Примеры транспонирование матрицы: Как транспонировать матрицу, примеры

Лекции по алгебре

Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ ГЛАВА I. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА § 1. Теория делимости целых чисел 2. Деление с остатком. 3. Наибольший общий делитель. 4. Алгоритм Евклида. 5. Взаимно простые числа. 6. Простые числа. § 2. Теория сравнений 2. Действия над классами. 3. Приведенная система вычетов и примитивные классы. § 3. Некоторые общие понятия алгебры 2. Кольца и поля. 3. Изоморфизм. ГЛАВА II. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА § 1. Обоснование комплексных чисел 3. Свойства действий. 4. Возвращение к обычной форме записи. 5. Вычитание и деление комплексных чисел. § 2. Тригонометрическая форма комплексного числа 2. Модуль и аргумент комплексного числа. 3. Тригонометрическая запись комплексного числа. 4. Неравенства для модуля суммы и модуля разности двух комплексных чисел. 5. Умножение комплексных чисел в тригонометрической записи. 6. Возведение комплексного числа в степень с целым показателем и формула Муавра. 7. Применения формулы Муавра к преобразованиям тригонометрических выражений. § 3. Извлечение корня из комплексного числа 2. Исследование формулы извлечения корня. 3. Извлечение квадратного корня. § 4. Корни из единицы § 5. Показательная и логарифмическая функции комплексной переменной ГЛАВА III. ПРОСТЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ ПОЛИНОМОВ § 1. Полиномы от одной буквы 2. Высший член и степень полинома. 3. Степени элемента в ассоциативном кольце. 4. Значение полинома. 5. Схема Хорнера и теорема Безу. 6. Число корней полинома в коммутативной области целостности. 7. Теорема о тождестве. § 2. Алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени 2. Исследование формулы Кардано. 3. Решение уравнений четвертой степени. § 3. Полиномы от нескольких букв 3. Теорема о тождестве. 4. Теорема о несущественности алгебраических неравенств. ГЛАВА IV. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ § 1. Матрицы и действия над ними 2. Сложение матриц и умножение матрицы на число. 3. Умножение матриц. 4. Транспонирование матриц. 5. Обзор действий над матрицами. § 2. Теория определителей 2. Элементарные сведения теории перестановок. 3. Определитель порядка n. Определение. 4. Свойства определителя. 5. Алгебраические дополнения и миноры. 6. Вычисление определителей. 7. Определитель Вандермонда. 9. Некоторые следствия из теоремы Крамера. § 3. Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) 2. Линейные зависимости столбцов матрицы с линейно зависимыми строками. 3. Теорема о линейной зависимости линейных комбинаций. 4. Базис и ранг совокупности строк. 5. Линейно эквивалентные совокупности строк. 6. Ранг матрицы. 7. Условие линейной зависимости множества строк квадратной матрицы. 8. Ранг матрицы в терминах определителей. 9. Определение ранга матрицы при помощи элементарных преобразований. § 4. Системы линейных уравнений общего вида § 5. Дальнейшие свойства определителей 2. Умножение матриц, разбитых на клетки. 3. Умножение матрицы на вспомогательную матрицу как линейное преобразование строк (столбцов). 4. Определитель произведения двух квадратных матриц. 5. Примеры применения теоремы об определителе произведения квадратных матриц к вычислению определителей. 6. Теорема Бине — Коши. § 6. Обращение квадратных матриц § 7. Характеристический полином матрицы 2. Теорема Кэли—Гамильтона. ГЛАВА V. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ § 1. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду линейной подстановкой букв § 2. Закон инерции квадратичных форм 2. Критерий Сильвестра положительности квадратичной формы. 3. Закон инерции квадратичных форм. § 3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду 2. Собственные значения вещественной симметричной матрицы. 3. Построение ортогональных матриц. 4. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду. 5. Коэффициенты канонического вида квадратичной формы и столбцы преобразующей ортогональной матрицы. 6. Одновременные преобразования двух квадратичных форм к каноническому виду. § 4. Эрмитовы формы 2. Свойства эрмитовых форм. ГЛАВА VI. ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ § 1. Теория делимости для полиномов от Одной буквы § 2. Производная 2. Разложение полинома по степеням линейного двучлена. 3. Разделение множителей различной кратности. § 3. Рациональные дроби 2. Поле частных. 3. Правильные рациональные дроби. 4. Разложение рациональной дроби на простейшие. 5. Разложение рациональной дроби на простейшие над полем С комплексных чисел. 6. Разложение рациональной дроби на простейшие над полем R вещественных чисел. 