Онлайн калькулятор иррациональных выражений: Решение иррациональных уравнений | Онлайн калькулятор

Преобразование ⭐ иррациональных выражений: формулы, примеры решения задач

Что такое иррациональные выражения

Из уроков алгебры известно, что существует несколько классов математических выражений: числовые и буквенные, одночлены и многочлены, дробные, рациональные, иррациональные и другие.

Определение 1

Иррациональными называют числовые или буквенные выражения, в которых присутствуют радикалы (корни).

Определение 2

Арифметическим корнем числа x называют такое неотрицательное число n, которое при возведении в степень m дает число x.

Формула 

xm=n ⇒ nm=x

Переменную x называют подкоренным выражением, переменную m — показателем корня, n — корнем числа x.

Как видно из определения, понятие арифметического корня и степени числа являются взаимообратными операциями.

Преобразование иррациональных выражений

Преобразование и вычисление простых иррациональных выражений не вызывает трудностей.

Пример 

25×2=5x;9·16=12;(x-5y+7)33=x-5y+7.

Более сложные выражения требует дополнительных операций и преобразований. В этом случае используют специальные тождества и формулы:

1. Приведение подобных в подкоренном выражении. Пример: 5x+y3-x+8y33=(5x-x)+(y3+8y3)3=4x+9y33.
2. Вынесение общего множителя в подкоренном выражении. Пример: 6x-4y2+y+9×2+3×35=3x·(2+3x+x2)-y·(4y-1)5.
3. Операции с дробями, содержащимися в подкоренном выражении. Сюда можно отнести сложение и вычитание дробей, а также сокращение числителя и знаменателя на общий множитель. Пример: 23x-y2x2+2×6=2·2x3x·2x-y2·6×2·6+2x·x6·x=4x-6y2+2x26x2;3x3x2-3y3x-9y93=9x-9yx-9yx29x23=9x(1-y-yx)9×23=1-y-yxx3..
4. Если выражение содержит несколько корней с одинаковыми или различными показателями корня, применяют свойства корней. Формула:xknm=xmnk;xm·xk=xm+k;xm÷xk=xm-k;xm·ym=xym;xm÷ym=xym.. Пример: 4×2+2xy6÷2xy-2×223=4×2+2xy6÷2xy-2×26=4×2+2xy2xy-2×26=2x·(2x+y)2x·(y-x)6=2x+yy-x6.
5. Внесение общего множителя под корень. При этом вносимый множитель возводят в степень, равную показателю корня. Формула: n·xm=nm·xm.Пример:x·4y2x2-3xx2+2yx2=x·4y-6x+4y2x2=x2·(8y-6x)2×2=2×2·(4y-3x)2×2=4y-3x.
6. Вынесение общего множителя из-под знака корня. При вынесении из множителя извлекают корень того же показателя, что и показатель общего выражения. Формула: n·xm=nm·xm. Пример: 4x2y+8x4y22x=4×2·(y+2x2y2)2x=4×2·y+2x2y22x=2x·y+2x2y22x=y+2x2y2.
7. Замена иррационального выражения на степенное выражение. При этом показатель корня заменяют дробным показателем степени и используют свойства степени. Способ удобен, когда в подкоренном выражении находится степенное выражение. Формула: xnm=xnm.Пример:(5×2-7xy3)43·(5×2-7xy3)106=(5×2-7xy3)43+106=(5×2-7xy3)186=(5×2-7xy3)3.

Примечание 

Отметим, что при решении задач чаще используют комплексный подход, когда последовательно применяются несколько правил преобразований иррациональных выражений.

Примеры решения задач

Упражнение 1

Не используя калькулятора, найдите значение выражения: (20-5)20.

Решение:

Сначала умножим разность на общий множитель, получим:

(20-5)20=20·20-5·20.

Воспользуемся свойством корней с одинаковым показателем:

20·20-5·20=20·20-5·20=400-100.

Подкоренные выражения представляют собой квадраты чисел 20 и 10, тогда:

400-100=20-10=10.

Ответ: 10.

Упражнение 2

Не используя калькулятор, вычислить значение выражения: (6·5)26.

Решение:

Выполним преобразование и найдем значения выражения:

(6·5)26=62·(5)26=6·512·2=6·5=30.

Ответ: 30.

Упражнение 3

Выполнить преобразование выражения: 2x+63+2xy+6y3(x+3)43·x+33.

Решение:

Выполним преобразование выражения:

2x+63+2xy+6y3(x+3)43·x+33=2(x+3)2+2y(x+3)3(x+3)43+13=(x+3)·(1+2y)3(x+3)53=x+33·1+2y3(x+3)53.

