Онлайн взятие производной: Нахождение производной по определению

Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница — подготовка к ЕГЭ по Математике

Функция F(x), для которой f(x) является производной, называется первообразной функции y = f(x). Функции вида у = F(x) + C образуют множество первообразных функции у = f(x).

Сейчас объясним, что это значит.

Вспомним таблицу производных. В левой колонке — функции, в правой — их производные. Например, — производная от функции , — производная функции . А чем будет являться для функции ? Или — для функции ? Вы уже догадались. Первообразной.

Заметим, кстати, что — производная не только функции , но и функций , — в общем, всех функций вида Здесь C — константа, то есть постоянная величина, и ее производная равна нулю.

Аналогично, функция — производная для всех функций вида , где — константа.

Посмотрим на таблицу первообразных. Каждая функция в левом столбце таблицы является производной для функции в правом столбце.

Таблица первообразных

Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных.

Первообразная разности функций — разности первообразных.

Первообразная от функции , где — постоянный множитель, равна произведению на первообразную функции , то есть .

Множество всех первообразных функции называется неопределенным интегралом данной функции. Записывается это так:

Нахождение первообразной называется также интегрированием функции. А нахождение производной — дифференцированием функции. Интегрирование (то есть нахождение первообразной) и дифференцирование (взятие производной) — взаимно-обратные действия.

Но интегралы — отдельная тема. В задачах ЕГЭ по математике неопределенные интегралы не встречаются, а теме «Первообразная» посвящено всего несколько задач в первой части ЕГЭ. Для их решения надо знать только таблицу первообразных и еще одну важную формулу.

Формула для вычисления площади под графиком функции (Формула Ньютона-Лейбница) 

Пусть в прямоугольной системе координат задана фигура, ограниченная графиком непрерывной функции , осью и прямыми и .

Пусть функция неотрицательна на отрезке [a; b].

Тогда площадь этой фигуры вычисляется по формуле:

Такую фигуру называют еще криволинейной трапецией. А сама формула носит название «Формула Ньютона-Лейбница».

1. Значение первообразной функции в точке 0 равно 6. Найдите . 

Найдем первообразную функции с помощью таблицы первообразных. Получим:

При получим:

Значит, и

Ответ: 40,5

2. Значение первообразной функции в точке 0 равно -13. Найдите

Найдем первообразную функции с помощью таблицы первообразных. Получим:

При x = 0 получим: Значит, и

Ответ: -14

3. На рисунке изображен график функции . Найдите значение выражения , где — одна из первообразных функции .

По формуле Ньютона-Лейбница, разность первообразных — это площадь, ограниченная графиком функции, осью X и прямыми y=a и y=b.

В этой задаче нужная фигура ограничена графиком функции, осью и прямыми и . Это квадратик, и площадь его равна 4.

Ответ: 4.

4. На рисунке изображён график некоторой функции . Функция  — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница, площадь под графиком функции на отрезке [a,b] равна разности значений первообразной в концах отрезка, то есть

В нашей задаче имеем:

Дальше — просто арифметика.

Ответ: 13,5.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 07. 04.2023

Задачи и упражнения Производная функции

Найти производные функций.

1.

2.

3. y = x cos x.

4.

5. Найти

6. у = sin10x.

7. у = sin3 10x.

8. у = sin4x + cos4x.

9.

10. у = 4х + х4.

11.

12. у = arcsin2x.

13. Найти , если

14.

15. у = (sin x)x.

Найти производную неявной функции.

16.

17.

18.

19.

20. Найти в точке М (1; 1), если

Найти производные третьего порядка от функций.

21.

22.

Составить уравнения касательной и нормали к следующим кривым в указанных точках.

23. в точке (1; –3).

24. в точке (2; 9).

25. Найти угол, под которым пересекаются линии:

Правило Лопиталя. Дифференциал функции

Найти предел функции, используя правило Лопиталя.

26.

27. .

28. .

29. .

30. .

31 .

32.

33. .

34.

Вычислить приближенно, используя дифференциал.

35. sin 31.

36. е0,3.

37.

38.

Ответы к задачам и упражнениям

1.

2.

3.

4.

5.

6. 10cos10x.

7. .

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20. 0.

21 –64а cos 4t.

22. 27а sin 3t.

23.