7. Разложение на простейшие правильной рациональной дроби, знаменатель которой разложен на попарно простые линейные множители. § 4. Интерполяция 2. Интерполяционная формула Лагранжа. 3. Способ интерполяции Ньютона. 4. Приближенная интерполяция. ГЛАВА VII. СРАВНЕНИЯ В КОЛЬЦЕ ПОЛИНОМОВ И РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ § 1. Сравнения в кольце полиномов над полем § 2. Расширение полей 2. Конструирование простых расширений. ГЛАВА VIII. ПОЛИНОМЫ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. ПОЛИНОМЫ НАД ФАКТОРИАЛЬНЫМИ КОЛЬЦАМИ § 1. Полиномы с целыми коэффициентами § 2. Полиномы от одной буквы над факториальным кольцом ГЛАВА IX. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА § 1. Существование корней в С § 2. Распределение корней на плоскости комплексной переменной 2. Принцип аргумента. 3. Теорема Руше. 4. Непрерывность корней полинома. § 3. Распределение вещественных корней полинома с вещественными коэффициентами 2. Теорема Штурма. 3. Построение ряда Штурма. § 4. Обобщенная теорема Штурма § 5. Приближенное вычисление корней полинома 2. Метод непрерывных дробей. ГЛАВА X. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП § 2. Нормальные подгруппы и факторгруппы § 3. Гомоморфизм § 4. Прямое произведение групп § 5. Группы преобразований 2. Классы сопряженных элементов. 3. Строение однородных пространств. 4. К теории подстановок. 5. Примеры из геометрии. 6. Централизатор элемента и нормализатор подгруппы. 7. Центр p-группы. 8. Преобразования. 9. Автоморфизмы группы. § 6. Свободная группа § 7. Свободные произведения групп § 8. Конечные абелевы группы § 9. Конечно порожденные абелевы группы ГЛАВА XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ § 1. Выражение симметрических пэлииов через основные § 2. Значения симметрических полиномов от корней полинома 2. Степенные суммы. 3. Дискриминант полинома. 4. Алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени в свете теории симметрических полиномов. § 3. Результант 2. Другой способ построения результанта. 3. Линейное представление результанта. 4. Применение результанта к исключению неизвестного из системы двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными. 5. Связь дискриминанта полинома с результантом полинома и его производной. ГЛАВА XII. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 2. Линейные комбинации, линейная зависимость и линейная независимость. 3. Координаты вектора. 4. Замена базиса и преобразование координат. § 2. Подпространства 3. Прямая сумма подпространств. 4. Относительная линейная независимость и относительный базис. 5. Факторпространство. § 3. Линейные функции § 4. Линейные отображения векторных пространств § 5. Линейные операторы в векторном пространстве 2. Действия над операторами. 3. Инвариантные подпространства. 4. Циклическое подпространство и минимальный аннулятор вектора. 5. Матрица оператора на циклическом подпространстве и ее характеристический полином. 6. Минимальный полином оператора. 7. Разложение пространства с оператором в прямую сумму примарных подпространств. 8. Разложение примарного пространства в прямую сумму циклических примарных подпространств. 9. Модули над кольцом главных идеалов. 10. Некоторые следствия. 11. Каноническая форма матрицы оператора. 12. Оператор проектирования. 13. Полуобратные линейные отображения. § 6. Операторы в векторных пространствах над полем С комплексных чисел 2. Корневые векторы. 3. Нильпотентный оператор. 4. Каноническая форма Жордана матрицы оператора. 5. Пример. § 7. Операторы в векторных пространствах над полем R вещественных чисел ГЛАВА XIII. ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА 1. Скалярное произведение. § 2. Подпространства унитарного (или евклидова) пространства § 3. Пространства, сопряженные с евклидовым и унитарным пространствами § 4. Операторы в унитарном пространстве § 5. Операторы в евклидовом пространстве § 6. Преобразование уравнения гиперповерхности второго порядка к каноническому виду § 7. Линейные отображения унитарного пространства в унитарное § 8. Объем параллелепипеда в евклидовом пространстве ГЛАВА XIV. ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ § 2. Действия над тензорами § 3. Симметричные и антисимметричные тензоры § 4. Тензорные произведения векторных пространств ГЛАВА XV. АЛГЕБРЫ 1. Определение и простейшие свойства алгебр. 2. Структурные константы алгебры. 3. Некоторые классы алгебр. 4. Идеалы алгебры. 5. Присоединение единицы. 6. Вложение ассоциативной алгебры в алгебру матриц. § 2. Алгебра кватернионов § 3. Внешняя алгебра СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

