Определитель треугольной матрицы равен: Линейная алгебра

Содержание

§ 1.7 Свойства определителей

Свойство 1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется, то есть .

Из определения определителя

и свойства транспонированной матрицы а_ij= a^t_ji, получаем

= detA

Замечание. Данное свойство означает равноправие строк и столбцов определителя. Все дальнейшие свойства формулируются только для столбцов, подразумевая при этом, что они справедливы и для строк.

Свойство 2. Если один из столбцов матрицы состоит целиком из нулей, то ее определитель равен нулю.

Так в каждое слагаемое определителя входит по одному представителю из каждой строки, то в каждом слагаемом содержится по одному нулевому сомножителю, т.е.все слагаемые равны нулю.

Свойство 3.

При перестановке двух столбцов матрицы ее определитель меняет знак

Пусть исходная матрица А, а ее определитель detA. Если поменять местами два столбца i и j, то получим матрицу В с определителем detB. Причем, в каждом слагаемом сомножитель, входивший в определитель матрицы А из i-го столбца, в определитель матрицы В войдет под номером j-го столбца и обратно. Согласно свойству транспозиций, при перемене двух индексов местами, каждая четная перестановка в detA станет нечетной в detB, а нечетная – четной, т.е. все слагаемые detA будут отличаться от слагаемых detB только знаками. Следовательно, detB = — detA.

Свойство 4. Если определитель имеет две одинаковых строки, то он равен нулю.

Пусть дана матрица А с определителем detA. Поменяв в матрице А две строки местами, получим аналогичную матрицу А, но ее определитель (по св.3)поменяет знак, т.е. detA = -detA или, что то же самое, 2detA = 0, тогда detA = 0.

Свойство 5. Перед формулировкой данного свойства необходимо ввести ряд новых определений и доказать несколько результатов.

Определение 1. Пусть задана матрица А. Вычеркнем из нее i-ю строку и k-ый столбец и не меняя порядка сомкнем строки и столбцы. Определитель вновь построенной матрицы А называют минором элемента a_ij матрицы А и обозначают _ij.

Пример. Найти минор ₂₃элемента а₂₃матрицы А

Из матрицы А= вычеркиваем 2-ю строку и 3-ий столбец.

Получаем матрицу ₂₃=, ее определитель det ₂₃= 3, то есть минор элемента a₂₃ матрицы А равен 3.

Лемма. Пусть дана матрица А с первой строкой, содержащей один ненулевой элемент, т.е. матрица вида

А=,то определитель такой матрицы равен detA=a₁₁₁₁

Доказательство. Рассмотрим определитель матрицы А

(1)

Так как все элементы 1-ой строки, кроме первого, равны нулю, то формула (1) трансформируется в формулу

= а₁₁ ₁₁

где _11
–определитель матрицы, полученной из матрицы А удалением первой строки и первого столбца ( или минор элемента а₁₁).

Теорема Пусть дана матрица с i-ой строкой, содержащей в k-ом столбце отличный от нуля элемент

А = ,

то определитель матрицы А равен detA =(-1)ⁱ⁺^k a_ik_ik

Доказательство. Меняя i-ю строку с 1-ой строкой, мы совершим (i-1) перестановку строк, т.е. по свойству 3 произойдет (i-1) перемена знака. Поменяв k-ый столбец с 1-ым, мы совершим еще (k – 1) перемену знака и в результате придем к матрице, рассмотренной в лемме. Используя ее результаты, получаем detA =(-1)ⁱ⁺^k a_ik_ik

Определение 2. Выражение А_ij =(-1)ⁱ⁺^k _ik называется алгебраическим дополнением элемента a_ij матрицы А.

Иначе: алгебраическим дополнением — это минор со знаком.

Заметим, что алгебраическое дополнение не зависит как от элементов i-ой строки, так и элементов j-ого столбца, так как определяющий его минор содержит элементы, не входящие в эти стоки и столбцы.

Теперь можно сформулировать само свойство 5. Заметим, что в математической литературе это свойство часто фигурирует, как определение определителя.

Свойство 5. Определитель матрицы А равен произведению элементов произвольной строки (столбца) на свои алгебраические дополнения

(2)

Формула (2) называется разложением определителя по i-ой строке.

Результат иллюстрируется на примере определителя 3-го порядка.

а₂₁А₂₁+а₂₂А₂₂

+а₂₃А₂₃

Используя свойство 5, легко доказываются утверждения (доказать):

Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов главной диагонали
Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали
Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц, т.е. А В =  А  В 

Пример .

Свойство 6. Сумма произведений элементов какого-либо столбца на соответствующие алгебраические дополнения другого столбца равна нулю (принимаем без доказательства). Проверить на числовом примере

Свойство 7. Если элементы некоторой строки матрицы А умножить на любое число, то определитель полученной матрицы В будет отличаться от определителя исходной матрицы А на это число.

Доказательство. Пусть дана матрица А, где .

Умножив i-ю строку матрицы А на число r, получим новую матрицу В с определителем, определяемым свойством 5 :

Следствия:

1.Общий множитель элементов одной строки можно выносить за знак определителя.

2.Если в матрице существуют 2 пропорциональные строки, то ее определитель равен 0 (коэффициент пропорциональности можно вынести за знак определителя, тогда матрица полученного определителя будет содержать две равные строки)

Свойство 8. Если в матрице каждый элемент k-ого столбца может быть представлен в виде сумма двух слагаемых a_ik= b

ik + c_ik, то определитель такой матрицы А представим в виде суммы двух определителей, в первом из которых на месте элементов k-го столбца стоят элементы b_ik, а во втором определителе на месте элементов k-го столбца стоят c_ik (остальные элементы матрицы не меняются).

Доказательство. Воспользуемся свойством 5.

= detB + detC

Пример. 0 + 0 = 0

Свойство 9 Если к строке определителя прибавить любую другую его строку, умноженную на некоторое число k, то определитель не изменится.

Доказательство. Пусть дана матрица А, где .

Умножив j-ю строку матрицы А на число r и прибавит эту строку к элементам i-ой строки получим новую матрицу А

1 с определителем:

== 0 + detA

Первый определитель равен нулю, т.к. в нем находятся две пропорциональные строки.

Пример. Вычислить определитель матрицы D четвертого порядка:

Умножим последовательно первую строку на (-2),(-5) и (-6) и прибавим ее соответственно ко второй, третьей и четвертой строке. По свойству 9 значение полученного определителя не изменится.

Теперь последовательно умножим 2-ю строку на 13 и 4 и прибавим ее к 3-ей и 4-ой строке. Получим определитель:

Свойство 10 Если один из столбцов матрицы А есть линейная комбинация других столбцов этой матрицы, то определитель такой матрицы равен нулю.

Доказательство. Пусть таким столбцом в матрице А является k- ый. Тогда, обозначив столбцы как А₁,А₂,…,А_k,…,А_n запишем линейную комбинацию для столбца k:

А_k = ₁A₁+ ₂A₂+ … + _k-1A_k-1+ _k+1A_k+1+…+_nA_n

Если вместо элементов k-го столбца в исходной матрице А записать данную комбинацию, то используя свойство 7 определитель матрицы А можно представить в виде (k – 1) определителя, в каждом из которых будут два пропорциональных столбца. Тогда, каждый из таких определителей равен нулю ( следствие 2 из свойства 7).

Свойство 11. Перед его формулировкой введем определение.

Определение. Матрица вида , где А, В, С квадратные матрицы, называется ступенчатой матрицей.

Определитель ступенчатой матрицы равен произведению определителей диагональных клеток.

Пример. = = 1 – 1 = 0.

Свойства определителя — ZNZN📗

Добавить в конспект

НАВИГАЦИЯ ПО СТРАНИЦЕ

ПОЛНЫЙ ОТВЕТ

БЕЗ ВОДЫ

Без воды — краткий вариант ответа,
легко понять и запомнить

Верно ли утверждение?

Тупая зубрёжка работает. Даже когда надо выучить массу новых сведений. Поэтому если готовиться к экзамену в ночь перед экзаменом, можно легко получить наивысший балл.

Верно!

