Введение в криптографию
Введение в криптографию
ОглавлениеПредисловие ко второму изданиюГлава 1.  Основные понятия криптографии2. Предмет криптографии 3. Математические основы 4. Новые направления 5. Заключение Глава 2. Криптография и теория сложности 2. Криптография и гипотеза P != NP 3. Односторонние функции 4. Псевдослучайные генераторы 5. Доказательства с нулевым разглашением Глава 3. Криптографические протоколы 2. Целостность. Протоколы аутентификации и электронной подписи Схема аутентификации Шнорра Схема электронной подписи Шнорра 3. Неотслеживаемость. Электронные деньги 4. Протоколы типа «подбрасывание монеты по телефону» Протокол подбрасывания монеты 5. Еще раз о разделении секрета 6. Поиграем в «кубики». Протоколы голосования Протокол Шаума и Педерсена 7. За пределами стандартных предположений. Конфиденциальная передача сообщений 8. Вместо заключения Глава 4. Алгоритмические проблемы теории чисел 2. Система шифрования RSA 3. Сложность теоретико-числовых алгоритмов 4. Как отличить составное число от простого 5.  Алгоритм, доказывающий непростоту числа5. Как строить большие простые числа 6. Как проверить большое число на простоту 7. Как раскладывают составные числа на множители 8. Дискретное логарифмирование 9. Заключение Глава 5. Математика разделения секрета 2. Разделение секрета для произвольных структур доступа 3. Линейное разделение секрета. 4. Идеальное разделение секрета и матроиды Глава 6. Компьютер и криптография 2. Немного теории Что надо знать перед написанием программы шифрования 3. Как зашифровать файл? 4. Поучимся на чужих ошибках 5. Вместо заключения Глава 7. Олимпиады по криптографии для школьников 2. Шифры замены А. Конан Дойл, «Пляшущие человечки» 3. Шифры перестановки 4. Многоалфавитные шифры замены с периодическим ключом 5. Условия задач олимпиад по математике и криптографии 6. Указания и решения Приложение. Отрывок из статьи К. Шеннона «Теория связи в секретных системах» Часть I.  МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА СЕКРЕТНЫХ СИСТЕМ3. Способы изображения систем 4. Примеры секретных систем 5. Оценка секретных систем 6. Алгебра секретных систем 7. Чистые и смешанные шифры 8. Подобные системы Часть II. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ СЕКРЕТНОСТЬ 10. Совершенная секретность 11. Ненадежность |
Логарифмы и теория информации: physic4woman — LiveJournal
ЛогарифмыЛогарифмы — это существа математической природы, очень красивые и простые в обращении. То есть можно сразу на ты и без церемоний.
Однако порой они особенно кокетливы и куртуазны, и все те степени восторга, которые они выражают в математических формулах, оказываются прикрыты вуалью легкой загадочности (даже, страшно сказать, стыдливости), флёром инфернального кокетства.
Поговорим же подробнее об этих чудесных и загадочных созданиях.
У операции сложения (a+b = c) есть обратная операция (c-b = a, c-a = b).
У операции умножения (a*b = c) есть обратная операция (c/b = a, c/a = b).
А у возведения в степень (ab = c) есть ли обратная операция?
Да, это — логарифмирование (log по основанию a c = b)
Например, тебя интересует, в какую степень b восторга нужно возвести мужчину a, чтобы получить сексуально заинтересованного мужчину c. Ты берешь сексуально заинтересованного мужчину c, логарифмируешь его самым решительным образом, и узнаешь необходимую степень восторга. После чего пускаешь в ход неотразимые женские чары. 🙂
Еще один образный пример применения логарифмов. Представь, что твой папа, король, объявил поиск достойного и знатного жениха для любимой дочери — принцессы, то бишь для тебя. И вот со всех стран приехало множество принцев. Перед тобой собралась толпа восхищенных поклонников, n человек. Тебе предстоит выбрать среди них единственного и лучшего.
Допустим, ты задаешь принцам вопрос: «Кто из вас совершит для меня отважный подвиг?»
Принцы отправляются в разные концы света, и потом n/2 принцев возвращается с трофеями — головами поверженных драконов, скальпами заморских ассасинов и дипломами школы Геракла.
Ты задаешь следующий вопрос: «Кто из вас умеет петь?»
Половина принцев радостно начинает петь красивыми голосами, другая половина хором вздыхает и уезжает восвояси.
Будучи столь же капризной принцессой, сколь и романтичной, ты задаешь следующий вопрос: «Кто из вас способен перебрехать дельфийского оракула?»
