Предел функции определение: определения, формулы и примеры решения

Содержание

Предел функции.Определения. Свойства предела

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Преде́л фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел A в точке x₀ если для всех значений x, достаточно близких к x₀, значение f(x) близко к A.

Определения

(определение по Коши, ε−δ—определение) Пусть дана функция и — предельная точка множества M. Число называется пределом функции f при x, стремящемся к a , если

(окрестностное определение) Пусть дана функция и — предельная точка множества M. Число называется пределом функции f при x, стремящемся к a , если для любой окрестности V(A) точки A существует проколотая окрестность точки a такая, что

(определение по Гейне) Пусть дана функция и — предельная точка множества
M. Будем называть последовательностью Гейне, если и при Число называется пределом функции f при x, стремящемся к a тогда и только тогда, когда для любой последовательности Гейне имеем

при

Замечания

Предел вдоль фильтра

Определение фильтра

Основная статья: Фильтр (математика)

Пусть дано множество A. Система множеств называется фильтром на A, если

такой, что

Определение предела

Пусть и — фильтр на M. Число является пределом функции f по фильтру если

Пишут:

Примеры

Обычный предел

Пусть дано топологическое пространство , и Пусть Тогда система множеств

является фильтром и обозначается Данное выше определение предела совпадает с пределом по фильтру

Односторонние пределы

Основная статья: Односторонние пределы

является фильтром и обозначается или Предел называется правосторонним пределом функции f при x стремящемся к a.

является фильтром и обозначается или Предел называется левосторонним пределом функции f при x стремящемся к a.

Пределы на бесконечности

Основная статья: Пределы функции на бесконечности

является фильтром и обозначается или Предел называется пределом функции f при x стремящемся к бесконечности.

является фильтром и обозначается Предел называется пределом функции f при x стремящемся к минус-бесконечности.

Предел последовательности

Основная статья: Предел последовательности

Система множеств где

является фильтром и обозначается Функция называется числовой последовательностью, а предел пределом этой последовательности.

Интеграл Римана

Основная статья: Интеграл Римана

Пусть Назовём размеченным разбиением отрезка [a,b] коллекцию точек Назовём диаметром разбиения T число Тогда система множеств

является фильтром в пространстве всех размеченных разбиений [a,b]. Определим функцию равенством

Тогда предел называется интегралом Римана функции f на отрезке [a,b].

Свойства пределов числовых функций

Пусть даны функции и Тогда

где — проколотая окрестность точки a.

В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:

Страница не найдена — ПриМат

По данному адресу ничего не найдено. Попробуйте воспользоваться поиском.

Искать:

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Валентин Малявко (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Олег Шпинарев (7), Александр Базан (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Кирилл Волков (6), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2),

6.

3: Определение предела функции

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 7953

Юджин Боман и Роберт Роджерс
Государственный университет Пенсильвании и SUNY Fredonia через OpenSUNY

Цели обучения

Объяснить предел функции

Поскольку в наши дни понятие предела обычно рассматривается как отправная точка для исчисления, вы можете подумать, что немного странно, что мы решили сначала поговорить о непрерывности. Но исторически формальное определение предела появилось после формального определения непрерывности. В некотором смысле понятие предела было частью объединения всех идей исчисления, которые изучались ранее, и впоследствии оно стало основой для всех идей исчисления. По этой причине логично сделать ее первой темой в курсе исчисления. 92}{h} = 2x + h\]

становится предельным отношением $2x$ в последний момент времени перед тем, как $h$ — « мимолетное количество » — исчезнет. Точно так же Лейбница « бесконечно малых » дифференциалов $dx$ и $dy$ можно рассматривать как попытку получить « произвольно близких » к $x$ и $y$ соответственно. Это идея, лежащая в основе исчисления: подобраться сколь угодно близко, скажем, к $х$, не достигнув его на самом деле.

Как мы видели в главе 3, Лагранж пытался избежать всего вопроса о « произвольная замкнутость, » как в предельной, так и в дифференциальной формах, когда в 1797 году он попытался основать исчисление на бесконечных рядах.

Хотя усилия Лагранжа потерпели неудачу, они подготовили почву для того, чтобы Коши дал определение производной, которое, в свою очередь, опиралось на его точную формулировку предела. Рассмотрим следующий пример: определить наклон касательной (производной) к $f(x) = \sin x$ в точке $x = 0$.

Рассмотрим график разностного отношения $D(x) = \dfrac{\sin x}{x}$.

Рисунок $\PageIndex{1}$: Наклон касательной (производной) к $f(x) = \sin x$.

Из графика видно, что $D(0) = 1$, но мы должны быть осторожны. $D(0)$ даже не существует! Каким-то образом мы должны передать идею о том, что $D(x)$ будет приближаться к $1$, когда $x$ приближается к $0$, даже если функция не определена в $0$. Идея Коши заключалась в том, что предел $D(x)$ будет равен $1$, потому что мы можем заставить $D(x)$ отличаться от $1$ настолько мало, насколько захотим.

Карл Вейерштрасс конкретизировал эти идеи в своих лекциях по анализу в Берлинском университете (1859–1860) и дал нам нашу современную формулировку.

Определение

Мы говорим $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L$ при условии, что для каждого $ε > 0$ существует $δ > 0$ такое, что если $0 < |x - a| < δ$, то $|f(x) - L| < ε$.

Прежде чем углубиться в это, обратите внимание, что оно очень похоже на определение непрерывности $f(x)$ в точке $x = a$. На самом деле мы легко можем видеть, что $f$ непрерывно в $x = a$ тогда и только тогда, когда $ \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Между этим определением и определением непрерывности есть два различия, и они связаны между собой. Во-первых, мы заменяем значение $f(a)$ на $L$. Это связано с тем, что функция не может быть определена в $a$. В некотором смысле предельное значение $L$ — это значение, которое $f$ имело бы , если бы оно было определено и непрерывно в точке $a$ . Во-вторых, мы заменили

\[|х — а| < δ\]

\[0 < |х - а| < δ\]

Опять же, поскольку $f$ не нужно определять в $a$, мы даже не будем рассматривать, что происходит, когда $x = a$. Это единственная цель этого изменения.

Как и в случае с определением предела последовательности, это определение не определяет, что такое $L$, оно только проверяет правильность вашего предположения относительно значения предела.

Наконец, несколько комментариев о различиях и сходствах между этим пределом и пределом последовательности уместны хотя бы по той причине, что мы используем одно и то же обозначение ($ \displaystyle \lim$) для обоих.

Когда мы работали с последовательностями в главе 4 и писали что-то вроде $ \displaystyle \lim_{n \to \infty } a_n$, мы думали о $n$ как о целом числе, которое становится все больше и больше. Говоря более математически, предельный параметр $n$ был взят из множества натуральных чисел, или $n ∈ \mathbb{N}$.

Как для непрерывности, так и для предела функции мы пишем что-то вроде $ \displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$ и думаем о $x$ как о переменной, которая становится сколь угодно близкой к числу $а$. Опять же, чтобы быть более математическим на нашем языке, мы бы сказали, что предельный параметр $x$ берется из … Ну, на самом деле, это интересно, не так ли? Нам нужно взять $x$ из $\mathbb{Q}$ или из $\mathbb{R}$? Требование в обоих случаях состоит просто в том, чтобы мы могли выбирать $х$ сколь угодно близким к а. Из теоремы 1.1.2 главы 1 мы видим, что это возможно независимо от того, рационально ли $х$ или нет, так что, похоже, сработает и то, и другое. Это приводит к парадоксальному заключению, что нам не нужен континуум ($\mathbb{R}$) для непрерывности. Это кажется странным. 92 -1}{x-1} — 2 \справа | &= \влево | (x+1) — 2 \справа | \\[4pt] &= \влево | х — 1 \право | < \delta = \varepsilon \end{align*}\]

Как и в нашей предыдущей работе с последовательностями и непрерывностью, обратите внимание, что записки не являются частью формального доказательства (хотя было необходимо определить соответствующее $δ\ )). Кроме того, обратите внимание, что \(0 < |x - 1|$ на самом деле не использовалось, кроме как для обеспечения того, чтобы $x \neq 1$.

Упражнение $\PageIndex{1}$

Используйте определение предела, чтобы убедиться, что 92} \right |\\ &\leq \dfrac{1}{2}\left | х-1 \право | \конец{выравнивание*}\]

Вернемся к исходной задаче: показать, что $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$.

Будучи строгим, наше определение непрерывности довольно громоздко. Нам действительно нужно разработать некоторые инструменты, которые мы могли бы использовать для строгой демонстрации преемственности, не обращаясь непосредственно к определению. Мы уже видели в теореме 6.2.1 один из способов сделать это. Вот еще один. Ключевым является наблюдение, которое мы сделали после определения предела:

\[f \text{ непрерывно в } x = a \text{ тогда и только тогда, когда }\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\]

Прочитав иначе, мы могли бы сказать, что $ \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L$ при условии, что если мы переопределим $f(a) = L$ (или определим $f (а) = L$ в случае, когда $f(a)$ не определено), то $f$ становится непрерывным в $a$. Это позволяет нам использовать весь доказанный нами механизм непрерывных функций и пределов последовательностей.

Например, следующее следствие из теоремы 6.2.1 получается практически бесплатно после того, как мы сделали вышеприведенное наблюдение.

Следствие $\PageIndex{1}$

$ \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L$ тогда и только тогда, когда $f$ удовлетворяет следующему свойству:

\[\forall \text{ последовательностей }(x_n),x_n\neq a, \text{ if }\lim_{x \to \infty } x_n = a \text{ then } \lim_{x \to \infty } f(x_n) = L\]

Вооружившись этим, мы можем доказать следующие известные предельные теоремы из исчисления.

Теорема $\PageIndex{1}$

Предположим, $ \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L$ и $ \displaystyle \lim_{x \to a} g(x ) = М$, то

$\displaystyle \lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = L + M$
$\displaystyle \lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = L \cdot M$
$\displaystyle \lim_{x \to a} \left ( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right ) = \dfrac{L}{M}$ при условии $M \neq 0$ и $g(x) \neq 0$, при $x$ достаточно близком к $а$ (но не равном $а$).

Мы докажем часть (а), чтобы дать вам почувствовать это и дать вам возможность доказать части (б) и (в).

Доказательство

Пусть ($x_n$) будет такой последовательностью, что $x_n \neq a$ и $\displaystyle \lim_{n \to \infty }x_n = a$. Поскольку $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L$ и $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = M$, мы видим, что $\displaystyle \ lim_{n \to \infty} f(x_n) = L$ и $\displaystyle \lim_{n \to \infty} g(x_n) = M$. По теореме 4.2.1 главы 4 имеем $\displaystyle \lim_{n \to \infty } f(x_n) + g(x_n) = L + M$. Поскольку {$x_n$} была произвольной последовательностью с $x_n \neq a$ и $\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n = a$, мы имеем

\[\lim_{x \to a} f(x) + g(x) = L + M.\nonumber \]

Упражнение $\PageIndex{3}$

Докажите части (b) и (c) теоремы $\PageIndex{1}$.

В большей степени в соответствии с нашими текущими потребностями у нас есть переформулировка теоремы сжатия.

Теорема $\PageIndex{2}$: Теорема сжатия для функций

Предположим, что $f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)$, при $x$ достаточно \) (но не равно $а$). Если

\[\lim_{x \to a} f(x) = L = \lim_{x \to a} h(x)\]

тогда также

\[\lim_{x \to a} g(x) = L.\]

Упражнение $\PageIndex{4}$

Докажите теорему $\PageIndex{2}$.

Подсказка: Используйте теорему сжатия для последовательностей (теорема 4. 2.4) из главы 4.

Вернувшись к $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$, мы увидим, что теорема о сжатии — это именно то, что нам нужно. Сначала обратите внимание, что, поскольку $D(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ является четной функцией, нам нужно сосредоточиться только на $x > 0$ в наших неравенствах. Рассмотрим единичный круг.

Рисунок $\PageIndex{2}$: Круг Unit.

Упражнение $\PageIndex{5}$

Используйте тот факт, что $\text{область}(∆OAC) < \text{область}(сектор OAC) < \text{область}(∆OAB)$ чтобы показать, что если \(0

Эта страница под названием 6.3: Определение предела функции распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4. 0 и была создана, изменена и/или курирована Юджином Боманом и Робертом Роджерсом (OpenSUNY) через исходный контент, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

Наверх

Была ли эта статья полезной?

Тип изделия
Раздел или Страница
Автор
Юджин Боман и Роберт Роджерс
Лицензия
CC BY-NC-SA
Версия лицензии
4,0
Показать страницу TOC
нет
Теги
1. предел
2. source@https://milneopentextbooks. org/how-we-got-from-there-to-here-a-story-of-real-analysis
3. Предельные коэффициенты

исчисление — Определение предела экспоненциальной функции из определения e

спросил 9определение предела x$ из определения предела $e$.

Вот скриншот:

Чтобы заменить $n$ на $u$ в предельном «индексе», нам нужно убедиться, что $u$ переходит в $+\infty$, когда $n$ переходит в $ +\infty$. Следовательно, у нас должно быть: $$\lim_{n\to+\infty} u = \lim_{n\to+\infty} nx \stackrel{?}{=}+\infty$$ Что в некотором роде равно $(+∞)*x$. Это нормально, если $x$ положительное, но что, если $x$ отрицательное? Разве тогда этот предел не будет равен $(-∞)$, что сделает эту «переиндексацию» недействительной?

В доказательстве чего-то не хватает, или я ошибаюсь?

Заранее спасибо! (Причина, по которой я пишу это здесь, а не комментирую, заключается в том, что настройки сайта запрещают мне это делать из-за моей ограниченной активности.