Примеры решения уравнений методом крамера: определение, теорема и примеры решения задач

Содержание

в чем суть, как применяется для решения систем линейных уравнений

С помощью метода Крамера решают системы линейных алгебраических уравнений или СЛАУ. Освоить данный способ – значит, существенно упростить определение ответов многих задач по математическому анализу и другим дисциплинам. Однако правило справедливо не во всех случаях, а применимо лишь в тех примерах, где число неизвестных и уравнений в системе одинаковое. Рассмотрим подробнее описание данного метода.

Метод Крамера — в чем заключается, суть для чайников

Габриель Крамер был великим математиком. Еще в детстве он отличался уникальными интеллектуальными способностями.

С двадцати лет Крамер преподавал в университете Женевы. Путешествуя по Европе, Габриель повстречался с другим ученым, Иоганном Бернулли, который в дальнейшем стал его наставником. Благодаря плодотворному сотрудничеству с Бернулли, Крамер опубликовал множество трудов по геометрии, математике и философии.

Свободное время ученый посвящал углубленному изучению математических теорий. В результате трудоемких исследований Габриелю удалось изобрести собственный способ решения систем линейных уравнений любой сложности.

Источник: eponym.ru

Метод Крамера представляет собой способ решения систем линейных уравнений.

Методика великого ученого применима в тех случаях, когда пример состоит из систем линейных уравнений, в которых их количество соответствует числу неизвестных, а определитель не равен нулю.

В том случае, когда для любой крамеровской системы уравнений n*m можно подобрать единственное решение (Х

1, Х₂, … Х_n), справедлива формула:

\(x_{i}=\frac{\Delta _{i}}{\Delta }\)

где \(\Delta _{i}\) является определителем матрицы, которая получена на основе основной матрицы А с помощью замены i-го столбца на столбец со свободными членами системы;

\(\Delta\) представляет собой определитель матрицы.

Таким образом, записывают формулу Крамера.

Теоремы замещения и аннулирования

Перед решением системы линейных уравнений необходимо изучить две важные закономерности. К ним относят:

теорему аннулирования;
теорему замещения.

Теорема замещения

При сложении произведений алгебраических дополнений какого-либо столбца и произвольных чисел b₁, b₂, b₃ получают новый определитель, в котором данными значениями осуществляют замену соответствующих элементов первоначального определителя, отвечающим данным алгебраическим дополнениям.

К примеру, можно записать справедливое равенство:

\(b_{1}A_{11}+b_{2}A_{21}+b_{3}A_{32}=\begin{vmatrix} b_{1}&a_{12}&a_{13}\\b_{2}&a_{22}&a_{23}\\b_{3}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}\)

где A₁₁, А₂₁, А₃₁ являются алгебраическими дополнениями для компонентов а₁₁, а₂₁, а₃₁ первого столбца первоначального определителя:

\(\Delta =\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}\)

Источник: is20-2019.

susu.ru

Теорема аннулирования

В сумме произведения компонентов одной строки или столбца и алгебраических дополнений соответствующих компонентов другой строки или столбца равны нулю.

В качестве примера можно записать справедливое равенство:

\(a_{12}A_{11}+a_{22}A_{21}+a_{32}A_{31}=0\)

Применение метода Крамера для решения систем линейных уравнений (СЛАУ)

Данная методика актуальна для поиска ответа на задачи, которые содержат системы линейных уравнений. Метод Крамера позволяет найти решение систем с числом строк, равных количеству неизвестных. Таким образом, решают квадратные системы уравнений. В процессе необходимо вычислить определители матрицы, включая основные и дополнительные, которые получены с помощью замещения одного из столбца главного определителя на столбец, состоящий из свободных членов системы алгебраических уравнений. Наглядно ознакомиться с алгоритмом можно на примере задачи.

Требуется решить с помощью метода Крамера СЛАУ:

\(\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3 = b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3 = b_2\\a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3 \end{cases}\)

Определим неизвестные \(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}\)Порядок действий простой. Необходимо составить из системы матрицу:

\( A = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix}\)

А также следует записать столбец, состоящий из свободных членов:

\(B = \begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix}\)

Затем нужно рассчитать главный определитель матрицы:

\(\Delta = |A|\)

Кроме того, требуется записать дополнительные определители \(\Delta_i\)

Дополнительные определители получают на основе главного определителя с помощью замены столбцов по очереди на столбец, в котором записаны свободные члены:

\(\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix}\)

Бывает, что при расчетах получается \(\Delta = 0\). В таком случае метод Крамера не применим для решения системы.

По итогам расчетов с помощью формулы Крамера можно сделать вывод неизвестных для системы линейных уравнений, что является ответом к задаче:

\(x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta}, x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta}, x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta}\)

Источник: oneminute1min.

files.wordpress.com

Порядок решения однородной системы уравнений

Метод Крамера – удобный способ решения систем линейных уравнений. Однако однородные системы являются отдельным случаем. Рассмотрим пример:

\(\begin{cases} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z = 0\\a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z = 0\\a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=0 \end{cases}\)

Решениями системы однородного типа могут являться:

нулевые решения x = y = z =0;
решения, которые не равны нулю.

В том случае, когда определитель \(\Delta\) записанной однородной системы не равен нулю, то есть \(\Delta \neq 0\) такая система обладает единственным решением. Таким образом, вспомогательные определители \(\Delta_{x}= \Delta_{y}=\Delta_{z}= 0\) как такие, у которых имеется нулевой столбец и поэтому, за формулами Крамера (x = y = z =0).

В том случае, когда однородная система имеет решение, не равное нулю, ее определитель \(\Delta\) будет иметь нулевое значение, то есть \(\Delta=0\). Действительно, если один неизвестный элемент, например х, не равен нулю, тогда, исходя из однородности \(\Delta_{x}= 0\) справедливо равенство \(\Delta*x=0.\) В результате \(\Delta= 0 (x\neq 0)\).

Источник: cdn.retell.in

Метод Крамера позволяет достаточно просто решать системы линейных уравнений. Главное, соблюдать условия применения данного правила. В результате многие задачи из математического анализа станут намного проще. Если при освоении этой и других тем возникают трудности, выход есть. На сервисе Феникс.Хелп каждый учащийся получит квалифицированную помощь.

MathCAD. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера. Видеоурок

формат mpg
размер 25.7 МБ
добавлен 27 июня 2011 г.

Видеоурок. Автор Гужвенко Е. И. В уроке на примере показано, как в MathCAD, используя инструмент «Матрицы», можно решить систему алгебраических уравнений методом Крамера.

Смотрите также

Практикум

формат doc
размер 107.5 КБ
добавлен 19 февраля 2011 г.

СибГУТИ, 1 курс, заочное отделение. примеры решения задач! Задача 1. Дана система трёх линейных уравнений. Найти решение её методом Крамера. Задача 2. Даны координаты вершины пирамиды. Найти: длину ребра. угол между ребрами и. площадь грани. уравнение прямой. уравнение плоскости. объем пирамиды.

формат doc
размер 471 КБ
добавлен 23 мая 2009 г.

Решение задач. Вычисление системы трёх линейных уравнений методом Крамера. Решение замечательных пределов. Производная сложной функции.

Неопределенные интегралы. Решение дифференциальных уравнений. Нахождение области сходимости степенного ряда. Разложение функции в ряд Фурье. 12стр.

формат htm, doc, gif, jpg, html
размер 2.63 МБ
добавлен 05 декабря 2011 г.

Учебно-практическое пособие. — Ижевск: ГОУ ВПО ИЖГТУ. Матрицы и действия над ними. Определители квадратных матриц. Обратная матрица. Решение простейших матричных уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений и их исследование. Понятие ранга матрицы. Линейные пространства. Вектор. Базис. Линейный оператор и собственные вектора. Векторная алгебра. Приложение линейной алгебры к задачам аналитической геометрии. Уравнения прямой в пространстве….

формат doc
размер 651.03 КБ
добавлен 12 мая 2009 г.

Учебно-практическое пособие. — М.: МГУТУ, 2004. -96 с. Аннотация. Аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры. Координаты. Определители. Решение систем линейных уравнений (метод Крамера). Матрицы. Основные свойства и операции. Решение уравнений. Ранг матрицы. Исследование системы m линейных уравнений с n неизвестными. Решение системы уравнений методом Гаусса. Векторы. Основные операции над векторами. Скалярное произведение. Векторное произ…

Практикум

формат pdf
размер 750.72 КБ
добавлен 09 сентября 2010 г.

Н. В. Денисенко, А. Ф. Корзюк, И. В. Рыбалтовский, Е. И. Шилкина. – Мн.: БГЭУ, 2006. – 35 с. Пособие содержит теоретический материал, примеры решения типовых задач по каждому из разделов, а также задачи для самостоятельного решения. 35 стр. Линейная алгебра (решение систем линейных неравенств в R2, решение систем линейных уравнений матричным методом). Математический анализ (предел функции, понятие неопределенного интеграла, определенный интегр…

формат pdf
размер 3.26 МБ
добавлен 28 августа 2010 г.

Содержание. введение. Основы математической системы Mathcad. Массивы, векторы, матрицы и их элементы. Решение систем линейных. алгебраических уравнений. Работа с комплексными числами. Вычисление пределов функций. Построение графиков функций. Нелинейные алгебраические уравнения. Дифференциальное исчисление. Построение графиков функций в пространстве. Примеры решения домашнего задания в Mathcad. Примеры использования Mathcad в дисциплине «Теоретиче…

формат pdf
размер 389.41 КБ
добавлен 25 апреля 2009 г.

Раздел 1. Числовые последовательности Раздел 2. Предел функции Раздел 3. Производная и график функции. Раздел 4. Матрицы, определители, системы линейных алгебраических уравнений

формат pdf
размер 247.22 КБ
добавлен 31 марта 2011 г.

Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2004. 24 с. Учебное издание охватывает следующие разделы учебных программ для технических и экономических специальностей: «Матрицы. Определители. Системы линейных алгебраических уравнений», «Линейная алгебра», «Векторная алгебра», «Аналитическая геометрия на плоскости» и «Аналитическая геометрия в пространстве». Предложенные задачи являются типовыми, предназначены для аудиторной и самостоятельной работы сту…

Статья

формат doc
размер 1. 15 МБ
добавлен 09 октября 2011 г.

Лекции,разработанные НТУ ХПИ Корниль Т.Л.,Зайцев Ю.И.,Гардер С.Е. Содержание: Элементы линейной алгебры. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Элементы векторной алгебры. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. Контрольные вопросы и примеры экзаменационных билетов.

формат doc
размер 3.43 МБ
добавлен 19 апреля 2011 г.

2011год. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Функции. Дифференциальное и интегральное исчисления. Дифференциальные уравнения. Ряды. Комплексный анализ. Задачи: Решить систему линейных уравнений (Слау) методами Крамера, Гаусса и в матричной форме. Найти разложение вектора х={3, -1,2} по векторам p = {2,0,1}, q={1, -1,1}, r = {1, -1,2}. Вероятность попадания в цель равна 0, 4. Найти вероятность 5 попаданий в цель из 8 выстрелов. Найти…

Решить систему по формулам крамера. Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

Пусть система линейных уравнений содержит столько уравнений, каково количество независимых переменных, т.е. имеет вид

Такие системы линейных уравнений называются квадратными. Определитель, составленный из коэффициентов при независимых переменных системы (1.5), называется главным определителем системы. Мы будем обозначать его греческой буквой D. Таким образом,

. (1.6)

Если в главном определителе произвольный (j -ый) столбец, заменить столбцом свободных членов системы (1.5), то можно получить еще n вспомогательных определителей:

(j = 1, 2, …, n ). (1.7)

Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений заключается в следующем. Если главный определитель D системы (1.5) отличен от нуля, то система имеет и притом единственное решение, которое можно найти по формулам:

(1.8)

Пример 1.5. Методом Крамера решить систему уравнений

Вычислим главный определитель системы:

Так как D¹0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (1.8):

Таким образом,

Действия над матрицами

1. Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы на число определяется следующим образом.

2. Для того чтобы умножить матрицу на число, нужно все ее элементы умножить на это число. То есть

. (1.9)

Пример 1.6. .

Сложение матриц.

Данная операция вводится только для матриц одного и того же порядка.

Для того чтобы сложить две матрицы, необходимо к элементам одной матрицы прибавить соответствующие элементы другой матрицы:

(1.10)
Операция сложения матриц обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.

Пример 1.7. .

Умножение матриц.

Если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В , то для таких матриц вводится операция умножения:

Таким образом, при умножении матрицы А размерности m ´n на матрицу В размерности n ´k мы получаем матрицу С размерности m ´k . При этом элементы матрицы С вычисляются по следующим формулам:

Задача 1.8. Найти, если это возможно, произведение матриц AB и BA :

Решение. 1) Для того чтобы найти произведение AB , необходимо строки матрицы A умножить на столбцы матрицы B :

2) Произведение BA не существует, т. к. количество столбцов матрицы B не совпадает с количеством строк матрицы A .

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Матрица A — 1 называется обратной к квадратной матрице А , если выполнено равенство:

где через I обозначается единичная матрица того же порядка, что и матрица А :

Для того чтобы квадратная матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратную матрицу находят по формуле:

, (1.13)

где A ij — алгебраические дополнения к элементам a ij матрицы А (заметим, что алгебраические дополнения к строкам матрицы А располагаются в обратной матрице в виде соответствующих столбцов).

Пример 1.9. Найти обратную матрицу A — 1 к матрице

Обратную матрицу найдем по формуле (1.13), которая для случая n = 3 имеет вид:

Найдем det A = | A | = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 — 3 × 3 × 3 — 1 × 5 × 4 — 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 — 27 — 20 — 32 = — 1. Так как определитель исходной матрицы отличен от нуля, то обратная матрица существует.

1) Найдем алгебраические дополнения A ij :

Для удобства нахождения обратной матрицы, алгебраические дополнения к строкам исходной матрицы мы расположили в соответствующие столбцы.

Из полученных алгебраических дополнений составим новую матрицу и разделим ее на определитель det A . Таким образом, мы получим обратную матрицу:

Квадратные системы линейных уравнений с отличным от нуля главным определителем можно решать с помощью обратной матрицы. Для этого систему (1.5) записывают в матричном виде:

где

Умножая обе части равенства (1.14) слева на A — 1 , мы получим решение системы:

, откуда

Таким образом, для того чтобы найти решение квадратной системы, нужно найти обратную матрицу к основной матрице системы и умножить ее справа на матрицу-столбец свободных членов.

Задача 1.10. Решить систему линейных уравнений

с помощью обратной матрицы.

Решение. Запишем систему в матричном виде: ,

где — основная матрица системы, — столбец неизвестных и — столбец свободных членов. Так как главный определитель системы , то основная матрица системы А имеет обратную матрицу А -1 . Для нахождения обратной матрицы А -1 , вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А :

Из полученных чисел составим матрицу (причем алгебраические дополнения к строкам матрицы А запишем в соответствующие столбцы) и разделим ее на определитель D. Таким образом, мы нашли обратную матрицу:

Решение системы находим по формуле (1.15):

Таким образом,

Решение систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений

Пусть дана произвольная (не обязательно квадратная) система линейных уравнений:

(1.16)

Требуется найти решение системы, т.е. такой набор переменных , который удовлетворяет всем равенствам системы (1.16). В общем случае система (1.16) может иметь не только одно решение, но и бесчисленное множество решений. Она может так же вообще не иметь решений.

При решении подобных задач используется хорошо известный из школьного курса метод исключения неизвестных, который еще называется методом обыкновенных жордановых исключений. Суть данного метода заключается в том, что в одном из уравнений системы (1.16) одна из переменных выражается через другие переменные. Затем эта переменная подставляется в другие уравнения системы. В результате получается система, содержащая на одно уравнение и на одну переменную меньше, чем исходная система. Уравнение, из которого выражалась переменная, запоминается.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока в системе не останется одно последнее уравнение. В процессе исключения неизвестных некоторые уравнения могут превратиться в верные тождества, например . Такие уравнения из системы исключаются, так как они выполняются при любых значениях переменных и, следовательно, не оказывают влияния на решение системы. Если в процессе исключения неизвестных хотя бы одно уравнение становится равенством, которое не может выполняться ни при каких значениях переменных (например ), то мы делаем вывод, что система не имеет решения.

Если в ходе решения противоречивых уравнений не возникло, то из последнего уравнения находится одна из оставшихся в нем переменных. Если в последнем уравнении осталась только одна переменная, то она выражается числом. Если в последнем уравнении остаются еще и другие переменные, то они считаются параметрами, и выраженная через них переменная будет функцией этих параметров. Затем совершается так называемый «обратный ход». Найденную переменную подставляют в последнее запомненное уравнение и находят вторую переменную. Затем две найденные переменные подставляют в предпоследнее запомненное уравнение и находят третью переменную, и так далее, вплоть до первого запомненного уравнения.

В результате мы получаем решение системы. Данное решение будет являться единственным, если найденные переменные будут числами. Если же первая найденная переменная, а затем и все остальные будут зависеть от параметров, то система будет иметь бесчисленное множество решений (каждому набору параметров соответствует новое решение). Формулы, позволяющие найти решение системы в зависимости от того или иного набора параметров, называются общим решением системы.

Пример 1.11.

После запоминания первого уравнения и приведения подобных членов во втором и третьем уравнении мы приходим к системе:

Выразим y из второго уравнения и подставим его в первое уравнение:

Запомним второе уравнение, а из первого найдем z :

Совершая обратный ход, последовательно найдем y и z . Для этого сначала подставим в последнее запомненное уравнение , откуда найдем y :

Затем подставим и в первое запомненное уравнение , откуда найдем x :

Задача 1.12. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.17)

Решение. Выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

Запомним первое уравнение

В данной системе первое и второе уравнения противоречат друг другу. Действительно, выражая y , получим, что 14 = 17. Данное равенство не выполняется, ни при каких значениях переменных x , y , и z . Следовательно, система (1.17) несовместна, т.е. не имеет решения.

Читателям предлагаем самостоятельно проверить, что главный определитель исходной системы (1.17) равен нулю.

Рассмотрим систему, отличающуюся от системы (1.17) всего лишь одним свободным членом.

Задача 1.13. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.18)

Решение. Как и прежде, выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

Запомним первое уравнение и приведем подобные члены во втором и третьем уравнении. Мы приходим к системе:

Выражая y из первого уравнения и подставляя его во второе уравнение , мы получим тождество 14 = 14, которое не влияет на решение системы, и, следовательно, его можно из системы исключить.

В последнем запомненном равенстве переменную z будем считать параметром. Полагаем . Тогда

Подставим y и z в первое запомненное равенство и найдем x :

Таким образом, система (1.18) имеет бесчисленное множество решений, причем любое решение можно найти по формулам (1.19), выбирая произвольное значение параметра t :

(1.19)
Так решениями системы, например, являются следующие наборы переменных (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т. д. Формулы (1.19) выражают общее (любое) решение системы (1.18).

В том случае, когда исходная система (1.16) имеет достаточно большое количество уравнений и неизвестных, указанный метод обыкновенных жордановых исключений представляется громоздким. Однако это не так. Достаточно вывести алгоритм пересчета коэффициентов системы при одном шаге в общем виде и оформить решение задачи в виде специальных жордановых таблиц.

Пусть дана система линейных форм (уравнений):

, (1.20)
где x j — независимые (искомые) переменные, a ij — постоянные коэффициенты
(i = 1, 2,…, m ; j = 1, 2,…, n ). Правые части системы y i (i = 1, 2,…, m ) могут быть как переменными (зависимыми), так и константами. Требуется найти решений данной системы методом исключения неизвестных.

Рассмотрим следующую операцию, называемую в дальнейшем «одним шагом обыкновенных жордановых исключений». Из произвольного (r -го) равенства выразим произвольную переменную (x s ) и подставим во все остальные равенства. Разумеется, это возможно только в том случае, когда a rs ¹ 0. Коэффициент a rs называется разрешающим (иногда направляющим или главным) элементом.

Мы получим следующую систему:

. (1.21)

Из s -го равенства системы (1.21) мы впоследствии найдем переменную x s (после того, как будут найдены остальные переменные). S -я строка запоминается и в дальнейшем из системы исключается. Оставшаяся система будет содержать на одно уравнение и на одну независимую переменную меньше, чем исходная система.

Вычислим коэффициенты полученной системы (1. 21) через коэффициенты исходной системы (1.20). Начнем с r -го уравнения, которое после выражения переменной x s через остальные переменные будет выглядеть следующим образом:

Таким образом, новые коэффициенты r -го уравнения вычисляются по следующим формулам:

(1.23)
Вычислим теперь новые коэффициенты b ij (i ¹ r ) произвольного уравнения. Для этого подставим выраженную в (1.22) переменную x s в i -е уравнение системы (1.20):

После приведения подобных членов, получим:

(1.24)
Из равенства (1.24) получим формулы, по которым вычисляются остальные коэффициенты системы (1.21) (за исключением r -го уравнения):

(1.25)
Преобразование систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений оформляется в виде таблиц (матриц). Эти таблицы получили название «жордановых».

Так, задаче (1.20) ставится в соответствие следующая жорданова таблица:

Таблица 1. 1

	x 1	x 2	…	x j	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i =	a i 1	a i 2		a ij		a is		a in
…………………………………………………………………..
y r =	a r 1	a r 2		a rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n =	a m 1	a m 2		a mj		a ms		a mn

Жорданова таблица 1. 1 содержит левый заглавный столбец, в который записывают правые части системы (1.20) и верхнюю заглавную строку, в которую записывают независимые переменные.

Остальные элементы таблицы образуют основную матрицу коэффициентов системы (1.20). Если умножить матрицу А на матрицу , состоящую из элементов верхней заглавной строки, то получится матрица , состоящая из элементов левого заглавного столбца. То есть, по существу, жорданова таблица это матричная форма записи системы линейных уравнений: . Системе (1.21) при этом соответствует следующая жорданова таблица:

Таблица 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………. .
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b is		b in
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		b ms		b mn

Разрешающий элемент a rs мы будем выделять жирным шрифтом. Напомним, что для осуществления одного шага жордановых исключений разрешающий элемент должен быть отличен от нуля. Строку таблицы, содержащую разрешающий элемент, называют разрешающей строкой. Столбец, содержащий разрешающий элемент, называют разрешающим столбцом. При переходе от данной таблицы к следующей таблице одна переменная (x s ) из верней заглавной строки таблицы перемещается в левый заглавный столбец и, наоборот, один из свободных членов системы (y r ) из левого заглавного столбца таблицы перемещается в верхнюю заглавную строку.

Опишем алгоритм пересчета коэффициентов при переходе от жордановой таблицы (1.1) к таблице (1.2), вытекающий из формул (1.23) и (1.25).

1. Разрешающий элемент заменяется обратным числом:

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и изменяют знак на противоположный:

3. Остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент:

4. Элементы, не попавшие в разрешающую строку и разрешающий столбец, пересчитываются по формулам:

Последняя формула легко запоминается, если заметить, что элементы, составляющие дробь , находятся на пересечении i -ой и r -ой строк и j -го и s -го столбцов (разрешающей строки, разрешающего столбца и той строки и столбца, на пересечении которых находится пересчитываемый элемент). Точнее, при запоминании формулы можно использовать следующую диаграмму:

-21-26-13-37

Совершая первый шаг жордановых исключений, в качестве разрешающего элемента можно выбрать любой элемент таблицы 1.3, расположенный в столбцах x 1 ,…, x 5 (все указанные элементы не равны нулю). Не следует только выбирать разрешающий элемент в последнем столбце, т.к. требуется находить независимые переменные x 1 ,…, x 5 . Выбираем, например, коэффициент 1 при переменной x 3 в третьей строке таблицы 1.3 (разрешающий элемент показан жирным шрифтом). При переходе к таблице 1.4 переменная x 3 из верхней заглавной строки меняется местами с константой 0 левого заглавного столбца (третья строка). При этом переменная x 3 выражается через остальные переменные.

Строку x 3 (табл.1.4) можно, предварительно запомнив, исключить из таблицы 1.4. Из таблицы 1.4 исключается так же третий столбец с нулем в верхней заглавной строке. Дело в том, что независимо от коэффициентов данного столбца b i 3 все соответствующие ему слагаемые каждого уравнения 0·b i 3 системы будут равны нулю. Поэтому указанные коэффициенты можно не вычислять. Исключив одну переменную x 3 и запомнив одно из уравнений, мы приходим к системе, соответствующей таблице 1.4 (с вычеркнутой строкой x 3). Выбирая в таблице 1.4 в качестве разрешающего элемента b 14 = -5, переходим к таблице 1.5. В таблице 1.5 запоминаем первую строку и исключаем ее из таблицы вместе с четвертым столбцом (с нулем наверху).

Таблица 1.5 Таблица 1.6

Из последней таблицы 1.7 находим: x 1 = — 3 + 2x 5 .

Последовательно подставляя уже найденные переменные в запомненные строки, находим остальные переменные:

Таким образом, система имеет бесчисленное множество решений. Переменной x 5 , можно придавать произвольные значения. Данная переменная выступает в роли параметра x 5 = t. Мы доказали совместность системы и нашли ее общее решение:

x 1 = — 3 + 2t

x 2 = — 1 — 3t

x 3 = — 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Придавая параметру t различные значения, мы получим бесчисленное множество решений исходной системы. Так, например, решением системы является следующий набор переменных (- 3; — 1; — 2; 4; 0).

С количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

Теорема Крамера.

Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера :

где Δ — определитель матрицы системы ,

Δ i — определитель матрицы системы, в котором вместо i -го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Это будет определитель системы . Когда D≠0 , значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

Решаем систему по формулам Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Дана система:

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Т.к. Δ≠0, значит, из теоремы Крамера система совместна и у нее есть одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ 1 получаем из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:

Таким же путем получаем определитель Δ 2 из определителя матрицы системы заменяя второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Решение системы с помощью обратной матрицы

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
—

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

Решение по формуле Крамера примеров.

Метод Крамера для решения систем линейных уравнений. Примеры решения систем уравнений методом Крамера

В нашем калькуляторе вы найдете бесплатно решение системы линейных уравнений по методу Крамера онлайн с подробным решением и даже с комплексными числами. Каждый определитель, используемый в расчетах, можно посмотреть отдельно, а также проверить точный вид системы уравнений, если вдруг определитель основной матрицы оказался равным нулю.

Подробнее о том, как пользоваться нашим онлайн-калькулятором, вы можете прочитать в инструкции.

О методе

При решении системы линейных уравнений методом Крамера выполняются следующие действия.

Запишем расширенную матрицу.
Находим определитель основной (квадратной) матрицы.
Чтобы найти i-й корень, подставляем столбец свободных членов в основную матрицу на i-е место и находим его определитель. Далее находим отношение полученного определителя к основному, это и есть следующее решение. Мы выполняем эту операцию для каждой переменной.
Если главный определитель матрицы равен нулю, то система уравнений либо несовместна, либо имеет бесконечное число решений. К сожалению, метод Крамера не дает более точного ответа на этот вопрос. Здесь вам помогут

2. Решение систем уравнений матричным методом (с использованием обратной матрицы).
3. Метод Гаусса для решения систем уравнений.

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений ( СЛАУ ).

Формулы на примере системы двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить систему методом Крамера

Относительно переменных X и at .
Решение:
Найти определитель матрицы, составленной из коэффициентов системы Вычисление определителей. :

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решите систему уравнений:

относительно переменных X и на .
Решение:

Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:

Проделаем аналогичное действие, заменив второй столбец в первом определителе:

Применимы Формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Комментарий: Этот метод можно использовать для решения систем больших размерностей.

Комментарий: Если оказывается, что , и на ноль делить нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система либо имеет бесконечно много решений, либо вообще не имеет решений.

Пример 2 (бесконечное количество решений):

Решить систему уравнений:

относительно переменных X и at .
Решение:
Найти определитель матрицы, составленной из коэффициентов системы:

Решение систем методом подстановки.

Первым из уравнений системы является равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Так что осталось только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными.
Получили, что решением системы является любая пара значений переменных, связанных равенством.
Общее решение записывается так:
Частные решения можно определить, выбрав произвольное значение y и вычислив x из этого уравнения связи.

и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:

Пример 3 (нет решений, система несовместима):

Решить систему уравнений:

Решение:
Найти определитель матрицы, составленной из коэффициентов системы:

Формулы Крамера использовать нельзя. Решим эту систему методом подстановки

Второе уравнение системы представляет собой равенство, которое не выполняется ни при каких значениях переменных (разумеется, поскольку -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то вся система не имеет решений.
Ответ: нет решений

Рассмотрим систему из 3 уравнений с тремя неизвестными

Используя определители третьего порядка, решение такой системы можно записать в том же виде, что и для системы двух уравнений, т. е.

(2.4)

, если 0. Здесь

Это Правило Крамера решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:

Решение . Нахождение определителя главной матрицы системы

Поскольку 0, то для решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислить еще три определителя:

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, позволяют предположить, что одни и те же правила можно сформулировать для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с ненулевым определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение, и это решение вычисляется по формулам

(2.5)

, где  – определитель главной матрицы ,  и – определитель матрицы , производный от основного, замена i -го столбца свободные элементы столбца .

Обратите внимание, что если =0, то правило Крамера неприменимо. Это означает, что система либо вообще не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. определители n-го порядка

Дополнительный минор M ij элемент a ij называется определителем, полученным из заданного вычеркиванием i -й строки и j -го столбца. Алгебраическое сложение A ij элемент a ij называется минором этого элемента, взятого со знаком (–1) и + j , то есть A ij = (–1) i + j M ij .

. n -й порядок по строке или столбцу .

Теорема 2.1. Определитель матрицы А равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) и их алгебраических дополнений:

(2.6)

Эта теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления детерминанты, так наз. метод сокращения заказа . В результате разложения определителя n -го порядка в любой строке или столбце получим n определителей ( n –1)-й приказ. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать строку или столбец, в которых больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают так:

т.е. алгебраические дополнения записываются явно в терминах миноров.

Примеры 2.4. Вычислите определители, сначала разложив их в любой строке или столбце. Обычно в таких случаях выбирают столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранная строка или столбец будут отмечены стрелкой.



2.5. Основные свойства определителей

Разложив определитель по любой строке или столбцу, получим n определителей ( n –1)-го порядка. Тогда каждый из этих определителей ( n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей ( n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно добраться до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Итак, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка — сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка — 24 слагаемых. Количество членов будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, не под силу даже компьютеру. Однако определители можно вычислить и другим способом, используя свойства определителей.

Собственность 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т. е. при транспонировании матрицы :

Это свойство указывает на равенство строк и столбцов определителя. Другими словами, любое утверждение о столбцах определителя верно для его строк, и наоборот.

Собственность 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Последствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбцы), то он равен нулю.

Собственность 3 . Общий делитель всех элементов любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя .

Например,

Последствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .

Недвижимость 4 . Определитель не изменится, если элементы одной строки (столбца) прибавить к элементам другой строки (столбца), умноженным на некоторое число .

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

В первой части мы рассмотрели теоретический материал, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу, рекомендую прочитать первую часть. Возможно, некоторым посетителям материал покажется слишком простым, но в ходе решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А теперь разберем правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы представлены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными методами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? «Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, почленным сложением!

Дело в том, что пусть иногда, но есть такая задача — решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет вам понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая — системы из трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые желательно решать точно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычисляем определитель , он называется главным определителем системы .

Метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней надо вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой.

Корни уравнения находятся по формулам:
,

Пример 7

Решите систему линейных уравнений

Решение : Видим, что коэффициенты уравнения довольно большие, в правой части стоят десятичные дроби через запятую. Запятая — довольно редкий гость в практических задачах по математике; Я взял эту систему из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся ужасные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, а оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Вы можете умножить второе уравнение на 6 и вычесть член за членом, но здесь появятся те же самые дроби.

Что делать? В таких случаях на помощь приходят формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Оба корня имеют бесконечные хвосты и находятся приближенно, что вполне приемлемо (и даже обычно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, так как задача решается по готовым формулам, однако есть один нюанс. При использовании этого метода обязательно Фрагментом задания является следующий фрагмент: «значит система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может наказать вас за неуважение к теореме Крамера.

Не лишней будет проверка, которую удобно проводить на калькуляторе: подставляем приблизительные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, находящиеся в правой части.

Пример 8

Выразите ответ в обыкновенных неправильных дробях. Сделайте чек.

Это пример для самостоятельного решения (пример тонкого оформления и ответ в конце урока).

Перейдем к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней надо вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ вычисляется по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «гуляет» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решите систему, используя формулы Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, поэтому система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, тут опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение принимается по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, делаем так:

1) Возможна ошибка в расчетах. Как только вы столкнулись с «плохим» кадром, нужно сразу же проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители с помощью разложения в другой строке (столбце).

2) Если в результате проверки ошибок не обнаружено, то, скорее всего, в условии задания допущена опечатка. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО решите задачу до конца, а затем обязательно проверить и оформить на чистом экземпляре после принятия решения. Конечно, проверка дробного ответа — занятие неприятное, но это будет обезоруживающим аргументом для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую гадость вроде. Как обращаться с дробями, подробно описано в ответе к Примеру 8.

Если у вас под рукой есть компьютер, то используйте для его проверки автоматизированную программу, которую можно скачать бесплатно в самом начале урока. Кстати, пользоваться программой выгоднее всего сразу (еще до запуска решения), вы сразу увидите промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически вычисляет решение системы матричным методом.

Второе замечание. Время от времени встречаются системы, в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении нет переменной, во втором нет переменной. В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать основной определитель:
– вместо пропущенных переменных ставятся нули.
Кстати, определители с нулями рационально открывать в той строке (столбце), в которой стоит ноль, так как вычислений заметно меньше.

Пример 10

Решите систему, используя формулы Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (завершающий образец и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Вы можете увидеть живой пример в уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя — пять определителей 4-го порядка вполне разрешимы. Хотя задание уже очень напоминает профессорский ботинок на груди счастливчика-студента.

Решение системы с использованием обратной матрицы

Метод обратной матрицы по существу является частным случаем матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения этого раздела необходимо уметь разлагать определители, находить обратную матрицу и выполнять умножение матриц. Соответствующие ссылки будут даны по мере продвижения объяснения.

Пример 11

Решить систему матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и матрицы. По какому принципу мы записываем элементы в матрицы, думаю всем понятно. Единственное замечание: если бы в уравнениях отсутствовали какие-то переменные, то в матрице на соответствующие места пришлось бы ставить нули.

Находим обратную матрицу по формуле:
, где — транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разберемся с определителем:

Здесь определитель расширен первой строкой.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (метод Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Ссылка: Полезно знать значение двойных индексов в линейной алгебре. Первая цифра — это номер строки, в которой находится элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится элемент:

То есть двойной нижний индекс указывает на то, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, тогда как, например, элемент находится в 3-й строке, 2-м столбце

При количестве уравнений, равном количеству неизвестных при главном определителе матрицы, не равном нулю, коэффициенты системы (решение для таких уравнений есть и оно только одно).

Теорема Крамера.

Если определитель матрицы квадратной системы отличен от нуля, то система совместна и имеет одно решение, и его можно найти по Формулы Крамера :

где Δ — определитель матрицы системы ,

Δ i — определитель матрицы системы, в которой вместо i -го столбца стоит столбец правых частей.

Если определитель системы равен нулю, то система может стать состоятельной или несовместной.

Этот метод обычно используется для небольших систем с объемными расчетами и в том случае, когда необходимо определить 1 из неизвестных. Сложность метода в том, что необходимо вычислить множество определителей.

Описание метода Крамера.

Имеется система уравнений:

Систему из 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который обсуждался выше для системы из 2-х уравнений.

Составим определитель из коэффициентов при неизвестных:

Это будет системный классификатор . Когда D≠0 , система непротиворечива. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

Решаем систему по формулам Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Данная система:

Решим методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Так как ∆≠0, то по теореме Крамера система совместна и имеет одно решение. Вычислим дополнительные определители. Определитель Δ 1 получается из определителя Δ заменой его первого столбца столбцом свободных коэффициентов. Получаем:

Таким же образом получаем определитель ∆ 2 из определителя матрицы системы, заменив второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

Инверсия матрицы

и правило Крамера

Два уравнения с двумя переменными

Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными х ₁ и х ₂ :

а x ₁ + б x ₂	= и
c x ₁ + d x ₂	= v ,

где a , b , c , d , u и v числа с a ≠ 0 или c ≠ 0 (или оба) и либо b ≠ 0, либо d ≠ 0 (или оба).

Один простой способ решения для x ₁ и x ₂ состоит в том, чтобы изолировать одну из переменных в одном из уравнений и подставить результат в другое уравнение. Предположим, что d ≠ 0. Тогда из второго уравнения имеем

x ₂ = ( v — c x ₁ )/ d .

Подставляя это выражение для x ₂ в первое уравнение, получаем

A x ₁+ B ( V — C x ₁)/ D = U

, )/ D = U

, )/ D = U 9037, )/ D = U 9037, )/ D = U 9037, )/ D = U 9037, )/ D . который мы можем записать как

( a d − b c ) x ₁ = d u − b v .

Есть два случая:

а г − б в ≠ 0

У нас есть
x ₁ =
д у − б в
а г − б в
.
Чтобы найти x ₂, мы используем тот факт, что x ₂ = ( v − c x _{1 0 7 9 0 9 0 )/6
x ₂ = а v − в и
а г − б в .}

а г − б в = 0

Учитывая, что
( a d − b c ) x ₁ = d u − b v ,
Если D U ≠ B V , тогда уравнения нет решения, а если D U = B V . Набор растворов — это набор пар ( X 9064. 1 , x ₂) удовлетворяющий C x ₁+ D x ₂ = против (это, тако ( x ₁ , ( v − c x ₁ )/ d ) для любого числа 5 6
19069).

Таким образом, решения системы уравнений имеют три возможных формы.

Если a d ≠ b c , то уравнения имеют единственное решение,
( x ₁ , x ₂) =
д у − б v
а г − б в
,
a v − c u
а г − б в
.
Если a d = b c и d u = b v , то система пар уравнений
х ₁ ,
v − c x ₁
д
для любого числа x ₁ .
Если a d = b c и d u ≠ b v , то уравнения не имеют решений.

Этот метод выделения переменной в одном уравнении и подстановки ее в другое уравнение является громоздким, когда система состоит из более чем двух уравнений и двух переменных. Теперь я опишу более элегантный метод.

n уравнений в n переменных
Мы можем записать систему двух уравнений с двумя переменными из предыдущего раздела в матричной форме, как
и б
с д
x ₁
x ₂
=
и
v
. (*)
Общая система n уравнений в n переменных может быть записана как
А x = б ,
где A — это матрица n × n и x и b — это n × 1 векторов-столбцов.
Если A несингулярно, то умножение каждой стороны на обратное A ^-1 числа A дает
x = А ⁻¹ б ,
единственное решение в данном случае. Таким образом, решение системы уравнений в данном случае сводится к нахождению обратной матрицы A .
Если определитель числа A равно нулю, то имеет ли система уравнений много решений или ни одного, зависит от рангов A и расширенной матрицы, определяемой следующим образом.
Определение
Пусть A будет матрицей n × n , а b — вектор-столбцом n × 1. Расширенная матрица ( A , b ) представляет собой матрицу с n строк и n + 1 столбцов, в которой A составляет первые n строк и столбцов, а b — последний столбец.
Следующий результат дает условия, при которых система уравнений A x = b имеет одно, много или не имеет решений.
Предложение 1.3.1
Пусть A будет матрицей n × n , а b будет вектор-столбцом n × 1. Если А невырождена, то система уравнений
А x = б
имеет единственное решение, x = A ⁻¹ b . Если определитель A равен нулю, то система имеет бесконечно много решений, если ранг расширенной матрицы ( A , b ) равен рангу A , иначе не имеет решения.
Источник
Доказательство см. в Hadley (1961), стр. 168–169.
Если n = 2 или n = 3, то относительно легко вычислить обратное A , так что если система уравнений имеет решение, это решение может быть легко найдено, как показывают следующие примеры.
Пример 1.3.1
Рассмотрим систему уравнений
a x ₁ + б x ₂ = и
c x ₁ + d x ₂ = v .
Запишите его в матричной форме. Если a d ≠ b c , то обратная матрица слева существует и равна
1
а г − б в
д − б
− в и
так что у нас есть
x ₁
x ₂
=
1
а г − б в
д − б
− в и
и
v
.
Таким образом
x ₁ =
и г − б в
а г − б в
а также
x ₂ =
v а − в у
а г − б в
как мы обнаружили раньше.
Пример 1.3.2
Рассмотрим систему уравнений
2 x ₁ + x ₂ + 2 x ₃ = 1
x ₁ − x ₂ + x ₃ = 0
2 x ₂ − x ₃ = 3.
При записи в матричной форме A x = b матрица A равна
2 1 2
1 −1 1
0 2 −1
.
Определитель этой матрицы равен 3 ≠ 0, поэтому матрица невырожденная. Используя общую формулу обратной матрицы, обратная матрица равна
−1/3 5/3 1
1/3 −2/3 0
2/3 −4/3 −1
.
Умножение этой матрицы на транспонирование (1, 0, 3) дает ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = (8/3, 1/3, -7/3), что, таким образом, является единственным решением системы уравнений. (Подставляя этот список значений в исходные уравнения, вы можете убедиться, что это действительно решение.)
Пример 1.3.3
Рассмотрим систему уравнений
4 x ₁ + 2 х ₂ + x ₃ = 1
2 x ₁ − 2 x ₂ + 2 x ₃ = 0
4 x ₂ − 2 x ₃ = 3.
При записи в матричной форме матрица слева имеет вид
4 2 1
2 −2 2
0 4 −2
.
Определитель этой матрицы равен 0; его ранг равен 2. Расширенная матрица
4 2 1 1
2 −2 2 0
0 4 −2 3
.
Эта матрица имеет ранг 3 (определитель матрицы 3 × 3, состоящей из трех последних строк и столбцов, равен 14 ≠ 0), поэтому согласно предыдущему результату система уравнений не имеет решений. (Еще один способ убедиться, что система не имеет решения, — умножить второе уравнение на 2, а третье уравнение на 1,5 и добавить их вместе. Полученное уравнение несовместимо с первым уравнением.)
Пример 1.3.4
Рассмотрим систему уравнений
3 x ₁ + 4 x ₂ = 7
6 x ₁ + 8 х ₂ = 14.
При записи в матричной форме матрица слева имеет вид
3 4
6 8
.
Определитель этой матрицы равен 0; его ранг равен 1. Расширенная матрица
3 4 7
6 8 14
.
Эта матрица имеет ранг 1 (определитель каждой подматрицы размера 2 × 2 равен 0), поэтому согласно предыдущему результату система уравнений имеет бесконечно много решений.
Второе уравнение в два раза больше первого, поэтому любое ( x ₁ , x ₂ ), удовлетворяющее первому уравнению, удовлетворяет и второму. Следовательно, ( x ₁ , x ₂ ) является решением системы уравнений тогда и только тогда, когда например, x ₂ = (7 − 3 x ₁ )/4.
Правило Крамера
Полезное следствие того, что решение системы A x = b определяется выражением x = A ⁻¹ b , если A неособо, что дает явное выражение для значения каждой переменной отдельно.
Предложение 1.3.2 (правило Крамера)
Пусть A будет матрицей n × n , пусть b будет вектор-столбцом n × 1, и рассмотрим систему уравнений
А x = б
где x — это вектор-столбец n × 1. Если A несингулярно, то (уникальное) значение x , удовлетворяющее системе, определяется формулой
x _i = | А *( б , я )|/| А | для i = 1, …, n ,
где A *( b , i ) — матрица, полученная из A , заменив столбец i на b .
Пруф
У нас есть x = A ⁻¹ b , так что
x _i = ∑ n
j =1 v _{i j} b _j ,
где v _{i j} есть ( i , j )-й компонент A ⁻¹ .
Теперь, согласно предыдущему результату, ( i , j )-й компонент числа A ⁻¹ равен (−1) ^{i + j} | A _{j i} |/| А |. Таким образом
x _i = ∑ n
j =1(−1) ^{i + j 6 | А _{и и} | б _к /| А |.}
Наконец, вычислите определитель A *( b , i ) в формулировке результата, разложив его по i -му столбцу. Этот столбец равен b , поэтому согласно второй части предыдущего результата мы имеем
| A *( b , i )| = ∑ n
j =1(−1) ^{i + j} b _j | А _{и и} |,
установление результата. (Обратите внимание, что поскольку i является индексом столбца , по которому мы расширяемся, роли i и j здесь меняются местами по отношению к их ролям в формулировке результата, который мы используем.)
Пример 1.3.5
Применение правила Крамера к системе
а x ₁ + б x ₂ = и
c x ₁ + d x ₂ = v ,
если a d ≠ b c , мы получаем
х ₁ =
и б
v д
а г − б в
а также
x ₂ =
и и
с v
а г − б в
.
Вычисляя определители в числителях, имеем
x ₁ =
и г − б в
а г − б в
а также
x ₂ =
v a − c u
а г − б в
.
Правило Крамера особенно полезно, если вы хотите вычислить значение только некоторых переменных в решении системы уравнений, как показано в следующем примере.
Пример 1.3.6
Значение x ₂ в решении системы уравнений
2 x ₁ + x ₂ + 2 x ₃ = 1
x ₁ − x ₂ + x ₃ = 0
2 x ₂ − x ₃ = 3
является, по правилу Крамера, определителем
2 1 2
1 0 1
0 3 −1
разделить на определитель
2 1 2
1 −1 1
0 2 −1
.
Первый определитель равен 1, а второй равен 3, поэтому значение x ₂ в решении системы равно 1/3.
Алгебра для статики
Алгебра

Области фокусировки:

и условия факторинга
Решение уравнение для неизвестного
Квадратичный и биквадратные уравнения
Логарифмы и экспоненты
Детерминанты
Системы линейные уравнения
Решение линейные системы в терминах неизвестных переменных
Неравенства

Расширение и разложения терминов:

Основные правила, используемые для реорганизации терминов в выражении, таковы: алгебраические выражения.

х ² + А х + В = ( х + а)( х + б), где А = а + Ь, В = ab

Решение уравнение для неизвестного:

Четыре основные операции реорганизации, перегруппировки, умножения на общий множитель, и деление на общий множитель может быть использовано для решения неизвестная переменная в уравнении

Реорганизация:

Реорганизация – это процесс переноса условий разделенные знаками сложения, вычитания или равенства. При реорганизации перемещает терм из одной части равенства в другую, тогда знак терма необходимо изменить. Ниже приведен простой пример реорганизации. Все уравнения передают одну и ту же информацию.

Перегруппировка:

Процесс перегруппировки включает сбор срока с общими факторами вместе. Этот процесс часто включает реорганизация, расширение срока и факторизация общеупотребительных выражений. Ниже приведен простой пример перегруппировки терминов.
Другой пример перегруппировки —
Умножение на общий фактор:
Можно умножить все термины в уравнение на уравнение на уравнение на уравнение на уравнение на уравнение Общий делитель. Полученное уравнение сохраняет связь между переменных, если множитель не равен нулю или бесконечности. Простой пример умножение на общий множитель дает

Деление на общий делитель:

Все члены уравнения можно разделить на Общий делитель. Полученное уравнение сохраняет связь между переменных, если множитель не равен нулю или бесконечности. Простой пример деления

Решение для переменной:

Процесс решения для переменной объединяет вышеуказанные операции, чтобы найти значение данной переменной с точки зрения другой переменные в уравнении. Например, значение x в следующем Уравнение можно найти, выполнив следующие шаги:

Решение для y через x и z в этом же уравнении можно выполнить следующие шаги.

Квадратичный и биквадратные уравнения:

Квадратное уравнение задается уравнением x ² + bx + c = 0 , где x — это переменная, для которой нужно решить и a , b и c — коэффициенты, не зависящие от x . Решение квадратного уравнение известно своими корнями и может быть оценено как

Корни квадратного уравнения являются действительными числами только тогда, когда положителен или равен нулю.

Биквадратное уравнение: ax ⁴ + bx ² + с = 0 , и имеет корни

Логарифмы и Показатель степени:

Логарифмы и показатели связаны следующим соотношением:

Где a — основание логарифма. Если а = е = 2,718282, то логарифм известен как натуральный логарифм, а если a = 10, он известен как общий журнал. Натуральный бревно x также записывается как ln( x ).
Некоторые свойства логарифма, которые удерживают для всех баз, составляют
Log ( XY ) = log ( x ) + log ( y )
log ( x /)
( x / y 7777777762 ( x /)
( x /)
( x / Y ) ) = log ( x ) — log ( Y )
Log ( x ^N) = N Log ( x )
Некоторые общие значения логарифма —
0005

Аргумент логарифма может быть только положительным. Значение логарифма отрицательно для аргументов между нулем и единицей и положительно для аргументов больше единицы (т. е. log(1) = 0, log ( x ) > 0, если x > 1; log ( x ) < 0, если 0 < x < 1).

Эти соотношения можно использовать для решения уравнений, содержащих показатели и логарифмы. Например, можно решить на x Следуя шагам:

Определительные средства:
Определитель A двух на двух матрица дается
по трем матрицам задается как линейные уравнения:

Система линейных уравнений представляет собой набор двух или более уравнений, которые линейна по указанным переменным. Пример системы двух линейных уравнения в переменных x и y равно

Можно решить систему линейных уравнений в терминах обозначенных переменные одним из нескольких различных методов.

Исключение и обратная замена:

Наиболее систематический метод решения системы линейные уравнения методом исключения и обратной замены. Это включает в себя исключение одного уравнения путем взятия одного уравнения и решения для одной переменной через другие переменные, а затем подставив это выражение в остальные уравнения, чтобы уменьшить количество уравнений и неизвестных переменных. Как только система сводится к одному уравнению и одной переменной, обратная замена используется для решения ранее исключенных неизвестных переменных. Например, для системы уравнений

можно решить для x из первого уравнения чтобы получить

Подстановка во второе уравнение дает один Уравнение в y , которое составляет
Это можно решить для Y , чтобы получить
ЗАПИСЬ Y Back With To (C). Дает 600037 70036 Y Back athate athate athing to (c). как

Другие методы исключения:

Часто можно найти более короткие пути решения системы уравнений путем прибавления или вычитания числа, кратного одному уравнению, к другое уравнение. Например, первое уравнение в системе уравнений

можно умножить на 2, чтобы получить новое, но эквивалент, система

Вычитание второго уравнения из первого устраняет x , чтобы дать
Это можно решить для Y , чтобы получить
Любое из вышеупомянутых уравнений теперь может использоваться в получить х . Подстановка во второе из исходных уравнений дает
Правило Крамера:
Правило Крамера можно использовать для решения линейной системы уравнений. Например, рассмотрим линейную систему

Решением этой системы является

отношение двух определителей. Знаменатель состоит из определителя коэффициенты. Числитель состоит из определителя матрицы, которая строится из матрицы коэффициентов путем замены одного столбца на столбец констант из правой части системы уравнений. За первого неизвестного заменяется первый столбец матрицы коэффициентов. Для второго неизвестного второй столбец матрицы коэффициентов равен заменены и так далее.

Правило Крамера можно использовать для системы любого размера. Если определитель коэффициентов равен нулю (система вырожденная), то система необратима и не имеет единственного решения. Система для правая часть которых равна нулю для всех уравнений, называется однородным и имеет ненулевое решение только тогда, когда матрица коэффициентов вырождена.

Линейное решение системы в терминах неизвестных переменных:

Иногда необходимо решить систему уравнений в терминах набора неизвестные параметры. Например, рассмотрим следующую систему уравнений.
No related posts.

в чем суть, как применяется для решения систем линейных уравнений

Метод Крамера — в чем заключается, суть для чайников

Теоремы замещения и аннулирования

Теорема замещения

Теорема аннулирования

Применение метода Крамера для решения систем линейных уравнений (СЛАУ)

Порядок решения однородной системы уравнений

MathCAD. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера. Видеоурок

Решить систему по формулам крамера. Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Действия над матрицами

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Решение систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений

Описание метода Крамера.

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Решение по формуле Крамера примеров.

О методе

Метод Крамера.

2.4. определители n-го порядка

2.5. Основные свойства определителей

Описание метода Крамера.

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

и правило Крамера

Два уравнения с двумя переменными

Правило Крамера

Алгебра для статики

Добавить комментарий Отменить ответ