Решение высшей математики онлайн
‹— Назад
В этом разделе мы на основе изученных выше свойств бесконечно малых величин (то есть функций, имеющих предел, равный 0) выясним свойства функций, имеющих произвольное значение предела.
Теорема 2.8 Пусть функции и имеют пределы при одной и той же базе :
Тогда функция также имеет предел при базе , и этот предел равен сумме пределов слагаемых:
Доказательство. Равенство означает, в соответствии с теоремой 2.4, что величина — бесконечно малая; равенство — что — бесконечно малая. Поэтому по теореме 2.5 сумма
также является бесконечно малой.
Теорема 2.4 утверждает, что тот факт, что разность бесконечно мала, означает, что ; это и требовалось доказать.
Замечание 2.2 В доказанной теореме не утверждается, что если существует предел суммы, то существуют и пределы слагаемых. Это неверно, что показывает простейший пример: пусть и . Тогда и предел , в то время как пределы при функций и не существуют.
Так что из несуществования пределов слагаемых не следует несуществование предела суммы.
Теорема 2.9 Пусть функции и имеют пределы при одной и той же базе :
Тогда функция также имеет предел при базе , и этот предел равен произведению пределов сомножителей:
Доказательство. Равенство означает, в соответствии с теоремой 2. 4, что величина — бесконечно малая; равенство — что — бесконечно малая. Поэтому и , откуда
или
Покажем, что в правой части этого равенства стоит бесконечно малая величина. Величина — бесконечно малая согласно следствию 2.3, а величина — бесконечно малая по теореме 2.7 (величина имеет предел, равный 0, и, следовательно, локально ограничена по теореме 2.6). Поскольку разность между функцией и постоянной бесконечно мала при базе , то по теореме 2.4; это и требовалось доказать.
Замечание 2.3 Сделаем замечание, аналогичное замечанию 2. 2: если существует предел произведения, то отсюда не следует, что существуют пределы каждого из сомножителей; доказанная теорема этого не утверждает. Приведём пример, который был уже разобран выше: функция при имеет предел, равный 0, однако предела при не существует (хотя другой множитель, , имеет предел при этой базе).
Так что из несуществования предела у какого-нибудь сомножителя не следует несуществование предела произведения.
Следствие 2.4 Пусть и (то есть — постоянная величина). Тогда существует предел функции , равный :
Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что, согласно примеру 2.4, , и применить теорему 2.9.
Доказанное следствие означает, что постоянный множитель можно выносить за знак предела, а также вносить под знак предела. Иными словами, умножение на постоянную и переход к пределу можно менять местами.
Следствие 2.5 Пусть функции имеют при базе пределы, равные соответственно , и — постоянные. Тогда
Доказательство. Оно состоит в последовательном -кратном применении теоремы 2.8 к слагаемым , предел которых, согласно предыдущему следствию, равен .
В качестве частного случая можно рассмотреть предел разности двух функций. Разность можно представить в виде и применить следствие 2.5 к этой сумме из двух слагаемых. Получим тогда, что
то есть что разность (как и сумма) сохраняется при переходе к пределу.
Замечание 2.4 Утверждение следствия 2.5, с алгебраической точки зрения, означает, что, во-первых, множество всех функций, заданных на фиксированном окончании базы и имеющих предел при базе — это линейное пространство, а во-вторых — что операция взятия предела — это линейное отображение линейного пространства в линейное пространство вещественных чисел . Попросту: переход к пределу сохраняет суммирование и умножение на постоянные.
Предел отношения двух функций , в отличие от суммы, разности и произведения, не обязательно равен отношению пределов числителя и знаменателя , даже если пределы и существуют. Дело в том, что предел знаменателя может равняться нулю, и отношение пределов тогда не имеет смысла, в то время как предел отношения при этом вполне может существовать. Приведём такой простейший пример:
Пример 2.15 Пусть , и взята база . Тогда, очевидно, , и отношение пределов не имеет смысла. При этом при и предел отношения существует: .
