Пример арифметической прогрессии: Арифметическая прогрессия

110. Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и постоянного числа , где – это разность прогрессии: , .

Общий вид арифметической прогрессии:

; ; ; …; ; … .

Очевидно, что прогрессия является возрастающей, если , и убывающей, если .

Например, 2; 5; 8; 11; … () – возрастающая прогрессия;

12; 10; 8; 6; … () – убывающая прогрессия.

Если заданы первый член и разность , то —Й член прогрессии (любой член) Определяют по формуле:

.

Сумма первых членов Арифметической прогрессии вычисляется по формулам:

или ,

Где – количество членов прогрессии.

Свойства арифметической прогрессии.

1. Каждый средний член равен полусумме равноотстоящих от него членов: , ().

2. В конечной арифметической прогрессии суммы двух членов, равноотстоящих от ее концов, равны между собой и равны сумме крайних членов:

; ; ; . ..; ; … ; ; …; ; ; .

Пример 1. Найдите семнадцатый член арифметической прогрессии:
3; 7; 11: 15; … .

Решение. Найдем разность прогрессии: . Тогда .

Ответ. .

Пример 2. Разность арифметической прогрессии равна 3, а сумма первых ее шести членов равна 57. Найдите , .

Решение. ; . Тогда

; .

Ответ. ; .

Пример 3. Третий член арифметической прогрессии равен 6, а седьмой 14. Сколько членов нужно взять, чтобы их сумма была равна 110?

Решение. ; . Запишем и , используя формулу и вычислим и :

; .

Подставим значения и в формулу и получим уравнение для вычисления :

; . Значение – не будет решением, так как .

Ответ. .

Пример 4. Найдите арифметическую прогрессию, если сумма ее первых членов .

Решение. По условию: ; .

можно найти также как сумму первого и второго членов арифметической прогрессии, тогда:.

Отсюда .

Ответ. , или .

Пример 5. Найдите арифметическую прогрессию, если сумма первых трех ее членов равна 15, сумма трех последних членов равна 39, а сумма всех членов равна 63.

Решение. (из условия).

Сложим равенства: . По второму свойству арифметической прогрессии суммы в скобках равны между собой: . Найдем число членов прогрессии, используя формулу: . Подставим значение в исходную систему, получим:

и . Запишем прогрессию, зная и .

Ответ. 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15.

Пример 6. Между числами 1 и 25 напишите пять чисел, которые с данными числами составляют арифметическую прогрессию.

Решение. ; ; . Но, .

Ответ. 1; 5; 9; 13; 17; 21; 25; …

< Предыдущая		Следующая >

9 класс. Алгебра. Числовая последовательность. Арифметическая прогрессия.

— Числовая последовательность. Арифметическая прогрессия.

Комментарии преподавателя

На этом уроке мы рассмотрим арифметическую прогрессию и ее свойства.
Вначале дадим определение арифметической прогрессии и приведем ряд примеров. Далее выведем формулу n-го члена арифметической прогрессии и докажем, что арифметическая прогрессия – это линейная функция. В конце решим ряд примеров на пройденный материал.

 

 

Тема: Про­грес­сии

Урок: Опре­де­ле­ние и свой­ства ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, фор­му­ла n-го члена

Вспом­ним, что чис­ло­вая по­сле­до­ва­тель­ность – част­ный слу­чай функ­ции, функ­ции, опре­де­лен­ной на мно­же­стве на­ту­раль­ных чисел. Ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия – част­ный слу­чай чис­ло­вой по­сле­до­ва­тель­но­сти.

Рас­смот­рим при­ме­ры, да­ю­щие пред­став­ле­ние об ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

1. За­да­на по­сле­до­ва­тель­ность чисел: 

За­ко­но­мер­ность об­ра­зо­ва­ния дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти: каж­дый по­сле­ду­ю­щий член боль­ше преды­ду­ще­го на 4 (обо­зна­чим это число бук­вой d), т.е.  Дан­ную по­сле­до­ва­тель­ность можно за­дать ре­кур­рент­но: . За­ме­тим, что эта по­сле­до­ва­тель­ность яв­ля­ет­ся воз­рас­та­ю­щей  () .

2. За­да­на по­сле­до­ва­тель­ность чисел:  В этой по­сле­до­ва­тель­но­сти все числа равны между собой, .

3. За­да­на по­сле­до­ва­тель­ность чисел: 

За­ко­но­мер­ность об­ра­зо­ва­ния дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти: каж­дый по­сле­ду­ю­щий член мень­ше преды­ду­ще­го на 2. Чтобы по­лу­чить по­сле­ду­ю­щий член надо к преды­ду­ще­му при­ба­вить число (-2), т.е.  Дан­ную по­сле­до­ва­тель­ность можно за­дать ре­кур­рент­но: . За­ме­тим, что эта по­сле­до­ва­тель­ность яв­ля­ет­ся убы­ва­ю­щей () .

Дадим опре­де­ле­ние  ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

Чис­ло­вая по­сле­до­ва­тель­ность, каж­дый член ко­то­рой, на­чи­ная со вто­ро­го, равен сумме преды­ду­ще­го члена и од­но­го и того же числа d, на­зы­ва­ет­ся ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей, число d на­зы­ва­ет­ся ее раз­но­стью.  

Ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия обо­зна­ча­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:.

Ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия может быть за­да­на ре­кур­рент­но:  

Непо­сред­ствен­но из опре­де­ле­ния ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии сле­ду­ют такие свой­ства:

— если , то ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия — воз­рас­та­ю­щая;

— если , то ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия — убы­ва­ю­щая.

Из опре­де­ле­ния ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии сле­ду­ет ис­тин­ность ра­венств: . Тогда

  и т.д. Зна­чит, 

Т.е., зная пер­вый член и раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, можно найти любой ее член.

Ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию счи­та­ют за­дан­ной, если из­ве­стен ее пер­вый член и раз­ность.

Фор­му­лу  на­зы­ва­ют фор­му­лой n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

Фор­му­лу n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии можно до­ка­зать с по­мо­щью ме­то­да ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции.

Дано: , .

До­ка­зать:  (1)

До­ка­за­тель­ство.

Фор­му­ла (1) верна при n=1. Дей­стви­тель­но, .

Пред­по­ло­жим, что фор­му­ла (1) верна при n=k, т.е. .

До­ка­жем, что фор­му­ла (1) верна и при n=k+1, т.е. .

Из усло­вия  и пред­по­ло­же­ния  по­лу­ча­ем:

.

Со­глас­но прин­ци­пу ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции фор­му­ла (1) верна для лю­бо­го на­ту­раль­но­го числа.

Из фор­му­лы n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии сле­ду­ет, что

. Это озна­ча­ет, что ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия за­ви­сит от n, т.е. яв­ля­ет­ся функ­ци­ей на­ту­раль­но­го ар­гу­мен­та.

Вывод: ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия – это ли­ней­ная функ­ция на­ту­раль­но­го ар­гу­мен­та , где .

Если , то ли­ней­ная функ­ция воз­рас­та­ет и ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия — воз­рас­та­ю­щая;

если , то ли­ней­ная функ­ция убы­ва­ет и  ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия — убы­ва­ю­щая.

При­мер 1.

Дано: =.

Найти: фор­му­лу n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии .

До­ка­зать: — воз­рас­та­ю­щая.

Дать: гео­мет­ри­че­скую ил­лю­стра­цию.

Ре­ше­ние.

.Тогда , т.е. .

По­сколь­ку , за­дан­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия – воз­рас­та­ю­щая.

Чтобы дать гео­мет­ри­че­скую ил­лю­стра­цию дан­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, нужно по­стро­ить гра­фик ли­ней­ной функ­ции  и от­ме­тить точки с абс­цис­са­ми, рав­ны­ми 1,2,3,4,…(см. Рис. 1).

Рис. 1. Гра­фик функ­ции 

При­мер 2.

Дано: =.

Найти: фор­му­лу n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии .

Дать: гео­мет­ри­че­скую ил­лю­стра­цию.

Ре­ше­ние.

.

Тогда  для лю­бо­го на­ту­раль­но­го числа.

Чтобы дать гео­мет­ри­че­скую ил­лю­стра­цию дан­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, нужно по­стро­ить гра­фик ли­ней­ной функ­ции  и от­ме­тить точки с абс­цис­са­ми, рав­ны­ми 1,2,3,4,…(см. Рис.  2).

Рис. 2. Гра­фик функ­ции 

При­мер 3.

Дано: =.

Найти: фор­му­лу n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии .

До­ка­зать: — убы­ва­ю­щая.

Дать: гео­мет­ри­че­скую ил­лю­стра­цию.

Ре­ше­ние.

.

Тогда , т.е. .

По­сколь­ку , за­дан­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия – убы­ва­ю­щая.

Чтобы дать гео­мет­ри­че­скую ил­лю­стра­цию дан­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, нужно по­стро­ить гра­фик ли­ней­ной функ­ции  и от­ме­тить точки с абс­цис­са­ми, рав­ны­ми 1,2,3,4,…(см. Рис. 3).

Рис. 3. Гра­фик функ­ции 

При­мер 4.

Дано: , .

Найти: ; наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный член.

Ре­ше­ние.

Фор­му­ла n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: .

Тогда , т.е. .

Чтобы найти наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный член, надо опять вос­поль­зо­вать­ся фор­му­лой  n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

. Тогда , и зна­чит .

Наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный член про­грес­сии .

Ответ: ; — наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный член.

При­мер 5.

Дано: , .

Найти: .

Ре­ше­ние.

Фор­му­ла n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: .

Тогда , , .

Ответ: .

 

Урок: Фор­му­ла суммы чле­нов ко­неч­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии

Рас­смот­рим  за­да­чу: найти сумму на­ту­раль­ных чисел от 1 до 100 вклю­чи­тель­но.

Дано: 1, 2, 3, …, 98, 99, 100.

Найти: S100=1+2+3 … +98 + 99 + 100.

Ре­ше­ние: S100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101+101+101+…+101=101 х 50=5050.

Ответ: 5050.

По­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел 1, 2, 3, …, 98, 99, 100 яв­ля­ет­ся ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей: а1=1, d=1.

Мы нашли сумму пер­вых ста на­ту­раль­ных чисел, т.е. сумму пер­вых n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

Рас­смот­рен­ное ре­ше­ние пред­ло­жил ве­ли­кий ма­те­ма­тик Карл Фри­дрих Гаусс, жив­ший в 19 веке. За­да­ча была им ре­ше­на в воз­расте 5-ти лет.

Ис­то­ри­че­ская справ­ка: Иога́нн Карл Фри́дрих Га́усс (1777 — 1855) — немец­кий ма­те­ма­тик, ме­ха­ник, физик и аст­ро­ном.

Счи­та­ет­ся одним из ве­ли­чай­ших ма­те­ма­ти­ков всех вре­мён, «ко­ро­лём ма­те­ма­ти­ков». Ла­у­ре­ат ме­да­ли Копли (1838), ино­стран­ный член Швед­ской (1821) и Рос­сий­ской (1824) Ака­де­мий наук, ан­глий­ско­го Ко­ро­лев­ско­го об­ще­ства. Со­глас­но ле­ген­де, школь­ный учи­тель ма­те­ма­ти­ки, чтобы за­нять детей на дол­гое время, пред­ло­жил им со­счи­тать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс за­ме­тил, что по­пар­ные суммы с про­ти­во­по­лож­ных в оди­на­ко­вы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгно­вен­но по­лу­чил ре­зуль­тат: 101×50=5050.

Рас­смот­рим ана­ло­гич­ную за­да­чу для про­из­воль­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

Дано:  : 

Найти: сумму пер­вых n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.  

Ре­ше­ние:

По­ка­жем, что все вы­ра­же­ния в скоб­ках равны между собой, а имен­но вы­ра­же­нию  . Пусть  d – раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии. Тогда:

;

; и т.д. Сле­до­ва­тель­но, мы можем за­пи­сать:

. От­ку­да по­лу­ча­ем фор­му­лу суммы пер­вых n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

 .

1. Решим за­да­чу о сумму на­ту­раль­ных чисел от 1 до 100 с по­мо­щью фор­му­лы суммы пер­вых n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

Ре­ше­ние: а1=1, d=1, n=100.

Общая фор­му­ла:

.

В нашем слу­чае:  .

Ответ: 5050.

2. Дано: .

Найти: .

Ре­ше­ние.

Общая фор­му­ла:

. Най­дем  по фор­му­ле n–го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: .

 .

В нашем слу­чае:  .

Ответ: .

3. Дано: .

Найти: .

Ре­ше­ние:

Чтобы найти , сна­ча­ла надо найти .

Это можно сде­лать по общей фор­му­ле .Сна­ча­ла при­ме­ним эту фор­му­лу для на­хож­де­ния раз­но­сти ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

 , т.е. . Зна­чит .

Те­перь можем найти .

.

Ис­поль­зуя фор­му­лу суммы пер­вых n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии

, най­дем .

.

 

.

Ответ: .

По­лу­чим вто­рую фор­му­лу для суммы пер­вых n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, а имен­но: до­ка­жем, что .

До­ка­за­тель­ство:

В фор­му­лу суммы пер­вых n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии  под­ста­вим вы­ра­же­ние для , а имен­но . По­лу­чим: , т.е. . Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Про­ана­ли­зи­ру­ем по­лу­чен­ные фор­му­лы. Для вы­чис­ле­ний по пер­вой фор­му­ле  надо знать пер­вый член, по­след­ний член и n по вто­рой фор­му­ле  – надо знать пер­вый член, раз­ность и n.

И в за­клю­че­ние за­ме­тим, что в любом слу­чае Sn– это квад­ра­тич­ная функ­ция от n, по­то­му что .

1. Дано: .

Найти: .

Ре­ше­ние:

Общая фор­му­ла:

.

В нашем слу­чае:.

Ответ: 403.

2. Найти сумму всех дву­знач­ных чисел, крат­ных 4.

 

Ре­ше­ние:

{12; 16; 20; …; 96} – мно­же­ство чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию за­да­чи.

Зна­чит, имеем ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию .

n най­дем из фор­му­лы для :.

 , т.е. . Зна­чит .

Ис­поль­зуя вто­рую фор­му­лу суммы пер­вых n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии

, най­дем .

.

Ответ: .

3. Дано: .

Найти: S=.

Тре­бу­ет­ся найти сумму всех чле­нов с 10 по 25-й вклю­чи­тель­но.

Один из спо­со­бов ре­ше­ния за­клю­ча­ет­ся в сле­ду­ю­щем:

.

Сле­до­ва­тель­но, .

.

.

.

Ответ: .

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/progressii/opredelenie-i-svoystva-arifmeticheskoy-progressii-formula-ee-n-go-chlena?konspekt&chapter_id=38

 

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=tQEVKFGcjL0

Арифметическая прогрессия-Формула, Примеры — DewWool

Прогрессия — это последовательность чисел, для которой мы можем найти N-й член (любой член в последовательности), используя формулу. Мы можем легко предсказать числа в прогрессии. В математике есть три различных типа прогрессии. Это арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия и гармоническая прогрессия. В этой статье мы рассмотрим определение, формулу и примеры арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Определение арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия или прогрессия — это математическая последовательность, в которой разница между двумя последовательными элементами всегда является константой. Это сокращенно АП. Например, в последовательности 3,9,15,21,27,33,39,45…… разница между двумя последовательными числами представляет собой постоянное значение 6. Следовательно, это арифметическая прогрессия.

Общая разность

Разница между двумя последовательными числами называется общей разностью и обозначается буквой «d». Значение d должно быть фиксированным во всей последовательности. Если даже в одном случае значение d непостоянно, то последовательность не является ПД.

Примеры арифметической прогрессии Высота лестницы является примером арифметической прогрессии Изображение OpenClipart-Vectors с Pixabay .. Мы видим, что он имеет общую разность 100.

Оценки, полученные студентом на последовательных экзаменах – 7, 20, 33, 46, 59, 72. Это AP с 6 терминами, где первый термин равен 7, общая разность 13, а последний член 72,

Расстояние, пройденное транспортным средством за каждый час в километрах (при равномерном движении) – 0, 50, 100, 150, 200…

Голы, забитые футбольной командой в 4 матчах подряд – 1, 2, 3, 4

Посетители тематического парка в последовательные дни – 20 тысяч, 15 тысяч, 10 тысяч, 5 тысяч… Здесь общая разница составляет -5000.

Примеры прогрессии в изображениях Изображение от akitada31 из Pixabay

На изображении выше показано изображение малины в 2-х измерениях. Здесь мы видим арифметическую прогрессию узора: 1, 2, 3, 4, 5

Высота карандашей

Здесь, в приведенном выше примере, высота карандашей находится в порядке убывания с общей разницей, следовательно, это пример арифметической прогрессии.

Рост компании

В качестве примера арифметической прогрессии можно рассматривать компанию с постоянными темпами роста из года в год.

Пример арифметической прогрессии в химии

Это можно рассматривать как пример арифметической прогрессии в химии. Количество бензольных колец в каждом ряду находится в арифметической прогрессии с общей разностью 1. Арифметическая прогрессия равна 1,2,3.

Формула арифметической последовательности

Если мы хотим найти какой-либо член (n-й член) в формуле арифметической последовательности, это должно помочь вам сделать это. Важно найти точные известные значения из задачи, которые в конечном итоге будут подставлены в саму формулу.

Формула арифметической прогрессии для n-го члена:

Чтобы узнать n-й член последовательности,

A _n = a ₁ +(n- 9) d0003

Где,

a _n  это термин, который мы должны найти

a ₁ = первый член в последовательности

n является n-м термином.

d — общая разность любой пары последовательных или соседних чисел

Формула суммы арифметической прогрессии

Рассмотрим арифметическую прогрессию, первый член которой равен 1 или a, а общая разность равна d.

•Сумма первых n членов арифметической прогрессии, когда n-й член неизвестен:

S _n = n/2 [ 2a + (n-1)d]

• Сумма первых n членов арифметической прогрессии, когда n-й член a _n известен как:

S _n = n/2[a ₁  + a _n ]

Solved numericals on arithmetic progression

1 .Find out the value of n if,

In an AP , а = 10, d = -1 и а (n) = -20.

Из данной выписки,

a= 10,

d = -1

a(n)= -20

Применение формулы n-го члена для арифметической прогрессии,

a (n) = a +(n-1) d

— 20 = 10 + (n-1) (-1)

– 20= 11 – n

N = 31

То есть количество членов в этой арифметической прогрессии, n =18.

2. Найдите сумму первых 30 кратных 3.

Из данного утверждения ,

a = 3 ,

n =30

d = 3

Применение формулы суммы для арифметической прогрессии = 15[6 + 87]

S = 1395

3. Выяснить, является ли заданная последовательность арифметической: 5, 23, 40, 57, 73, 90….

Чтобы данная последовательность была арифметической, разница между последовательными членами должна быть общей.

• d1 = 17
• d2 = 17
• d3 = 17
• d4 = 16
• d5 = 17

Все разности не равны, следовательно, эту последовательность нельзя назвать арифметической прогрессией.

4. Узнать, находятся ли высоты небоскребов в арифметической прогрессии или нет?

Изображение jplenio из Pixabay 

Между высотой последовательных зданий нет общей разницы, поэтому это не пример арифметической прогрессии.

См. также

• Четные числа
• HCF и LCM
• Числовая строка
• Целые числа
• Векторы
90 Арметические серии 1 Горячая математика

Ан арифметический ряд это ряд чей родственный последовательность является арифметическим. Он получается в результате добавления термины из арифметическая последовательность .

Пример 1:

Конечная арифметическая последовательность: 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , … , 200

Связанные конечные арифметические ряды: 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + … + 200

Записано в сигма-нотации: ∑ к знак равно 1 40 5 к

Пример 2:

Бесконечная арифметическая прогрессия: 3 , 7 , 11 , 15 , 19 , . ..

Связанные бесконечные арифметические ряды: 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + …

Записано в сигма-нотации: ∑ н знак равно 1 ∞ ( 4 н − 1 )

Чтобы найти сумму первых н членов арифметической прогрессии, используйте формулу
С н знак равно н ( а 1 + а н ) 2 ,
где н это количество терминов, а 1 является первым членом, и а н это последний срок.

No related posts.