Далее воспользуемся свойствами степеней:

(x+3)13-53·1+2y3=1+y(x+3)43 .

Ответ: 1+y(x+3)43.

Упражнение 4

Преобразовать выражение: 2x·5y+3xy-y24x2+24x2y3.

Решение:

Внесем множитель 2x под корень и выполним дальнейшие преобразования:

2x·5y+3xy-y24x2+24x2y3=4×2·(5y+3xy-y2)4×2+24x2y3=4×2·(5y+3xy-y2)4×2(1+6y3)=5y+3xy-y21+6y3.

Ответ: 5y+3xy-y21+6y3.

Задания для самостоятельной работы

Для закрепления материала предлагаем самостоятельно решить представленные ниже задания. Для проверки в конце каждого задания даны ответы.

Задача 1

Вычислить значение выражения: (2+12)27+24.

Ответ: 2.

Задача 2

Упростите выражение: 16x4y2+32x5y+x242x8(x+y)48.

Ответ: 1.

Задача 3

Преобразовать выражение: x22+y2·5y+6x312x-8xy2x33.

Ответ: x2+2y218.

Использование свойств корней при преобразовании иррациональных выражений: примеры, решения

В данной статье мы рассмотрим часть материала на тему преобразования иррациональных выражений, подробно разобрав тонкости и нюансы преобразований, которые выполняются  на основе свойств корней.

Свойства корней

Вспомним основные свойства корней. Это поможет нам последовательно разбирать тему, не возвращаясь к предыдущим разделам.

Начнем с квадратных корней. Будем считать, что a, b, a1, a2, …, ak – это действительные числа.

a·b=a·b , где a≥0, b≥0. Оно распространяется на произведение kнеотрицательных множителей a1, a2, …, ak  как a1· a2· …·ak=a1·a2·…·ak ;

a:b=a:b  или в другой записи ab=ab , где a≥0, b>0;

a2=a  и его обобщение a2m=am , где a – любое действительное число, а m– натуральное (при этом число 2·m – четное).

Введем определение корня n-ой степени. Тут уже a, b, a1, a2, …, ak — действительные числа, m, n, n1, n2, …, nk — натуральные числа.

a·bn=an·bn , где a≥0, b≥0, его обобщение a1· a2· …·akn=a1n·a2n·…·akn , где a1≥0, a2≥0, …, ak≥0.

abn=anbn , где a≥0, b>0.

a2·m2·m=a, a2m-12m-1=a, где a – любое действительное число.

amn=an·m, …ankn2n1=an1·n2·…·nk , где a≥0.

amn·m=an , где a≥0.

amn=anm , где a≥0.

Преобразование выражений с числами под знаками корней

Обычно начинают изучение алгоритмов работы с числовыми выражениями. И уже только после этого переходят к работе с выражениями, содержащими переменные. Также построим наш материал и мы.

При указанных ограничениях на числа a, b и проч.  все перечисленные свойства корней представляют собой верные числовые равенства. Это значит, что если числа a, b и т.д. соответствуют перечисленным условиям, то значение выражения, которое записано в левой части равенства, равно значению выражения, размещенного в правой части.

Рассмотрим приведенный выше тезис на примере.

Пример 1

Выражение 4·9 , в котором числа 4 и 9 —  положительные, можно заменить произведением корней 4·9 согласно свойству корня, по которому произведение корня можно заменить произведением корней.

Проведем несложные расчеты для того, чтобы подтвердить истинность наших выводов:

  4·9=36=62=6  и 4·9=22·32=2·3=6.

Мы можем заменить иррациональное выражение 1+4·9 выражением 1+4·9 и наоборот.

Это значит, что при наличии в составе исходного выражения выражения, которое по виду совпадает с выражением из левой или правой частей любого из перечисленных свойств корней, то мы можем заменить его соответствующим выражением из левой или правой части. В этом и заключается смысл преобразования выражений с использованием свойств корней.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 2

Предположим, что нам нужно упростить выражение 3·5·7-3·5·7 .

Решение

Здесь числа 3, 5 и 7 положительные, что позволяет нам применять свойства корней без ограничений. Правильными будет несколько вариантов решений.

