Первообразная cosx: Mathway | Популярные задачи

Содержание

Тест: Первообразная — Математика 11 класс

Английский язык

Астрономия

Белорусский язык

Биология

География

ИЗО

Информатика

История

Итальянский язык

Краеведение

Литература

Математика

Музыка

Немецкий язык

ОБЖ

Обществознание

Окружающий мир

ОРКСЭ

Русский язык

Технология

Физика

Физкультура

Химия

Черчение

Для учителей

Дошкольникам

VIP — доступ

Предметы
Математика
11 класс
Первообразная

Первообразная

Тест расчитан на закрепление материала основных свойств первообразной и на внимательность ученика.

Математика 11 класс | Автор: Солодухина Виктория Евгеньевна | ID: 17390 | Дата: 4.9.2022

Помещать страницу в закладки могут только зарегистрированные пользователи

Зарегистрироваться

Вопрос № 1

Найдите общий вид перообразных для функции f(x)=3x-4x^3

f(x)=6x-x^3+c
f(x)=-12x^2+c
f(x)=3x-x^5+c
f(x)=3x-x^4+c

Вопрос № 2

Найдите первообразную для функции f(x)=e^x+12sin(x)

f(x)=2e^2x+12cos(x)+x
f(x)=e^x-12cos(x)+c
f(x)=12cos(x)+c

Вопрос № 3

Найдите общий вид первообразных для функции f(x)=2x+sinx

f(x)=2-cosx+c
f(x)=x^2-cosx+c
f(x)=x^3+cosc+x

Вопрос № 4

Определить, является ли функция F(x)=x^3 первообразной функции f(x)=3x^2

да
нет

Вопрос № 5

Найдите общий вид первообразных для функции f(x)=-5

-5x
5x+c
-5x+c

Вопрос № 6

Первообразная функции cosx и производная функции cosx равны соответственно

sinx; -sinx
-sinx; -sinx
-sinx; sinx

Вопрос № 7

Найдите первообразную функции f(x)=(x-7)^5

f(x)=((x-7)^6)/6+c
f(x)=(x-7)^6+c
f(x)=x/5+c

Вопрос № 8

Является ли функция F(x)=x^4-3x^2+9 первообразной для функции f(x)=4x^3-x^2+9

да
нет

Вопрос № 9

Какие из данных функций являются первообразной для функции y=1-2cos^2(x)

2-1/2sin2x
x+cos^3(x)
1/2sin2x+1

Вопрос № 10

Первообразная постоянной функции f(x)=2 равна

0
2x
2

Показать ответы

Получение сертификата
о прохождении теста

Доступно только зарегистрированным пользователям

E-mail администратора: [email protected]

Мэтуэй | Популярные задачи

92) 9(3x) по отношению к x 92+1

1	Найти производную — d/dx	бревно натуральное х
2	Оценить интеграл	интеграл натурального логарифма x относительно x
3	Найти производную — d/dx
21	Оценить интеграл	интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22	Найти производную — d/dx	грех(2x)
23	Найти производную — d/dx
41	Оценить интеграл	интеграл от cos(2x) относительно x
42	Найти производную — d/dx	1/(корень квадратный из х)
43	Оценка интеграла 9бесконечность
45	Найти производную — d/dx	х/2
46	Найти производную — d/dx	-cos(x)
47	Найти производную — d/dx	грех(3x)
68	Оценить интеграл	интеграл от sin(x) по x
69	Найти производную — d/dx	угловой синус(х)
70	Оценить предел	ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85	Найти производную — d/dx	лог х
86	Найти производную — d/dx	арктан(х)
87	Найти производную — d/dx	бревно натуральное 5х92

Интеграл от Cos x — формула, доказательство, примеры l Интегрирование Cos x

Прежде чем искать интеграл от cos x, вспомним, что такое интеграл. Интеграл есть не что иное, как антипроизводная. Антипроизводная, как следует из ее названия, может быть найдена с помощью обратного процесса дифференцирования. т. е.

Дифференцирование — это нахождение f'(x) из f(x).
Интегрирование — это нахождение f(x) по f'(x).

Таким образом, интегрирование cos x находится с помощью дифференцирования. Давайте посмотрим больше на интеграл от cos x вместе с его формулой и доказательством (в разных методах).

1.	Что такое интеграл от Cos x?
2.	Доказательство интеграла от Cos x по производным
3.	Доказательство интеграла от Cos x методом подстановки
4.	Определенный интеграл от Cos x
5.	Графическое представление интеграла от Cos x
6.	Часто задаваемые вопросы по интегралу Cos x

Чему равен интеграл от cos x?

Интеграл от cos x dx равен sin x. Математически это записывается как ∫ cos x dx = sin x + C , где C — постоянная интегрирования. Здесь,

‘∫’ является символом интеграции и известен как «интеграл»
cos x подынтегральная функция
dx означает, что интегрирование производится по x.

Но как сделать интегрирование cos x? Мы собираемся найти интеграл от cos x различными методами, такими как использование производных и метод подстановки в следующих разделах.

Доказательство интеграла от Cos x по производным

Интеграция – процесс, противоположный (обратный) дифференциации. Таким образом, чтобы найти интеграл от cos x, мы должны увидеть, дифференцируя, какая функция даст нам cos x. т. е. мы должны видеть

d/dx \(\fbox{?}\) = cos x.

Вспомним формулы дифференцирования и найдем какую-нибудь формулу, которая дает нам cos x как производную. Да, мы нашли одну формулу, которая говорит, что d/dx (sin x) = cos x.

