Интегрирование дробей
Рациональной дробью называется дробь P(x)/Q(x), числитель P(x) и знаменатель Q(x) которой – многочлены. Рациональные дроби бывают неправильные, если степень многочлена в её числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, и правильные, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе.
У любой неправильной дроби можно выделить её целую часть. Для этого следует по правилу деления многочленов разделить числитель на знаменатель. Поэтому любую неправильную дробь можно представить в виде суммы её целой части и некоторой правильной дроби.
Например, неправильную дробь
можно представить в виде
Таким образом, если необходимо проинтегрировать неправильную дробь, то, представив её в виде суммы многочлена и правильной дроби, с помощью метода разложения сведём решение к интегрированию правильной дроби.
Подготовиться к интегрированию дробей самостоятельно, а затем посмотреть ответ.
Пример 0. Представить в виде суммы многочлена и правильной дроби следующие дроби:
1) ;
2) .
Посмотреть ответ.
Ограничимся интегрированием лишь правильных рациональных дробей, знаменателями которых являются многочлены первой и второй степени. В общем виде интегралы от таких дробей записываются следующим образом:
(1)
(2)
При интегрировании дробей можно использовать следующую формулу, получаемую с помощью метода замены переменной:
(3)
Кроме того, на нашем сайте есть материал Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов
.Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться калькулятором неопределённых интегралов онлайн.
Пример 1. Найти интеграл дроби
Подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью. Используя приведённое выше её представление в виде суммы многочлена и правильной дроби, а также формулу (3), последовательно получим
Любой интеграл вида (2) сводится к нахождению одного или двух следующих интегралов:
(4)
Поэтому рассмотрим эти интегралы. Первый из них находится по формуле (3) при a = 1.
А теперь формулы для вычисления остальных приведённых интегралов.
(6)
(7)
(8)
(9)
Формулы (5)-(9) можно условно считать табличными интегралами. С их помощью можно найти любой интеграл вида (2).
Предварительно такой интеграл приводят к интегралам группы (4).
Для этого в знаменателе подынтегральной функции выделяют полный квадрат (это делается при помощи формул
сокращённого умножения и ) и представляют его в одном из следующих видов:
или
где m > 0 и n > 0.
В первых двух случаях замена переменной
в третьем непосредственное применение метода разложения приведёт к одному или двум интегралам группы (4).
Пример 2. Найти интеграл дробиРешение. Результат применения формулы (5) при a = 8:
Пример 3. Найти интеграл дроби
Решение. Выделим в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат:
а затем произведём замену переменной t = x + 3
(тогда dt = dx).
В результате этого:
,
то есть получили табличный интеграл. Применяем формулу 5):
,
откуда, возвращаясь к старой переменной, окончательно получим
.
Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
Пример 4. Найти интеграл дроби
Решение. Выделяя в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат, получаем
Произведём теперь замену переменной t = x — 3 (или x = t + 3; тогда dx = dt). Поэтому
Результат применения формул (8) и (5) при a = 1:
Возвращаясь к «старой» переменной, окончательно получим
.
Пример 5. Найти интеграл дроби
Решение. Знаменатель представляет собой полный квадрат разности:
.
Поэтому
.
Применяя далее формулы (7) и (6), найдём
Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться калькулятором неопределённых интегралов онлайн.
Пример 6. Найти интеграл дроби
.
Решение. Выделим в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат:
Произведём замену переменной t = x — 4 (или x = t + 4; тогда dx = dt):
Результат применения форумул (8) и (9):
.
Возвращаясь к «старой» переменной, окончательно получим
.
| Назад | Листать | Вперёд>>> |
К началу страницы
Пройти тест по теме Интеграл
Начало темы «Интеграл»
Неопределённый интеграл: основные понятия, свойства, таблица неопределённых интегралов
Найти неопределённый интеграл: начала начал, примеры решений
Метод замены переменной в неопределённом интеграле
Интегрирование подведением под знак дифференциала
Метод интегрирования по частям
Продолжение темы «Интеграл»
Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определённый интеграл
Несобственные интегралы
Площадь плоской фигуры с помощью интеграла
Объём тела вращения с помощью интеграла
Вычисление двойных интегралов
Длина дуги кривой с помощью интеграла
Площадь поверхности вращения с помощью интеграла
Определение работы силы с помощью интеграла
Anaheim Math Tutor Советы: Решайте дроби с помощью простого калькулятора
Anaheim Math Tutoring: Решайте дроби даже с помощью простейшего калькулятора! Даже если у вас нет доступа к графическому или научному калькулятору, вы все равно можете проверять дроби с помощью гораздо более простого калькулятора.