Корень 5·7  на базе свойства a·b=a·b  можно представить как 5·7 , а корень 3·5·7  с использованием свойства a1· a2· …·ak=a1·a2·…·ak  при 

k=3 — как 3·5·7 . В этом случае решение будет иметь такой вид:
3·5·7-3·5·7==3·5·7-3·5·7=0

Также можно заменить 5·7  на 5·7 , и дальше 3·5·7  на 3·5·7 , в этом случае решение будет выглядеть так:
3·5·7-3·5·7==3·5·7-3·5·7==3·5·7-3·5·7=0

Еще один вариант решения выглядит следующим образом:
3·5·7-3·5·7==3·5·7-3·5·7==3·5·7-3·5·7=0

Ответ: 3·5·7-3·5·7=0

Рассмотрим еще один пример.

Пример 3

Нам необходимо преобразовать выражение 52+(-2)2-42·2+(-3)2·3 .

Решение

Выберем из всего многообразия свойств корней нужные для решения. Их будет два: a2=a  и a2m=am , которые справедливы для любых значений a.

Решение будет иметь вид:

52+(-2)2-42·2+(-3)2·3==5+-2-42+(-3)3==5+-2-16+-27==5+2-16+27=18

Мы могли бы использовать здесь и свойства степеней для проведения преобразования выражения под знаками корней:

52+(-2)2-42·2+(-3)2·3==52+(-1)2·22-42·2+(-1)2·3·32·3==52+22-42·2+32·3
А уже дальше применять свойства корней:
52+22-42·2+32·3==5+2-42+33=5+2-16+27==5+2-16+27=18

Ответ: 52+(-2)2-42·2+(-3)2·3=18

С преобразованием выражений, которые содержат только квадратные корни, разобрались. Теперь разберемся с корнями, имеющими другие показатели.

Пример 4

Преобразуйте иррациональное выражение (-2)33·813·3646·3612 .

Решение

Для решения используем свойство  a2m-12m-1=a . Заменим первый множитель произведения -233 числом −2:

(-2)33·813·3646·3612==(-2)·813·3646·3612

Используя свойство  . ..ankn2n1=an1·n2·…·nk второй множитель 813 представим как 8112 . Заменим 81 четвертой степенью тройки, так как это же число фигурирует под знаками корней в остальных множителях:

(-2)·813·3646·3612==(-2)·8112·3646·3612==(-2)·3412·3646·3612

Заменим корень из дроби 3646 на отношение корней вида 36646 . Преобразуем полученное выражение 36646=36266=262 .

(-2)·3412·3646·3612==(-2)·3412·262·3612

Произведем действия с двойками и в результате получим: -3412·36·3612 . Осталось лишь преобразовать произведение корней.

Используем наименьшее общее кратное (НОК) для того, чтобы привести произведения корней к одному показателю. В нашем случае это 12, так как два корня имеют такой показатель, а корень 36 придется привести к этому показателю.

Используем равенство amn·m=an справа налево: 36=326·2=3212 . С учетом полученного результата:

-3412·36·3612==-3412·3212·3612

Заменим произведение корней на корень произведения и продолжим преобразования:

-3412·3212·3612==-34·32·3612=-31212=-3

Запишем краткий вариант решения:

(-2)33·813·3646·3612==(-2)·3412·362·3612==-3412·36·3612==-3412·3212·3612==-34·32·3612=-31212=-3

Ответ:  (-2)33·813·3646·3612=-3

Обращаем ваше внимание на то, что применение свойств корней требует учета ограничений, которые накладываются на числа под знаками корней (a≥0 и т. п.). Невнимание к ним может привести к ошибкам в вычислениях. Например, свойство amn·m=an  справедливо для неотрицательных a. Используя его, мы можем осуществить переход от 83  к  8618, так как 8 – положительное число. Если же взять имеющий смысл корень из отрицательного числа, к примеру, -83 , то, применив свойство, мы заменим его на -8618. Это будет такой же ошибкой, как если бы мы заменили −2 на 2.

Действительно, -83=-2 , а (-8)618=(-1)6·8618=8618=83=2. Получается, что при отрицательных a равенство amn·m=an может быть неверным.

Другие свойства корней точно также могут стать неверными, если применять их без учета оговоренных условий. Это вовсе не значит, что наличие отрицательного числа под знаком корня полностью исключает возможность проведения преобразований с использованием свойств корней. Это значит, что необходимо провести ряд предварительных действий с числами или воспользоваться правилом определения корня нечетной степени из отрицательного числа, которому соответствует равенство -a2·m+1=-a2·m+1 , в котором

− a – отрицательное число (при этом a – положительное).

Например, не получится заменить (-2)·-3 на -2·-3 , так как −2 и −3 – это два отрицательных числа. Мы можем провести предварительные действия: использовать правило умножения отрицательных чисел и перейти от корня (-2)·-3 к 2·3 .

Далее мы можем применить свойство корня из произведения: 2·3=2·3

Переходить от корня -83 к корню восемнадцатой степени, который мы проводили в одном из предыдущих примеров, неправильно делать так: -83=(-8)618. Лучше провести вычисления следующим образом: -83=-83=-8618.

Подведем промежуточные итоги:

Определение 1

Преобразование выражений с использованием свойств корней предполагает:

• выбор подходящего свойства из списка;
• учет имеющихся у подходящего свойства ограничений, уход от этих ограничений путем проведения промежуточных преобразований;
• проведение преобразований, требующихся по условию задачи.

Преобразование выражений с переменными под знаками корней

Иррациональные выражения, которые содержат под знаком корня числа и переменные, также можно преобразовывать, используя свойства корней. Однако делать это надо аккуратно, соблюдая все оговоренные условия для того, чтобы не допустить ошибок в вычислениях.

Например, используя формулу a·b=a·b , выражение x·x+1 можно записать как x·x+1 лишь в том случае, если значения

x удовлетворяют условиям x≥0 и x+1≥0, так как указанная формула задана для a≥0 и b≥0.

Что будет, если не уделять условиям должного внимания? Продемонстрируем на примере: нам нужно вычислить значение выражения x·(x+1)  при x=−2. Подставив в выражение значение переменной, получим (-2)·-2+1=2. Это правильная последовательность действий. А теперь представим, что мы поторопились применить свойства корней и привели выражение к виду x·x+1. Подставив значение переменной, получаем выражение, которое не имеет смысла -2·-2+1 .

Переход от выражения x·(x+1)  к выражению x·x+1 приводит к изменениям области допустимых значений переменной x (ОДЗ). ОДЗ можно использовать как инструмент контроля допустимости проведенных преобразований. Если ОДЗ после проделанных переходов изменилась, то это должно настораживать.

Найти ОДЗ просто. Для выражения x·(x+1) определить ОДЗ можно из неравенства x·(x+1)≥0. Решение неравенства дает нам числовое множество (−∞, −1]∪[0, +∞). Определить ОДЗ для выражения x·(x+1) можно через систему неравенств x≥0,x+1≥0. Получаем [0, +∞). Сравнив полученные ОДЗ мы можем сделать вывод о том, что произошло сужение ОДЗ.

Отсутствие изменения ОДЗ не является гарантом правильности полученного решения. Так, например, мы можем применить свойство amn·m=an для проведения замены x-726 на x-73 . ОДЗ после преобразований остается неизменной, но сама замена не может проводиться при x−7<0 (x<7). Если взять х=6, то значение выражения x-726 будет равно 1, а значение выражения x-726 будет равно -1. Причиной появления ошибки стало невнимательное отношение к условиям, при которых свойства корня могут применяться. Для формулы amn·m=an обязательным условием является a≥0.

Почему мы фокусируем ваше внимание на условиях, при которых допустимо применять свойства корней? В основном потому, что большинство школьных примеров область допустиых значений переменных для приведенных выражений такова, что можно пользоваться свойствами корней без ограничений.

Эти облегчает усвоение материала, однако одновременно приучает применять свойства корней бездумно, без учета ограничений. Это может подвести на ЕГЭ и прочих серьезных экзаменах, где всегда есть задачи «с подвохом».

 

Пример 5

Упростите выражения 1) x26·x53·x-1·x-15 , 2) (x+2)26·(x+2)53 .

Решение

Определим ОДЗ для переменной x, решив систему x2≥0x-1≥0. Получаем множество [1, +∞). Это позволяет нам сделать вывод, что при любом значении переменной x из [1, +∞) значения выражений x и x−1 положительные. Мы можем использовать свойства корней без ограничений.

x26·x53·x-1·x-15==x26·x106·x-1·x-15=x2·x106·(x-1)·(x-1)5==x126·(x-1)6=x2·(x-1)3

или

x26·x53·x-1·x-15==x3·x53·x-1·x-15==x·x53·(x-1)·(x-1)5==x63·(x-1)6=x2·x-13

ОДЗ переменной x для выражения (x+2)26·(x+2)53  есть множество всех действительных чисел. Для проведения преобразований оптимальным решением могло бы стать использование свойства amn·m=an , но оно дано для a≥0, а не для любого a.

Можем ли мы на базе указанного свойства провести преобразования?
(x+2)26·(x+)53=(x+2)26·(x+2)106==(x+2)2·(x+2)106=(x+2)126=(x+2)2

или

(x+2)26·(x+2)53=(x+2)26·(x+2)106==(x+2)·x+253=(x+2)63=x+22

При условии x+2≥0, что то же самое x≥−2, можем. А для остальных x из ОДЗ, то есть, для x<−2 это может привести к получению неверных результатов.

