Параллельное проецирование и площадь проекции фигуры
В задачах по геометрии успех зависит не только от знания теории, но и от качественного чертежа.
С плоскими чертежами все более-менее понятно. А в стереометрии дело обстоит сложнее. Ведь изобразить надо трехмерное тело на плоском чертеже, причем так, чтобы и вы сами, и тот, кто смотрит на ваш чертеж, увидели бы то же самое объемное тело.
Как это сделать?
Конечно, любое изображение объемного тела на плоскости будет условным. Однако существует определенный набор правил. Существует общепринятый способ построения чертежей — параллельное проецирование.
Возьмем объемное тело.
Выберем плоскость проекции.
Через каждую точку объемного тела проведем прямые, параллельные друг другу и пересекающие плоскость проекции под каким-либо углом. Каждая из этих прямых пересекает плоскость проекции в какой-либо точке. А все вместе эти точки образуют проекцию объемного тела на плоскость, то есть его плоское изображение.
Как строить проекции объемных тел?
Представьте, что у вас есть каркас объемного тела — призмы, пирамиды или цилиндра. Освещая его параллельным пучком света, получаем изображение — тень на стене или на экране. Заметим, что в разных ракурсах получаются разные изображения, но некоторые закономерности все же присутствуют:
Проекцией отрезка будет отрезок.
Конечно, если отрезок перпендикулярен плоскости проекции — он отобразится в одну точку.
Проекцией круга в общем случае окажется эллипс.
Проекцией прямоугольника — параллелограмм.
Вот как выглядит проекция куба на плоскость:
Здесь передняя и задняя грани параллельны плоскости проекции
Можно сделать по-другому:
Какой бы ракурс мы ни выбрали, проекциями параллельных отрезков на чертеже тоже будут параллельные отрезки. Это один из принципов параллельного проецирования.
Рисуем проекции пирамиды,
цилиндра:
и шара:
Еще раз повторим основной принцип параллельного проецирования.
Выбираем плоскость проекции и через каждую точку объемного тела проводим параллельные друг другу прямые. Эти прямые пересекают плоскость проекции под каким-либо углом. Если этот угол равен 90° — речь идет о прямоугольном проецировании. С помощью прямоугольного проецирования строятся чертежи объемных деталей в технике. В этом случае мы говорим о виде сверху, виде спереди и виде сбоку.
Иногда в задачах требуется найти площадь прямоугольной проекции фигуры.
Пусть S — площадь фигуры. Тогда площадь ее прямоугольной проекции равна S cosφ, где φ — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.
В следующей статье рассказано, как выбрать наиболее удачный ракурс для построения чертежей в задачах по стереометрии, а также о распространенных ошибках, которые могут помешать решению.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Параллельное проецирование. Площадь проекции фигуры» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 09.03.2023
Чертежи деталей в изометрии в AutoCAD
- Пресс-центр /
- Блог
Часто на чертежах необходимо нанести изометрическую проекцию детали или сборки. Чертежи в изометрии позволяют представить задумку конструктора не в виде плоских ортогональных проекций на соответствующие плоскости, а в виде объемного изображения. Изометрические виды повышают наглядность чертежей, облегчают их чтение и интерпретацию.
Ручное построение изометрических проекций подразумевает создание множества предварительных вспомогательных построений, особенно в случае с построением окружностей.
В современных версиях AutoCAD есть все необходимые инструменты для автоматизированного выполнения чертежей деталей и сборок в изометрии, при этом нет необходимости вспоминать курс начертательной геометрии и предварительно строить вспомогательные объекты.
Так как же выполнить чертежи деталей в изометрии в AutoCAD? Очень просто! Нужно лишь воспользоваться специальными инструментами.
Для включения режима изометрии нажмите на кнопку «Изометрическое проектирование» на статусной строке или введите команду ИЗООРТО.
ВАЖНО! Если кнопки «Изометрическое проектирование» нет, то нажмите на изображение трех горизонтальных линий в самом конце статусной строки и отметьте одноименный пункт.