Это может быть актуально, если вы используете свой телефон, проходите тест, в котором ваш учитель предоставляет только простые калькуляторы, или проходите стандартизированный онлайн-тест, такой как GRE, где у вас есть только простой калькулятор на экране.
Многие учащиеся не осознают, что с помощью таких калькуляторов все еще можно работать с дробями. Это правда, что дроби, скорее всего, не так просто использовать в этих вариантах, и есть большая вероятность, что вам придется выполнить некоторые расчеты вручную. Тем не менее, они по-прежнему являются ценным инструментом для проверки ваших ответов и решения некоторых задач на дроби. Сначала давайте покажем несколько примеров простых калькуляторов, а затем поработаем с примерами того, как использовать с ними дроби (закажите репетитора по математике на дому в Анахайме сегодня).
Простой калькулятор марки Casio с небольшими дополнительными функциями, кроме сложения, вычитания, умножения и деления, но с дополнительными функциями, связанными с финансами.
Калькулятор марки Karuida, похожий на Casio, который также очень распространен.
Пример простого телефонного калькулятора. Многие телефоны также могут иметь больше параметров калькулятора в своих стандартных приложениях (а также возможность загружать различные приложения-калькуляторы с большей функциональностью), но это пример нескольких вариантов, которые могут быть легко представлены.
Это пример экранного калькулятора, который вы можете использовать для компьютерного теста. В частности, это текущий калькулятор, доступный на GRE.
Теперь мы можем попрактиковаться на некоторых примерах работы с дробями, используя эти типы калькуляторов. Во-первых, самый важный факт, который нужно знать, это то, что функция деления — это то, как мы можем получить доступ к дробям. Знак деления выполняет ту же основную функцию, что и дробная черта, то есть, чтобы получить 3/5, нужно ввести 3 ÷ 5. Однако важно производить как можно меньше расчетов за раз на простых калькуляторах.
Многие будут следовать порядку операций, но другие просто дадут вам немедленный результат вашей первой операции. Например, чтобы найти 47-19/4 вам нужно сначала выполнить 47–19 и отдельно, а затем разделить этот ответ на 4.
Пример 1:
Здесь мы можем сначала ввести каждую из дробей в калькулятор, чтобы получить выходные данные в десятичном виде. форма. Подставляем в калькулятор первую дробь как 4 ÷ 8. На выходе получаем 0,5. Далее мы вводим вторую дробь как 12 ÷ 8 и получаем на выходе 1,5. Теперь мы преобразовали обе дроби в десятичные и можем сложить их как 0,5 + 1,5, чтобы получить правильный ответ 2.
Пример 2:
Теперь давайте попробуем ту же стратегию, что и в примере 1. Мы вводим первую дробь как 9 ÷ 4. Вывод, который мы получаем на нашем простом калькуляторе, равен 2,25. Затем мы вводим следующую дробь как 1 ÷ 6, чтобы получить 0,16667 или какое-то подобное число. Теперь мы можем ввести их в калькулятор как 2,25 – 0,166667, чтобы получить ответ 2,08333.
Однако, скорее всего, это не тот ответ, который нам нужен, поскольку это не дробная часть и не полное число.
К сожалению, нет простого способа обойти эту проблему без по крайней мере некоторые знания о манипуляциях с дробями. Первый вариант — найти общий знаменатель и вычесть. Быстрый способ сделать это — умножить каждую дробь сверху и снизу на знаменатель (снизу) другой дроби. Итак, умножаем первую дробь на 6/6, а вторую дробь на 4/4. Это изменит наши дроби на 54/24 — 4/24. Теперь у нас есть общий знаменатель, и мы можем просто вычесть числители каждого (54 – 4), чтобы получить окончательный ответ 50/24. Наконец, мы можем уменьшить это, разделив верх и низ на 2, чтобы получить 25/12.