При x<−2, используя определение модуля числа, выражение x+2 запишем как −|x+2|:
(x+2)26·(x+2)53=-x+226·(-x+2)53==(-1)2·x+226·(-1)5·x+253==x+226·x+253=-x+226·x+253

Теперь мы можем преобразовать полученное выражение, воспользовавшись свойствами корней, так как значение выражения |x+2| неотрицательно при любых x. Получаем:

-x+226·x+253=-x+226·x+2106==-x+22·x+2106=-x+2126-x+22
или
-x+226·x+253=-x+23·x+253==-x+2·x+253=-x+263=-x+22

Раскрываем модуль с учетом того, что преобразования мыв проводили для x<−2: -x+22=-(-(x+2)2=-(-x-2)2 .

Ответ:

1) x26·x53·x-1·x-15=x2·(x-1)3 , 2) (x+2)26·(x+2)53=(x+2)2,x≥-2-(-x-2)2, x<-2

Пример 6

Упростите иррациональное выражение (x2-x-2)68 , представив его в виде корня четвертой степени.

Решение

ОДЗ переменной x состоит из всех действительных чисел. Используем свойство степени am·n=(am)n для того, чтобы записать выражение в виде ((x2-x-2)3)24·2 . Теперь мы можем продолжить преобразования, используя свойство корня amn·m=an , которое задано для неотрицательных a. Это значит, что преобразование ((x2-x-2)3)24·2=(x2-x-2)34 имеет место для всех значений переменной x, которые будут удовлетворять условию (x2−x−2)3≥0.

Решим записанное неравенство для того, чтобы найти множество значений переменной x, удовлетворяющих условию. Сначала перейдем к неравенству (x+1)3·(x−2)3≥0, затем применим метод интервалов и получим х∈(−∞, −1]∪[2, +∞).

При остальных x из ОДЗ, то есть, при x∈(−1, 2) значения выражения (x2−x−2)3 отрицательны, и само выражение можно представить как −|(x2−x−2)3|. Тогда при x∈(−1, 2) имеем

((x2-x-2)3)24·2=(-x2-x-2324·2==(-1)2·x2-x-2324·2=(x2-x-2)324·2==x2-x-234=-(x2-x-2)34

Итак,
(x2-x-2)68==(x2-x-2)34, x∈(-∞, 1]∪[2, +∞)-(x2-x-2)34, x∈-1, 2

Можно записать полученные результаты, записав их при помощи модуля: (x2-x-2)68=(x2-x-2)34 . Теперь, используя свойства модуля, можно переписать последнее выражение : (x2-x-2)34 .

Ответ: (x2-x-2)68=(x2-x-2)34

Использование модуля делает процесс вычислений достаточно трудоемким. Упростить процесс преобразований можно следующим образом: взять за основу свойства корней, предположить, что числа a и b могут принимать любые значение, не обязательно те, что удовлетворяют условиям задачи и провести рассуждения по аналогии с теми, которые провели мы в решении последней задачи. Полученные результаты позволят нам проводить вычисления намного быстрее.

Вспомогательные результаты

Оформим вспомогательные результаты в виде таблицы, в которой будет две колонки. Слева будут расположены выражения, которые требуется заменить, справа выражения, которыми можно заменить соответствующие выражения, расположенные в левой колонке. Эти замены можно производить при любых значениях переменных из области допустимых значений. Буквами A и B мы обозначили произвольные числа или выражения корня.

Выражения, которые заменяем	Выражения, на которые заменяем
A·Bn, n — нечетное A·Bn, n — четное	An·Bn An·Bn
An·Bn, n — любое натуральное	A·Bn
ABn, n — нечетное ABn, n — четное	AnBn AnBn
AnBn, n -любое натуральное	ABn
Ann, n — нечетное Ann, n -четное	A A
A, n — нечетное A, n — четное	AnnAnn, A≥0 *(см.сноску)-Ann<0 *см. сноску
Amn, m и n — любые натуральные	An·m
An·m, m и n — любые натуральные	Amn
Amn·m, m — нечетное n — натуральное Amn·m, m — четное n — натуральное	An An
An, m — нечетное n — натуральное           m — четное n — четное An,  m — четное n — нечетное	Amn·mAmn·m, A≥0 * (см. сноску)-Amn·m, A<0 * (см.сноску)
Amn, m — нечетное n — натуральное              m — четное n — четное Amn,  m — четное n — нечетное	Anm   Anm
Anm, m и n — любые натуральные	Amn
* A≥0 и A<0 следует понимать так: для всех значений переменных из ОДЗ для выражения из левой части, при которох значений вырожения A неотрицательны или отрицательны соответственно.

Первые результаты этой таблицы можно применить относительно произведений трех, четырех и т.д. множителей, которые находятся под знаком корня. Например, при нечетных nкорень  A1·A2·…·Akn  можно заменить произведением A1n·A2n·…·Akn, а при четных n – произведением A1n·A2n·…·Akn .

Используя данные таблицы корень x·(x+1)  на ОДЗ переменной x сразу можно записать как произведение корней вида x·x+1.

Точно также, на ОДЗ переменной x выражение x-3x-54 можно записать в виде дроби x-24x-54 .

Вот еще несколько примеров: x-2=(x-2)44, x≥2-(x-2)44, x<2, 1-(x2-5)612=1-x2-5  и 5·x24=5·x42 .

Используя результаты, размещенные в таблице, решим пример последней задачи еще раз:

 

(x2-x-2)68=((x2-x-2)3)24·2==x2-x-234=x2-x-234

Посмотрим, как мы получили результат так быстро. При нечетных n выражение A·Bn  на всей ОДЗ переменных можно записать как An·Bn , а при четных n – как An·Bn .

Доказательство 1

Приведем доказательства: при нечетных n для любого набора значений переменных из ОДЗ для исходного выражения A·Bn  значения выражений A и B таковы, что:

• либо они оба неотрицательны,
• либо первое неотрицательно, а второе отрицательно,
• либо первое отрицательно, а второе неотрицательно,
• либо они оба отрицательны.

Используя свойство корней a·b=a·b , которое верно при  a≥0, b≥0, мы можем сделать вывод, что A·Bn=An·Bn.

Во втором случае мы можем провести следующие преобразования:

A·Bn=A·(-B)n=-A·Bn==-An·Bn=-An·-Bn==-An·-Bn=An·Bn

В третьем случае, аналогично,

A·Bn=-A·Bn=-A·Bn==-An·Bn=—An·Bn==—An·Bn=An·Bn

И в четвертом случае имеем:

A·Bn=-A·-Bn=A·Bn==An·Bn=-An·-Bn==-An·+Bn=An·Bn

Так мы доказали, что при нечетных n на ОДЗ переменных для выражения A·Bn  это выражение можно заменить на An·Bn.

Докажем справедливость второй части утверждения.

Доказательство 2

При четных n при любом наборе значений переменных из ОДЗ переменных для выражения A·Bn  значение выражения A·B неотрицательно. Поэтому A·Bn  можно записать как A·Bn, а так как модуль произведения равен произведению модулей, то последнее выражение можно переписать в виде A·Bn , откуда в силу свойства корней имеем An·Bn . Что и требовалось доказать.

Для примера возьмем иррациональное выражение x·(x-1)3 . Область допустимых значений переменной x для этого выражения является множество всех действительных чисел. Используя утверждение, которое мы доказали выше, мы можем заменить выражение x·(x-1)3 выражением x3·x-13 на множестве R. Корень (x+3)·(x-5)6 запишем в виде произведения корней x+36·x-56 на области допустимых значений переменной x для исходного выражения, т.е. на множестве (−∞, −3]∪[5, +∞).

Как еще мы можем удостовериться в правильности полученных результатов?

Доказательство 3

Можно доказать, что при четных m и любых натуральных n на ОДЗ переменных для выражения Amn·m  его можно заменить на An . Для тех значений переменных из ОДЗ, при которых значения выражения A неотрицательны, выражение Amn·m можно переписать в виде Amn·m  и дальше в силу свойств модуля как Amn·m . А по свойству корней amn·m=an , где a≥0, имеет место равенство Amn·m=An .

А для тех значений переменных, при которых значения выражения A отрицательны, выражение Amn·m  можно переписать как -Amn·m . Дальше имеют место такие переходы: -Amn·m=-1m·Amn·m=Amn·m=An . Первый из них возможен в силу свойств степени, второй – в силу того, что m – четное, а третий – в силу свойства корней amn·m=an , где a≥0. На этом доказательство завершено.

Аналогично обосновываются и остальные результаты из таблицы.

Рациональный или иррациональный калькулятор — Онлайн рациональный или иррациональный калькулятор

Слово « рациональное » происходит от «отношения», которое представляет собой сравнение двух или более значений, также известное как дробь.

