Комплексные корни характеристического уравнения
Комплексные корни характеристического уравнения
Мы уже рассмотрели, как решить линейную однородную задачу второго порядка. дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, где корни характеристическое уравнение вещественны и различны. Сейчас мы объясним, как обрабатывать эти дифференциальные уравнения, когда корни комплексные . Пример ниже демонстрирует метод.
Пример
Решить
г» — 4г’ + 13 лет = 0
Раствор
Как и прежде, мы предполагаем, что y = e rt является решением. У нас есть
г’ = re rt y» = r 2 e rt
Подстановка обратно в исходное дифференциальное уравнение дает
r 2 e rt — 4re rt + 13e rt = 0
р 2 — 4r + 13 = 0 деление
по e
Это квадратичное число не учитывается, поэтому мы используем квадратичную формулу и получаем корни
р = 2 + 3i и р = 2 — 3i
Мы можем заключить, что общее решение дифференциального уравнения равно
г = a 1 e (2+3i)t + a 2 e (2-3i)t
= a 1 e 2t e 3it + a 2 e 2t e -3it Используя правило показателей степени
= e 2t (a 1 e 3it + a 2 e -3it ) Факторинг из е 2т
Хотя это дает общее решение, оно неудовлетворительно, так как
решение включает комплексные показатели.
Чтобы разобраться с этим, воспользуемся формулой Эйлера.
формула
e iq = cos q + i sin q
Это дает
г = e 2t [a 1 (cos(3t) + i sin(3t)) + a 2 (cos(-3t) + я грех(-3t))]
Поскольку cos x является четной функцией, а sin x нечетная функция, получаем
г = e 2t [a 1 (cos(3t) + i sin(3t)) + a 2 (cos(3t) — я грех(3т))]
или
г = e 2t [(a 1 + a 2 )cos(3t) + (a 1 — a 2 )i sin(3t)]
Наконец-то
c 1 = 1 + 2 и c 2 = i(a 1 — a 2 )
и получаем
г = e 2t [c 1 cos(3t) + c 2 sin(3t)]
Обычно если
ау» + по’ + cy = 0
— линейный дифференциал второго порядка.
уравнение с постоянными коэффициентами такое, что характеристическое уравнение имеет
сложные корни
г = л + ми и r = l — ми
Тогда общее решение задачи дифференциальное уравнение задается
y = e lt [c 1 cos(mt) + c 2 sin(mt)]
Пример
Решить
г» — 10л’ + 29 = 0 y(0) = 1 у'(0) = 3
Раствор
Характеристическое уравнение
р 2 — 10р + 29 = 0
с корнями
р = 5 + 2i и r = 5 — 2i
Общее решение
г = e 5t [c 1 cos(2t) + c 2 sin(2t)]
Мы используем начальные значения, чтобы найти константы. Подключить у(0) = 1,
1 = 1[с 1 (1) + с 2 (0)]
, так что c 1 = 1.
г’ = 5e 5t [cos(2t) + c 2 sin(2t)] + e 5t [-2 грех(2т) + 2c 2 cos(2t)]
Подстановка y'(0) = 3
3 = 5[1 + 0] + 1[0 + 2c 2 ] = 5 + 2c 2
Отсюда c 2 = -1
Окончательное решение
г = e 5t [cos(2t) — sin(2t)]
Исследуем графы решений вида
y = e lt [c 1 cos(mt) + c 2 sin(mt)]
Для л = 0, график периодический.
Для л > 0, амплитуда увеличивается экспоненциально
Для л < 0 амплитуда стремится к 0 экспоненциально.
Три типа показаны ниже.
Назад на домашнюю страницу дифференциальных уравнений
Назад к математике Домашняя страница отдела
электронная почта Вопросы и предложения
Новый способ сделать квадратные уравнения простыми
Люди и технологии
Многие бывшие студенты алгебры имеют болезненные воспоминания о попытках запомнить квадратную формулу.
Новый способ его получения, на который не обращали внимания в течение 4000 лет, настолько прост, что в нем нет необходимости.
By
- Emerging Technology from the arXivarchive page
6 декабря 2019 г.
Древние вавилоняне были замечательной группой. Среди многих выдающихся достижений они нашли ныне известное математическое решение неприятной проблемы: уплата налогов.
Особая проблема для обычного работающего вавилонянина заключалась в следующем: учитывая налоговый счет, который должен быть оплачен урожаем, насколько я должен увеличить размер своего поля, чтобы заплатить его?
Эту задачу можно записать в виде квадратного уравнения вида Ax 2 +Bx+C=0. И она решается с помощью следующей формулы:
Сегодня, более 4 000 лет спустя, миллионы людей запечатлели квадратную формулу в своем сознании благодаря тому, как преподают математику по всей планете.
Но вывести это выражение может гораздо меньше людей.