Теперь мы можем перейти к части калькулятора. Введите 25 ÷ 12 в калькулятор, и вы получите следующий результат: 2,08333. Обратите внимание, что это тот же ответ, что и при работе со строго десятичными дробями. Тем не менее, десятичная версия заняла много шагов и была быстро найдена.
Делая это, мы можем, по сути, проверить наши ответы, чтобы убедиться, что они верны. Завершите операцию дроби вручную и найдите ответ в виде дроби. Затем преобразуйте его в десятичное число в калькуляторе и найдите десятичное число, используя только калькулятор, и сравните ответы. Если они не совпадают, вы, вероятно, допустили ошибку в операциях с дробями.
Пример 3:
С этим примером попробуем решить его просто на калькуляторе. Мы вводим первую дробь как 3 ÷ 25, чтобы получить 0,12, а вторую дробь как 64 ÷ 500, чтобы получить 0,128. Теперь мы можем сложить эти два вместе: 0,12 + 0128, чтобы получить окончательное десятичное число 0,248.
В последнем примере мы застряли с десятичной дробью и могли использовать ее только для проверки нашего ответа. Однако здесь мы можем заметить, что десятичная дробь «заканчивается» быстро или останавливается уже после нескольких цифр. Используя это, мы можем записать любую конечную десятичную дробь в виде дроби на основе самого дальнего десятичного разряда, который у нее есть.
0,5 мы могли бы записать как 5/10. 0,14 мы могли бы записать как 14/100. А 0,027 мы могли бы записать как 27/1000. Следуя этой тенденции, мы могли бы записать 0,248 как 248/1000. Это дробь, которую мы затем можем уменьшить, чтобы получить простейший ответ: 31/125 после деления верхней и нижней части на 8.
Итак, мы можем использовать даже самый простой калькулятор для решения задач на дроби. В лучшем случае вам могут понадобиться нулевые знания о том, как решать дроби (пример 1), а в худшем вам придется решать задачу нормально, но иметь возможность проверить свой ответ (пример 2). Также есть большая вероятность, что вам понадобятся только минимальные знания о сокращении дроби (пример 3). Независимо от ситуации, вы должны знать, как использовать калькуляторы для проверки своих ответов и решения задач, даже если у вас нет модного калькулятора.
Забронируйте частного репетитора по математике в Анахайме сегодня.
Майкл С. в настоящее время работает частным репетитором по математике, естественным наукам и стандартизированным тестам в TutorNerds в Ирвине и Анахайме.
Калькулятор операций с дробями — MathCracker.com
Алгебра Решатели
Инструкции: Используйте этот Калькулятор операций с дробями для выполнения арифметической операции между дробями. Укажите дроби и операцию вы хотите провести, и решатель найдет для вас результат, показав все шаги.
Для деления используйте «%», например «3/4 % 89/11». Используйте этот решатель только для работы дробей .Введите дробную операцию, которую вы хотите вычислить
Операции с дробями входят в число основных математических навыков, которым обучают в начальной школе, хотя способность выполнять такие операции может немного пострадать, если не практиковать их часто.
● Самая простая операция с дробями — это сумма двух дробей. Например, мы можем захотеть вычислить:
\[\frac{1}{3}+\frac{3}{4}\]
Как нам провести эту операцию? Во-первых, нам нужно найти общий знаменатель.
В этом случае общий знаменатель равен 12. Идея состоит в том, чтобы переписать каждую дробь так, чтобы они обе имели один и тот же знаменатель, и это достигается путем увеличения дробей, чтобы у каждой дроби был один и тот же знаменатель. В этом примере общий знаменатель равен 12, поэтому мы проводим следующие усиления:
\[\frac{1}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} = \frac{4}{12}\] \[\frac{3}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{3} = \frac{9}{12}\]
Итак, теперь, когда обе дроби выражены одним и тем же знаменателем, сумму дробей легко вычислить. Мы получили
\[\frac{1}{3}+\frac{3}{4} = \frac{4}{12}+\frac{9}{12} = \frac{4+9}{12} = \frac{13}{12} \]
Процесс нахождения общего знаменателя также используется для вычисления разницы между дробями.