Таким образом, производная от sin x равна cos x. Таким образом, интегрирование cos x (антипроизводная) должно быть sin x. Мы должны добавить константу интегрирования после интегрирования любой функции. Таким образом, мы имеем

∫ cos x dx = sin x + C

Отсюда доказано.

Доказательство интеграла от Cos x методом подстановки

Мы можем доказать, что интеграл от cos x равен sin x + C, используя метод подстановки. Для этого предположим, что y = cos x. Тогда dy/dx = -sin x (или)

dy = -sin x dx

По тригонометрическим тождествам sin x = √1 — cos²x. Тогда приведенное выше уравнение принимает вид

dy = -√1 — cos²x dx

dy = -√1 — y² dx

-dy / √1 — y² = dx

Умножение обеих частей на cos x,

(-cos x dy) / √1 — y² = cos x dx

Снова подставьте cos x = y в левой части.

(-y dy) / √1 — y² = cos x dx

Интегрируя с обеих сторон,

∫ (-y dy) / √1 — y² = ∫ cos x dx

Пусть 1 — y² = u.

Тогда -2y dy = du (или) -y dy = 1/2 du.

Тогда приведенный выше левосторонний интеграл принимает вид1028 du = ∫ cos x dx

Используя одну из формул интегрирования, ∫ x ⁿ dx = (x ⁿ⁺¹ )/(n+1) + C. Таким образом, мы получаем

(1/2) (u ^1/2 / (1/2)) + C = ∫ cos x dx

u ^1/2 + C = ∫ cos x dx

Подставляя здесь u = 1 — y²,

( 1 — y²) ^1/2 + C = ∫ cos x dx

Замените y = cos x здесь,

(1 — cos²x) ^1/2 + C = ∫ cos x dx

( sin²x) ^1/2 + C = ∫ cos x dx

sin x + C = ∫ cos x dx

Отсюда доказано.

Определенный интеграл от Cos x

Мы знаем, что ∫ cos x dx = sin x + C. Итак, по основной теореме исчисления ∫ₐ ^ᵇ cos x dx = [sin b + C] — [sin a + C] = sin b + C — грех а — С = грех б — грех а. Обратите внимание, что константа интегрирования C НЕ присутствует в определенном интеграле от cos x. Поэтому мы всегда игнорируем C при вычислении определенного интеграла.

Давайте посмотрим на некоторые примеры.

∫₀ ^π cos x dx = [sin x]₀ ^π
= sin π — (sin 0)
= 0 — 0
= 0
∫₀ ^π/2 cos x dx = [sin x]₀ ^π/2
= sin π/2 — (sin 0)
= 1 — 0
= 1

Графическое представление интеграла от Cos x

Интеграл функции в интервале есть не что иное, как площадь, занимаемая ее графиком в этом интервале. Теперь построим график функции f(x) = cos x и вычислим приблизительную площадь под кривой для некоторых интервалов, используя геометрические формулы. Кроме того, мы вычислим точные площади, используя определенный интеграл от cos x в тех же интервалах, и сравним оба результата.

Теперь вычислим площади под кривой y = cos x в каждом из интервалов [0, π/2] и [0, π]. Для расчета примерных площадей мы нарисовали треугольники. Точную площадь не называют. Из рисунка видно, что площадь, рассчитанная с использованием треугольников, меньше фактической площади, поскольку треугольник (треугольники) не покрывает всю площадь под кривой.

Интервал	Ручная область	Площадь по определенному интегралу
[0, π/2]	Площадь треугольника = 1/2 × π/2 × 1 = π/4 ≈ 0,8	∫₀ ^π/2 cos x dx = [sin x]₀ ^π/2 = 1
[0, π]	Площадь треугольника = (1/2 × π/2 × 1) — (1/2 × π/2 × 1) = π/4 — π/4 ≈ 0	∫₀ ^π соз х дх = [sin x]₀ ^π = 0

Числа во втором и третьем столбцах (приблизительно) равны (во всяком случае, числа во втором столбце меньше чисел в третьем столбце, так как треугольники НЕ покрывают всю площадь). Таким образом, интеграл от cos x равен sin x и доказан геометрически.

Темы, относящиеся к интегралу от Cos x:

Вот некоторые темы, которые могут вас заинтересовать при интегрировании cos x.

Исчисление
Калькулятор интегралов
Приложения интегралов
Калькулятор определенных интегралов
Калькулятор производных
Расчетный калькулятор
Интеграл греха x

Часто задаваемые вопросы по интегралу от Cos x

Что такое интеграл от Cos x?

Интеграл от cos x равен sin x + C, т. е. ∫ cos x dx = sin x + C. Здесь C — постоянная интегрирования.

Интеграл от Cos x равен — Sin x?

Нет, интеграл от cos x НЕ равен -sin x, фактически интегрирование cos x равно sin x + C.

Как найти интеграл от Cos x?

Имеем d/dx (sin x) = cos x. Следовательно, интеграл от cos x, являющийся первообразной cos x, равен sin x + C.

Чему равен интеграл от Cos x от 0 до 2π?

Мы знаем, что ∫ cos x dx = sin x. Если мы применим пределы 0 и 2π, мы получим sin 2π — (sin 0) = 0 — 0 = 0,

Почему интеграл от Cos x равен Sin x?

Мы знаем, что производная от sin x равна cos x. Поскольку интеграл есть не что иное, как антипроизводная, интеграл от cos x равен sin x (конечно, мы добавляем к этому постоянную интегрирования C).

Что такое антипроизводная Cos x?

Первообразная cos x есть не что иное, как интегрирование cos x и, следовательно, она равна sin x + C.

Что такое интеграл от Cos 3x?

Пусть 3x = u, тогда 3 dx = du.