Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами: Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Содержание

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Основные понятия о линейных дифференциальных уравнениях второго порядка и их решениях
Линейное однородное дифференциальное уравнения второго порядка и его решение
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: теория и практика

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

y» + p(x)y‘ + q(x)y = f(x),

где y — функция, которую требуется найти, а p(x), q(x) и f(x) — непрерывные функции на некотором интервале (a, b).

Если правая часть уравнения равна нулю (f(x) = 0), то уравнение называется линейным однородным уравнением. Таким уравнениям и будет в основном посвящена практическая часть этого урока. Если же правая часть уравнения не равна нулю (

f(x) ≠ 0), то уравнение называется линейным неоднородным уравнением (смотрите отдельный урок).

В задачах от нас требуется разрешить уравнение относительно y»:

y» = −p(x)y‘ − q(x)y + f(x).

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка имеют единственное решение задачи Коши.

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

y» + p(x)y‘ + q(x)y = 0.

Если y1(x) и y2(x) — частные решения этого уравнения, то верны следующие высказывания:

1) y1(x) + y

2(x) — также является решением этого уравнения;

2) Cy1(x), где C — произвольная постоянная (константа), также является решением этого уравнения.

Из этих двух высказываний следует, что функция

C1y1(x) + C2y2(x)

также является решением этого уравнения.

Возникает справедливый вопрос: не является ли это решение общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, то есть таким решением, в котором при различных значениях C1 и C2 можно получить все возможные решения уравнения?

Ответ на этот вопрос следуюший: может, но при некотором условии. Это условие о том, какими свойствами должны обладать частные решения

y1(x) и y2(x).

И это условие называется условием линейной независимости частных решений.

Теорема. Функция C1y1(x) + C2y2(x) является общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если функции y1(x) и y2(x) линейно независимы.

Определение. Функции y1(x) и y2(x) называются линейно независимыми, если их отношение является константой, отличной от нуля:

y1(x)/y2(x) = k; k = const; k ≠ 0.

Однако установить по определению, являются ли эти функции линейно независимыми, часто очень трудоёмко. Существует способ установления линейной независимости с помощью определителя Вронского W(x):

Если определитель Вронского не равен нулю, то решения — линейно независимые. Если определитель Вронского равен нулю, то решения — линейно зависимымые.

Пример 1. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения .

Решение. Интегрируем дважды и, как легко заметить, чтобы разность второй производной функции и самой функции была равна нулю, решения должны быть связаны с экспонентой, производная которой равна ей самой. То есть частными решениями являются и .

Так как определитель Вронского

не равен нулю, то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение данного уравнения можно записать в виде

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y» + py‘ + qy = 0,

где p и q — постоянные величины.

На то, что это уравнение второго порядка, указывает наличие второй производной от искомой функции, а на его однородность — нуль в правой части. Постоянными коэффициентами называются уже упомянутые выше величины.

Чтобы решить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, нужно сначала решить так называемое характеристическое уравнение вида

k² + pq + q = 0,

которое, как видно, является обычным квадратным уравнением.

В зависимости от решения характеристического уравнения возможны три различных варианта решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, которые сейчас разберём. Для полной определённости будем считать, что все частные решения прошли проверку определителем Вронского и он во всех случаях не равен нулю. Сомневающиеся, впрочем, могут проверить это самостоятельно.

Корни характеристического уравнения — действительные и различные

Иными словами, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Пример 2. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , его корни и — вещественные и различные. Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

Пример 3. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

Корни характеристического уравения — вещественные и равные

То есть, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Пример 4. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни . Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Пример 5. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

Корни характеристического уравнения — комплексные

То есть, , , . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Пример 6. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

Решение. Характеристическое уравнение имеет комплексные корни и . Соответственно и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

Пример 7. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

Решить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 8. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

Пример 9. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

Посмотреть правильные решения и ответы примеров 8 и 9.

Назад

Листать

Вперёд>>>

К началу страницы

Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения

Всё по теме «Дифференциальные уравнения»

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения Бернулли

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Поделиться с друзьями

4.

7. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

Для отыскания общего решения уравнения (1) составляется характеристическое уравнение

которое получается из уравнения (1) заменой в нем производных искомой функции соответствующими степенями г, причем сама функция заменяется единицей.

Тогда общее решение уравнения (1) строится в зависимости от характера корней T1 и T1 уравнения (2). Здесь возможны три случая.

1-й случай. Корни T1 и T2 — действительные и различные. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид:

2-й случай. Корни T1 и T1 — действительные и равные: T1 = T2 = T. В этом случае общее решение уравнения (1) имеет вид:

3-й случай. Корни T1 и T1 — комплексно сопряженные: T1 = a + bi, T2 = a — f3 i. Тогда общее решение зависывается так:

Пример 4. = 2. Характеристическое уравнение имеет равные действительные корни, поэтому согласно формуле (4) общее решение запишется следующим образом:

у = e2x(C1 + Cx).

Пример 4.18. Найти общее решение уравнения

у» + 9у = 0.

Решение. Этому уравнению соответствует характеристическое уравнение

r2 + 9 = 0,

имеющее два мнимых сопряженных корня r1 2 = ±3i. Используя формулу (5) при a = 0 и b = 3, получаем общее решение

у = C1 cos 3x + С2 sin 3x.

Пример 4.19. Найти общее решение уравнения у» + 6у’ + 25у = 0.

Решение. Характеристическое уравнение r2 + 6r + 25 = 0

у = e-3x(C1 cos 4x + C2 sin 4x).

имеет два комплексно сопряженных корня r1 2 = -3 ± 4i. По формуле (5) при a = -3 и b = 4, получаем общее решение

Пример 4.20. Найти частное решение уравнения у» — 3у’ + 2у = 0, удовлетворяющее заданным начальным условиям у(0) = 1,

у’ (0) = -1.

Решение. Запишем характеристическое уравнение r2 — 3r + 2 = 0

его корни r1 = 1, r2 = 2. Следовательно, общее решение имеет вид:

Далее, используя начальные условия, определяем значения постоянных С и С2 Для этого подставим в общее решение заданные значения х = 0, у = 1; в результате получим одно из уравнений, связывающее С1 и С2:

1 = С1 + С2.

Второе уравнение относительно С1 и С2 получим следующим образом. Продифференцируем общее решение:

у’ = С1ех + 2С2е2х

и подставим в найденное выражение заданны е значения х = 0, У’ = -1:

-1 = С1 + 2С2.

Из системы

ГС + С2 = 1, 1с, + 2С2 = -1

находим С1 = 3, С2 = -2. Следовательно, искомое частное решение имеет вид

у = 3ех — 2е2х.

< Предыдущая		Следующая >

3.1: Однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 400

Ларри Грин
Общественный колледж Лейк-Тахо

До сих пор мы работали только с дифференциальными уравнениями первого порядка. Следующим шагом является исследование дифференциальных уравнений второго порядка. Общее дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

\[y» = f(t,y,y’) \label{1}\]

Общее решение такого уравнения определить очень сложно. Вместо этого мы сосредоточимся на частных случаях. В частности, если дифференциальное уравнение линейное, то его можно записать в виде

\[ P(t)y» + Q(t)y’ + R(t)y = G(t) \label{2} .\]

Если \(P(t)\) не равно нулю, то мы можем разделить на \(P(t)\), чтобы получить

\[ y» + p(t)y’ + q(t)y = g(t). \]

Мы называем линейное дифференциальное уравнение второго порядка однородным , если \(g (t) = 0\). В этом разделе мы будем исследовать однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, которые можно записать в виде:

\[ау» + бай’ + су = 0. \]

Пример \(\PageIndex{1}\): Общее решение

Решить 92 — 4ас}}{2а}\]

Наверх

Была ли эта статья полезной?

Тип изделия
Раздел или Страница
Автор
Ларри Грин
Показать страницу TOC
нет
Теги
1. Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Постоянные коэффициенты

Общее однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

Если a ( x ), b ( x ) и c ( x ) на самом деле константы, a ( x ) ≡ a ≠ 0, b ( x ) ≡ 4 b ( x ) ≡ c , то уравнение становится просто

Это общее однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами .

Теорема А выше утверждает, что общее решение этого уравнения является общей линейной комбинацией любых двух линейно независимых решений. Так как же находятся эти два линейно независимых решения? Следующий пример иллюстрирует основную идею.

Пример 1 : Решение дифференциального уравнения

Хитрость заключается в подстановке y = e ^{m x} ( m константа) в уравнение; Вскоре вы увидите, почему этот подход работает. Если y = e ^{m x} , то y ′ = me ^{m x 4 ^{″ = м ² e ^{m x} , поэтому дифференциальное уравнение принимает вид}}

Член e ^{m x} можно вынести за скобки и сразу же отменить (поскольку e ^{m x} никогда не равняется нулю):

Это квадратное полиномиальное уравнение можно решить, разложив на множители:

Теперь вспомните, что решение начиналось с записи y = e ^{m x} . Поскольку значения м теперь найдены м = -1, м = 2), оба являются решениями. Поскольку эти функции линейно независимы (ни одна из них не является постоянным кратным другой), теорема А утверждает, что общая линейная комбинация

— это общее решение дифференциального уравнения.

Обратите внимание, что решение однородного дифференциального уравнения

полностью зависит от корней вспомогательного многочлена уравнения, которое получается в результате замены y = e ^{m x} и последующего сокращения e 5 x

0 срок. Как только корни этого вспомогательного полиномиального уравнения найдены, вы можете сразу же записать общее решение данного дифференциального уравнения. Также обратите внимание, что -секундное линейное однородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами всегда приведет к второго вспомогательного полиномиального уравнения степени, то есть к квадратному полиномиальному уравнению.

Корни любого квадратного уравнения

даются известной квадратичной формулой

Величина под знаком квадратного корня, b ² – 4 ac , называется дискриминантом уравнения, и ее знак определяет природу корней. Нужно рассмотреть ровно три случая.

Случай 1: Дискриминант положительный.

В этом случае корни действительны и различны. Если два корня обозначены как м ₁ и м ₂ , то общее решение дифференциального уравнения равно

Случай 2: Дискриминант равен нулю.

В этом случае корни действительны и идентичны; то есть полиномиальное уравнение имеет двойной (повторный) корень. Если этот двойной корень обозначить просто м , то общее решение дифференциального уравнения равно

Случай 3: Дискриминант отрицательный.

В этом случае корнями являются различные сопряженные комплексные числа: r ± si .

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Решить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами самостоятельно, а затем посмотреть решение

4.

3.1: Однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Пример \(\PageIndex{1}\): Общее решение

Постоянные коэффициенты

Добавить комментарий Отменить ответ