Aritaborian в сообщении #1092040 писал(а): Потому что бесконечность — не число Я сам хотел сказать ровно то же самое. Поэтому не буду повторять, а немного добавлю. Есть два разных понятия: число и точка. Вначале для школьников они существуют по отдельности, как просто слова из разных миров: из арифметики / алгебры и из геометрии. Всё нормально. Потом школьники изучают числовую прямую и координатную плоскость. И научаются сопоставлять На числовой прямой каждая точка — это какое-то число из множества — множества действительных чисел. И напротив, каждое число из — это какая-то точка на прямой. А теперь, надо мысленно снова разделить эти понятия. Развести их. К прямой линии можно добавить ещё точки. Это будут «бесконечно удалённые точки», одна или две. Это сделать можно, чисто геометрически (предел — это геометрическое понятие, например, в школьной геометрии постоянно встречаются пределы: при определении длины кривой линии, площади фигуры, при определении касательной). К множеству конечно, можно добавить ещё новые числа, но другие. Например, могут получиться комплексные числа. Или, может получиться так называемое «нестандартное множество действительных чисел», в котором будут «актуальные бесконечности». Но я не советую так делать. Главная проблема здесь в том, что вы не можете добавить числа по одному — вам придётся сразу добавлять бесконечно много новых чисел, сразу не меньше чем копию исходного множества а то и кучу таких копий. —————- Ещё я хотел бы подчеркнуть такую вещь. Добавление одной точки и добавление двух точек — это действия разные. Получатся разные результаты. И нельзя добавить и то и другое. То есть, вы должны рассматривать три разных конструкции: — числовая прямая пополненная одной бесконечно удалённой точкой; — числовая прямая пополненная двумя бесконечно удалёнными точками.  Эти конструкции используются неформально рядом, только чтобы «сообщить дополнительную уточнённую информацию», когда это можно. Например, если вы считаете то вы можете написать ответ и будете абсолютно правы. Определению бесконечного предела это удовлетворяет. Но вы можете сделать большее, вы можете уточнить ответ, и написать (и именно это будет вам зачтено как решённая задача). И это тоже будет правильным ответом, и выполненным определением. Но по сути, надо понимать, что мы имеем дело с тремя геометрическими фактами: 3. Если мы рассматриваем числовую прямую то в ней предел существует, и равен Просто от вас ждут формулировки именно третьего факта, поскольку он «наиболее подробный». — 19.01.2016 11:44:05 — А, ну и это уже arseniiv произнёс, и даже больше и подробней. — 19.01.2016 11:50:19 — —————- Ещё добавлю. Если мы говорим про точки, то почему вообще пишем под знаком предела и другие формулы? На самом деле, конечно, в множестве или вычислять ничего нельзя. Но это было бы нам неудобно: мы хотим брать разные функции, и их исследовать, чтобы посмотреть, какие у них будут пределы. Поэтому, мы просто вычисляем что-то в рамках обычного а потом переносим эти числа уже в пополненные множества, по очевидному (естественному) сопоставлению. |
..— запутался в ограничениях, когда знаменатель равен 0
спросил
Изменено 2 года, 7 месяцев назад
Просмотрено 6к раз
$\begingroup$
Итак, я подумал, что всякий раз, когда знаменатель функции равен $0$, предела не существует.
Пока я не прочитал арифметические правила для пределов функций, в которых говорится, являются ли $f$ и $g$ функциями, и их пределы равны соответственно $L$ и $M$.
Тогда предел $f(x) \over {g(x)}$ при $x \rightarrow a$ равен $L \over M$, если $M$ не равен $0$. НО, если мы предположим, что $f(x) \over {g(x)}$ имеет предел, то предел $f(x)$ ДОЛЖЕН быть равен $0$.
Так что я не совсем понимаю это правило. Меня всегда учили (если только я не ошибаюсь), что всякий раз, когда знаменатель равен $0$, предел функции не существует. Но теперь это так? Как получилось, что $0 \over 0$ вдруг определено? В чем разница между лимитом $2 \over {x-2}$ и $0 \over {x-2}$ при $x \rightarrow 2$?
- исчисление
$\endgroup$
2 92}=С.$$ Во всех трех случаях знаменатель приближается к $0$. Однако $A=1, B=0$ и $C$ не существуют.
Поведение функции будет зависеть как от числителя, так и от знаменателя.
В некотором смысле, если они оба приближаются к $0$, вы можете думать об этом как о гонке между числителем и знаменателем, чтобы увидеть, кто быстрее достигнет $0$.
$\endgroup$
$\begingroup$
Может ли существовать предел в виде $\frac{0}{0}$?
Ответ: Да. Вы можете найти несколько простых примеров в другом ответе. А вот еще интереснее: $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1$, а знаменатель стремится к $0$, когда $x$ приближается к $0$.
Можно ограничить существование $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ (в $\mathbb{R}$), если знаменатель $g(x)$ приближается к $0 $ но $f(x)\to r\neq 0$ как $x\to $?
Нет, потому что в этом случае член $\frac{f(x)}{g(x)}$ может быть бесконечно большим (отрицательно или положительно).
Идея определения в том, что оно указывает на ЕДИНСТВЕННУЮ возможность существования предела.
$\endgroup$
$\begingroup$
Мы алгебраически определяем, какое выражение справа от предела будет первым.
$\lim_{x\to 2} \frac{0}{2-x} $ говорит нам, к чему приближается выражение $\frac{0}{2-x}$, когда $x$ приближается к 2, а не к чему равно 2. Поэтому, когда мы имеем дело с этим выражением, мы предполагаем, что $x\not = 2$. Тогда 0, деленный на любое ненулевое число, равно 0. Таким образом, предел теперь равен $\lim_{x\to 2} 0=0$.
$\lim_{x\to 2} \frac{2}{2-x} $ говорит нам, к чему приближается выражение $\frac{2}{2-x}$, когда $x$ приближается к 2. Это сложнее понять полностью. Чтобы предел существовал, он должен либо принимать определенное значение, либо приближаться к «одной и той же бесконечности» с обеих сторон приближаемого числа. Что я покажу, так это то, что оно не может приблизиться ни к какому конкретному значению и не стремится к той же самой бесконечности.
Обратите внимание, что когда $x>2, \frac{2}{2-x}<0$, так как знаменатель отрицательный. Теперь обратите внимание, что когда $x<2, \frac{2}{2-x}>0$.
Таким образом, если обе стороны приближаются к одному и тому же числу, это число должно быть равно 0,9.0005
Мы также знаем, что выражение не может стремиться к одной и той же бесконечности, поскольку значения $\frac{2}{2-x}$ имеют разные знаки по обе стороны от 2. Итак, давайте покажем, что оно не может стремиться к 0.
Обратите внимание, что если $0
$\endgroup$
$\begingroup$
То, с чем вы имеете дело, называется неопределенной формой. На неопределенные формы странно смотреть, потому что на них нет немедленного ясного ответа, когда они возникают. $0/0$ выглядит странно, потому что ноль в числителе обычно означает число ноль, а ноль в знаменателе обычно означает бесконечность, так что же здесь происходит? Что ж, когда вы получаете выражение в виде $0/0$, вы проверяете, быстрее ли числитель или знаменатель стремится к нулю.
Как проверить скорость изменения? Вы используете производную (она же операция, которая может дать вам скорость изменения функции). Если вы называете числитель $f(x)$ и знаменатель $g(x)$, то, когда у вас есть $f(x)/g(x)$ в форме $0/0$, вы берете производную обеих функций, $f'(x)/g'(x)$, и это дает отношение скоростей их изменения. 9бесконечность) и можно привести его к одной из неопределенных форм отношения (0/0, бесконечность/бесконечность), то можно применить правило (lim $f(x)/g(x)$ = lim $f'(x)/ г'(х)$). Так что это отличный способ решить еще несколько проблем.
$\endgroup$
$\begingroup$
Если вам нужно рассчитать следующий предел
$$\large{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}}$$ и если у вас есть этот $\large {\lim_{x\to a}g(x)}=0$
Если вы можете записать $g(x)$ как множитель $f(x)$, то есть $f(x) = g( x)\cdot h(x)$ у вас будет
$$\large{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim_{x\to a}\frac{g(x)\cdot h( x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}h(x)$$
И обратите внимание, что если $f(x) = g(x)\cdot h(x) \to 0$ так как $g(x) \to 0$ И это говорит о том, что если знаменатель стремится к $0$, предел существует, если числитель стремится к $0$, и важным условием является то, что $\lim_{x\to a}h(x)$ также должны существовать.
Рассмотрим контрпример:
$\large{\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)}}$ с $g(x) = x$ и $f(x ) = x\sin(\frac{1}{x}) +\sin(x)$ можно отметить следующие вещи:
Знаменатель $g(x)$ стремится к $0$
Числитель $f(x)$ стремится к $0$
$g(x)$ может быть выражен как множитель $f(x)$ как $f (x) = \color{blue}{g(x)} \cdot \color{red}{h(x)} = \color{blue}{x} \cdot (\color{red}{\sin (\ frac{1}{x}) + \frac{\sin (x)}{x}})$
но в любом случае предела не существует.
Что здесь не так?
Здесь не выполняется условие $\lim_{x\to a}h(x)$ не существует.
В резюме, когда знаменатель стремится к $0$, существует предел $\iff$
Числитель стремится к $0$ и предел $h(x)$ существует.
$\endgroup$
исчисление — Нахождение предела при знаменателе = 0
Задать вопрос
спросил
Изменено 11 лет, 8 месяцев назад
9+} \frac{x — 4}{x — 3}$$Как (алгебраически) определить, положительное оно или отрицательное?
- исчисление
- пределы
$\endgroup$
6
$\begingroup$
Возможно, такой способ мышления покажется вам немного более интуитивным:
Пусть $\varepsilon > 0$, и рассмотрим предел
$$\lim_{x \rightarrow -2^{-}} \ гидроразрыв {1}{(x+2)^2}
= \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{1}{((-2-\varepsilon)+2)^2}
= \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\varepsilon^2}.