Принцы, перебрехавшие оракула, выгоняются тобой прочь, а те, кто потерял дар речи от твоего очарования, продолжают участие.
После каждого испытания число принцев сокращается вдвое, и наконец остается один-единственный, который прошел все испытания, и вас благословляет король.
Теперь вопрос: сколько испытаний ты провела, если изначально принцев было n, и каждое испытание отсеивало половину претендентов на твою руку?
Ответ: х = log 2 n.
После первого испытания принцев осталось n/2. После второго (n/2)/2 = n/(2*2) = n/4. После третьего (n/4)/2 = n/(4*2) = n/8. Наконец остался один принц, что значит, что мы делили количество принцев надвое x раз: n/(2x) = 1.
Следовательно,
n = 2x
х = log 2 n
Теория информации
Логарифмы ужасно любят сплетничать. Именно поэтому на логарифмах основывается теория информации, созданная в 50-х годах 20-го века Клодом Шенноном. Согласно этой теории, единицей информации является 1 бит. Ответ на вопрос «Любите ли вы сыр, мадемуазель?», содержит один бит информации, независимо от того, каким будет ответ — утвердительным или отрицательным. Такое же количество информации содержит и ответ на вопрос «Любите ли вы меня, мадемуазель?», хотя очевидно, что эти два ответа по своему содержанию и значению совершенно различны.
Приведенный выше пример с выбором принца иллюстрирует, как происходит естественный отбор исчисление битов. Каждый твой вопрос приближал тебя к заветному соединению с лучшим из лучших; каждый твой вопрос делал тебя более информированной на 1 бит. Таким образом, чтобы выбрать принца, тебе нужны были всего-то: блеск пламенных очей, одна (зато какая!) очаровательная улыбка, а также log 2 n бит информации.
..
Пожалуй, на этом курс для благородных девиц по логарифмам и теории информации можно считать успешно пройденным. Всего тебе доброго, любознательная принцесса, и до новых встреч!
Обратные функции
Математика выполняет операций . В противном случае у нас была бы куча значений и ничего общего с ними; у нас не было бы возможности соединить их. Введите операции.
Операции объединяют строковые значения для получения других значений. Однако иногда нам нужно что-то отменить, поэтому мы создали обратные операции. Обратные операции — это математические уловки: это операции, которые отменяют друг друга. Сложение и вычитание являются операциями, обратными друг другу. Умножение и деление также являются операциями, обратными друг другу. Если вы начали с 3, умножили его на 2, а затем разделили результат на 2, вы сразу же вернетесь к 3.
Угадайте, к чему мы клоним? Экспоненты и логарифмы являются обратными операциями! Итак, если у нас есть это уравнение:
y = x
Мы можем добавить к обеим сторонам…
y + 2 = x + 2
Мы можем выбирать с обеих сторон…
16.
y – 2 = x – 2
Умножить…
2 y = 2 x
Разделить…
66 Также « ЭКОНЕНТИЧЕСКИЙ » Обе стороны:
10 y = 10 x
и, наконец, « Take The Log » с обеих сторон:
6 y = = = = = = = = x
Каждое из приведенных здесь выражений эквивалентно y = x и друг другу. Поскольку вы знаете, что логарифмы и показатели степени являются обратными операциями, как сложение и вычитание, манипулирование уравнениями с показателями степени не составит труда.
Теперь, когда вы знаете, что возведение в степень и получение журнала являются обратными операциями, давайте поговорим об обратных функциях.
Обратные функции
Представьте себе функцию, которая имеет этот набор входов и выходов. Нет, правда, закрой глаза и сосредоточься на своем внутреннем математике:
{(1, 5), (2, 9), (3, 13), (4, 17)}
Если ты на подъеме и вверх, вы можете узнать, что эти числа взяты из линейной функции y = 4 x + 1.
Круто. Инверсия этой функции просто переключает все входные и выходные значения:
{(5, 1), (9, 2), (13, 3), (17, 4)}
Что это за функция? Никакого обмана, на нас работают роботы.
Очень простой способ найти ответ на этот вопрос — найти x и поменять местами x и y .
Y = 4 x + 1
Y — 1 = 4 x
Затем мы переключаем x и Y .
Бам! Вот ваш ответ: обратно y = 4 x + 1 . Более ясным способом представить это было бы сказать .
Специальное примечание: f -1 ( x ), обратная функция, не такая же, как обратная функция, . Будь осторожен!
Если вы примените функцию и функцию, обратную ей, к входному значению, входные данные останутся без изменений. Докажите это себе: попробуйте поставить 4 в одну из функций, а затем подставьте ответ в другую.
Видишь? Это по-прежнему 4. (Если нет, то что-то пошло не так, и это сообщение самоуничтожится через 3 секунды.) Другими словами, более математическими терминами: )] = x
Вот некоторое доказательство:
Шаг 1, Удивительный шаг: y = 4( 4 ) +1 = 17
Шаг 2, Удивительный шаг0: 9000 Еще шаг:
Это как фокусник, который выходит на сцену, вытаскивает кролика из шляпы и…
ЭТО НЕ КРОЛИК! Он быстро кладет не-кролика обратно в шляпу и пятится со сцены, как будто ничего не произошло. Без возвратов.
В следующем разделе мы попытаемся найти обратную экспоненциальную функцию. Это будет не так просто, как в этом разделе, но вы почувствуете себя еще круче, когда во всем разберетесь.
Инверсия экспоненциальной функции
Примените волшебный урок инверсии к экспоненциальной функции. Во-первых, взгляните на экспоненциальную функцию. Как мы упоминали ранее, экспоненциальные функции проще, чем кажутся: просто вставьте x в экспоненте.
Вот один:
y = 10 x
Верно. Так что насчет обратного? Просто решите для x . Подождите, как это должно работать?
Без логарифмов можно застрять в грязи. Грязная, липкая, неприятная грязь, которая не смоется, сколько бы раз вы ни клали ее в стиральную машину. Математика может все; это может даже сохранить вашу одежду чистой и свежей. (Отказ от ответственности: не пытайтесь положить математику в стиральную машину, это приведет к аннулированию всех гарантий.)
Пройдемте с нами на секунду. Мы собираемся использовать логарифм , чтобы найти x , а затем поменять местами. Как мы говорили в предыдущем разделе, получение логарифма — это операция, обратная возведению в степень, поэтому мы можем использовать ее, чтобы сократить 10 в правой части уравнения. Начните с бревна обеих сторон:
бревно 10 y = бревно 10 10 x
бревно 10 y17 =
x
Now we swap x and y to get our inverse function:
log 10 x = y
y = log 10 x
Ta-daaa: y = log 10 x , логарифмическая функция, обратная y = 10 x , экспоненциальная функция .
Как найти обратное логарифмическое преобразование в R?
Логарифм данного числа n — это показатель степени, в которую нужно возвести другое фиксированное число по основанию b, чтобы получить это число n. С точки зрения непрофессионала, логарифм подсчитывает количество вхождений одного и того же множителя при повторном умножении. Логарифмическая функция представляется как:
f(x) = log b (x)
Когда основание b логарифма равно 10, мы обычно не упоминаем об этом, т. е. f(x) = log (Икс). Обратная логарифмическая или экспоненциальная функция определяется как:
в общем случае,
Y = log B (x) ⇐ порядка B y = x
для натурального журнала:
Y = LN (x) ⇐ятно = x
Давайте посмотрим на некоторые примеры для лучшего понимания:
Пример 1: , если y = ln (544) = 6,298949
Антилог (y) = E Y = 544
Пример 2 : , если у = log (544) = 2,735598
antilog ( y ) = 10 y = 544
Обратное логарифмическое преобразование в языке программирования R может быть exp(x) и expm010(x) 5) 9010(x) функциями.
Функция exp( ) просто вычисляет экспоненциальную функцию, тогда как функция expm1( ) точно вычисляет exp(x) – 1 также и для |x| << 1. Здесь x должен быть числовым или комплексным вектором, а основание должно быть положительным.
Метод 1: Использование exp()
Синтаксис:
exp ( x )
Где x — числовое значение.
Example:
R
|
Вывод:
[1] 2.688117e+43 # exp (100)
[1] Inf # Exp (9867528)
[1] 1 # exp (0)
[1] 5,968526 # exp (1,7865)
Для большего числа, он обычно возвращает «инф», что означает бесконечность.
Метод 2: Использование expm1()
Синтаксис:
,expm1 ( x ) = exp (x) – 1
Числовое значение.
Пример:
R
expm1 (9867528) |
Output:
[1] 2,688117E+43 # expm1 (100)
[1] Inf # expm1 (9867528)
[1] 0 # expm1 (0)
[1] 4.968526 # expm1 (1,7865)
6 [1] 4.968526 # expm1 (1,7865)6 [1] 4.968526 # expm1 (1,7865)6 [1]
Для больших числовых значений функции exp() и expm1() возвращают одинаковые значения.