Что такое рациональный или иррациональный калькулятор?

‘ Рациональный или иррациональный калькулятор ‘ — это онлайн-инструмент, который помогает проверить, является ли заданное число рациональным или иррациональным. Онлайн рациональный или иррациональный калькулятор поможет вам за несколько секунд проверить, является ли заданное число рациональным или иррациональным.

Рациональный или иррациональный калькулятор

ПРИМЕЧАНИЕ.  Введите натуральные числа «а» и значения, содержащие только четыре цифры.

Как использовать рациональный или иррациональный калькулятор?

Чтобы использовать калькулятор, выполните следующие действия:

• Шаг 1: Введите значения «a» и «x» в соответствующие поля ввода.
• Шаг 2: Нажмите кнопку «Проверить» , чтобы проверить, является ли заданное число рациональным или иррациональным.
• Шаг 3:  Нажмите кнопку «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести новые значения.

Как определить, является ли значение рациональным или иррациональным?

Рациональное число  – это число в форме p/q, где p и q – целые числа, а q не равно 0. Например, 6/2, 15/3,…

Иррациональные числа — это те действительные числа, которые нельзя представить в виде отношения p/q. Другими словами, те действительные числа, которые не являются рациональными числами, известны как иррациональные числа. Например π, e, √13,…

Проверить, является ли выражение a ^1/x рациональным или иррациональным.

Давайте посмотрим на пример, чтобы кратко понять.

Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Запись на бесплатный пробный урок

Решенные примеры на Rational or Irrational Calculator

Пример 1:

Проверьте 25 ^1/2  рационально или иррационально и проверьте это с помощью онлайн-калькулятора рациональности или иррациональности.

Решение:

Дано: Выражение: 25 ^1/2

A = 25 и x = 2

= (5 ² ) ^1/2

= 5/1, что рационально

Пример 2:

Проверьте 5 ^1/2  рационально или иррационально и проверьте это с помощью онлайн-калькулятора рациональности или иррациональности.

Решение:

Дано: Выражение: 5 ^1/2

a = 5 и x = 1

= (5) ^1/2

= √5, который является Irration

Пример 3:

Проверьте 64 ^1/3  рационально или иррационально и проверьте это с помощью онлайн-калькулятора рациональности или иррациональности.

Решение:

Дано:   Выражение: 64 ^1/3

a = 64 и x = 3

= (4 ³ ) ^1/3

= 4, что является рациональным

Точно так же вы можете воспользоваться онлайн-калькулятором рациональных или иррациональных чисел, чтобы проверить, является ли данное число рациональным или иррациональным:

• 52

  1/3

• 100 ^1/2

☛ Статьи по теме:

• Рациональные числа
• Иррациональные числа

☛ Математические калькуляторы:

Рациональный или иррациональный калькулятор — классификация действительных чисел

Используйте этот бесплатный онлайн-рациональный или иррациональный калькулятор, чтобы узнать, является ли введенное значение рациональным или иррациональным, применяя определенную операцию. Далее обсудим рациональные и иррациональные терминологии.

Сосредоточься!

Что такое рациональные и иррациональные числа?

Давайте посмотрим на делимые и неделимые числа ниже:

Рациональные числа:

Любое число, которое легко записать в виде p/q, где p, q — любые целые числа, а q не равно нулю (q ≠ 0).

Например:

2, 2/4, 7/7, \(\sqrt{4}\) и 4/2 считаются рациональными числами, и их также можно проверить с помощью этого бесплатного калькулятора рациональных чисел. .

Идентификация рациональных чисел:

• Каждое целое число является рациональным. Это потому, что мы можем рассматривать 1 в знаменателе, который принимает вид p/q
• Когда дело доходит до корня, то число, чей полный корень возможен, считается рациональным числом

Бесплатная программа проверки рациональных чисел мгновенно позволяет узнать, является ли введенное вами число рациональным или нет. Как это звучит?

Типы рациональных чисел:

Рациональные числа бывают двух типов, которые перечислены ниже:

Завершающие рациональные числа:

Если количество цифр после запятой конечно, то это называется завершающим рациональным числом.

Например:

1/4 = 0,25,

2/4 = 0,5 и

2/7 = 0,2857142857

Все выше Вы также можете пройти проверку, полагаясь на наш лучший рациональный или иррациональный калькулятор.

Повторяющиеся рациональные числа:

Числа, которые не заканчиваются, но содержат одно число или группу чисел, которые продолжают повторяться снова и снова в течение неопределенного времени, являются повторяющимися рациональными числами.

Например:

4/9 = 0,4444444444…

4/9 = 0,4

В следующей таблице показаны различные рациональные числа, которые часто используются в расчетах:

	52525252525252. номер	Да
составляет 3/5 рационального или иррационального числа	Рационал
6,7234724 иррационально	Да
равно 3,587 рациональному или иррациональному числу	Рационал
равно 2,72135 рациональному или иррациональному	Рационал
3,587 рациональный или иррациональный	Рационал
равно 0,684 рациональному числу	Да
это 3,587 рациональное число	Да
равно 0,1875 рациональному числу	Да
Является ли 74,721 рациональным числом?	Да
Является ли 1,345 рациональным числом?	Да
равно 6,5 рационально или иррационально	Рационал
это 21,989 иррациональное число	Да
Является ли 3,444 рациональным числом?	Да
Является ли 2,3333 рациональным числом?	Да
Является ли 5 ​​рациональным числом	Да
Является ли 2 рациональным числом	Да
1/2 рационального числа	Да
5/2 рационально или иррационально	Рационал
Является ли 4,567 рациональным числом?	Да

 

Иррациональные числа:

Числа, которые никогда нельзя записать в виде p/q, называются иррациональными числами. Вы можете узнать, является ли число иррациональным или нет, используя калькулятор рациональных и иррациональных чисел за доли секунд.

Например:

22/7, \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) и \(\sqrt{10}\) — иррациональные числа.

Идентификация иррациональных чисел:

• Числа, под корнем которых не получается полный квадрат, являются иррациональными числами
• \(\pi\) является иррациональным числом
• Иррациональные числа не заканчиваются и не повторяются

Все вышеперечисленные условия также выполняются нашим лучшим калькулятором иррациональных чисел для определения точного вывода по любому числу.

Особое условие:

Если в знаменателе стоит ноль, то это число не является ни рациональным, ни иррациональным. Даже наш бесплатный онлайн-рациональный или иррациональный калькулятор также отвергает такой ввод, поскольку он противоречит законам математики.

Правила рациональных и иррациональных чисел:

Следующие правила применяются к рациональным и иррациональным числам, как определено ниже:

Сложение:

• Если вы сложите два рациональных числа, вы всегда получите рациональное число
• Если сложить два иррациональных числа, результатом может быть, а может и не быть иррациональное число

Умножение:

• Умножение двух рациональных чисел всегда является рациональным числом
• Если умножить два иррациональных числа, полученное число может быть иррациональным, а может и не быть

Как определить рациональные и иррациональные числа?

Давайте разберем пару примеров, чтобы понять математику рациональных и иррациональных чисел. Давайте идти! 9{2}} $$

$$ 2\sqrt{2} $$

Так как квадратный корень из 2 иррационален, то и все число тоже станет иррациональным. В случае каких-либо сомнений пусть развеет их бесплатный рациональный иррациональный калькулятор.

Пример № 02:
Является ли данное число рациональным или иррациональным?
$$ 0/456676 $$

Решение:
Поскольку данное число представлено в виде p/q, его можно рассматривать как рациональное число. Например, вы также можете запустить наш бесплатный калькулятор набора чисел, который также подтвердит этот ответ.

Как работает рациональный или иррациональный калькулятор?

Пусть этот бесплатный калькулятор действительных чисел определит, являются ли введенные действительные числа рациональными или иррациональными. Хотите знать, как это работает? Давайте двигаться вперед!

Ввод:

• В первом раскрывающемся списке выберите операцию, которую вы хотите применить к номеру
.
• После этого введите цифры в предназначенные для них поля
• Теперь нажмите кнопку расчета

Выход:

• Бесплатный рациональный и иррациональный калькулятор отображает, если:
• Данное число является рациональным
• Данное число иррационально

Часто задаваемые вопросы:

Какой простой прием позволяет определить рациональное число между двумя рациональными числами?

Самый простой способ найти рациональное число между любыми двумя рациональными числами — это разделить сумму обоих чисел на 2. Наконец, вы можете проверить ответ с помощью нашего бесплатного онлайн-калькулятора рациональных или иррациональных чисел.

Какие два рациональных числа находятся между 4 и 5?

Данные числа можно записать как 4/1 и 5/1.
Теперь у нас есть:
4/1 * 10/10 = 40/10
5/1 * 10/10 = 50/10
Итак, теперь у нас есть два следующих числа:
40/10, 41/10, 42/10, 50/10

Вышеуказанные два числа, выделенные жирным шрифтом, являются двумя рациональными числами между 4 и 5.