Оказывается, условия , которое обеспечивает то, что отношение пределов имеет смысл, — этого условия достаточно для того, чтобы предел отношения двух функций был равен отношению их пределов. Ниже мы докажем соответствующую теорему, а пока докажем такое вспомогательное утверждение.
Лемма 2.1 Пусть при некоторой базе существует предел . Тогда функция определена на некотором окончании этой базы и локально ограничена при этой базе.
Доказательство. Возьмём положительное число . По определению предела, в базе найдётся такое окончание , что при всех будет . Это неравенство можно привести к виду
| (2.2) |
При это неравенство означает, что ; так как , то и при всех и, следовательно, функция определена во всех точках окончания и удовлетворяет неравенству
При неравенство (2. 2) означает, что ; так как , то и при всех и, опять-таки, функция определена во всех точках окончания ; она удовлетворяет неравенству
В любом случае получаем, что функция определена во всех точках и при этих удовлетворяет неравенству , что означает локальную ограниченность функции при базе .
На основе этой леммы мы докажем обещанное выше утверждение о пределе отношения.
Теорема 2.10 Пусть при одной и той же базе существуют пределы и , причём . Тогда функция определена на некотором окончании базы , существует предел , и , то есть предел отношения равен отношению пределов числителя и знаменателя.
Доказательство. Представим отношение в виде , в котором и первый, и второй множители определены на некотором окончании базы (относительно второго множителя см. предыдущую лемму). Поэтому и исходное отношение имеет смысл при всех .
Утверждение о том, что , эквивалентно тому, что разность — бесконечно малая величина. Приводя эту разность к общему знаменателю, получим, что . Величина — постоянная и, следовательно (см. пример 2.11), локально ограничена; функция — тоже локально ограничена при базе (по предыдущей лемме). Значит, с учётом предложения 2.1 и теоремы 2.7, будет доказано, что величина бесконечно малая, если мы покажем, что бесконечно мала при базе величина . Найдём предел этой величины. По свойству линейности предела ( следствие 2.5)
Это означает, что величина бесконечно мала.
Замечание 2.5 Как и в случае пределов суммы и произведения, можно сделать замечание (аналогичное замечаниям 2.2 и 2.3): если существует предел отношения, то пределы числителя и знаменателя, вообще говоря, существовать не обязаны. Приведите сами пример, иллюстрирующий это утверждение.
Пример 2.16 Найдём предел
Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень , то есть на , и получим предел
В этом пределе знаменатель стремится к 3, так как и (здесь мы применили теорему о пределе произведения для последнего слагаемого) и, следовательно, (здесь мы воспользовались линейностью предела). Поскольку предел знаменателя оказался не равен 0, то можно применить теорему о пределе отношения и получить, что
Предел числителя, равный 2, мы нашли аналогично пределу знаменателя, пользуясь линейностью предела.
Итак,
Заметим, что предел отношения многочленов оказался равен отношению коэффициентов при старшей степени , то есть, в данном случае, при .
Аналогично решаются и другие примеры на вычисление пределов отношения двух многочленов при , а также пределов отношения некоторых других функций, например, связанных с корнями из многочленов.
Пример 2.17 Найдём предел
Для этого поделим числитель и знаменатель дроби на (под знаком корня в знаменателе для этого придётся поделить на ):
Поскольку , то подкоренное выражение стремится к 4, а весь знаменатель — к . 6 Предел знаменателя оказался отличен от 0, поэтому предел отношения равен отношению пределов. Найдём предел числителя. Поскольку при всех (так как показатель степени отрицателен), то величина локально ограничена при базе и поскольку величина — бесконечно малая при этой базе, то произведение также бесконечно мало, то есть стремится к 0 при . Значит, предел числителя равен
а исходный предел —
Упражнение 2.5 Найдите пределы:
Ответ: ; ; .
Указания: поделите числитель и знаменатель дроби в первом примере на , во втором — на и в третьем — на . Во втором примере воспользуйтесь тем, что и — величины, ограниченные при всех (и, следовательно, локально ограниченные при любой базе).
Теорема 2.11 (теорема «о двух милиционерах») Пусть даны три функции , и , при всех из некоторого окончания базы связанные неравенством
Пусть функции и имеют общий предел при базе :
Тогда функция также имеет предел при базе , равный тому же числу :
Доказательство. Согласно определению предела, для любого найдутся такие окончания базы и , что при выполняется неравенство
а при — неравенство
Значит, для окончания при всех выполняются неравенства
то есть
Это означает, что предел величины равен .
Рис.2.21.Два милиционера и и пьяный движутся в участок
(Происхождение названия теоремы таково: пусть график функции — это траектория движения первого милиционера в участок, график — второго милиционера туда же, а график — траектория движения нетрезвого гражданина, находящегося, в соответствии с неравенством
в любой момент между двумя милиционерами. Тогда и этот гражданин неизбежно придёт туда же, в участок .)
Теорема 2.12 (теорема о пределе неотрицательной величины) Пусть при всех из некоторого окончания базы и существует . Тогда . Иными словами, при переходе к пределу знак нестрогого неравенства сохраняется.
Доказательство. Если бы предел был отрицательным, то можно было бы взять и найти такое окончание базы , что при выполняется неравенство , откуда . Это же будет выполнено на некотором окончании , что противоречит предположению, что при всех . Противоречие доказывает, что отрицательным предел быть не может, то есть .
Следствие 2.6 Пусть при всех из некоторого окончания базы и существует . Тогда .
Доказательство. Для доказательства достаточно взять функцию , применить к ней доказанную только что теорему и воспользоваться тем, что знак минус можно вынести за знак предела (по свойству линейности предела).
Следствие 2.7 (переход к пределу в нестрогом неравенстве) Пусть при всех из некоторого окончания базы выполняется неравенство . Предположим, что существуют пределы и . Тогда (то есть значения пределов связаны тем же нестрогим неравенством, что и функции). То же верно для нестрогого неравенства .
Доказательство. Рассмотрим функцию . По условию теоремы, , причём
Применим к функции теорему о пределе неотрицательной величины и получим, что , то есть , что и требовалось доказать. Для другого нестрогого неравенства доказательство аналогично.
Замечание 2.6 Аналогичные утверждения для строгих неравенств ( и ) неверны. Для того, чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть предел . Очевидно, он равен 0, хотя при любом из любого окончания базы величина строго положительна.
Рис.2.22.Предел строго положительной величины может оказаться равным 0
Напомним, что функция называется не убывающей на множестве , если для любых , таких что , выполняется неравенство , и не возрастающей на , если при и выполняется неравенство .
Теорема 2.13 (о пределе монотонной функции) Пусть рассматривается одна из баз , , , которую обозначим . Пусть функция не убывает на некотором окончании базы и ограничена сверху на этом окончании, то есть существует такая постоянная , что при всех . Тогда существует предел , причём .
Рис.2.23.Предел неубывающей ограниченной сверху функции
Доказательство этой теоремы достаточно сложно; оно основывается на довольно тонких свойствах системы вещественных чисел, а именно, на том, что у ограниченного снизу множества чисел , где числа ограничивают функцию сверху, существует точная нижняя грань ; она-то и будет пределом неубывающей функции.
Мы ограничимся здесь этим замечанием и поясняющим рисунком, а за подробным доказательством отошлём читателя к полному курсу математического анализа, например, книгам: Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1 или С. М. Никольский, Курс математического анализа, т. 1.
Имеют место также утверждения, получающиеся из теоремы о пределе монотонной функции сменой знака функции или заменой координаты :
Следствие 2.8 Пусть рассматривается одна из баз , , , которую обозначим . Пусть функция не возрастает на некотором окончании базы и ограничена снизу на этом окончании, то есть существует такая постоянная , что при всех . Тогда существует предел , причём .