7.Транспонирование матриц

Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки). Пусть дана исходная матрица А:

Тогда, согласно определению, транспонированная матрица

Сокращенная форма записи операции транспонирования мат­рицы:

Пример 3. Пусть даны матрицы А и В:

Тогда соответствующие транспонированные матрицы имеют вид

Нетрудно заметить две закономерности операции транспо­нирования матриц.

1. Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице:

2. При транспонировании квадратных матриц элементы, находящиеся на главной диагонали, не меняют своих позиций, т.е. главная диагональ квадратной матрицы не меняется при транспонировании.

Важную роль в алгебре и ее приложениях играют симмет­рические матрицы — квадратные матрицы, у которых элемен­ты, симметричные относительно главной диагонали, равны, т.е. a_ij = a_ji. Транспонирование таких матриц не меняет их вида, так что равенство

также можно полагать определением симметрической мат­рицы.

1. Умножение матриц — это специфическая операция, со­ставляющая основу алгебры матриц. Строки и столбцы мат­риц можно рассматривать как векторы-строки и векторы-стол­бцы соответствующих размерностей: иными словами, любую матрицу можно интерпретировать как совокупность векторов-строк или векторов-столбцов.

Пусть даны матрица А размером т х п и матрица В разме­ром п х k. Будем рассматривать матрицу А как совокупность т векторов-строк _i размерности п каждый, а матрицу В — как совокупность k векторов-столбцов _j, каждый из которых содержит по п координат:

Векторы-строки матрицы А и векторы-столбцы матрицы В показаны в записи этих матриц (13.3). Длина строки матри­цы А равна высоте столбца матрицы В, и потому скалярное произведение этих векторов имеет смысл.

Определение 3. Произведением матриц А и В называется матрица С, элементы которой c_ij равны скалярным произве­дениям векторов-строк _i матрицы А на векторы-столбцы _j матрицы В:

Произведение матриц А и В — матрица С — имеет размер т х k, поскольку длина п векторов-строк и векторов-столбцов исчезает при суммировании произведений координат этих век­торов в их скалярных произведениях, как показано в формулах (13. 4). Таким образом, для вычисления элементов первой строки матрицы С необходимо последовательно получить скаляр­ные произведения первой строки матрицы А на все столбцы матрицы В; вторая строка матрицы С получается как ска­лярные произведения второй вектор-строки матрицы А на все векторы-столбцы матрицы В и так далее. Для удобства за­поминания размера произведения матриц нужно перемножить отношения размеров матриц-сомножителей: , т.е. размер матрицы С равен произведению оставшихся в отношении чисел: т х k.

В операции умножения матриц есть характерная особен­ность: произведение матриц А и В имеет смысл, если число столбцов в А равно числу строк в В. Тогда если А и В — прямоугольные матрицы, то произведение В и А уже не будет иметь смысла, так как в скалярных произведениях, формиру­ющих элементы соответствующей матрицы, должны участво­вать векторы с одинаковым числом координат.

Если матрицы А и В квадратные размером n х n, то име­ет смысл как произведение матриц АВ, так и произведение матриц BA, причем размер этих матриц такой же, как и у ис­ходных сомножителей. При этом в общем случае перемноже­ния матриц правило перестановочности не соблюдается, т.е. АВ ≠ ВА.

Рассмотрим примеры на умножение матриц.

Решение. Поскольку число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то произведение матриц АВ имеет смысл. По формулам (13.4) получаем в произведении матрицу размером 3 х 2:

Произведение ВА не имеет смысла, так как число столбцов матрицы В не совпадает с числом строк матрицы А.

Транспонирование матрицы — формула, примеры, свойства и часто задаваемые вопросы

Транспонирование матрицы — очень распространенный метод, используемый для преобразования матриц в линейной алгебре. Транспонирование матрицы получается путем перестановки строк и столбцов данной матрицы или наоборот. Транспонирование матрицы можно использовать для получения сопряженной и обратной матриц. Прежде чем узнать о деталях транспонирования матрицы, давайте сначала узнаем о том, «Что такое матрица?». Матрица — это не что иное, как представление набора данных в формате прямоугольного массива. В матрице данные располагаются в определенных строках и столбцах. В математике существуют различные типы матриц, которые представлены в порядке строк × столбцов. Возьмем в качестве примера матрицу порядка 3 × 2 (скажем, A).

A = 

Что такое транспонирование матрицы?

Транспонированием матрицы называется матрица, которая получается перестановкой строк и столбцов данной матрицы или наоборот, т. е. для данной матрицы элементы в строках меняются местами с элементами в столбцах. Для любой заданной матрицы A ее транспонирование обозначается как A ^t или A ^T .

Пусть A — матрица порядка m × n , тогда A ^{t — транспонированная матрица A порядка N × M ,
, где,}

A = [A _(IJ) ] _{M × N}
A ^T = [A _(JI) ] _{n = [A (JI) ] N} = M 2 2 2 2 2 2 2 .

здесь i, j представляют позицию матричного элемента по строкам и столбцам соответственно, так что 1 ≤ i ≤ m и 1 ≤ j ≤ n.

Пример: Для любой заданной матрицы A порядка 2 × 3 транспонирование равно?

Решение:

Транзируемое на

A ^T =

Порядок ^T IS 3 × 2

Символ Transpept Matrix

. над своей главной диагональю и меняет местами свои строки со столбцами. Транспонирование матрицы A обозначается обозначением A’ или A ^T или A ^t .

Порядок транспонирования матрицы

Порядок матрицы говорит об общем количестве элементов, содержащихся в матрице. Он также представляет количество строк и столбцов в матрице. Горизонтальные значения представляют строки матрицы, а вертикальные значения представляют столбцы матрицы. Для любой матрицы A _m×n , порядок m×n, т. е. он имеет m строк и n столбцов. Следовательно, транспонированная матрица A равна A ^t и имеет порядок n×m, т. е. имеет n строк и m столбцов.

Как найти транспонирование матрицы?

Транспонирование любой матрицы можно легко найти, заменив значения в строках значениями в столбцах. Давайте возьмем пример, чтобы понять это подробно.

Для любой матрицы A _2×3 , _{порядок 2×3, что означает, что она имеет 2 строки и 3 столбца.}

A =  

Транспонирование матрицы A равно A ^t порядка 3×2 с 3 строками и 2 столбцами. В матрице транспонирования элементы первой строки данной матрицы заменяются первым столбцом матрицы транспонирования. Точно так же элементы второй строки данной матрицы A меняются местами со вторым столбцом новой матрицы A ^t и так далее, пока вся матрица не будет заменена местами.

A ^t = 

Транспонирование матриц строк и столбцов

Матрица с одной строкой называется матрицей-строкой, тогда как матрица с одним столбцом называется матрицей-столбцом. Транспонированная матрица-строка является матрицей-столбцом и наоборот. Например, если P — матрица-столбец порядка «4 × 1», то ее транспонированная матрица — это матрица-строка порядка «1 × 4». Если Q — матрица-строка порядка «1 × 3», то ее транспонированная матрица — это матрица-столбец порядка «3 × 1».

Транспонирование горизонтальных и вертикальных матриц

Если количество строк в матрице меньше количества столбцов, то матрица называется горизонтальной матрицей, а если количество столбцов в матрице меньше количества строк, то матрица известна как вертикальная матрица. Транспонирование горизонтальной матрицы является вертикальной матрицей и наоборот. Например, если M — горизонтальная матрица порядка «2 × 3», то ее транспонирование — это вертикальная матрица порядка «3 × 2».

Транспонирование квадратной матрицы

Квадратные матрицы — это матрицы с одинаковым количеством строк и столбцов. для любой квадратной матрицы A _n×n ее транспонирование имеет тот же порядок, то есть транспонирование A, A ^t имеет порядок n × n. При транспонировании квадратной матрицы строки и столбцы меняются местами.

Транзивность матрицы 2 × 2

для любых матриц 2 × 2 A,

A =

его транспонирование — ^T ,

A ^T =

Пример: найти транспонирование матрикса. А =

Решение:

Транспорт матрицы a = IS

A ^T =

Перевод 3 × 3 Матрица

для любых марок 3 × 3,

A =

. Его транспонирование — ^T ,

A ^T =

Пример: Найдите транспонирование матрицы A =

Решение:

Transpose матрицы A =

A ^T = 

Определитель транспонирования матрицы

Определитель транспонирования матрицы A равен определителю самой матрицы A, т. е. для любой квадратной матрицы A

|A| = |А ^Т |

Свойства транспонирования матрицы

Давайте узнаем о важных свойствах транспонирования матрицы:

• Квадратная матрица «A» порядка «n × n» называется ортогональной матрицей, если AA ^Т = А ^Т A = I, где I — единичная матрица порядка «n × n».
• Квадратная матрица «A» порядка «n × n» называется симметричной матрицей, если ее транспонирование совпадает с исходной матрицей, т. е. A ^T = A.
• Квадратная матрица «A» порядка «n × n» называется кососимметричной матрицей, если ее транспонирование равно отрицательному значению исходной матрицы, т. е. A ^T = –A.
• Двойное транспонирование матрицы: Транспонирование транспонированной матрицы — это сама исходная матрица.

(A ^t ) ^t = A

• Transpose of Product of Matrices: This property says that 

(AB) ^t = B ^t A ^t

Доказательство:

Если матрицы A и B имеют порядок m × n и n × p соответственно.

и

A ^t и B ^t являются транспонированием матриц A и B порядков n × m и p × n соответственно (из правила произведения матриц).

Отсюда следует, что если A = [a(ij)], и A ^t = [c(ji)]

Тогда [c(ji)] = [a(ij)]

и,

Если B = [b(jk)] и B ^t = [d(kj)]

Тогда [d(kj)] = [b(jk)]

Теперь из правила произведения матриц мы можем написать:

AB — это матрица размера m × p, а (AB) ^t — матрица размера p × m.

Кроме того, B ^t представляет собой матрицу размера p × n, а A ^t представляет собой матрицу размера n × m.

Это означает, что

(B ^t )(A ^t ) — матрица размера p × m.

Следовательно,

(AB) ^t и (B ^t )(A ^t ) являются матрицами p × m.

Теперь мы можем написать,

(k, i) ^th элемент (AB) ^t = (i, k) ^th элемент AB

элемент (B ^t )(A ^t )

Следовательно,

элементы (AB) ^t и (B ^t )(A ^t ) равны.

Следовательно,

(ab) ^T = (B ^T ) (A ^T )

• 2 Умножение на конститут: , если матрикса — это матричное значение. берется его транспонирование, то результирующая матрица будет равна транспонированию исходной матрицы, умноженному на скалярную величину, т. е. (кА) ^t = кА ^t , где k — скалярное значение.

Доказательство:

Рассмотрим матрицу A = [a _ij ] _{m × n} и скаляр k.

Порядок данной матрицы A равен m × n.

Если матрицу A умножить на скалярную величину k, то все элементы матрицы умножаются на эту скалярную константу k, однако порядок матрицы kA остается прежним, т. е. m × n.

Теперь порядок транспонирования матрицы kA, т. е. (kA) ^t будет n × m.

Поскольку порядок матрицы A равен m × n, порядок ее транспонированной матрицы, т. е. A ^t , будет n × m.

Если матрицу A ^t умножить на скалярное значение k, то порядок матрицы kA ^t также будет n × m.

Итак, порядок матриц (кА) ^t и кА ^t одинаков, т. е. n × m.

Теперь докажем, что соответствующие элементы (kA) ^t и kA ^т равны.

(i, j)-й элемент (kA) ^t будет равен (j, i)-му элементу kA.

(i, j) ^й элемент (кА) ^t = (j, i) ^й элемент кА

⇒ (i, j) ^й элемент (кА) ^{0 = t (i, j) th элемент kA t}

Итак, мы говорим, что соответствующие элементы (kA) ^t и kA ^t равны.

Порядок и соответствующие элементы (кА) ^t и кА ^t равны,

Следовательно, мы можем сделать вывод, что (кА) ^t = кА ^t .

• Транспонирование сложения матриц: Это свойство говорит об этом.

(A + B) ^T = A ^T + B ^T

Доказательство:

здесь A и B — два матрица заказа M.

. Пусть A = [a(ij)] и B = [b(ij)] порядка m × n .

Итак, (A + B) также имеет порядок m × n матрица

Кроме того, A ^t и B ^t матрицы порядка 90.16n15

Итак, транспонирование матрицы (A + B) или (A + B) ^t представляет собой матрицу n × m .

Теперь мы можем сказать, что A ^t + B ^t тоже n × m матрица.

Теперь, из правила транспонирования,
(j, i)th элемент (A + B) ^t = (i, j)th элемент (A + B)

= (i, j)-й -й элемент A + (i, j)-й -й элемент B  
= (j, i)-й -й элемент A ^t + 9 , i)th элемент B ^t
= (j, i)th элемент (A ^T + B ^T )

Следовательно,

(A + B) ^T = A ^T + B ^T

• 222, если ‘a’ a ’a’ a ’a’ a ’a’ a ’a’ ’a’ a ’a’ a ’a’ a ’a’ a ’a’ a ’a’ a ’a’ a ’a’ матрица любого порядка и обратима, то обратная ее транспонированная матрица равна транспонированной обратной исходной матрицы, т. е. .

Доказательство:

Чтобы доказать, что (A ^t ) ^-1 = (A ^-1 ) ^t , рассмотрим невырожденную квадратную матрицу A.

RHS = (A ^-1 ) ^{Теперь t 90 (A -1 ) T на T}

= (A ^-1 ) ^T × A ^T

Мы знаем, что (AB) ^T = B ^T A

^t

Итак, (А ^-1 ) ^t А ^t = (АА ^-1 ) ^t

Мы знаем, что АА ^-1 = I, где «I» — единичная матрица.

SO, (A ^-1 ) ^T A ^T = I ^T

⇒ (A ^-1 ) ^T A ^T = I (с тех пор I ^T = = I)

⇒ (A ^-1 ) ^t = (A ^t ) ^-1 = LHS

Отсюда доказано.

Следовательно, (А ^t ) ^-1 = (А ^-1 ) ^t

Также проверьте

• Как найти определитель матрицы?
• Определяющая среда матрицы

Решающие примеры на транспонировании матрицы

Пример 1: Найдите транспонирование матрицы A =

Решение:

. Arness at Matrix a Matrix a Matrix a Matrix a Matrix a Matrix a Matrix a Matrix a Matrix a Matrix a Matrix a Matrix a Matrix a Matrix Arsposiod Arsposiod Arsposix Antry a Matrix Arsposiod Arposix Arsposio  

A ^t =

Пример 2. Для матриц и

. 3 и 3 × 2 матрицы соответственно. Таким образом, по правилу произведения матриц мы можем найти их произведение, и окончательные матрицы будут иметь размер 2 × 2 матриц.

Левая сторона

Сейчас,

 

SO, Transpect of Matrix AB IS,

R.H.S

и

SO,

,

(AB) ^T3

,

(ab)01010101030103

(ab)010103

5 (ab)

5 (AB)

. ^t

Пример 3: Проверить, является ли (Q ^T ) ^T = Q или нет.

Решение:

Значит проверено.

Пример 4: Проверьте, является ли приведенная ниже матрица симметричной или нет.

Решение:

Мы знаем, что квадратная матрица «P» порядка «n × n» называется симметричной матрицей, если ее транспонирование совпадает с исходной матрицей, т. е. P ^T = P.

Теперь P ^T получается путем замены его строк на столбцы.

Как Р ^Т = P, данная квадратная матрица симметрична.

Пример 5: для матриц и

Докажите, что эти матрицы удерживают это свойство, (A + B) ^T = A ^T + B ^T

Solution:

# Ниже приведены краткие примеры
# Пример 1: Использование метода matrix. transpose()
# получить транспонирование матрицы
arr = np.matrix('[4, 8; 1, 12]')
обр2 = обр.транспонировать()
# Пример 2: Использование функции numpy.transpose()
# Получить транспонирование массива
обр = np.массив
arr2 = arr.transpose([[1, 2, 4, 3], [1, 3, 5, 6]])
# Пример 3: Использование функции numpy.mutiply()
arr2 = np.multiply (arr, arr1)
 

# Синтаксис numpy.matrix.transpose()
matrix.transpose(a, оси)
 

импортировать numpy как np
# Создаем матрицу с помощью numpy
arr = np.matrix('[4, 8; 1, 12]')
# Получить транспонирование матрицы
обр2 = обр.транспонировать()
печать (обр2)
# Выход
# [[ 4 1]
# [8 12]]