После этого курсор в пространстве модели становится красно-зеленым и приобретает ориентацию одной из плоскостей изометрии.
Для переключения между плоскостями изометрии раскройте список «Изометрическое проектирование» и выберите нужную, также переключаться между плоскостями можно с помощью клавиши F5. Плоскости «Слева» (профильная плоскость проекций), «Сверху» (горизонтальная плоскость проекций) и «Справа» (фронтальная плоскость проекций) переключаются циклически.
Например, чтобы нарисовать прямоугольник на горизонтальной плоскости проекций, включите плоскость «Сверху», запустите команду «Отрезок» или «Полилиния» и с помощью привычных способов построения создайте необходимый элемент.
Обратите внимание, что после активации режима изометрического проектирования автоматически устанавливается шаг полярного отслеживания равный 30 градусам, что позволяет создавать чертежи в изометрии. Также, изменяются и углы объектного отслеживания.
Для того, чтобы отрисовать окружность в изометрии нет необходимости создавать дополнительные вспомогательные построения, нужно воспользоваться командой «Эллипс» с опцией «Изокруг».
Запустите команду «Эллипс» и выберите опцию «Изокруг», после чего укажите центр окружности и введите радиус или диаметр окружности. Обратите внимание, что в процессе создания окружности вы можете менять плоскость построений нажатием клавиши F5.
AutoCAD позволяет на одном чертеже создавать как ортогональные, так и изометрические проекции, вы в любой момент можете переключаться между разными способами построений и работать над разными частями чертежа.
Опубликовано 04 Октября 2017
Эти 5 инструментов позволят вам освоить картографические проекции
Понять и выбрать правильную картографическую проекцию может быть сложно.
Для GeoGeeks больно видеть бессознательное чрезмерное использование Меркатора. Если вы хотите что-то изменить, начните с себя. Этот набор инструментов позволит вам освоить картографические проекции, их характеристики, сравнить их и выбрать подходящую для вашего проекта.
Для начала важно полностью понять масштаб проблемы, связанной с неосознанным использованием проекции Меркатора. Этот инструмент под названием «Истинный размер» позволяет сравнивать размеры стран, позволяя перемещать их фигуры по карте. В приведенном ниже примере вы можете увидеть, как размер и форма США меняются, когда они находятся вблизи экватора и полюса.
2. Понимание искажений с лицами Гедымина Мое любимое изображение, описывающее картографические проекции, взято из книги «Элементы картографической проекции с приложениями для построения карт и диаграмм», написанной в 1921 году Чарльзом Дитцем.
Аналогичная концепция была развита в 1950-х годах советским картографом по имени Гедымин, который разработал еще больший набор головок, используемых для простого для понимания отображения искажений, вызванных картографическими проекциями.Нинчуань Сяо из Университета штата Огайо применил эту технику в этом удивительном инструменте, где вы можете проиллюстрировать искажения, используя как индикатрису Тиссо, так и лица Гедымина.
3. Анализ ключевых характеристик каждого основного прогнозаЕще один замечательный инструмент позволяет вам понять детали некоторых ключевых прогнозов. Каждая из проекций описывается именем и парой параметров:
- Согл. 40° 150%
- Масштаб – Средневзвешенная ошибка общего искажения масштаба.
- Площадная – Средневзвешенная ошибка для искажения площади.
- Угловой – Индекс средней угловой деформации.
В прочем, чтобы его получить, взгляните на Меркатора. Можно легко сказать, что это конформная проекция (с сохранением углов), так как индекс угловой деформации равен нулю (а масштабная и площадная деформации максимальны).
4. Сравните более 200 проекций Этот веб-сайт, вероятно, является самым большим хранилищем знаний о картографической проекции, которое вы когда-либо видели. Он содержит более 200 проекций и позволяет легко их сравнивать.
После выбора проекций их можно наложить друг на друга:
и сравните искажения индикатрисы их Tissot:
5. Найдите лучший прогноз для вашей цели и географического положения Наконец, существует инструмент под названием Projection Wizzard , который помогает картографам выбирать подходящую проекцию для своей карты.
В зависимости от экстента и свойства искажения карты приложение возвращает список соответствующих картографических проекций с дополнительными параметрами проекций, если это необходимо.
Географические и проекционные системы координат
Когда вы пытаетесь выбрать систему координат для своей карты, вас иногда смущают варианты?
В чем разница между географической системой координат (ГСК) и системой координат проекции (ПКС)?
Вот краткий ответ:
- GCS определяет , где
- PCS сообщает данным , как рисовать на плоской поверхности, например, на бумажной карте или экране компьютера.
- ГСК имеет круглую форму, поэтому координаты записываются в угловых единицах (обычно в градусах). PCS плоская, поэтому она записывает местоположения в линейных единицах (обычно в метрах).
Где: Системы географических координат
Вы являетесь частью поисково-спасательной группы, разыскивающей раненого в австралийской глубинке.
Местоположение точки, которое вы получили от ее спутникового телефона, — 134,577° в.д., 24,006° ю.ш. Где она находится?
Оба местоположения A и B на изображении выше верны. A — это 134,577° в.0089). Не зная, в какой GCS находятся данные, вы не знаете, находится ли турист на вершине плато или упал со скалы.
Географическая система координат (ГСК) используется для определения местоположения на модели поверхности земли. GCS использует сеть воображаемых линий (долгота и широта) для определения местоположения. Эта сеть называется сеткой.
Так почему же недостаточно знать широту и долготу места, чтобы знать, где оно находится? Как могут оба местоположения A и B в примере с Австралией быть правильными?
Оказывается, Земля не идеальная сфера. Это бугристая, ухабистая и неровная округлая поверхность. Есть высокие горы и глубокие океанские впадины. Поскольку планета вращается, полюса находятся немного ближе к центру Земли, чем экватор. Но для того, чтобы нарисовать масштабную сетку, вам нужна модель земли, представляющая собой хотя бы правильный сфероид, если не идеальную сферу.
Существует много разных моделей земной поверхности, а значит и много разных ГСК! Всемирная геодезическая система 1984 (WGS 1984) разработан как универсальный GCS, подходящий для картирования глобальных данных. Australian Geodetic Datum 1984 спроектирован так, чтобы плотно прилегать к земле вокруг Австралии, обеспечивая хорошую точность для этого континента, но плохую точность в других местах.
GCS — это то, что связывает значения ваших координат с реальным местоположением на Земле. Координаты 134,577° в. д., 24,006° ю. ш. говорят только о том, где находится место в географической системе координат . Вам все еще нужно знать, в какой GCS он находится, прежде чем вы узнаете, где он находится на Земле.
Как: проекционные системы координат
Когда ваши данные знают , где рисовать, они должны знать как . Земная поверхность и ваша ГСК круглые, но ваша карта и экран вашего компьютера плоские. Это проблема. Вы не можете нарисовать круглую землю на плоской поверхности, не деформируя ее.
Представьте, что вы чистите апельсин и пытаетесь положить кожуру на стол. Подобраться можно, но только если начнешь рвать кожуру на части. Вот где картографических проекций приходят на помощь. Они рассказывают вам, как исказить землю — как разорвать и растянуть апельсиновую корку — так, чтобы наиболее важные части вашей карты искажались меньше всего и лучше всего отображались на плоской поверхности. карты.
Возможно, вы уже знаете, что существует множество различных картографических проекций, каждая из которых отображает землю по-своему. Одни хороши для сохранения областей на карте, другие — для сохранения углов или расстояний.
Система координат проекции (PCS) представляет собой GCS, сглаженную с помощью картографической проекции.
Ваши данные должны иметь GCS, прежде чем они будут знать, где они находятся на Земле. Проецирование ваших данных не является обязательным, но проецирование вашей карты — нет.
Карты плоские, поэтому ваша карта должен иметь PCS, чтобы уметь рисовать.
Теперь давайте посмотрим, как устроены эти системы координат (географические и проекционные).