Это также связано с тем, как преподается математика — обычный вывод основан на математическом трюке, называемом «заполнение квадрата», который далеко не интуитивен. Действительно, после вавилонян математикам понадобилось много столетий, чтобы наткнуться на это доказательство.
До и после математики нашли множество других способов вывести формулу. Но все они также хитры и неинтуитивны.
Так что легко представить, что математики должны были решить эту задачу. Просто не может быть лучшего способа вывести квадратную формулу.
Появляется По-Шен Лох, математик из Университета Карнеги-Меллона в Питтсбурге, который нашел более простой способ, который, кажется, остался незамеченным за эти 4000 лет.
Подход Ло не основан на заполнении квадрата или каких-либо других сложных математических трюках. Действительно, он достаточно прост, чтобы работать как общий метод, то есть учащимся вообще не нужно запоминать формулу. «У этого вывода есть потенциал демистифицировать квадратичную формулу для студентов во всем мире», — говорит он.
Новый подход прост. Он начинается с наблюдения, что если квадратное уравнение можно разложить на множители следующим образом:
, то правая часть равна 0, когда x=R или когда x=S. Тогда это будут корни квадратного.
Умножение правой части дает
Это верно, когда -B=R+S и когда C=RS.
Теперь самое умное. Ло указывает, что числа R и S дают в сумме -B, когда их среднее значение равно -B/2.
«Итак, мы ищем два числа вида -B/2±z, где z — единственная неизвестная величина», — говорит он. Затем мы можем перемножить эти числа, чтобы получить выражение для C. Таким образом,
Тогда простая перестановка дает
Это означает, что решение квадратного уравнения:
Вуаля! Это квадратичная формула.
[Более общую версию можно получить, разделив уравнение Ax 2 +Bx+C=0 на A, чтобы получить x 2 +B/Ax+C/A=0, а затем повторив описанный выше процесс.]
Это очень значительное улучшение по сравнению с предыдущим методом, и Лох показывает почему на простом примере.
Найдите корни следующего квадратного числа: x 2 — 2x+4=0
Традиционный метод состоит в том, чтобы вычислить значения для A, B и C и подставить их в квадратичную формулу. Но подход Ло решает проблему интуитивно. Первый шаг состоит в том, чтобы подумать, что два корня уравнения должны быть равны -B/2±z = 1±z
. А поскольку их произведение должно быть C=4, мы можем написать:
are
Решить ту же задачу традиционным методом гораздо сложнее. Давай, попробуй! Новый подход намного проще и интуитивно понятнее, не в последнюю очередь потому, что он вообще не требует запоминания формулы.
Интересный вопрос, почему никто раньше не наткнулся на этот метод и не распространял его широко.
Лох говорит, что он «на самом деле был бы очень удивлен, если бы этот подход полностью ускользнул от человеческого открытия до сегодняшнего дня, учитывая 4000 лет истории этой темы и миллиарды людей, которые столкнулись с формулой и ее доказательством.
И все же это техника, конечно, не широко распространена или известна».
Ло безуспешно искал в истории математики подход, похожий на его собственный. Он рассмотрел методы, разработанные древними вавилонянами, китайцами, греками, индийцами и арабами, а также современными математиками от эпохи Возрождения до наших дней. Похоже, никто из них не сделал этого шага, хотя алгебра проста и известна веками.
Так почему сейчас? Ло считает, что это связано с тем, как традиционный подход доказывает, что квадратные уравнения имеют два корня. «Возможно, причина в том, что на самом деле математически нетривиально сделать обратное следствие: всегда есть два корня, и эти корни имеют сумму −B и произведение C», — говорит он.
Лох, преподаватель математики и известный популяризатор, обнаружил свой подход при анализе учебных программ по математике для школьников с целью разработки новых объяснений. Происхождение возникло из этого процесса.
Теперь вопрос в том, насколько широко он распространится и как быстро. Чтобы ускорить внедрение, Ло снял видео об этом методе. В любом случае, вавилонские налоговые расчеты наверняка были бы впечатлены.
Ссылка: arxiv.org/abs/1910.06709 : Простое доказательство квадратичной формулы
Исправление: мы изменили предложение, указав, что этот метод никогда ранее не использовался широко, и включили цитату из Лоха.
от Emerging Technology из arXiv
Глубокое погружение
Люди и технологии
Оставайтесь на связи
Иллюстрация Роуз Вонг
Узнайте о специальных предложениях, главных новостях, предстоящие события и многое другое.
Введите адрес электронной почты
Политика конфиденциальностиСпасибо за отправку вашего электронного письма!
Ознакомьтесь с другими информационными бюллетенями
Похоже, что-то пошло не так.
У нас возникли проблемы с сохранением ваших настроек.
Попробуйте обновить эту страницу и обновить их один раз
больше времени.