Два важнейших правила комбинаторики
Эти правила записаны в общем виде в Приложении Формулы Комбинаторики (пункт 4) и весьма напоминают алгебру событий:
1) Правило сложения комбинаций. Знак «плюс» следует понимать и читать как союз ИЛИ. Вспоминаем демонстрационную задачу с яблоком, грушей и бананом:
способами можно выбрать хотя бы один фрукт.
То есть, можно взять 1 фрукт (любой из трёх) ИЛИ какое-нибудь сочетание двух фруктов (любое) ИЛИ все три фрукта. Заметьте, что сложение комбинаций предполагает безразличие выбора (в данном случае без разницы – будет ли выбран 1, 2 или 3 фрукта).
Теперь рассмотрим более содержательный пример:
Задача 7
Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать 2 человек одного
пола?
Решение: в данном случае подсчёт количества сочетаний , не годится – по той причине, множество комбинаций из двух человек включает в себя
и разнополые пары.
Условие «выбрать 2 человек одного пола» подразумевает, что нужно выбрать двух юношей или двух девушек, и уже сама словесная формулировка указывает на верный путь решения:
способами можно выбрать 2 юношей;
способами можно выбрать 2 девушек.
Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно выбрать: способами.
Ответ: 123
2) Правило умножения комбинаций. Знак «умножить» следует понимать и читать как союз И.
Рассмотрим ту же студенческую группу, которая пошла на танцы. Сколькими способами можно составить пару из юноши и девушки?
способами можно выбрать 1 юношу;
способами можно выбрать 1 девушку.
Таким образом, одного юношу и одну девушку можно выбрать:
способами.
Когда из каждого множества выбирается по одному объекту, то справедлив следующий принцип подсчёта комбинаций: «каждый
объект из одного множества может составить пару с каждым объектом другого множества».
То есть, Олег может пригласить на танец любую из 13 девушек, Евгений – тоже любую из 13 девушек, и аналогичный выбор есть у остальных молодых людей. Итого:
возможных пар.
Следует отметить, что в данном примере не имеет значения упорядоченность пары, однако если принять во внимание инициативу, то
количество комбинаций нужно удвоить, поскольку
Этот же принцип справедлив и для более сложных комбинаций, например: сколькими способами можно выбрать 2 юношей и 2 девушек для участия в сценке КВН?
Союз И недвусмысленно намекает, что комбинации следует перемножить:
возможных групп артистов.
Иными словами, каждая пара юношей (45 уникальных пар) может выступить с каждой парой девушек (78
уникальных пар).
А если рассмотреть распределение ролей между участниками, то комбинаций будет ещё больше. …Очень хочется, но всё-таки
воздержусь от продолжения, чтобы не привить вам отвращение к студенческой жизни =).
Правило умножения комбинаций распространяется и на бОльшее количество множителей:
Задача 8
Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?
Решение: для наглядности обозначим данное число тремя звёздочками: ***
Комбинации будем считать по разрядам – слева направо:
В разряд тысяч можно записать любую из цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9). Ноль не годится, так как в этом случае число перестаёт быть трёхзначным.
А вот в разряд десятков («посерединке») можно выбрать любую из 10 цифр:
По условию, число должно делиться на 5. Число делится на 5, если оно заканчивается на 5 либо на 0.
Таким образом, в младшем разряде нас
устраивают 2 цифры.
Итого, существует:
трёхзначных чисел, которые делятся на
5.
При этом произведение расшифровывается так: «9 способами можно выбрать цифру в разряд сотен и 10 способами выбрать цифру в разряд десятков и 2 способами – в разряд единиц»
Или ещё проще: «каждая из 9 цифр в разряде сотен комбинируется с каждой из 10 цифр в разряде десятков и с каждой из двух цифр в разряде единиц».
Ответ: 180
…да, чуть не забыл об обещанном комментарии к Задаче 5, в которой Боре, Диме и Володе можно сдать по одной карте способами. Умножение здесь имеет тот же смысл: способами можно извлечь 3 карты из колоды
И в каждой выборке переставить их способами.
А теперь задача для самостоятельного решения… сейчас придумаю что-нибудь поинтереснее, …пусть будет про ту же русскую версию Блэкджека:
Задача 9
Сколько существует выигрышных комбинаций из 2 карт при игре в «очко»?
Справка: выигрывает комбинация 10 + ТУЗ (11 очков) = 21 очко, и давайте будем считать выигрышной комбинацию из 2 тузов (порядок карт в любой паре не имеет значения).
Кстати, не надо считать пример примитивным. Блэкджек – это чуть ли не единственная игра, для которой существует математически обоснованный алгоритм, позволяющий систематически выигрывать у казино, и желающие могут найти массу информации об оптимальной стратегии и тактике. Правда, такие мастера довольно быстро попадают в чёрный список всех заведений 🙂
1.3.4. Размещения
| Оглавление |
Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.
Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!
С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин
Урок 2. Правила сложения и умножения
ВИДЕО УРОК
Правила сложения и умножения в комбинаторике называют основными правилами комбинаторики.
Правило сложения (правило <<ИЛИ>>).
Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а объект В – другими n способами, причём выборы объектов А и В несовместимы, то выбор “А или В” можно выполнить m + n способами.
Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причём действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно
Другими словами:
Если в условии задачи звучит “ИЛИ”, то выбираем. правило сложения
Закон сложения используется тогда, когда нужно выбрать только один элемент.
Кортеж – конечная последовательность (допускающая повторения) элементов какого-нибудь множества.
ЗАДАЧА:
Ученик должен выполнить практическую работу по математике. Ему предложили на выбор 17 тем по алгебре и 13 тем по геометрии. Сколькими способами он может выбрать одну тему для практической работы
?РЕШЕНИЕ:
По правилу суммы получим:
17 + 13 = 30.
ОТВЕТ: 30 вариантов.
ЗАДАЧА:
Идя на соревнования, спортсмен одевает либо майку, либо футболку.Сколько вариантов выбора майки или футболки у него имеется, если его мама постирала 3 майки и 4 футболки.
РЕШЕНИЕ:
Пользуемся
правилом сложения.
Допустим, что в шкафу на одной полке лежит 3 майки, а на другой – 4 футболки. Произвольно с какой-нибудь полки берём только одну вещь. С первой полки взять одну вещь можно только тремя разными способами, а с другой – четырьмя способами. Тогда взять одну какую-либо из названных вещей можно
3 + 4 = 7
разными способами.
ОТВЕТ: 7 вариантов.
ЗАДАЧА:
Пусть в одном ящике есть m шариков, а во втором ящике – n шариков. Сколькими способами можно вытащить один шарик из одного из этих ящиков ?
РЕШЕНИЕ:
Очевидно, что ОДИН шарик можно достать
m + n
способами.
ОТВЕТ: m + n
Правило умножения (правило
<<И>>).
Этот метод решения комбинаторных задач применяется, когда не требуется перечислять все возможные варианты, а нужно ответить на вопрос – сколько их существует.
Если некоторый объект А можно выбрать m способами, и после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать (независимо от выбора объекта А) n способами, то пары объектов А и В можно выбрать m × n способами.
Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие n2 способами, третье – n3 способами и так до k–го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:
N = n1 × n2 ×…× nk
Правило умножения формулируют также в другой форме:
Если при составлении комбинации из двух элементов
вида (a, b) первый элемент можно выбрать n способами, а затем второй – m способами, то различных комбинаций вида (a, b) можно выбрать m × n способами.
Другими словами:
Если в условии задачи звучит “И”, то выбираем правило умножения
ЗАДАЧА:
Цех по изготовлению головных уборов начал выпуск трёх новых моделей, для которых был закуплен фетр четырёх цветов. Сколько видов разных шляп может изготовить цех ?
РЕШЕНИЕ:
Для каждой из трёх моделей можно использовать каждый из четырёх цветов.По правилу умножения количество разных видов будет:
3 × 4 = 12.
Для иллюстрации можно составить таблицу:
ОТВЕТ: 12.
ЗАДАЧА:
Переплётчик должен переплести 12 различных книг в красный, зелёный и
коричневые переплёты.
Сколькими способами он может это сделать ?
РЕШЕНИЕ:
Имеется 12 книг и 3 цвета, значит по правилу произведения возможно
12 × 3 = 36
вариантов переплёта.
ОТВЕТ: 36.
ЗАДАЧА:
В магазине <<Всё для чая>> есть 6 разных чашек и 4 разных блюдца. Сколько вариантов чашки и блюдца можно купить ?
РЕШЕНИЕ:
Чашку мы можем выбрать
6-ю способами, а блюдце 4-я способами. Так как нам надо купить пару чашку
и блюдце, то это можно
сделать
6 × 4 = 24
способами (по правилу
произведения).
ОТВЕТ: 24.
ЗАДАЧА:
Сколько чисел можно составить из цифр
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
если число должно быть двузначным ?
РЕШЕНИЕ:
Можно составить 90 чисел – первую цифру числа можем выбрать 9 способами, так как число не может начинаться с нуля. Вторую цифру числа можем выбрать 10 способами, так как у нас есть 10 цифр. Итого получается:
9 ∙ 10 = 90.
ОТВЕТ: 90
ЗАДАЧА:
Сколько трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр
0, 3, 5, 7, 8, 9 ?
Цифры в записи чисел не повторяются.
РЕШЕНИЕ:
На первом месте должна стоять запись любой из цифр
3, 5, 7, 8, 9 – всего 5 способов.
На втором – снова какая-нибудь из 5 (среди них может уже быть цифра 0).
На третьем любая из 4, что остались после записи первых двух цифр числа.
Всего
5 ∙ 5 ∙ 4 = 100
разных способов трёхзначных чисел.
ОТВЕТ: 100
ЗАДАЧА:
Прямого сообщения между городами А и В нет. Турист может попасть из А в В либо через город С, либо через город D. Из А в С есть два различных пути, а из А до D – три. Из С до В можно попасть тремя разными дорогами, а из D до В – двумя. Сколько разных вариантов выбора пути из А до В есть у туриста ?
РЕШЕНИЕ:
Делаем графический рисунок:
Если идти из А в В через С, то путь можно выбрать
2 ∙ 3 = 6
способами.
Если идти из А в В через D, то для выбора пути есть
3 ∙ 2 = 6
способов.
Тогда разных вариантов выбора пути всего
6 + 6 = 12.
Можно не выполняя ни одного правила, определить количество вариантов выбора пути просто, проведя карандашом по линиям.
ОТВЕТ: 12
Задания к уроку 2
- Задание 1
- Задание 2
- Задание 3
Другие уроки:
Раздел 5.2: Правило сложения и дополнения
Цели
К концу этого урока вы сможете…
- использовать правило сложения для непересекающихся событий
- использовать Общее правило добавления
- использовать правило дополнения
Дополнительное правило для непересекающихся событий
В этой главе мы будем иметь довольно много правил о вероятности,
но мы начнем с малого.
Первая ситуация, которую мы хотим рассмотреть, — это когда два
события не имеют общих исходов. Мы называем такие события непересекающийся
события .
Два события являются непересекающимися , если у них нет общих исходов. (Также обычно известный как взаимоисключающих событий.)
Еще в 1881 году Джон Венн разработал отличный способ визуализации наборов. Как это часто бывает случай в математике, диаграммы взяли его имя и с тех пор его имя — Венн диаграммы. Поскольку события представляют собой наборы исходов, хорошо работает визуализация вероятности. также. Вот пример диаграммы Венна, показывающий два непересекающихся результата: Е и Ф.
Продолжим немного дальше и расставим точки на графике вот так — для обозначения результатов.
Глядя на рисунок, мы ясно видим, что P(E) =
5/15 = 1/3, так как в E 5 исходов, а всего исходов 15.
Точно так же P (F) также равно 1/3.
Далее мы хотим рассмотреть все события, которые находятся либо в E, либо в F. вероятности, мы называем это событие E или F . Итак, в нашем примере P(E или F) = 10/15 = 2/3.
Но это видно только на картинке! Просто посчитайте точки, которые Е и добавить к нему количество точек в F.
В общем, мы можем создать правило. Назовем это…
Правило сложения для непересекающихся событий
Если E и F непересекающиеся (взаимно исключающие) события, то
P(E или F) = P(E) + P(F)
Пример 1
OK — время для примера. Давайте воспользуемся примером из предыдущего раздела о семья с тремя детьми, и определим следующие события:
E = в семье ровно два мальчика
F = в семье ровно один мальчик
Опишите событие «E или F» и найдите его вероятность.
[раскрыть ответ]
«E или F» — это событие, которое семья имеет либо
один или два мальчика.
Ясно, что оба эти события не могут произойти одновременно. одновременно, поэтому они не пересекаются. Вероятность того, что в семье тогда либо один, либо два мальчика:
P(E или F) = P(E) + P(F) = 3/8 + 3/8 = 6/8 = 3/4
Конечно, часто бывают случаи, когда два события имеют исходы в общее, поэтому нам понадобится более надежное правило для этого случая.
Общее правило сложения
Что произойдет, если два события с по имеют общие исходы? Что ж, давайте рассмотрим пример ниже. В этом случае P(E) = 4/10 = 2/5, и P(F) = 5/10 = 1/2, но P(E или F) не равно 9/10. Вы видите, почему?
Ключевым здесь являются два исхода в середине, где E и F перекрываются. Официально мы называем этот регион событием E и F . Это все исходы, которые есть в и E и F. В нашем визуальном пример:
В этом случае, чтобы найти P(E или F), нам нужно сложить результаты в
E с результатами в F, а затем вычесть дубликатов, которые мы
сосчитаны, которые находятся в E и F.
Мы называем это Общее дополнение
Правило .
Общее правило сложения
P(E или F) = P(E) + P(F) — P(E и F)
Давайте рассмотрим пару быстрых примеров.
Пример 2
Рассмотрим колоду стандартных игральных карт.
Предположим, мы вытащили одну карту из колоды наугад и определили следующее события:
E = вытянутая карта туз
F = взятая карта является королем
Используйте эти определения, чтобы найти P(E или F).
[показать ответ]
Хорошо, так как E и F не имеют общих исходов, мы можем использовать правило сложения для непересекающихся событий:
P(E или F) = P(E) + P(F) = 4 /52 + 4/52 = 8/52 = 2/13
Пример 3
Рассмотрим колоду игральных карт, одна из которых вытягивается наугад. Предположим, мы определяем следующие события:
F = взятая карта является королем
G = вытянутая карта является червой
Используйте эти определения, чтобы найти P(F или G).
[показать ответ]
В отличие от предыдущего примера, события F и G, и имеют общий результат — король червей — поэтому нам нужно использовать общий Правило добавления:
P(E или F)
= P(E) + P(F) — P(E и F)
= 4/52 + 13/52 — 1/52
= 16/52 = 4/13
Итак, ключевая идея и различие между этими двумя примерами — когда вы
находка
P(E или F), обязательно ищите исходы, общие для E и F.
Правило дополнения
Я думаю, что лучший способ представить последнюю идею в этом разделе — это рассмотреть пример. Снова обратимся к колоде стандартных игральных карт:
И определим событие E = взята карта меньше короля. Если я спрошу тебя
чтобы найти P(E), вы не будете их подсчитывать. (Вы не собирались, были
ты?!) Нет — ты скажешь, что карт всего 52, а королей 4,
поэтому должно быть на 48 карт меньше, чем у короля.
Итак, P(E) = 48/52 = 12/13.
Идея, которую вы уже используете, называется дополнением . (Это дополнение, с e . Не комплимент, как в «Мой, ты выглядишь красиво сегодня!»)
Дополнение E , обозначаемое E c , представляет собой все результаты в выборочном пространстве, которые не находятся в E.
Таким образом, дополнение E равно всему, кроме результатов на E. На самом деле, в некоторых текстах это написано как «не E».
Чем полезно дополнение? На самом деле вы уже использовали ключевую идею в приведенном выше примере. Давайте смотреть на а Диаграмма Венна.
Из раздела 5.1 мы знаем, что P(S) = 1. Ясно, что
E и E c не пересекаются, поэтому
P(E или E c ) = P(E) + P(E c ) . Объединив эти два факта,
получаем:
Правило дополнения
P(E) + P(E c ) = 1
Имейте это в виду, когда рассматриваете довольно сложное событие.
Иногда гораздо проще найти вероятность дополнения.
Правило сложения для формулы вероятностей и ее значение
По
Адам Хейс
Полная биография
Адам Хейс, доктор философии, CFA, финансовый писатель с более чем 15-летним опытом работы на Уолл-стрит в качестве трейдера деривативов. Помимо своего обширного опыта торговли деривативами, Адам является экспертом в области экономики и поведенческих финансов. Адам получил степень магистра экономики в Новой школе социальных исследований и докторскую степень. из Университета Висконсин-Мэдисон по социологии. Он является обладателем сертификата CFA, а также лицензий FINRA Series 7, 55 и 63. В настоящее время он занимается исследованиями и преподает экономическую социологию и социальные исследования финансов в Еврейском университете в Иерусалиме.
Узнайте о нашем редакционная политика
Обновлено 31 января 2021 г.
Рассмотрено
Роджер Вольнер
Рассмотрено Роджер Вольнер
Полная биография
Роджер Вольнер — финансовый консультант с 20-летним опытом работы в отрасли. О нем писали в журналах Morningstar Magazine, Go Banking Rates, US News & World Report, Yahoo Finance, The Motley Fool, Money.com и многих других сайтах. Роджер получил степень магистра делового администрирования в Университете Маркетт и степень бакалавра финансов в Университете Висконсин-Ошкош.
Узнайте о нашем Совет по финансовому обзору
Что такое правило сложения вероятностей?
Правило сложения вероятностей описывает две формулы: одну для вероятности возникновения любого из двух взаимоисключающих событий, а другую для вероятности возникновения двух невзаимоисключающих событий.
Первая формула — это просто сумма вероятностей двух событий. Вторая формула представляет собой сумму вероятностей двух событий за вычетом вероятности того, что оба они произойдут.
Ключевые выводы
- Правило сложения для вероятностей состоит из двух правил или формул, одна из которых учитывает два взаимоисключающих события, а другая — два невзаимоисключающих события.
- Не взаимоисключающее означает, что между двумя рассматриваемыми событиями существует некоторое совпадение, и формула компенсирует это, вычитая вероятность совпадения P(Y и Z) из суммы вероятностей Y и Z.
- Теоретически первая форма правила является частным случаем второй формы.
Формулы для правил сложения вероятностей
Математически вероятность двух взаимоисключающих событий обозначается как:
п ( Д или же Z ) знак равно п ( Д ) + п ( Z ) P(Y \text{ или } Z) = P(Y)+P(Z) P(Y или Z)=P(Y)+P(Z)
Математически вероятность двух невзаимоисключающих событий обозначается как:
п ( Д или же Z ) знак равно п ( Д ) + п ( Z ) − п ( Д а также Z ) P(Y \text{ или } Z) = P(Y) + P(Z) — P(Y \text{ и } Z) P(Y или Z)=P(Y)+P(Z)−P(Y и Z)
О чем говорит правило сложения вероятностей?
Чтобы проиллюстрировать первое правило в правиле сложения вероятностей, рассмотрим шестигранную кость с вероятностью выпадения 3 или 6.
Поскольку вероятность выпадения 3 равна 1 из 6, а вероятность выпадения 6 также 1 из 6, шанс выпадения 3 или 6:
1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
Чтобы проиллюстрировать второе правило, рассмотрим класс, в котором 9 мальчиков и 11 девочек. В конце семестра 5 девочек и 4 мальчика получают оценку B. Если учащийся выбран случайно, каковы шансы, что он будет либо девочкой, либо отличником? Поскольку шансы выбрать девочку составляют 11 из 20, шансы выбрать отличницу равны 9.из 20 и шансы выбрать девочку-отличницу составляют 5/20, шансы выбрать девочку или отличницу составляют:
11/20 + 9/20 — 5/20 = 15/20 = 3/4
На самом деле два правила упрощаются до одного правила, второго. Это связано с тем, что в первом случае вероятность того, что произойдут два взаимоисключающих события, равна 0. В примере с кубиком невозможно выбросить одновременно 3 и 6 при одном броске одного кубика. Таким образом, эти два события являются взаимоисключающими.