Построение системы координат
В ArcGIS Pro вы можете просмотреть детали любой системы координат в окне Свойства карты на вкладке Системы координат . Щелкните зеленую ссылку Details .
На изображении ниже показана страница Details для Фуллер (мир) система координат:
- Первая строка говорит вам, что это проекционная система координат , а не GCS.
- PCS по определению использует Projection . Вторая строка говорит вам, что этот PCS использует проекцию Фуллера , которая была изобретена Бакминстером Фуллером в 1954 году.
- WKID — это уникальный идентификационный номер для PCS, определенный его органом .
- Координаты в PCS записываются в линейной единице , часто в метрах.
- False Easting , False Northing и Option являются параметрами, характерными для проекции Фуллера. Другие проекции имеют такие параметры, как центральный меридиан, стандартная параллель и исходная широта. Часто вы можете изменить эти параметры, чтобы центрировать PCS в определенном месте. Ниже приведены два разных PCS: Hawaii Albers Equal Area Conic и Canada Albers Equal Area Conic. Оба они используют одну и ту же проекцию , но разные параметры проекции.
- PCS также содержит географическую систему координат ! В данном случае это WGS 1984.
Помните, что PCS — это всего лишь спроецированная GCS. Давайте посмотрим на свойства географической системы координат WGS 1984:
- Она также имеет WKID (и Authority ).
- Координаты в GCS записываются в формате Угловая единица , обычно градусы.
- Начальный меридиан — это произвольная линия долготы, которая определяется как 0°. Обычно он проходит через Гринвич, Англия, но это не обязательно.
- Datum определяет, какая модель используется для представления земной поверхности и где эта модель расположена относительно поверхности.
- Сфероид — это обычная модель неправильной земли. Это часть данных. Большая полуось , Малая полуось и Обратное сглаживание определяют размер сфероида.
Но подождите!
Нельзя ли для нашей карты выбрать GCS вместо PCS? До этого я делал карты в WGS 1984 и они нормально рисовали, не так ли?
Давайте попробуем.
В Свойствах карты разверните список Географическая система координат и выберите любую.
Нажмите ОК .
Ваша карта будет выглядеть так, независимо от того, какой GCS вы выбрали:
Помните, что невозможно нарисовать круглую землю на плоской поверхности без проекции. Поэтому, когда вы говорите ArcGIS создать плоскую карту с помощью GCS, она вынуждена выбрать проекцию! Поэтому он рисует с использованием псевдопроекции Пластины Карре. Это просто широта и долгота, представленные в виде простой сетки квадратов. Он называется псевдо, потому что измеряется в угловых единицах (градусах), а не в линейных единицах (метрах). Эту проекцию легко понять и легко вычислить, но она также искажает все площади, углы и расстояния, поэтому использовать ее для анализа и измерения бессмысленно. Вам следует выбрать другой ПК.
Сводка:
- Вы можете хранить свои данные в GCS. Но на плоской карте без ПКС не нарисуешь.
- GCS сообщает вашим данным, где рисовать. PCS сообщает карте, как растянуть GCS.
- Какой GCS вы выберете, зависит от того, где вы составляете карту.
- Какой PCS вы используете, зависит от того, где вы составляете карту, а также от характера вашей карты — например, следует ли искажать площадь, чтобы сохранить углы, или наоборот?
В большинстве случаев вам не нужно выбирать GCS. Ваши данные уже были сохранены в одном, и вы должны просто придерживаться этого. Но часто вам нужно выбрать PCS. Прочтите урок «Выберите правильную проекцию», чтобы узнать, как выбрать правильную проекцию.
Существует множество других ресурсов, которые помогают объяснять системы координат более подробно и по-разному. Если вы хотите узнать больше, попробуйте некоторые из них:
- Системы координат, проекции и преобразования
- Основы картографических проекций
- Картографические проекции в ArcGIS
Вы также можете прочитать другие статьи о системах координат, которые я написал:
- Системы координат: в чем разница?
- Проекция на лету и географические преобразования
- Определить проекцию или проект?
- Предупреждение о трансформации: что это значит и что делать?
Тканевый глобус.