Такой подход – прямой билет на станцию «пересдача». Освой метод флэш-карточек, и тогда к экзаменам не придётся открывать конспект с ощущением, что всё забыто.

Верно ли утверждение?

Верно!

Свойства определителя:

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
Определители матрицы с нулевой строкой или столбцом равен нулю.
При транспонировании определитель матрицы не меняется. Свойство справедливо и для столбцов.
Если матрица BBB получена из матрицы AAA умножением каждого элемента некоторой строки элементом поля PPP, то определитель матрицы ∣B∣=α∣A∣|B|= \alpha |A|∣B∣=α∣A∣. Общий множитель всех элементов некоторой строки (столбца) матрицы можно выносить за знак определителя.
Если каждый элемент к n−ойn-ойn−ой строки матрицы AAA, есть сумма двух слагаемых akja_{kj}akj +++ bkjb_{kj}bkj, то определитель матрицы AAA равен сумме определителей двух матриц.
Если матрица BBB получается из матрицы AAA в результате перестановки двух строк, то ∣B∣=−∣A∣|B|=-|A|∣B∣=−∣A∣.
Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
Определитель матрицы не изменится если элементом одной строки матрицы прибавить соответствующие элементы другой её строки, умноженные на одно и то же число.
Если AAA и BBB квадратной матрицы порядка nnn над полем PPP, то ∣AB∣=∣A∣∣B∣|AB|=|A||B|∣AB∣=∣A∣∣B∣.

Верно ли утверждение?

Верно!

Верно ли утверждение?

Верно!

линейная алгебра — Определитель блочной нижней треугольной матрицы

Здесь представлен подход, который не опирается ни на явное определение определителя, ни на какое-либо понятие обратного. Вместо этого мы можем начать с трех основных свойств, которым должна удовлетворять определяющая функция. Вот эти три свойства:

(1) Det(I) = 1

(2) Функция Det() полилинейна в каждой из строк (столбцов) отдельно, при условии, что все остальные строки (столбцы) остаются постоянными

(3) Если матрица M не имеет полного ранга, Det(M)=0

Артин показал, что только эти три свойства однозначно определяют вид детерминантной функции (здесь я этого не доказываю). Свойство 3, которое я здесь использую, немного более общее, чем то, что использовал Артин, но оно столь же интуитивно понятно и позволяет мне пропустить шаг. Во-первых, вы можете показать, что

$$ Дет \begin{pматрица} А & 0 \\ CD \end{pматрица} «=» Дет \begin{pmatrix} А & 0 \\ 0 и Д \end{pматрица} $$

9*)=Дет(А)*Дет(D) $$

РЕШЕНО: Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на ее главной диагонали. В частности, если A = [ay] — треугольная матрица Xn, то дет(А) 311822 Докажите теорему выше. Если 4 нижний треугольный; тогда 4 является верхнетреугольной. Так как det(A) = det/AT), если мы докажем результат для верхних треугольных матриц, он будет хорошо доказан для нижних треугольных матриц: Итак, предположим верхнетреугольную. Основой для индукции является случай n, где A = [21-] ad det(A) который явно является «произведением» записей на диагонали. Теперь предположим, что утверждение держится за верхние треугольные матрицы, и пусть A — (n + 1) x (n + 1) верхнетреугольная матрица.

Используя разложение на кофакторы по первой строке, мы получаем det(A) 1 2 n+1 2 — -, н дет 4 -1, н +1) -10 поэтому, применяя индуктивное предположение, мы получаем 822- 211222 нет 10 доказательство результата для (n + 1) x (n + 1) матриц So по индукции; утверждение верно для всех

Вопрос

Пошаговый ответ

Видео Ответ:

Решает проверенный специалист

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на ее главной диагонали. В частности, если A = [ay] — треугольная матрица Xn, то дет(А) 311822 Докажите теорему выше. Если 4 нижний треугольный; тогда 4 является верхнетреугольной. Так как det(A) = det/AT), если мы докажем результат для верхних треугольных матриц, он будет хорошо доказан для нижних треугольных матриц: Итак, предположим верхнетреугольную. Основой для индукции является случай n, где A = [21-] ad det(A) который явно является «произведением» записей на диагонали. Теперь предположим, что утверждение держится за верхние треугольные матрицы_ и пусть A будет {(n + 1) x (n + 1) верхней треугольной матрицей Используя разложение на кофакторы вдоль первой строки, мы получим Дет (А) ~1 2 n+1 2 — -, n _ det{ 4 -1,n + 1) -10 — det{A 0+, 0 + 1 Но А является хп-мангулярной матрицей Люппера с диагональными элементами 1,0 + 11′ det(A) 10 дет{А 1,0 поэтому, применяя индуктивное предположение, мы получаем 822- 211222 нет 10 — 1 ‘ доказательство результата для (n + 1) x (n + 1) матриц_ So по индукции; утверждение верно для всех

Рекомендованные видео

Стенограмма

via должен доказать, что в треугольной матрице, которую можно обозначить как a, равно IJ, порядок которого N на N. Определитель a равен произведению диагональных элементов , то есть 11,822 и так далее. К а. Так произошло с треугольными матрасами. Как мы собираемся доказать это, сначала поймите, что у нас есть два типа треугольных матрасов, нижние треугольные матрасы и верхние треугольные матрасы в нижних треугольных матрасах, давайте предположим, что это ведущие диагональные входы в нижних треугольных матрасах. Все эти элементы, находящиеся здесь, будут ненулевыми, и члены, находящиеся здесь, будут равны нулю, а верхние треугольные матрацы будут иметь ненулевые элементы здесь, и это поможет нулевым элементам здесь. Итак, нам нужно доказать теорему для обоих типов матрасов. Прежде всего поймите, что если A — нижняя треугольная матрица, мы знаем, что транспонирование будет, у меня треугольная матрица. В этом случае мы можем сказать, что определитель a равен определителю транспонирования. Итак, что мы можем сказать, так это то, что если мы докажем теорему для верхних треугольных матрасов, мы можем сказать, что теорема о полюсе также применима и к нижним треугольным матрасам. Мы можем начать и с нижней треугольной матрицы, но давайте остановимся на этом случае. Воспользуемся принципом математической индукции для доказательства теоремы. Итак, давайте считать, что N равно единице, то есть мы рассматриваем матрицу, у которой один элемент li равен 11, здесь заметим, что это верхнетреугольная матрица и ее определитель. Если это матрица а, определитель а равен 11 который на самом деле является произведением диагональных записей. Таким образом, TRM выполняется для случая и равен единице. Так что можно считать, что TRM держится за матрас такой формы и покупать его. Это означает, что если матрица является верхнетреугольной матрицей и имеет порядок, то в конце мы можем сказать, что определитель а равен а 11822 и так далее до объединения. Теперь нам нужно доказать теорему для матрицы порядка N плюс один на N плюс один. Обозначим эту матрицу как A, а ее порядок N плюс один крест и плюс один здесь поглощены тем, что это не верхнетреугольная матрица. Итак, в качестве теста N плюс одна роза и n плюс один столбец. Члены под ведущими диагональными элементами будут равны нулю. Это будет последний член ведущей диагональной записи, и это будет A. M плюс один и плюс один. Мы хотим найти определитель этой матрицы и определитель матрицы a, и он будет равен Мы рассматриваем этот элемент как умножение, поэтому он будет N плюс один и плюс один раз больше определителя матрицы. Это тот, который таков, что это требуемый определитель наблюдаемого, что эта матрица также является верхней треугольной матрицей, и она имеет порядок. И мы знаем, что TRM выполняется для n на N матриц. Значит, определитель этой матрицы будет равен в плюс один и плюс один. Это 1, 1, A 2, 2 и т. д. Да, если мы перепишем это выражение, то получим 11822 и т. д. Луковице, N A n плюс 1, 10 плюс один. Определитель верхней треугольной матрицы, порядки которой плюс один на N плюс один, также может быть возвращен в ST-произведение его ведущих элементов Рэндалла. Таким образом, теорема верна для любой верхней треугольной матрицы. Итак, отсюда мы можем сказать, что теорема верна для любых треугольных матрасов, так что это все.