}{dx}\)=0.
  

  Sanfoundry Global Education & Learning Series – Математика – Класс 12 .

  Чтобы практиковать все области математики, вот полный набор из более чем 1000 вопросов и ответов с несколькими вариантами ответов .

  Следующие шаги:

  • Получите бесплатную грамоту за достижения в области математики — класс 12
  • Примите участие в математическом конкурсе на получение сертификата 12 класса
  • Стать лучшим специалистом по математике — класс 12
  • Сдать математику — тесты 12 класса
  • Практические тесты по главам: глава 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
  • Пробные тесты по главам: глава 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
  Категории Класс 12 — Математика MCQ

  реклама

  реклама

  Подпишитесь на наши информационные бюллетени (тематические).

  No related posts.