Подобные треугольники свойства: Свойства подобных треугольников, с примерами

alexxlab / / Разное

Подобные треугольники | это… Что такое Подобные треугольники?

ТолкованиеПеревод

Подобные треугольники

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого.

Содержание

  • 1 Признаки подобия треугольников
    • 1.1 Первый признак
    • 1.2 Второй признак
    • 1.3 Третий признак
    • 1.4 Признаки подобия прямоугольных треугольников
  • 2 Свойства подобных треугольников
  • 3 Подобие в прямоугольном трегольнике
  • 4 Связанные определения
  • 5 Литература
  • 6 См. также
  • 7 Ссылки

Признаки подобия треугольников

Признаки подобия треугольников — геометрические признаки, позволяющие установить, что два треугольника являются подобными без использования всех элементов.

Первый признак

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.


Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1, ∠A=∠A1, ∠B=∠B1.

Доказать: ∆ABC ∆A1B1C1.

Доказательство

Второй признак

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.


Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1, ∠A=∠A1, = .

Доказать: ∆ABC ∆A1B1C1.

Доказательство

Третий признак

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.


Дано: ∆ABC и ∆A1B1C

1, = = .

Доказать: ∆ABC ∆A1B1C1.

Доказательство

Признаки подобия прямоугольных треугольников

  1. По острому углу — см. первый признак;
  2. По двум катетам — см. второй признак;
  3. По катету и гипотенузе — см. второй признак.

Свойства подобных треугольников

  • Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
  • Отношение периметров и длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия.

Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:

  • Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу,
  • Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Связанные определения

  • Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.
  • Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Литература

  • Геометрия 7-9/Л. С. Атанасян и др. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 c.: ил.

См. также

  • Подобие
  • Среднее геометрическое
  • Треугольник

Ссылки

  • Подобие треугольников
  • Признаки подобия из учебника за восьмой класс
  • Признаки подобия через преобразования

Wikimedia Foundation. 2010.

Нужно сделать НИР?

  • Подобные фигуры
  • Поднять тремя пальцами

Полезное


Площади подобных треугольников – определение, формула

4.8

Средняя оценка: 4.8

Всего получено оценок: 129.

Обновлено 11 Января, 2021

4.8

Средняя оценка: 4.8

Всего получено оценок: 129.

Обновлено 11 Января, 2021

Подобные треугольники – это следующий шаг в изучении треугольников после равенства. Нужно в полной мере понимать возможности подобия треугольников, чтобы правильно использовать все свойства в решении задач. Разберемся в отличиях равенства, подобия и равновеличия, а также поговорим о свойствах сторон и определении площадей подобных треугольников.

Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.

Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

Подобные треугольники

Подобными треугольниками называют треугольники, соответственные стороны которых пропорциональны, а углы равны. Равные треугольники также являются подобными с коэффициентом подобия равным 1.

Рис. 1. Подобные треугольники

Коэффициент пропорциональности (подобия) – это отношение длин сторон одного треугольника к соответствующим длинам сторон другого треугольника. Важно при подсчете коэффициента строго соблюдать какая сторона к какой относится.

Например, если вы начали расчет делением сторон большего треугольника на стороны меньшего, то стоит придерживаться такого подхода и далее.

Признаки подобия

Признаки подобия в чем-то похожи на признаки равенства треугольников. Всего их тр:

  • По двум углам. Если два угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
  • По трем сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
  • По двум сторонам и углу между ними.
    Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
Рис. 2. Признаки подобия треугольников

Свойства подобных треугольников

  • Стороны подобных треугольников пропорциональны и относятся друг к другу в отношении, равном коэффициенту подобия.
  • Углы подобных треугольников равны.
  • Площади подобных треугольников относятся друг к другу в отношении, равном квадрату коэффициента подобия. 2$$

    Нужно четко различать понятие подобных и равновеликих треугольников. Подобные треугольники имеют коэффициент подобия, в соответствие с которым соотносятся стороны треугольника. А равновеликие треугольники могут, как угодно разнится по значениям сторон, важно лишь, чтобы площади треугольников были равны.

    Рис. 3. Равновеликие треугольники

    Что мы узнали?

    Мы узнали, что такое подобные треугольники, поговорили об их свойствах. Поговорили об отношении площадей подобных треугольников и вывели это отношение на практике для лучшего запоминания формулы.

    Тест по теме

    Доска почёта

    Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

      Пока никого нет. Будьте первым!

    Оценка статьи

    4.8

    Средняя оценка: 4.8

    Всего получено оценок: 129.

    А какая ваша оценка?

    свойства подобных треугольников

    Мы в ask-math считаем, что образовательный материал должен быть бесплатным для всех. Пожалуйста, используйте содержимое этого веб-сайта для более глубокого понимания концепций. Кроме того, мы создали и разместили видеоролики на нашем YouTube.

    Мы также предлагаем индивидуальные / групповые занятия / помощь в выполнении домашних заданий по математике с 4 по 12 классы по алгебре, геометрии, тригонометрии, предварительному исчислению и исчислению для учащихся из США, Великобритании, Европы, Юго-Восточной Азии и ОАЭ.

    Также приветствуются связи со школами и образовательными учреждениями.

    Пожалуйста, свяжитесь с нами по [email protected] / Whatsapp +919998367796 / Skype ID: anitagovilkar.abhijit

    Мы также будем рады разместить видео в соответствии с вашими требованиями. Напишите нам.

    Свойства подобных треугольников
    Два треугольника называются подобными, если их
    i) соответствующие углы равны и
    ii) соответствующие стороны пропорциональны.

    Согласно рисунку.
    ΔABC и ΔPQR подобны,
    Так как ∠ A = ∠P

    ∠B = ∠Q

    ∠C = ∠R

    Символ «подобного треугольника» равен ~ .

    Таким образом, ΔABC ~ ΔPQR

    Таким образом, соответствующие стороны пропорциональны.

    AB BC AC
    —— = ——- = ——
    PQ QR PR

    Примечание: 1) Аналогичные треугольники являются эквиангулярными.
    2) В подобных треугольниках соответствующие стороны пропорциональны.
    3) Конгруэнтные треугольники подобны, но не всегда верно обратное.
    4) Треугольники, подобные одному и тому же треугольнику, подобны друг другу.
    5) Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но не обязательно одинаковый размер.

    Если соответствующие стороны пропорциональны, то два треугольника подобны. Это означает, что верно и обратное.

    Практика

    Q. 1 Заполните пропуски.

    1) Два треугольника подобны, если их соответствующие углы ______.(пропорциональны / равны) (Ответ)

    2) Два многоугольника с одинаковым количеством сторон подобны, если (а) их соответствующие углы ________ и ( б) их соответствующие стороны _________ (равны, пропорциональны, конгруэнтны)(Ответ)

    Q.2 Напишите Верно или Ложно.

    1) Любые две фигуры равны.(Ответ)

    2) Любые две конгруэнтные фигуры подобны.(Ответ)

    3) Два многоугольника подобны, если их соответствующие стороны пропорциональны.(Ответ)

    Q.3 Дано подобие двух треугольников, напишите отношение соответствующих сторон.
    1) ΔABC ~ ΔPQR.(Ans)

    2) ΔLMN ~ ΔDEF.(Ans)

    3) ΔXYZ ~ ΔRAT. (Ans)

    Подобие в треугольниках

    • Подобие в геометрии
    • Свойства подобных треугольников
    • Основная теорема о пропорциональности (теорема Фалеса)
    • Обращение к основной теореме о пропорциональности
    • Теорема о биссектрисе внутреннего угла
    • Теорема о биссектрисе внешнего угла
    • Доказательства основной пропорциональности
    • Критерии подобия треугольников
    • Среднее геометрическое подобных треугольников
    • Площади двух подобных треугольников

    Домашняя страница

    Свойства подобных треугольников

    9000:

    Два треугольника называются подобными, если их соответствующие стороны пропорциональны.

    Свойство 2 :

    Перпендикулярная линия, проведенная из вершины прямоугольного треугольника, делит треугольник на два треугольника, подобных друг другу, а также исходному треугольнику.

    Свойство 3 :

    Если два треугольника подобны, то отношение соответствующих сторон равно отношению их соответствующих высот.

    Свойство 4 :

    Если два треугольника подобны, то отношение соответствующих сторон равно отношению соответствующих периметров.

    Задача 5 :

    Отношение площадей двух подобных треугольников равно отношению квадратов их соответствующих сторон.

    Задача 6 :

    Если два треугольника имеют общую вершину и их основания лежат на одной прямой, то отношение их площадей равно отношению длин их оснований.

    Задача 1 :

    Найти ЧД.

    Решение :

    Стороны HI и CD параллельны.

    BH/HC = BI/ID

    BH/9 = 9/15

    BH = 81/15

    BH = 5,4

    Проблема 2:

    Убедитесь, что WX и DE параллельны.

    Решение:

    Здесь

    FW/WD = FX/XE

    1,5/2,5 = 2,1/3,5

    0,6 = 0,6

    Согласно теореме, обратной теореме о пропорциональности треугольника, WX и DE параллельны.

    Задача 3 :

    Найдите x.

    Раствор :

    ЭДГ — прямоугольный треугольник, EF — перпендикуляр, проведенный из прямого угла D.

    ΔFDG, ΔEDF и ΔEDG – подобные треугольники друг другу.

    В треугольники FDG и EDG.

    ∠DFG = ∠GDE   (A)

    ∠FGD = ∠EGD  (A)

    ΔFDG ~ ΔEDG

    В ΔFDG и ΔEDG :

    DG/EG = DF/DE

    8/10 = x/6

    0,8 = x/6

    Умножьте обе части на 6.

    4,8 = x

    Проблема 4 :

    Найти х и у.

    Решение:

    RST — прямоугольный треугольник, SV — перпендикуляр, проведенный из прямого угла S.

    ΔRSV, ΔSVT и ΔRST — треугольники, подобные друг другу.

    ∠RST = ∠SVT (прямые углы)

    ∠STR = ∠STV (рефлексивное свойство)

    По теореме подобия углов,

    ΔRST ~ ΔSVT

    Поскольку ΔRST ~ ΔSVT, соответствующие стороны пропорциональны.

    РТ/СТ = RS/SV = ST/VT

    20/x = y/SV = x/4

    20/x = x/4

    x 2 = 20 (4)

    x = √80

    x = 4√5

    в треугольнике RST,

    RS 2 + ST 2 = RT + ST 2 = RT 2 2 2 2 2 .

    г 2  + (4√5) 2 = 20 2

    y 2  + 80 = 400

    Вычесть 80 с обеих сторон.

    y 2  = 320

    Извлечь квадратный корень с обеих сторон.

    г = √320

    г = 8√5

    Проблема 5 :

    периметры двух подобных треугольников относятся как 3 : 4. Сумма их площадь 75 см 2 . Найдите площадь каждого треугольника.

    Раствор :

    Дано : Периметры двух подобных треугольников относятся как

    3 : 4

    Затем

    Периметр 1 ст Δ = 3x

    Периметр из 2 Δ = 4x

    А также,

    Район 1 st Δ : Зона 2 nd Δ = (3x) 2 : (4x) 2

    Площадь 1 й Δ : Площадь 2 й Δ = 9x 2 : 16x 2

    Дано : Сумма площадей 75 см 2 .

    No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *