отсюда:
5x-2=0
x=0,4
Ответ: 0,4
Вынесение множителя за скобки
Суть метода заключается в вынесении за скобки степени с наименьшим показателем.
Чтобы решить показательное уравнение, вынеся общий множитель, можно использовать тот факт, что если два числа имеют общий множитель, то на этот множитель можно сократить, разделив оба числа на один и тот же множитель. Это можно использовать для решения экспоненциальных уравнений путем исключения общих множителей, которые появляются как в основании, так и в показателе степени уравнения.
Например, рассмотрим следующее показательное уравнение:
Чтобы решить это уравнение, мы можем вынести общий множитель , разделив обе части уравнения на :
Это упрощает уравнение до:
Решением исходного уравнения является .
Это всего лишь один пример того, как решить показательное уравнение, вынеся общий множитель. Решим еще несколько примеров этим методом.
x}=\log_{3}9
\displaystyle x=2
Ответ: 2
Здесь мы использовали логарифмирование, что это такое и как это применяется к решению экспоненциальных уравнений давайте рассмотрим на примерах.
Логарифмирование
Логарифмирование обеих частей показательного уравнения — это математическая операция, которая часто используется для решения показательных уравнений.
Пример 8
Например, рассмотрим следующее показательное уравнение:
Решение: Чтобы решить это уравнение с помощью логарифмов, мы можем взять логарифм обеих частей уравнения. Это дает нам:
Поскольку логарифм степени равен показателю степени, мы можем упростить левую часть уравнения до:
Чтобы найти значение x, мы можем использовать свойство логарифмов, которое гласит, что эквивалентно . В этом случае у нас есть , поэтому x=3.
Ответ: x=3.
Пример 9
Решить \displaystyle e^{2x}=55
Решение: прологарифмируем левую и правую части равенства логарифмом по основанию e — натуральным логарифмом \ln
\displaystyle \ln e^{2x}=\ln 55
\displaystyle 2x=\ln 55
\displaystyle x=\frac{1}{2}\ln 55
Ответ: \displaystyle x=\frac{1}{2}\ln 55
Пример 10
\displaystyle 3^x \cdot 5^{2x}=150
Решение: Прологарифмируем левую и правую части уравнения логарифмом по основанию 150:
\displaystyle \log_{150}(3^x \cdot 5^{2x})=\log_{150}150
\displaystyle \log_{150}3^x+\log_{150}5^{2x}=1
Нажми, чтобы посмотреть больше шагов в решении
\displaystyle x\log_{150}3+2x\log_{150}5=1
\displaystyle x (\log_{150}3+2\log_{150}5)=1
\displaystyle x (\log_{150}3+\log_{150}5^2)=1
\displaystyle x (\log_{150}3 +\log_{150}25)=1
\displaystyle x \log_{150}75=1
\displaystyle x= \frac{1}{\log_{150}75}=\log_{75}{150}
Ответ: \displaystyle \log_{75}{150}
Далее мы рассмотрим показательное неравенство и систему показательных уравнений и неравенств.
Как решать показательные уравнения?
- Альфашкола
- Статьи
- Решение показательных уравнений
Преподаватель математики Андрей Алексеевич продолжает рассматривать задачи профильного уровня для подготовки к ЕГЭ. Разбираемся с заданием из темы «Показательные уравнения».
Задание №13
Условие:
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
а) Преобразуем уравнение, используя свойства степени.
В первом слагаемом «+1», это «4». Запишем первое слагаемое как «4», умноженное на оставшееся выражение. Это выражение получится точно такое же, как и второе слагаемое.
Затем вынесем за скобку общий множитель этих двух слагаемых, это будет целиком второе слагаемое. В скобках останется выражение «(4 + 1)», что соответственно будет равно «5».
Разделим обе части уравнения на «5». В правой части получим «20 : 5 = 4». «4» мы можем представить как «4 в первой степени». Поскольку в обеих частях уравнения мы пришли к выражениям, где в основании степени стоит одно и то же число «4», то мы имеем право перейти к рассмотрению отдельного уравнения, в котором приравниваем показатели степени. После преобразований получаем классическое квадратное уравнение. Кратко запишем ход решения:
Найдем корни этого уравнения через дискриминант.
Дискриминант получается «больше нуля», значит у нас будет два корня. Вычисляем корни, получаем
Первую часть задания мы выполнили. Переходим ко второй части.
б) Оценим сначала целыми числами: В это неравенство во все три части внесем «1» двумя способами. Сначала прибавим «1» ко всем трем частям, а во втором случае отнимем «1».
Тогда получим:
и
Мы видим, что в средней части неравенства стоят выражения, соответствующие полученным корням уравнения. И мы их можем оценить относительно заданного отрезка.
Отрезку принадлежит только один корень:
Записываем ответ.
Ответ а) б)
Автор: Андрей Найдёнов.
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Наши преподаватели
Светлана Алексеевна Сазонова
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Рязанский государственный педагогический университет им. С.А. Есенина
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Мария Евгеньевна Эминова
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Удмуртский государственный университет
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Алина Владимировна Ваулина
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Уральский федеральный университет им.
Б.Н.Ельцина
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
- Математика
- Репетитор по физике
- Репетитор по химии
- Репетитор по русскому языку
- Репетитор по английскому языку
- Репетитор по обществознанию
- Репетитор по истории России
- Репетитор по биологии
- Репетитор по географии
- Репетитор по информатике
Специализации
- Репетитор по геометрии
- Подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень)
- Репетитор по химии для подготовки к ЕГЭ
- Подготовка к олимпиадам по физике
- Подготовка к ОГЭ по английскому языку
- Подготовка к олимпиадам по английскому языку
- Английский язык для начинающих
- ВПР по математике
- Репетитор для подготовки к ВПР по английскому языку
- Подготовка к ОГЭ по биологии
Похожие статьи
- Простые и составные числа
- Свойства равнобедренного треугольника
- Смещение графиков функций
- Как складывать 3 числа в столбик?
- Признак делимости на 23
- ЕГЭ по математике, базовый уровень.
Текстовые задачи (вариант 3) - Числа и вычисления. База, ОГЭ
- 4 секрета подготовки к старшей школе
Текстовые задачи (вариант 3)Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
Решение экспоненциальных уравнений с использованием логарифмов
ПоискНа предыдущем уроке вы научились решать показательные уравнения без логарифмов. На этот раз мы хотим решить показательные уравнения , требующие использования логарифмов . Почему? Причина в том, что мы не можем манипулировать экспоненциальным уравнением, чтобы иметь одинаковую или общую основу в обеих частях уравнения. Если вы столкнулись с проблемой такого типа, предлагаемые шаги следующие:
1) Оставьте экспоненциальное выражение отдельно на одной стороне уравнения.
{2x}} = 21,
В этом уравнении хорошо то, что экспоненциальное выражение уже изолировано в левой части. Теперь мы можем взять логарифмы обеих частей уравнения. Не имеет значения, какое основание логарифма использовать. Окончательный ответ должен получиться таким же. Лучший выбор для основания логарифмической операции — 5, так как это основание самого экспоненциального выражения. Однако мы также будем использовать в расчетах общее основание 10 и естественное основание \color{red}e (обозначаемое \color{blue}ln), просто чтобы показать, что в конце концов все они дают одинаковые ответы. . 9{х — 5}}} \справа) = 12 .
Как видите, экспоненциальное выражение слева не само по себе. Мы должны исключить число 2, которое умножает экспоненциальное выражение. Для этого разделите обе части на 2. У нас останется только экспоненциальное выражение слева и 6 справа после упрощения.
Пришло время взять бревно с обеих сторон. Поскольку экспоненциальное выражение имеет основание 3, его удобно использовать для логарифмических операций.
Сначала это выглядит как беспорядок. Однако, если вы знаете, с чего начать, решение этой проблемы станет проще простого. Что мы должны сделать в первую очередь, так это упростить выражение внутри круглых скобок. Воспользуйтесь правилом деления экспоненты, скопировав общее основание e и вычтя верхнюю часть из нижней степени.
Теперь изолируйте экспоненциальное выражение, добавив обе части на 7, а затем разделив все уравнение на 2.
Возьмем логарифм обеих частей. Используйте \color{red}ln, потому что у нас есть основание e. Затем найдите переменную x. 9х} + 3 = 53 .
Обратите внимание, что экспоненциальное выражение возводится в x. Упростите это, применив силу к силовому правилу. Сделайте это, скопировав основание 10 и умножив его показатель на внешний показатель. Это должно выглядеть так после этого.
Теперь мы можем изолировать экспоненциальное выражение, вычитая обе стороны на 3, а затем умножая обе стороны на 2.
Возьмем логарифм обеих сторон по основанию 10. Если вы просто видите \color{red}логарифм без определенного основания , считается, что его основание равно 10. 9х снова.
Наконец, установите каждый множитель равным нулю и найдите x, как обычно, используя логарифмы.
Вас также может заинтересовать:
Решение экспоненциальных уравнений без логарифмов
Свойства степеней и корней
Содержание этой страницы:
Введение
Показательное уравнение равно единице имеет экспоненциальные выражения, иными словами, полномочия, имеющиеся в их экспоненциальные выражения с неизвестный фактор 96 $$
Очевидно, что значение, которое должно принимать x , чтобы равенство было истинным, равно 3.
выразить все числа в виде степеней ,
применить свойства степеней и записать корни как степени.
Иногда нам нужно будет изменить переменную для преобразования уравнение в квадратное.
Мы также можем решить с помощью логарифмов, но мы оставим этот тип процедуры для более сложных уравнений с разными основаниями в экспоненциальные выражения, что делает невозможным использование предыдущего метод уравнивания. 9x $$
, имеющее действительное решение с использованием логарифмов
$$ x = \frac{3 ln(3)}{ln\left(\frac{5}{3}\right)} $$
Прежде чем мы начнем… давайте вспомним свойства сил
| Товар | Мощность |
| Частное | Отрицательный показатель степени |
| Обратный | Инверсия инверсии |
Уравнение 1
Показать решение
Уравнение 2
Показать раствор
Уравнение 3
.
0005Equation 4
Show solution
Equation 5
Show solution
Equation 6
Show solution
Equation 7
Показать решение
Уравнение 8
Показать решение
Уравнение 9
Показать решение
Equation 10
Show solution
Equation 11
Show solution
Equation 12
Show solution
Equation 13
Показать решение
Уравнение 14
Показать решение
Уравнение 15
Show Solution
Уравнение 16
Show Solution
Уравнение 17
Show Solid
Показать решение
Уравнение 20
Показать решение
Уравнение 21
Show solution
Equation 22
Show solution
Equation 23
Show solution
Equation 24
Show solution
Equation 25
Показать раствор
Matesfacil.