24.

25.

26. 0.

27. 0.

28.

29. –3.

30. 1.

31. 1.

32.

33. 1.

34.

35. 0,515.

36. 1,3.

37. 1,067.

38. 2,0125.

Литература

1. Гусак А. А. Математический анализ и дифференциальные уравнения.– Мн.: ТЕТРАСИСТЕМС, 1998. – 415 с.

2. Гусак А. А. Высшая математика: Учебное пособие для студентов вузов. В 2-х томах.– Мн., 1998. – 544 с. (1 т.). – 488 с. (2 т.).

3. Марков Л. Н., Размыслович Г. П. Высшая математика: в 2 ч. Ч. 2. – Мн.: Амалфея, 2003. – 351 с.

Содержание

Лекция 1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ 3

1. Производная функции, ее геометрический и экономический смысл. Основные правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций 3

2. Логарифмическое дифференцирование. Производная неявной функции. Производные высших порядков 9

Лекция 2. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 11

1. Раскрытие неопределенностей при помощи правила Лопиталя 11

2. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях 13

Задачи и упражнения 16

Ответы к задачам и упражнениям 18

Литература 19

 

Учебное издание

Минченков Юрий Владимирович высшая математика Производная функции.

Дифференциал функции

Ответственный за выпуск И. В. Лаврик

Компьютерный набор и верстка С. Л. Дудко

Корректор

Н. А. Бебель

Подписано к печати 16.03.2007 г. Формат 60841/16.

Бумага газетная. Гарнитура «Times New Roman».

Отпечатано способом ризографии в авторской редакции.

Усл. печ. л. 1,16. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 500 экз. Зак. 34.

Издатель и полиграфическое исполнение:

Учреждение образования

«Частный институт управления и предпринимательства».

Что такое производная в исчислении?

Производная в исчислении — это мера того, как функция изменяется во времени. Это одна из самых важных концепций во всей области, и ее можно использовать для расчета всего, от процентных ставок до оптимальных портфелей акций.

Но что такое производная? И как правильно его вычислить? В этом сообщении блога мы ответим, как именно подойти к решению производной математической задачи и не только.

Что такое производная в исчислении?

В самом общем смысле производная — это просто функция, измеряющая скорость изменения другой функции. В исчислении производные невероятно важны, потому что они позволяют людям изучать, как функции меняются во времени.

Другими словами, производные предоставляют информацию о направлении, в котором функция движется в любой заданной точке. Эта информация очень полезна, потому что помогает людям улучшать функции и предсказывать, как все будет работать в будущем.

Почему важно находить производные в исчислении

Помимо возможности изучать изменение функций во времени, производные также имеют широкий спектр приложений в реальном мире, в том числе в физике, технике и экономике.

Как находить производные в исчислении

Для нахождения производной необходимо использовать процесс дифференцирования. Взятие производной функции по переменной — довольно простой способ выполнить дифференцирование.

Когда следует подумать о поиске репетитора по математике

Хотя термин «производная» может показаться сложным и пугающим, это относительно простая концепция. Но иногда и ученики, и взрослые могут с трудом усвоить эту концепцию полностью. Если это так, подумайте о том, чтобы найти репетитора, который сможет разобрать концепцию и помочь вам понять ее так, как это имеет смысл.

Чего ожидать при работе с онлайн-репетитором по математике для учащихся 9 классов0008

С того момента, как вы зарегистрируетесь на занятие с одним из наших онлайн-репетиторов по математике, вам будет подобран репетитор, который лучше всего соответствует вашим потребностям, что дает вам наилучшие шансы на успех.

Кто такой репетитор производных?

Репетитор по деривативам — это репетитор по математическому анализу, который помогает учащимся изучать производные и использовать их. Конечно, перед тем, как приступить к математическому анализу, может помочь провести некоторое время с репетитором по математическому анализу.

Репетиторы по деривативам являются экспертами в своей области и могут помочь с любыми проблемами, связанными с деривативами. Репетитор может помочь учащимся, изучающим математику, работать с производными шаг за шагом, в своем собственном темпе, пока концепция, наконец, не сработает. И как только учащийся поймет производные, он сможет решить любую задачу исчисления, которая встретится ему на пути!

Наем репетитора по деривации — одно из самых разумных решений, которые вы можете принять в математике, поскольку репетитор может иметь решающее значение, помогая ученику добиться успеха в классе. С репетитором каждый учащийся может изучать производные таким образом, который имеет смысл в зависимости от его стиля и скорости обучения. Репетиторы, которые преподают производные, терпеливы и опытны, поэтому они могут помочь студентам понять производные действительно полезным способом.

Репетиторы производных (или репетиторы исчисления, как упоминалось ранее) также обеспечивают уровень настройки, который вы не можете найти в учебнике или онлайн-калькуляторе производных. Преподаватели деривативов потратят время на то, чтобы понять уникальные потребности и цели учащегося, а затем разработают план деривативов, адаптированный именно для этого учащегося. Успех возможен, и вторичные репетиторы могут помочь ему в этом!

Находить производные в исчислении на самом деле проще, чем кажется. На самом деле, есть несколько простых правил, которые можно использовать для вычисления производных большинства функций. Дифференцирование — это процесс вычисления производной функции. Производная функции — это мера того, как функция изменяется при изменении ее входных данных. Производной можно считать наклон функции в определенной точке. Производную можно использовать для нахождения уравнения касательной к графику в определенной точке.

Производную также можно использовать для нахождения максимального или минимального значения функции. 2 + 3x + 5 производная будет равна 2x + 3. Наконец, третье правило, известное как правило произведения, гласит, что производная функции равна произведению производной первой функции и второй функции. Итак, если f(x) = (x2 + 3x + 5)(4x — 2), то производная равна (2x + 3)(4x — 2) + (x2 + 3x + 5)(4).

Если концепция производных все еще сбивает с толку, наши репетиторы по производным могут помочь! Чтобы максимально использовать свой опыт репетиторства, обязательно ищите репетиторов с определенными навыками межличностного общения, такими как:

Эмпатия

Работайте только с репетитором, который может видеть вещи с точки зрения ученика. Если производный репетитор может относиться к своим ученикам, он сможет лучше понять, как ученик учится лучше всего, и обучать их так, как это работает для них.

Терпение

Терпение является ключевым фактором, когда речь идет о вторичном обучении. Производные могут быть трудными, и учащимся может потребоваться некоторое время, чтобы полностью понять концепции. Терпеливые наставники по производным дадут каждому ученику время, необходимое для понимания производных, не торопя их с изучением материала.

Креативность

Творческие преподаватели производных могут придумать новые и интересные способы преподавания производных понятий. Преподаватели творческих производных также могут помочь учащимся найти новые и интересные способы применения производных концепций к реальным ситуациям.

Амбициозный

Амбициозный преподаватель деривативов будет возлагать большие надежды на своих учеников и будет подталкивать их к достижению своих целей в деривативах. Их мотивация и поддержка могут помочь ученику достичь высот, о которых он, возможно, и не подозревал.

Четкая коммуникация

Способность ясно излагать производные концепции очень важна для дериватов-репетиторов. Выбирая репетитора, выберите того, кто может объяснить производные концепции доступным, простым и понятным способом.

Хотите приобрести жизненные навыки? Начните с правильного репетитора. Пройдите викторину, чтобы подключиться

Навыки и опыт, которые следует искать в репетиторе производных

Эффективное обучение выходит за рамки производных концепций. Чтобы хорошо преподавать производные, репетиторы также должны иметь правильные навыки и опыт. Вот некоторые навыки и опыт, на которые следует обратить внимание при поиске репетиторов по производным:

Хорошее понимание концепций производных

Чтобы репетитор мог эффективно преподавать производные, он должен иметь глубокое и обширное понимание этого предмета. Преподаватели производных, которые много знают о том, как работают производные, смогут хорошо преподавать и помогать своим ученикам хорошо сдавать тесты по производным.

Навыки решения производных задач

Если ваш репетитор по производным хорошо умеет решать задачи, он сможет лучше помочь вам понять производные идеи и использовать их в реальном мире.

Большой опыт преподавания

Опытные преподаватели смогут выяснить, как их ученики учатся лучше всего, и обучать каждого ученика так, как это лучше всего подходит для них. Они смогут подкрепить свое резюме учетными данными и сертификатами. Если вы проводите собеседование с репетитором, не бойтесь попросить документы или рекомендации.

Способность ясно излагать понятия производных

Ваше понимание производных будет настолько хорошим, насколько хорошо ваш преподаватель по производным может их объяснить. Преподаватели производных должны уметь четко и лаконично объяснять понятия, чтобы учащиеся могли понимать производные.

Правильный подход к обучению

Поскольку нет двух одинаковых учеников, не может быть двух одинаковых подходов к обучению. Преподаватели производных должны иметь возможность изменять способ обучения производным в соответствии с потребностями каждого ученика.

Красные флажки, на которые следует обратить внимание при выборе репетитора по деривации

С точки зрения навыков и опыта не все репетиторы по деривативам одинаковы. Некоторым преподавателям деривативов может потребоваться больше навыков и опыта, прежде чем они смогут хорошо преподавать деривативы. Вот несколько красных флажков, на которые следует обратить внимание при рассмотрении производных репетиторов.

Отсутствие опыта преподавания производных

Поскольку концепции производных могут быть сложными, важно нанять репетитора, имеющего большой опыт преподавания. Производным репетиторам, которые плохо знакомы с преподаванием, возможно, потребуется приобрести необходимые педагогические навыки, чтобы иметь возможность эффективно преподавать этот сложный предмет AP.

Плохие отзывы о репетиторстве

Если репетитор имеет плохие отзывы, подумайте дважды, прежде чем выбрать его в качестве репетитора. Тем не менее, разговаривая с репетитором, дайте ему возможность объяснить, почему он получил так много негативных отзывов — у него может быть веское объяснение.

Отсутствие педагогической квалификации

Чаще всего лучшими репетиторами становятся бывшие учителя и воспитатели. Репетитор по производным должен иметь необходимую педагогическую квалификацию, чтобы иметь необходимые навыки и опыт, чтобы иметь возможность эффективно преподавать производные.

Жесткий и негибкий подход к обучению

Обучение предполагает большую адаптацию и гибкость при определении того, какой подход лучше всего подходит для каждого отдельного ученика. Производные наставники, жесткие и негибкие в своих методах, могут не дать ценных уроков.

Неспособность связно отвечать на вопросы

Репетитор по математике, который не может сразу ответить на вопросы о производных понятиях, вероятно, не лучший репетитор для вас. Если ваш репетитор по производным не имеет четкого представления о производных понятиях, он не сможет эффективно вас учить.

Непрофессионализм

Наем непрофессионального вторичного репетитора может привести к рациональному использованию времени и денег. Нанимайте только репетиторов, которые всегда ведут себя профессионально.

Вопросы, которые следует задать потенциальному репетитору по производным

Вопросы потенциальным репетиторам помогут вам понять, подходят ли они вам. Вот несколько вопросов, которые вы можете задать репетиторам по производным:

  • Каков ваш опыт преподавания по производным?
  • Хорошо ли вы разбираетесь в производных понятиях?
  • Как бы вы подошли к репетиторству по производным?
  • С какими ключевыми производными понятиями учащиеся сталкиваются больше всего?
  • Как вы планируете работать с этими производными понятиями?
  • Какие, по вашему мнению, лучшие производные учебные ресурсы?
  • Каковы лучшие производные методы обучения?
  • Какова ваша производная педагогическая квалификация?
  • Есть ли у вас отзывы о репетиторстве?

Чего ожидать при работе с онлайн-репетитором в Learner

Работать с репетиторами в Learner легко и удобно. С того момента, как вы зарегистрируетесь, наши преподаватели будут доступны, чтобы помочь вам с производными понятиями.

Работая с репетитором по производным в Learner, вы можете рассчитывать на высококачественное обучение от наших опытных и квалифицированных наставников по производным. Мы также подберем для вас идеального репетитора по производным с учетом ваших целей, стиля обучения и расписания.

В Learner мы также предлагаем безрисковую пробную версию, поэтому вы можете опробовать производное обучение, прежде чем соглашаться на него. Зарегистрируйтесь сегодня, чтобы начать обучение производным! Ваш успех это и наш успех.

Готовы запланировать этот бесплатный сеанс? Сделайте следующий шаг с нашей викториной!

Часто задаваемые вопросы

Что такое производная?

Производная — это математическое понятие, связанное со скоростью изменения функции. Это фундаментальное понятие в исчислении.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *