Примеры решений неравенств с модулем: Неравенства с модулем, примеры решений

Объяснение урока: неравенства с одной переменной с абсолютными значениями

В этом объяснении мы узнаем, как решать неравенства с одной переменной, которые содержат абсолютные значения.

Уравнения с абсолютными значениями нельзя решать так же, как линейные уравнения. Аналогично, неравенства с абсолютными значениями требуют специального метода для решения.

Определение: абсолютное значение

Абсолютное значение любого числа 𝑥 определяется алгебраически следующим образом: |𝑥|=𝑥𝑥≥0,−𝑥𝑥0.ifif

Из определения абсолютного значения мы видим, что всегда есть два числа с одним и тем же ненулевым абсолютным значением, в то время как только 0 имеет абсолютное значение 0. Например, решения |𝑥|=4 — оба числа на расстоянии 4 от 0, расположенные по обе стороны от 0, то есть 4 и -4. Алгебраически, мы можем преобразовать это уравнение в два уравнения, а именно, 𝑥=4 для 𝑥≥0 и −𝑥=4 для 𝑥0.

Неравенства с абсолютными значениями – это неравенства, включающие абсолютное значение числа, выраженное через неизвестное, 𝑥.

Простейшие абсолютные неравенства имеют вид |𝑥|𝑐,|𝑥|≤𝑐,|𝑥|>𝑐,|𝑥|≥𝑐, где 𝑐 — константа.

Рассмотрим, например, |𝑥|≤4. Используя определение абсолютного значения число как расстояние между 0 и числом, решением этого неравенства является множество чисел, которые расположен на расстоянии от 0, меньшем или равном 4. Мы можем изобразить это на числовой прямой.

Этот набор чисел равен [−4,4]. В качестве альтернативы мы можем написать −4≤𝑥≤4.

Стоит отметить, что если 𝑐 отрицательно, то решений неравенства нет, так как абсолютное значение числа всегда неотрицательно.

Несколько более сложная форма абсолютного неравенства: |𝑥−𝑎|𝑐,|𝑥−𝑎|≤𝑐,|𝑥−𝑎|>𝑐,|𝑥−𝑎|≥𝑐, где 𝑐 — константа.

Вместо абсолютного значения 𝑥 мы имеем здесь абсолютное значение 𝑥−𝑎. Назовем этот номер 𝑛. Итак, 𝑛=𝑥−𝑎, что можно преобразовать в 𝑎+𝑛=𝑥. Следовательно, 𝑛 — это число, которое при добавлении к 𝑎 дает 𝑥.

Пусть у нас есть курсор, расположенный в 𝑎 на числовой строке; перемещение его на 𝑛 поместит курсор в 𝑥. Если 𝑛 положителен, то 𝑥 больше, чем 𝑎 (это расположена справа относительно 𝑎), а если 𝑛 отрицательно, то 𝑥 равно меньше 𝑎 (находится слева относительно 𝑎).

Таким образом, абсолютное значение 𝑛, то есть |𝑥−𝑎|, можно интерпретировать как расстояние между 𝑥 и 𝑎. Рассмотрим, например, неравенство |𝑥−2|≤3.

Множеством его решений является множество чисел, находящихся на расстоянии от числа 2, меньшем или равном 3. Два числа которые находятся на расстоянии ровно 3 от 2, равны −1 и 5. Следовательно, все числа между −1 и 5 расположены на расстоянии от 2 максимум 3. Множество решений равно [−1,5].

Теперь обратим неравенство, так что |𝑥−2|>3. Решение этого неравенства это набор чисел, которые находятся на расстоянии от 2

больше чем 3. Это все числа, которые меньше −1 или больше 5. В системе обозначений это ]−∞,−1[∪]5,+∞[.

Подведем итоги.

Стандартный результат: набор решений простого абсолютного неравенства

Набор решений абсолютного неравенства вида |𝑥−𝑎|≤𝑐 (с 𝑐≥0) — интервал с центром в 𝑎 длины 2𝑐: [𝑎−𝑐,𝑎+𝑐].

Аналогично, |𝑥−𝑎|𝑐 (с 𝑐≥0) имеет набор решений ]𝑎−𝑐,𝑎+𝑐[.

Множество решений абсолютных неравенств вида |𝑥−𝑎|>𝑐 есть дополнительное к множеству решений обратного неравенства |𝑥−𝑎|≤𝑐 описано выше: ℝ−[𝑎−𝑐,𝑎+𝑐]=]−∞,𝑎−𝑐[∪]𝑎+𝑐,+∞[.

Аналогично, |𝑥−𝑎|≥𝑐 имеет набор решений ℝ−]𝑎−𝑐,𝑎+𝑐[=]−∞,𝑎−𝑐]∪[𝑎+𝑐,+∞[.

Это можно представить в числовой строке.

Этот тип неравенств соответствует реальным ситуациям толерантности к определенному измеряемому признаку объекта. Например, представьте себе плотника, который отрезает куски дерева длиной 2,54 м. с допуском 1 см. Это означает, что длина не должна быть точно 2,54 м, но может быть до на 1 см больше или меньше 2,54 м. Следовательно, любой кусок длиной от 2,53 м и 2,55 м имеет необходимая длина; мы говорим, что эти длины находятся в пределах допуска.

Давайте посмотрим в нашем первом примере, как такая ситуация описывается абсолютным неравенством.

Пример 1. Решение текстовых задач путем нахождения границ набора решений абсолютного неравенства

Фабрика производит банки весом 𝑥 грамм. Для контроля качества производства банки допускаются к продаже только в том случае, если |𝑥−183|≤6. Определить наибольшую и наименьшую массу банки, которая может быть проданы.

Ответ

Сначала интерпретируем данное неравенство |𝑥−183|≤6. Как 𝑥 — вес банки в граммах, 𝑥−183 представляет разница между фактическим весом банки и вес 183 гр. |𝑥−183| является затем разница между фактическим весом банки и 183 г. неравенство |𝑥−183|≤6 означает, что эта разница может достигать 6 грамм в любую сторону; то есть это означает, что вес a может быть до 6 граммов тяжелее или легче, чем 183 г.

Таким образом, максимально возможный вес определяется выражением 183+6=189,г и наименьший возможный вес определяется выражением 183−6=177. g

В предыдущем примере мы имели дело с ситуацией, когда фабрика стремится производить банки весом 183 г; этот вес затем называется номинальным весом . Впрочем, как есть вероятно, сложно производить банки с определенным весом, здесь допускается некоторое отклонение от номинального веса 6 грамм; мы говорим, что есть допуск из 6 грамм. Для каждой банки разница между ее весом и номинальным весом называется

отклонение от номинального веса.

Давайте теперь решим на нашем следующем примере задачу, обратную нашему предыдущему примеру, а именно, запишем абсолютное неравенство для описания интервала.

Пример 2. Формирование абсолютных неравенств в текстовой задаче

Учитывая, что оценки учащихся на экзамене варьируются от 69 до 93, напишите абсолютное неравенство, чтобы выразить диапазон оценок.

Ответ

Данный диапазон может быть сначала записан как закрытый интервал, [69,93]. Напомним, что множество решений абсолютного неравенства вида |𝑥−𝑎|≤𝑐 есть отрезок с центром в 𝑎 длины 2𝑐. Следовательно, мы можем найти это неравенство, найдя центр, 𝑎, [69,93] и его полудлина, 𝑐.

Длина [69,93] определяется выражением 2𝑐=93−69=24.

Его центр можно найти либо с помощью полудлины (𝑐=12), либо прибавив его к нижнему границы или вычитая ее из верхней границы: 𝑎=69+12=93−12=81, или вычислив среднюю точку между 69 и 93 (которая является средним значением двух значений): 𝑎=12(69+93)=12×162=81.

Таким образом, мы можем выразить диапазон от 69 до 93 как абсолютное значение неравенства |𝑥−81|≤12.

В следующем примере мы увидим, как некоторые сложные неравенства эквивалентны простому абсолютному неравенству.

Пример 3. Преобразование неравенства в виде абсолютного неравенства √4𝑥−8𝑥+4≤8 равно . Ответ

Для начала вспомним, что квадратный корень всегда неотрицательный. Таким образом, у нас есть 0≤√4𝑥−8𝑥+4≤8.

Теперь мы можем возвести в квадрат каждую часть неравенства, что приведет к 0≤4𝑥−8𝑥+4≤64.

Разделив каждую сторону на 4, мы получим 0≤𝑥−2𝑥+1≤16, и разложение на множители 𝑥−2𝑥+1 приводит к 0≤(𝑥−1)≤16.

Извлечение квадратного корня из каждой стороны, наконец, дает нам 0≤|𝑥−1|≤4.

Напомним, что множество решений абсолютного неравенства вида |𝑥−𝑎|≤𝑐 представляет собой отрезок длины 2𝑐 с центром в точке 𝑎, т. е. [𝑎−𝑐,𝑎+𝑐].

Следовательно, здесь [−3,5], что является вариантом D.

В предыдущем примере построение графика параболы 𝑦=𝑥−4𝑥+4 и горизонтальной линии 𝑦=16 позволяет визуализировать, что для заданной линии симметрии параболы множество решений неравенства вида 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐≤𝑑 всегда имеет центр в 𝑥-координате вершины параболы.

Стоит отметить, что неравенство 0≤√4𝑥−16𝑥+16≤8 можно было решить и с помощью нахождение границ интервала, то есть 𝑥-координат точек пересечения парабола с линией 𝑦=16.

Это решения уравнения: 𝑥−4𝑥+4=16,𝑥−4𝑥−12=0, то есть −2 и 6.

Поскольку коэффициент перед 𝑥-членом в 𝑥−4𝑥+4 положителен, парабола 𝑦=𝑥−4𝑥+4 открывается вверх, а значит, как видно из графика, множество решений неравенство 𝑥−4𝑥+4≤16 равно [−2,6].

Если бы парабола открылась вниз и все еще пересекала линию 𝑦=16 в тех же точках, она была бы ниже строка для всех 𝑥 в множестве ℝ−]−2,6[.

Сейчас мы узнаем, как решать такие неравенства графически и алгебраически. Эти методы позволят нам решать более сложные неравенства. Давайте сначала вспомним, как построить график функции абсолютного значения. Для этого мы можем заполнить таблицу значений для 𝑦=|𝑥|:

𝑥	−3	−2	−1	0	1	2	3
𝑦	3	2	1	0	1	2	3

Затем мы можем нанести координаты на пару осей координат, чтобы нарисовать график:

Возможность применять определение абсолютного значения и строить графики абсолютного значения очень полезна при решении ценностное неравенство. Поэтому отработка этих навыков очень важна.

Рассмотрим неравенство |𝑥+1|≤3.

Сначала решим графически. Итак, на одном и том же наборе осей строим графики 𝑦=|𝑥+1| и 𝑦=3:

Из этого графика видно, что красный график 𝑦=|𝑥+1| меньше или равен до 3, когда 𝑥 больше или равно -4 и меньше или равно 2. Таким образом, решение задачи неравенство −4≤𝑥≤2.

Набор решений [−4,2].

Обратите внимание на график 𝑦=|𝑥+1| симметричен относительно 𝑥=−1, что согласуется с интерпретацией |𝑥+1|=|𝑥−(−1)| как расстояние между 𝑥 и −1, как мы узнали ранее.

Теперь из графика видно, как мы можем подойти к решению этого неравенства графически. Красный график содержит часть каждый из графиков 𝑦=𝑥+1 и 𝑦=−(𝑥+1). Итак, решение |𝑥+1|≤3 эквивалентно решению системы сложных неравенств 𝑥+1≤3 и −(𝑥+1)≤3. Умножая каждую сторону последнего неравенство на −1, находим 𝑥+1≥−3.

Следовательно, |𝑥+1|≤3 эквивалентно −3≤𝑥+1≤3.

Давайте решим это алгебраически, сначала вычитая 1 из трех членов: −3−1≤𝑥+1−1≤3−1−4≤𝑥≤2.

Это согласуется с нашими первоначальными выводами, полученными при просмотре графиков.

Оба метода одинаково приемлемы для решения абсолютных неравенств, но стоит практиковать оба, особенно решение графически, так как это помогает вам визуализировать решение. Также стоит потренироваться давать ответ в различных формы, в том числе в виде упрощенных неравенств на числовых прямых и в виде интервалов.

Рассмотрим еще пару примеров.

Пример 4. Решение абсолютных неравенств

Найдите множество решений неравенства |𝑥+4|9.

Ответ

Мы решим этот вопрос сначала с помощью графического подхода, а затем с помощью алгебраический подход. Для графического решения неравенства необходимо построить графики 𝑦=|𝑥+4| и 𝑦=9 на том же наборе оси.

Чтобы построить график 𝑦=|𝑥+4|, мы сначала решим 𝑥+4=0, обнаружив, что 𝑥=−4. Когда 𝑥≥−4, 𝑥+4≥0; следовательно, |𝑥+4|=𝑥+4, поэтому наш график такой же, как 𝑦=𝑥+4 в этой области. Для 𝑥−4, 𝑥+40; таким образом, |𝑥+4|=−(𝑥+4) и граф 𝑦=|𝑥+4| та же как граф 𝑦=−𝑥−4 в этой области. Построение этих двух линий вместе с 𝑦=9на графике получаем следующее.

Заметим, что два графика пересекаются в точках (−13,9) и (5,9) и что граф 𝑦=|𝑥+4| находится ниже линии 𝑦=9 для −13𝑥5. Отсюда заключаем, что решением неравенства является −13𝑥5.

Вопрос, однако, требует множества решений неравенства, которое было бы записывается как ]−13,5[.

Если мы хотим решить неравенство алгебраически, мы перепишем |𝑥+4|9 как составное неравенство: −9𝑥+49.

Вычитание 4 с каждой стороны дает −13𝑥5.

Следовательно, набор решений равен ]−13,5[.

Теперь давайте рассмотрим пример, в котором неравенство нужно изменить, прежде чем оно будет решено, как мы только что сделали.

Пример 5. Решение абсолютных неравенств

Алгебраически найдите множество решений неравенства |7−𝑥|+3≤−6.

Ответ

Обратите внимание, что вопрос явно просит нас вычислить набор решений алгебраически; однако для удобства объяснения решения мы также представим график. Если мы начнем с вычитания 3 из каждой части неравенства, мы получим |7−𝑥|≤−9.

Теперь левая часть неравенства представляет собой абсолютное значение, которое всегда больше больше или равно нулю, а правая часть — отрицательное число, поэтому решение, так как левая часть никогда не может быть меньше или равна правой части. Это можно ясно увидеть, нарисовав графики 𝑦=−9 и 𝑦=|7−𝑥| на том же наборе осей:

Красный график здесь явно никогда не меньше синего графика. Следовательно, решение множеством для неравенства является пустое множество, ∅.

В нашем последнем примере мы собираемся решить алгебраически более сложное абсолютное неравенство.

Пример 6. Алгебраическое решение абсолютных неравенств

Алгебраически найти множество решений неравенства |𝑥−3|+|𝑥−5|>6.

Ответ

Здесь мы имеем неравенство с двумя членами по абсолютной величине, |𝑥−3| и |𝑥−5|. Применяя формальное определение абсолютного значения для каждого термин дает |𝑥−3|=𝑥−3𝑥−3≥0,𝑥≥3,−(𝑥−3)𝑥−30,𝑥3,ifor for и |𝑥−5|=𝑥−5𝑥−5≥0,𝑥≥5,−(𝑥−5)𝑥−50,𝑥5,ifor

Мы видим, что нам нужно разделить ℝ на два интервала для каждого члена абсолютного значения, так что Всего ℝ разбит на 3 интервала: ]−∞,3[∪[3,5[∪[5,+∞[. Чтобы не ошибиться, запишем по таблице значение каждого члена абсолютного значения для каждого интервала и, таким образом, переписать наше неравенство для каждого интервала.

	]−∞,3[	[3,5[	[5,+∞[
|𝑥−3|	−(𝑥−3)	𝑥−3	𝑥−3
|𝑥−5|	−(𝑥−5)	−(𝑥−5)	𝑥−5
|𝑥−3|+|𝑥−5|>6	−(𝑥−3)− 5)>6	𝑥−3−(𝑥−5)>6	𝑥−3+𝑥−5>6

Теперь нам нужно решить неравенство для каждого из трех интервалов.

Для 𝑥3 имеем −(𝑥−3)−(𝑥−5)>6.

Раскрытие скобок дает −𝑥+3−𝑥+5>6, что упрощает до −2𝑥+8>6.

Вычитание 8 с каждой стороны дает −2𝑥>−2.

И, наконец, умножение каждой стороны на −12 дает 𝑥1.

Для 3≤𝑥5 имеем 𝑥−3−(𝑥−5)>6.

Раскрытие скобок дает 𝑥−3−𝑥+5>6, что упрощает до 2>6.

Это неравенство неверно. Следовательно, 𝑥 не может находиться в интервале [3,5[.

Для 𝑥≥5 имеем 𝑥−3+𝑥−5>6, что упрощает до 2𝑥−8>6.

Добавление 8 к каждой стороне дает 2𝑥>14.

И, наконец, деление каждой стороны на 2 дает 𝑥>7.

Объединив наши 3 решения, мы находим, что 𝑥1𝑥>7 или что соответствует множеству решений ]−∞,1[∪]7,+∞[=ℝ−[1,7].

Давайте теперь обобщим то, что мы узнали из этого объяснения.

Ключевые моменты

• Абсолютное значение числа можно интерпретировать как его расстояние от нуля.
• Абсолютные неравенства вида |𝑥−𝑎|𝑐 или |𝑥−𝑎|≤𝑐 (при 𝑐≥0) можно решить алгебраически, записав их в виде составного неравенства вида −𝑐𝑥−𝑎𝑐 или −𝑐≤𝑥−𝑎≤𝑐.
• Абсолютные неравенства вида |𝑥−𝑎|>𝑐 (или |𝑥−𝑎|≥𝑐) являются дополнительными неравенствами |𝑥−𝑎|𝑐 или |𝑥−𝑎|≤𝑐, что означает, что их наборы решений дополняют друг друга.
• Множество решений абсолютных неравенств вида |𝑥−𝑎|≤𝑐 (с 𝑐≥0) — интервал с центром в 𝑎 длины 2𝑐: [𝑎−𝑐,𝑎+𝑐]; аналогично |𝑥−𝑎|𝑐 (с 𝑐≥0) имеет множество решений ]𝑎−𝑐,𝑎+𝑐[.
• Множество решений абсолютных неравенств вида |𝑥−𝑎|>𝑐 равно ℝ−[𝑎−𝑐,𝑎+𝑐] и |𝑥−𝑎|≥𝑐 равно ℝ−]𝑎−𝑐,𝑎+𝑐[.
• Абсолютные неравенства вида |𝑥−𝑎|𝑐 (или любого другого символ неравенства) можно решить графически, построив график соответствующей функции абсолютного значения 𝑦=|𝑥−𝑎| и строку 𝑦=𝑐 и проверяя, для чего 𝑥-значений функция абсолютного значения находится ниже (для неравенств с или ≤) или выше (для неравенств с > или ≥) строка 𝑦=𝑐.
• Более сложные абсолютные неравенства можно решить алгебраически, разбив ℝ на интервалы, в которых знаки чисел внутри столбцов абсолютного значения всех членов абсолютного значения в неравенство не изменится. Затем неравенства можно переписать для каждого из этих интервалов, используя формальную формулу определение абсолютной величины и решается отдельно. Окончательное решение получается путем объединения всех решения.

Как решать абсолютные неравенства

••• SeanZeroThree/iStock/GettyImages

Обновлено 7 декабря 2020 г.

Автор: Элиза Хансен дополнительные детали, которые следует иметь в виду. Это помогает уже чувствовать себя комфортно, решая уравнения с абсолютными значениями, но это нормально, если вы изучаете их вместе!

Определение абсолютного неравенства

Прежде всего, ​ абсолютное неравенство ​ — это неравенство, которое включает выражение абсолютного значения. Например,

| 5 + х | — 10 > 6

является абсолютным неравенством, поскольку оно имеет знак неравенства > и выражение абсолютного значения | 5 + ​ x ​ |.

Как решить абсолютное неравенство

Шаги решения абсолютного неравенства очень похожи на шаги решения уравнения абсолютного значения:

​ Шаг 1: ​ Изолируйте выражение абсолютного значения на одной стороне неравенства.

​ Шаг 2: ​ Решите положительную «версию» неравенства.

​ Шаг 3: ​ Решите отрицательную «версию» неравенства, умножив количество с другой стороны неравенства на −1 и перевернув знак неравенства.

Слишком много всего сразу, поэтому вот пример, который проведет вас по шагам.

Решите неравенство для ​ x ​:

| 5 + 5х | — 3 > 2

Для этого получаем | 5 + 5​ x ​ | собой в левой части неравенства. Все, что вам нужно сделать, это добавить по 3 с каждой стороны:

| 5 + 5х | — 3 + 3 > 2 + 3 \ | 5 + 5х | > 5.

Теперь есть две «версии» неравенства, которые нам нужно решить: положительная «версия» и отрицательная «версия».

Для этого шага мы предположим, что все так, как кажется: что 5 + 5​ x ​ > 5.

| 5 + 5х | > 5 → 5 + 5x > 5

Это простое неравенство; вам просто нужно решить для x , как обычно. Вычтите 5 с обеих сторон, затем разделите обе стороны на 5.

\begin{aligned} &5 + 5x > 5 \\ &5 + 5x — 5 > 5 — 5 \quad \text{(вычесть пять с обеих сторон)} \ \ &5x > 0 \\ &5x (÷ 5) > 0 (÷ 5) \quad \text{(разделить обе части на пять)} \\ &x > 0 \end{aligned}

Неплохо! Таким образом, одно из возможных решений нашего неравенства состоит в том, что x ​ > 0. Теперь, поскольку задействованы абсолютные значения, пришло время рассмотреть другую возможность.

Чтобы понять следующий бит, полезно вспомнить, что означает абсолютное значение. ​ Абсолютное значение ​ Измеряет расстояние числа от нуля. Расстояние всегда положительное, поэтому 9 отстоит от нуля на девять единиц, но -9 также отстоит от нуля на девять единиц.

Так | 9 | = 9, но | −9 | = 9 тоже.

Теперь вернемся к проблеме выше. Работа выше показала, что | 5 + 5​ х | > 5; другими словами, абсолютное значение «чего-то» больше пяти. Теперь любое положительное число больше пяти будет дальше от нуля, чем пять. Таким образом, первый вариант заключался в том, что «что-то», 5 + 5 x , больше, чем 5.

То есть:

5 + 5x > 5

Это сценарий, описанный выше, на шаге 2.

Теперь подумайте немного дальше. Что еще находится в пяти единицах от нуля? Ну, минус пять. А все, что находится дальше по числовой прямой от отрицательной пятерки, будет еще дальше от нуля. Таким образом, наше «что-то» может быть отрицательным числом, которое дальше от нуля, чем от минус пяти. Это означает, что это будет больше звучащее число, но технически меньше, чем минус пять, потому что оно движется в отрицательном направлении по числовой прямой.

Итак, наше «что-то», 5 + 5x, может быть меньше −5.

5 + 5x

Быстрый способ сделать это алгебраически состоит в том, чтобы умножить число на другой стороне неравенства, 5, на отрицательную единицу, а затем поменять знак неравенства:

| 5 + 5х | > 5 → 5 + 5x

Затем решите как обычно.

\begin{aligned} &5 + 5x

Таким образом, два возможных решения неравенства равны x ​ > 0 или ​ x ​ < −2. Проверьте себя, подставив несколько возможных решений, чтобы убедиться, что неравенство по-прежнему верно.

Неравенства абсолютного значения без решения

Существует сценарий, в котором не будет ​ решений абсолютного неравенства ​. Поскольку абсолютные значения всегда положительны, они не могут быть меньше или равны отрицательным числам.

Так |​ х ​ | < −2 имеет ​ нет решения , потому что результат выражения абсолютного значения должен быть положительным.

Обозначение интервалов

Чтобы записать решение нашего основного примера в обозначении интервалов , подумайте о том, как решение выглядит на числовой прямой. Наше решение было ​ x ​ > 0 или ​ x ​ < −2. На числовой прямой это открытая точка в точке 0 с линией, уходящей в положительную бесконечность, и открытая точка в точке -2 с линией, уходящей в отрицательную бесконечность. Эти решения направлены друг от друга, а не друг к другу, поэтому берите каждую часть отдельно.

Для x > 0 на числовой прямой есть открытая точка в нуле, а затем линия, уходящая в бесконечность. В интервальных обозначениях открытая точка обозначается круглыми скобками ( ), а закрытая точка или неравенства с ≥ или ≤ используют скобки [ ]. Таким образом, для x > 0 напишите (0, ∞).

No related posts.