§6. Примеры движения тела. Методы решения задач. — ЗФТШ, МФТИ
Рассмотрим некоторые характерные примеры движения тела, знание которых будет полезно при дальнейшем изучении физики.
1.Равномерное прямолинейное движение тела.
При равномерном прямолинейном движении тело совершает равные перемещения `Delta vecr` за одинаковые промежутки времени `Delta t`. Иными словами, скорость `vec v` тела не зависит от времени и остаётся постоянной в процессе движения:
При этом зависимость `vec r(t)` имеет вид:
где `vec r_0` — радиус-вектор тела в начальный момент времени $$ t=0$$ . В этой связи вспомним замечание о начальных условиях, сделанное в §4. Вектор $$ {\overrightarrow{r}}_{0}$$ здесь является тем начальным условием, которое позволяет однозначно определить радиус-вектор $$ \overrightarrow{r}$$ тела в любой момент времени в процессе движения.
Векторное уравнение (7) равносильно системе двух скалярных уравнений, выражающих зависимость от времени $$ t $$ координат $$ x$$ и $$ y$$ движущегося тела:
где $$ {x}_{0}$$ и $$ {y}_{0}$$ — начальные координаты тела в момент времени $$ t=0$$, а $$ {v}_{x}$$ и $$ {v}_{y}$$ -проекции вектора скорости `vecv` на координатные оси $$ Ox$$ и $$ Oy$$ соответственно.
Траектория равномерного прямолинейного движения тела графически представляет собой отрезок прямой линии (рис. 9), тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен отношению проекций скорости на оси координат: $$ \mathrm{tg}\alpha ={v}_{y}/{v}_{x}$$. Аналитическое уравнение траектории, т. е. зависимость $$ y\left(x\right)$$, легко получить, исключив параметр $$ t$$ из системы уравнений (8):
2. Неравномерное движение тела.
Для неравномерного движения характерно то, что с течением времени изменяется скорость движущегося тела, а в общем случае и его ускорение
. В качестве примера может служить движение, при котором тело проходит различные участки своего пути с разной скоростью. Такое движение принято характеризовать, прежде всего, средней путевой скоростью. Причём прилагательное «путевая» в условиях задач часто опускается.Другим характерным примером неравномерного движения служит так называемое равнопеременное движение, которое целесообразно рассмотреть подробно, не выходя при этом за рамки школьной программы.
3. Равнопеременное движение.
Равнопеременным называется такое неравномерное движение, при котором скорость `vec v` за любые равные промежутки времени `Delta t` изменяется на одинаковую величину `Deltavecv`. В этом случае ускорение `veca` тела не зависит от времени и остаётся постоянным в процессе движения:
(при этом `vec v != «const»`, и траектория движения не обязательно прямолинейная).
где `vecv_0` — скорость тела в начальный момент времени `t=0`.
В свою очередь, зависимость `vecr(t)` имеет вид:
где `vecr_0` — начальный радиус-вектор тела при `t=0`. Вновь заметим, что величины `vecv_0` и `vecr_0` представляют собой начальные условия, позволяющие в любой момент времени однозначно определить векторы `vecv` и `vecr`.
При координатном способе описания равнопеременного движения векторным уравнениям (11) и (12), равносильны следующие системы уравнений для проекций скорости и радиус-вектора тела на оси выбранной системы отсчёта. 2)/(2a_x)`.
Удобство этой формулы заключается в том, что она не содержит времени $$ t$$ в явном виде. Вместе с тем надо помнить, что формула получена в предположении о неизменности направления движения тела.
Одним из наиболее наглядных примеров равнопеременного движения является движение тела в поле тяжести Земли, которое мы имеем возможность наблюдать повседневно. Для решения задач в этом случае надо заменить в приведённых выше формулах вектор $$ \overrightarrow{a}$$ на ускорение свободного падения $$ \overrightarrow{g}$$, сообщаемое силой гравитационного притяжения всякому телу, движущемуся в поле тяжести Земли. Рассмотрим три конкретных случая такого движения.
Движение тела, брошенного вертикально.
Тело бросили с поверхности земли, сообщив ему начальную скорость $$ {\overrightarrow{v}}_{0}$$ направленную вертикально вверх. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время $$ \tau $$ полёта тела до момента падения на землю; скорость тела в момент падения; максимальную высоту $$ H$$ подъёма тела над землёй; время $$ {\tau }_{1}$$ подъёма тела на максимальную высоту; путь `S`, пройденный телом за время полёта и перемещение тела. {2}+\mathrm{tg}\alpha x$$.
График траектории тела представляетсобой участок параболы, ветви которой направлены вниз.
Глава 1. Путь, перемещение, скорость. Движение с постоянной скоростью. Относительность движения
В рамках этой темы необходимо знать ряд простых определений, понимать логику определения скорости и закона сложения скоростей.
Перемещением тела называется вектор, связывающий начальное и конечное положение тела, а пройденным путем — длина траектории. Поэтому величина(или модуль) перемещения — это расстояние от конечной до начальной точки по прямой, а путь — расстояние траектории тела. В задаче 1.1.1 пройденный телом за четверть периода путь — длина четверти окружности , перемещение — (см. рисунок), правильный ответ — 3.
Скорость тела определяется как отношение перемещения тела ко времени , затраченному на это перемещение
(1.1) |
Для прямолинейного движения в одном направлении для величины вектора скорости получаем из (1.
(1.2) |
где — путь, пройденный за время . Если определение (1.1) приводит к одной и той же величине для любого интервала времени , то скорость тела есть величина постоянная, а такое движение называется равномерным (задача 1.1.2 — ответ 4). В этом случае согласно (1.1) и (1.2) перемещение и пройденный путь линейно зависят от времени и . По этой причине линейно зависят от времени и координаты тела в любой системе координат. Поэтому графиком зависимости координат тела от времени для равномерного движения является прямая (задача 1.1.3 — ответ 1). Как следует из (1.1), (1.2), наклон этой прямой определяется скоростью: чем больше скорость, тем «круче» наклонен график зависимости координаты тела от времени к оси времени. Поэтому в задаче 1.1.4 на каждом из интервалов времени — от 0 до 1 с, от 1 до 2 с, от 2 до 3 с и от 3 до 4 с движение тела будет равномерным, а самой большой скорость тела будет в интервале времени от 3 до 4 с, в котором наклон графика максимален (ответ
В задаче 1.1.5 нужно по графику зависимости координаты тела от времени найти его скорость. Это можно сделать так. Перемещение тела внутри каждого из интервалов времени — 0–1, 1–2 и 2–3 с — разность координат тела вначале и в конце этого интервала. Поэтому из графика находим
Таким образом, скорость тела равна 2 м/с внутри интервала времени 1–2 с (ответ 2).
Задача 1.1.6 посвящена размерности скорости. Из определения заключаем, что размерность скорости есть
И, следовательно, размерностью скорости могут быть
(или любые другие отношения единиц расстояний и времени). Для пересчета скорости из одних единиц в другие нужно выразить расстояние и время в требуемых единицах. Например, в задаче 1.1.6 имеем
(правильный ответ — 3).
При движении с постоянной скоростью определения (1.1) или (1.2) могут быть применены к любым этапам движения. Например, в задаче 1.1.7 можно из данных о движении жука вдоль периметра прямоугольника найти его скорость (=14/7=2 см/с), а затем использовать ее для описания движения жука вдоль диагонали (длина которой составляет 5 см): 1=5/2=2,5 с (правильный ответ 2).
Аналогичные соотношения используются в задаче 1.1.8. Рассматривая движение автомобиля на одной трети пути, получаем , где — расстояние между городами. А на оставшихся двух третях (с учетом трехкратного увеличения скорости) 1. Поэтому полное время движения равно (ответ 1).
В задаче 1.1.9 следует использовать следующее свойство графика зависимости проекции скорости тела на некоторую ось от времени: площадь под этим графиком есть проекция перемещения тела на рассматриваемую ось. Причем площадь под участками графика, лежащими выше оси времени, нужно считать положительной, ниже оси времени — отрицательной. Если же все площадь под всеми участками графика считать положительной, площадь под графиком скорости дает пройденный телом путь. Находя площадь под данным в условии графиком, получаем
(ответ — 4).
Важным физическим законом, знание которого часто проверяется на едином государственном экзамене по физике, является закон сложения скоростей. Этот закон утверждает, что скорости одного и того же тела по отношению к разным системам отсчета связаны соотношением
(1.3) |
Здесь и — скорости тела относительно первой и второй системы отсчета, — скорость второй системы отсчета относительно первой. Закон сложения скоростей является векторным. Это означает, три вектора , и образуют треугольник векторного сложения, и соотношение между величинами скоростей , и — такое же, как и между длинами сторон треугольника. Углы этого треугольника равны углам между направлениями скоростей , и .
Примеры треугольников сложения скоростей приведены на рисунке, причем на среднем и правом рисунке приведены примеры «треугольников» скоростей в случаях, когда скорость тела в системе 2 и скорость системы 2 относительно системы 1 направлены одинаково (средний рисунок) и противоположно (правый рисунок). Из этих рисунков следует, что скалярное соотношение, аналогичное (1. 3) для величин скоростей , справедливо только, если векторы и направлены одинаково (средний рисунок). Если же векторы и направлены противоположно, для значений скоростей справедливо соотношение (или наоборот , если — правый рисунок. Из этих рассуждений ясно, что поскольку в задаче 1.1.10 векторы скорости пассажира относительно поезда и поезда относительно земли направлены одинаково, скорость пассажира относительно земли равна (правильный ответ —
В задаче 1.2.2 эти идеи применяются к движению лодки по и против течения. Из закона сложения скоростей заключаем, что при движении лодки по течению ее скорость относительно земли равна , при движении против течения — ( — скорость лодки в стоячей воде, — скорость течения). Отсюда находим, что при движении лодки по течению, ее скорость относительно земли 15 км/ч, а при движении против течения — 5 км/ч. Поэтому время движения между городами и по течению втрое больше времени движения лодки между этими городами против течения (ответ — 2).
Все следующие задачи этой главы являются более сложными, поскольку в них рассматривается движение не одного, а двух тел, а закон сложения скоростей используется в случаях, когда векторы скоростей не направлены вдоль одной прямой. В задаче 1.2.3 встреча тел происходит в такой точке, что расстояния, пройденные первым и вторым телом, отличаются втрое (так как в три раза отличаются скорости тел). Поэтому при выходе из точки тела встретятся в такой точке , что длины дуг отличаются в три раза. Следовательно, угол — прямой, и длина отрезка равна . (ответ 4).
Если два тела, начав движение одновременно, движутся навстречу друг другу (задача 1.2.4), то время встречи тел можно найти следующим образом. Так как тела двигались до встречи одинаковое время, они прошли расстояния и , сумма которых равна первоначальному расстоянию между телами . Поэтому (ответ 2). Отметим, что данные в условии задачи ответы 3 и 4 имеют неправильную размерность — 1/с и потому могут быть отброшены сразу.
Задача 1.2.5 решается с помощью таких соображений: время движения первого пешехода между городами , второго — , встречи пешеходов (см. предыдущую задачу). Отсюда
Сокращая в этой формуле величину , получаем
или ч (правильный ответ — 1).
В задаче 1.2.6 начальное и конечное положения вагона и человека показаны на правой и левой частях рисунка.
Отсюда заключаем, что разность перемещений вагона и человека равна длине вагона . Поэтому время, через которое провожающий окажется около конца вагона, определяется из соотношения . Из этой формулы находится время, а затем и расстояние, пройденное провожающим (ответ 1). Отметим, что ответы 3 и 4 могли быть отброшены сразу, поскольку не описывают случай одинаковых скоростей. Действительно, при одинаковых скоростях вагон никогда не обгонит провожающего, и расстояние, пройденное при «обгоне» провожающим, должно обратиться в бесконечность. Другими словами, ответ должен содержать нуль в знаменателе при .
Задача 1.2.7 посвящена вычислению средней скорости движения на некотором пути, которая определяется как отношение этого пути к затраченному времени. Если расстояние между городами и равно , то полное время движения между городами складывается из времен, затраченных на первую и вторую половины пути
Отсюда находим км/ч (правильный ответ — 3).
В задачах 1.2.8–1.2.9 закон сложения скоростей рассматривается в ситуациях, когда векторы , и направлены не вдоль одной прямой. В этом случае необходимо использовать закон сложения скоростей в векторной форме (1.3). Когда человек в поезде идет перпендикулярно направлению его движения (задача 1.2.8), треугольник сложения скоростей (1.3) имеет вид, показанный на рисунке.
Здесь — вектор скорости поезда относительно земли, — вектор скорости человека относительно поезда, который по условию направлен перпендикулярно вектору . Поэтому согласно закону сложения скоростей вектор скорости человека относительно земли представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются векторы и (см. рисунок). Следовательно, величину скорости человека относительно земли можно найти по теореме Пифагора (ответ 3).
Задачи 1.2.9. и 1.2.10 удобнее решать, переходя из той системы отсчета, в которой задача поставлена (в системе отсчета, связанной с землей) в некоторую другую систему, в которой рассматриваемое явление является более простым. При переправе через реку (задача 1.2.9) скорость лодки относительно земли зависит от траектории — на траекториях, направленных под острыми углами к течению, скорость лодки больше, чем на траекториях, на которых угол между скоростью лодки и скоростью течения — тупой. Поэтому время переправы по самой короткой траектории (перпендикулярной берегам) не является минимальным. Траекторию с минимальным временем переправы легко найти в системе отсчета, связанной с водой. В этой системе отсчета вода покоится, и, следовательно, минимальное время переправы достигается на такой траектории, на которой вектор скорости лодки относительно воды перпендикулярен берегам реки. Поэтому вектор скорости лодки относительно земли на этой траектории наклонен под углом к течению (см. рисунок). Под таким углом к берегу и расположена траектория, на переправу по которой лодка затрачивает минимальное время (правильный ответ — 1).
В задаче 1.2.10 рассматривается движение трех тел. В системе отсчета, связанной с землей ответ неочевиден. Быстрый катер дольше уплывет от лодки, но будет двигаться быстрее и при обратном движении, медленный — наоборот. Однако если перейти в систему отсчета, связанную с водой, решение очень несложно. В этой системе отсчета плот покоится, каждый катер при движении от плота и к плоту движется с одинаковой скоростью. Поэтому каждый катер вернется к плоту через то же самое время после разворота, в течение которого он двигался от плота. Следовательно, катера вернутся одновременно (ответ 3).
Определение наклона линии по ее графику
Результаты обучения
- Учитывая график линии, определите наклон линии
- Определить наклон горизонтальной линии по уравнению
- Определить наклон вертикальной линии по уравнению
Теперь посмотрим на несколько графиков на координатной сетке, чтобы найти их наклоны. Метод будет очень похож на то, что мы только что смоделировали на наших геобордах.
Чтобы найти наклон, мы должны посчитать подъем и разбег. Но с чего начать?
Находим любые две точки на прямой. Мы стараемся выбирать точки с целыми координатами, чтобы упростить наши вычисления. Затем мы начинаем с точки слева и рисуем прямоугольный треугольник, чтобы мы могли сосчитать подъем и бег.
пример
Найдите наклон показанной линии:
Решение
Найдите на графике две точки, выбрав точки с целыми координатами. Мы будем использовать [латекс]\влево(0,-3\вправо)[/латекс] и [латекс]\влево(5,1\вправо)[/латекс].
Начиная с точки слева, [латекс]\влево(0,-3\вправо)[/латекс], нарисуйте прямоугольный треугольник, идя от первой точки ко второй точке, [латекс]\влево(5 ,1\справа)[/латекс].
| Считайте подъем на вертикальной стороне треугольника. | Рост составляет [латекс]4[/латекс] единицы. |
| Считайте пробег на горизонтальной ноге. | Пробег составляет [latex]5[/latex] единиц. |
| Используйте формулу уклона. | [латекс] м = {\ большой \ гидроразрыв {\ текст {подъем}} {\ текст {бег}}} [/ латекс] |
| Подставляем значения подъема и разгона. | [латекс] м = {\ большой \ гидроразрыва {4} {5}} [/латекс] |
| Наклон линии равен [latex]{\Large\frac{4}{5}}[/latex] . |
Обратите внимание, что наклон положительный, поскольку линия наклонена вверх слева направо.
попробуй
Найдите наклон по графику
- Найдите на прямой две точки с целыми координатами.
- Начиная с точки слева, нарисуйте прямоугольный треугольник, идущий от первой точки ко второй точке.
- Считайте подъем и разбег по сторонам треугольника.
- Возьмите отношение подъема к пробегу, чтобы найти уклон. [латекс] м = {\ большой \ гидроразрыв {\ текст {подъем}} {\ текст {бег}}} [/ латекс]
пример
Найдите наклон показанной линии:
Показать решение
Обратите внимание, что наклон отрицательный, поскольку линия наклонена вниз слева направо.
Что, если бы мы выбрали разные точки? Давайте снова найдем наклон линии, на этот раз используя другие точки. Мы будем использовать точки [латекс]\влево(-3,7\вправо)[/латекс] и [латекс]\влево(6,1\вправо)[/латекс].
Начиная с [латекс]\влево(-3,7\вправо)[/латекс], нарисуйте прямоугольный треугольник до [латекс]\влево(6,1\вправо)[/латекс].
| Подсчет подъема. | Рост составляет [латекс]−6[/латекс]. |
| Подсчет пробега. | Пробег [латекс]9[/латекс]. |
| Используйте формулу уклона. | [латекс] м = \ большой \ гидроразрыв {\ текст {подъем}} {\ текст {бег}} [/ латекс] |
| Подставляем значения подъема и разгона. | [латекс] м = {\ большой \ гидроразрыв {-6} {9}} [/латекс] |
| Упростите дробь. | [латекс] м = — {\ Большой \ гидроразрыва {2} {3}} [/ латекс] |
| Наклон линии [латекс] — {\большой\разрыв{2}{3}}[/латекс]. |
Неважно, какие точки вы используете — наклон линии всегда одинаков. Наклон линии постоянный!
попробуйте
Линии в предыдущих примерах имели [latex]y[/latex] -отрезки с целыми значениями, поэтому было удобно использовать y -intercept как одну из точек, которые мы использовали для нахождения наклона . В следующем примере [latex]y[/latex] -intercept представляет собой дробь. Вычисления упрощаются, если мы используем две точки с целочисленными координатами.
пример
Найдите наклон показанной линии:
Показать решение
попробуйте
В следующем видео мы покажем еще один пример того, как найти наклон линии по графику. Этот график имеет положительный наклон.
В следующем видео мы покажем еще один пример того, как найти наклон линии по графику. Этот график имеет отрицательный наклон.
Вы помните, что было особенного в горизонтальных и вертикальных линиях? В их уравнениях была только одна переменная.
- горизонтальная линия [латекс]y=b[/латекс]; все координаты [latex]y[/latex] одинаковы.
- вертикальная линия [латекс]х=а[/латекс]; все координаты [latex]x[/latex] одинаковы.
Так как же найти наклон горизонтальной линии [latex]y=4?[/latex] Один из подходов состоит в том, чтобы построить график горизонтальной линии, найти на ней две точки и подсчитать подъем и уклон. Давай посмотрим что происходит. Мы будем использовать две точки [латекс]\влево(0,4\вправо)[/латекс] и [латекс]\влево(3,4\вправо)[/латекс] для подсчета подъема и бега.
| Что такое рост? | Рост равен [латекс]0[/латекс]. |
| Какой пробег? | Прогон: [латекс]3[/латекс]. |
| Какой уклон? | [латекс] м = \ большой \ гидроразрыв {\ текст {подъем}} {\ текст {бег}} [/ латекс] |
| [латекс] м = {\ большой \ гидроразрыва {0} {3}} [/латекс] | |
| [латекс]м=0[/латекс] |
Наклон горизонтальной линии [latex]y=4[/latex] равен [latex]0[/latex].
Все горизонтальные линии имеют наклон [latex]0[/latex] . Когда [latex]y[/latex] -координаты одинаковы, подъем равен [latex]0[/latex] .
Наклон горизонтальной линии
Наклон горизонтальной линии [latex]y=b[/latex] равен [latex]0[/latex].
Теперь рассмотрим вертикальную линию, такую как линия [latex]x=3[/latex], показанная ниже. Мы будем использовать две точки [латекс]\влево(3,0\вправо)[/латекс] и [латекс]\влево(3,2\вправо)[/латекс] для подсчета подъема и бега.
| Что такое рост? | Рост составляет [латекс]2[/латекс]. |
| Какой пробег? | Прогон: [латекс]0[/латекс]. |
| Какой уклон? | [латекс] м = \ большой \ гидроразрыв {\ текст {подъем}} {\ текст {бег}} [/ латекс] |
| [латекс] м = {\ большой \ гидроразрыва {2} {0}} [/латекс] |
Но мы не можем делить на [латекс]0[/латекс]. Деление на [латекс]0[/латекс] не определено. Итак, мы говорим, что наклон вертикальной линии [latex]x=3[/latex] не определен. Наклон всех вертикальных линий не определен, потому что пробег равен [latex]0[/latex].
Наклон вертикальной линии
Наклон вертикальной линии [latex]x=a[/latex] не определен.
пример
Найдите наклон каждой линии:
1. [латекс]x=8[/латекс]
2. [латекс]y=-5[/латекс]
Решение
1. [латекс ]x=8[/latex]
Это вертикальная линия, поэтому ее наклон не определен.
2. [latex]y=-5[/latex]
Это горизонтальная линия, поэтому ее наклон равен [latex]0[/latex].
попробуйте
Краткое руководство по уклонам линий
В следующем примере показано, как определить наклон горизонтальных и вертикальных линий, нанесенных на оси координат.
Положение против времени график времени без ускорения
AllebildervideoSnewsmapsshoppingbücher
Sucoptionen
Позиция против времени №. .временные графики объясняются в ситуации отсутствия ускорения Джеймсом Данном для …
Dauer: 4:06
Прислан: 18.06.2010
Ähnliche Fragen
Как определить, что ускорение равно нулю на графике зависимости положения от времени?
Есть ли ускорение на графике зависимости позиции от времени?
Какой график без ускорения?
Каков график положения и времени для неподвижного объекта?
Графики зависимости положения и скорости от времени Без ускорения — YouTube
www.youtube.com › смотреть › v=kWl8CX6MgQo
09.06.2019 · Графики зависимости положения и скорости от времени Без ускорения. Посмотреть позже. Делиться. Копировать ссылку. Info …
Dauer: 9:22
Прислан: 09.06.2019
Что такое графики зависимости положения от времени? (статья) — Академия Хана
www.khanacademy.org › наука › физика › перемещение-скорость-время
Если график положения искривлен, наклон будет меняться, что также означает изменение скорости. Изменение скорости подразумевает ускорение. Итак, кривизна в …
Как определить график времени ускорения, который соответствует …
study.com › навык › учиться › как определить ускорение…
Шаг 1: По направлению графика (парабола) раскрытие. Выясните, является ли ускорение отрицательным или положительным. Если график представляет собой прямую линию, ускорение равно …
Графики положение-время: значение формы — The Physics Classroom
www.physicsclassroom.com › class › Lesson-3 › Th… Графики зависимости положения от времени для двух типов движения — постоянной скорости и изменяющейся скорости (ускорения) — изображаются следующим образом.
Графики скорость-время: значение формы — Класс физики
www.physicsclassroom.com › class › Lesson-4 › Me…
Принцип заключается в том, что наклон линии на скорости-времени график показывает полезную информацию об ускорении объекта. Если ускорение …
Физические графики движения
stickmanphysics. com › одномерное движение › p…
Физические графики движения, включая графики положения во времени и скорости во времени… Плоская линия на графике VT нет наклона, что означает отсутствие ускорения, и …
Фотографии
Все отчеты
Все отчеты
Графики положения и времени | CK-12 Foundation
flexbooks.ck12.org › раздел › основной › урок › стр…
09.08.2019 · Может ли линия на позиционно-временном графике иметь отрицательный наклон, то есть может ли она иметь наклон вниз слева направо? Почему или почему нет?
Графики неравномерного движения, ускорения и скорости во времени — SPh5C
lah.elearningontario.ca › public › exported › _content
Равномерное движение – это движение, при котором скорость не изменяется. … Это график положения и времени объекта, ускоряющегося или замедляющегося в отрицательном направлении.
ähnliche suceanfragen
Положение нулевого ускорения График
График ускорения
Скорость Время
Положительный график ускорения
Acceleration vs Time Graph
Конпорт.