Рис.2.24.Предел невозрастающей ограниченной снизу функции
Следствие 2.9 Пусть рассматривается одна из баз , , которую обозначим . Пусть функция не убывает на некотором окончании базы и ограничена снизу на этом окончании, то есть существует такая постоянная , что при всех . Тогда существует предел , причём .
Рис.2.25.Предел неубывающей ограниченной снизу функции
Следствие 2.10 Пусть рассматривается одна из баз , , которую обозначим . Пусть функция не возрастает на некотором окончании базы и ограничена сверху на этом окончании, то есть существует такая постоянная , что при всех . Тогда существует предел , причём .
Рис.2.26.Предел невозрастающей ограниченной сверху функции
Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции
3 типа ордеров: рыночные, лимитные и стоп-ордера
Различные типы ордеров могут привести к совершенно разным результатам; важно понимать различия между ними. Здесь мы сосредоточимся на трех основных типах ордеров: рыночных ордерах, лимитных ордерах и стоп-ордерах — чем они отличаются и когда следует учитывать каждый из них.
Это помогает думать о каждом типе ордера как об отдельном инструменте, подходящем для своей цели. Независимо от того, покупаете вы или продаете, важно определить свою основную цель — будь то быстрое исполнение вашего ордера по преобладающей рыночной цене или контроль цены вашей сделки. Затем вы можете определить, какой тип ордера наиболее подходит для достижения вашей цели.
Что такое рыночный ордер и как его использовать?
Рыночный ордер — это ордер на покупку или продажу акции по текущей наилучшей доступной цене на рынке. Рыночный ордер обычно обеспечивает исполнение, но не гарантирует указанную цену. Рыночные ордера оптимальны, когда основной целью является немедленное исполнение сделки. Рыночный ордер, как правило, подходит, когда вы считаете, что акции оценены правильно, когда вы уверены, что хотите исполнить свой ордер, или когда вы хотите немедленного исполнения.
Несколько предостережений: котировка акции обычно включает в себя самую высокую цену (для продавцов), самую низкую цену (для покупателей) и цену последней сделки. Однако цена последней сделки не обязательно может быть текущей, особенно в случае менее ликвидных акций, последняя сделка по которым могла быть совершена несколько минут или часов назад. Это также может иметь место на быстро меняющихся рынках, когда цены на акции могут значительно измениться за короткий период времени. Поэтому при размещении рыночного ордера текущие цены спроса и предложения обычно имеют большее значение, чем цена последней сделки.
Обычно рыночные ордера следует размещать только в рыночные часы. Рыночный ордер, размещенный, когда рынки закрыты, будет исполнен при следующем открытии рынка, которое может быть значительно выше или ниже его предыдущего закрытия. В промежутках между рыночными сессиями на цену акций могут влиять многочисленные факторы, такие как отчет о прибылях и убытках, новости компаний или экономические данные, а также неожиданные события, затрагивающие всю отрасль, сектор или рынок в целом.
Что такое лимитный ордер и как он работает?
Лимитный ордер — это ордер на покупку или продажу акций с ограничением максимальной цены, подлежащей уплате, или минимальной цены, которую необходимо получить («лимитная цена»). Если ордер исполняется, он будет только по указанной лимитной цене или выше. Однако гарантии исполнения нет. Лимитный ордер может быть уместным, когда вы думаете, что можете купить по цене ниже или продать по цене выше текущей котировки.
Источник: StreetSmart Edge®.
Приведенный выше график иллюстрирует использование рыночных ордеров по сравнению с лимитными ордерами. В этом примере цена последней сделки составляла примерно 139 долларов.
- Трейдер, который хочет купить (или продать) акцию как можно быстрее, разместит рыночный ордер , который в большинстве случаев будет немедленно исполнен по текущей цене акции 139 долларов или близко к ней (белая линия) — при условии, что рынок был открыт в момент размещения ордера и за исключением необычных рыночных условий.
- Трейдер, который хочет купить акцию, когда она упадет до 133 долларов, сделает покупку лимитный ордер с лимитной ценой $133 (зеленая линия). Если акции упадут до 133 долларов или ниже, сработает лимитный ордер, и ордер будет исполнен по цене 133 доллара или ниже. Если акция не упадет до 133 долларов или ниже, исполнение не произойдет.
- Трейдер, который хочет продать акцию, когда она достигнет 142 долларов, разместит лимитный ордер на продажу с предельной ценой 142 доллара (красная линия). Если акции вырастут до 142 долларов или выше, будет активирован лимитный ордер, и ордер будет исполнен по цене 142 доллара или выше. Если акция не поднимется до 142 долларов или выше, исполнение не произойдет.
Обратите внимание: даже если акции достигают указанной предельной цены, ваш ордер может не быть исполнен, поскольку перед вашим могут быть ордера, исключающие доступность акций по предельной цене. (Лимитные ордера обычно исполняются в порядке очереди. ) Также обратите внимание, что в случае лимитного ордера цена, по которой он исполняется, может быть ниже лимитной цены, в случае ордера на покупку, или выше лимитной цены, в случае ордера на продажу.
Если лимитный ордер на покупку по цене $133 был установлен как «Действителен до отмены», а не как «Только день», он все равно будет действовать на следующий торговый день. Если бы акция открылась по цене 130 долларов, сработал бы лимитный ордер на покупку, и ожидаемая цена покупки составила бы около 130 долларов — более выгодная цена для покупателя. И наоборот, при лимитном ордере на продажу по цене 142 доллара, если акции открываются по цене 145 долларов, лимитный ордер сработает и будет исполнен по цене, близкой к 145 долларам, что опять-таки более выгодно для продавца.
Что такое стоп-ордер и как его использовать?
Стоп-ордер — это приказ купить или продать акцию по рыночной цене после того, как акция торгуется по указанной цене или через нее («стоп-цена»). Если акция достигает стоп-цены, ордер становится рыночным и исполняется по следующей доступной рыночной цене. Если акция не достигает стоп-цены, ордер не исполняется.
Стоп-приказ может быть уместен в следующих сценариях:
- Когда акции, которыми вы владеете, выросли, и вы хотите попытаться защитить свою прибыль, если они начнут падать
- Когда вы хотите купить акции, когда они прорываются выше определенного уровня, полагая, что они продолжат расти
Стоп-ордер на продажу иногда называют «стоп-лоссом», поскольку его можно использовать для защиты нереализованной прибыли или минимизации убытков. Стоп-ордер на продажу вводится по стоп-цене ниже текущей рыночной цены; если акции падают до стоп-цены (или торгуются ниже нее), срабатывает стоп-ордер на продажу, который становится рыночным ордером, подлежащим исполнению по текущей рыночной цене. Этот ордер на продажу не гарантирует исполнения вблизи вашей стоп-цены.
Для покупки также можно использовать стоп-ордер. Стоп-ордер на покупку вводится по стоп-цене выше текущей рыночной цены (по сути, «останавливая» акции от ухода от вас по мере их роста).
Давайте вернемся к нашему предыдущему примеру, но посмотрим на потенциальные последствия использования стоп-приказа на покупку и стоп-приказа на продажу — с теми же стоп-ценами, что и ранее использовавшиеся лимитные цены.
Хотя эти два графика могут выглядеть одинаково, обратите внимание, что положение красной и зеленой стрелок перевернуто: стоп-ордер на продажу сработает, когда цена акции достигнет 133 долл. США (или ниже), и будет исполнен как рыночный ордер по текущая цена. Таким образом, если акции будут падать дальше после достижения стоп-цены, вполне возможно, что ордер может быть исполнен по цене, которая ниже стоп-цены. И наоборот, для стоп-приказа на покупку при достижении стоп-цены в 142 доллара приказ может быть исполнен по более высокой цене.
Источник: StreetSmart Edge.
Что такое ценовые разрывы?
Ценовой гэп возникает, когда цена акции совершает резкое движение вверх или вниз, при этом между ними не происходит торговли.
Стоп-приказы и ценовые разрывы
Помните, что ключевое различие между лимитным ордером и стоп-приказом заключается в том, что лимитный ордер будет исполнен только по указанной лимитной цене или выше; тогда как, как только стоп-ордер сработает по указанной цене, он будет исполнен по преобладающей цене на рынке, что означает, что он может быть исполнен по цене, значительно отличающейся от стоп-цены.
На следующем графике показана акция, которая «упала вниз» с 29 долларов.до $25,20 между предыдущим закрытием и следующим открытием. Стоп-ордер на продажу по стоп-цене 29 долларов США, который сработает при открытии рынка, поскольку цена акции упадет ниже стоп-цены и, как рыночный ордер, будет исполнен по цене 25,20 доллара США, может быть значительно ниже, чем предполагалось, и даже хуже.
Стоп-приказ: гэпы вниз могут привести к неожиданному снижению цены.
Источник: StreetSmart Edge.
Лимитные ордера и ценовые разрывы
Подобно тому, как «гэп вниз» может работать против вас со стоп-приказом на продажу, «гэп вверх» может работать в вашу пользу в случае лимитного ордера на продажу, как показано на графике ниже. В этом примере лимитный ордер на продажу размещается по лимитной цене 50 долларов. Предыдущая цена акции на момент закрытия торгов составляла 47 долларов. Если бы акция открылась на уровне 63,00 доллара из-за положительных новостей, выпущенных после закрытия предыдущего рынка, сделка была бы совершена на открытии рынка по этой цене — выше, чем ожидалось, и выгоднее для продавца.
Лимитный ордер: Гэп вверх может привести к неожиданному повышению цены.
Источник: StreetSmart Edge.
Нижняя линия
Многие факторы могут повлиять на исполнение сделок. В дополнение к использованию различных типов ордеров трейдеры могут указывать другие условия, влияющие на время действия ордера, ограничения по объему или цене. Перед размещением сделки ознакомьтесь с различными способами управления своим ордером; таким образом, у вас будет гораздо больше шансов получить желаемый результат.
Хотите узнать больше о типах ордеров?
похожие темы
Трейдинг Типы заказов Торговые инструменты Акции
Информация, представленная здесь, предназначена только для общих информационных целей и не должна рассматриваться как индивидуальная рекомендация или индивидуальный совет по инвестированию. Упомянутые здесь инвестиционные стратегии могут подойти не всем. Каждый инвестор должен пересмотреть инвестиционную стратегию для своей конкретной ситуации, прежде чем принимать какое-либо инвестиционное решение.
Schwab не рекомендует использовать технический анализ в качестве единственного средства инвестиционного исследования.
Приведенные примеры предназначены только для иллюстративных целей и не предназначены для отражения ожидаемых результатов.
исчисление— В чем разница между пределом и производной?
спросил
Изменено 5 месяцев назад
Просмотрено 26 тысяч раз
$\begingroup$
Когда вы получаете производную точки, разве вы не получаете предел в этой точке?
Я не совсем понимаю, зачем их называть по-разному, когда кажется, что они делают одно и то же.
- исчисление
- пределы
- производные
$\endgroup$
3
$\begingroup$
92}{ч} $$ $$ = \lim_{h\to 0} [2x+h]=2x+0=2x $$ Понятие предела более общее, чем понятие производной.$\endgroup$
$\begingroup$
Идея предела используется для вычисления производной.
Производная — это действительно то, почему исчисление было изобретено. Люди хотели говорить что-то о «мгновенных» скоростях изменений, например, какова скорость автомобиля в данный момент времени (что на самом деле не имеет смысла без идеи предела, верно?). Вы спрашиваете, какова скорость изменения в одной точке, а изменение по определению требует двух точек.
Таким образом, идея предела была придумана для вычисления производной.